\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 202}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=202}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0202}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.712, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.903,11.359) -- (5.605,11.388) -- (5.306,11.41) -- (5.006,11.426) -- (4.706,11.434) -- (4.406,11.435) -- (4.106,11.429) -- (3.806,11.416) -- (3.506,11.396) -- (3.208,11.369) -- (2.909,11.335) -- (2.612,11.294) -- (2.316,11.246) -- (2.021,11.191) -- (1.728,11.129);
\draw[line width=0.5pt] (5.903,11.359) -- (6.289,11.322) -- (6.673,11.276) -- (7.057,11.222) -- (7.439,11.158) -- (7.82,11.085) -- (8.199,11.003) -- (8.576,10.913) -- (8.951,10.813) -- (9.323,10.705) -- (9.693,10.588) -- (10.06,10.463) -- (10.423,10.329) -- (10.783,10.186) -- (11.14,10.035);
\draw[line width=0.5pt] (5.903,11.359) -- (5.864,10.945) -- (5.835,10.53) -- (5.815,10.114) -- (5.806,9.698) -- (5.806,9.282) -- (5.816,8.866) -- (5.835,8.45) -- (5.865,8.034) -- (5.904,7.62) -- (5.953,7.207) -- (6.011,6.795) -- (6.079,6.384) -- (6.157,5.976) -- (6.245,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (1.728,11.129) -- (1.767,10.851) -- (1.799,10.572) -- (1.824,10.293) -- (1.843,10.013) -- (1.856,9.733) -- (1.861,9.452) -- (1.861,9.171) -- (1.853,8.891) -- (1.839,8.61) -- (1.819,8.33) -- (1.792,8.051) -- (1.758,7.773) -- (1.718,7.495) -- (1.671,7.219);
\draw[line width=0.5pt] (11.14,10.035) -- (11.015,9.718) -- (10.898,9.398) -- (10.788,9.075) -- (10.686,8.75) -- (10.592,8.423) -- (10.505,8.093) -- (10.426,7.761) -- (10.355,7.428) -- (10.292,7.093) -- (10.236,6.756) -- (10.189,6.419) -- (10.149,6.08) -- (10.118,5.741) -- (10.095,5.401) -- (10.121,5.212) -- (10.143,5.021) -- (10.16,4.83) -- (10.173,4.639) -- (10.181,4.447) -- (10.185,4.256) -- (10.184,4.064) -- (10.179,3.872) -- (10.169,3.681) -- (10.155,3.489) -- (10.136,3.299) -- (10.113,3.108) -- (10.085,2.919) -- (10.053,2.73);
\draw[line width=0.5pt] (1.671,7.219) -- (2.013,7.152) -- (2.353,7.077) -- (2.692,6.994) -- (3.029,6.903) -- (3.364,6.804) -- (3.696,6.697) -- (4.026,6.582) -- (4.353,6.46) -- (4.677,6.33) -- (4.998,6.193) -- (5.315,6.048) -- (5.629,5.896) -- (5.939,5.736) -- (6.245,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (1.671,7.219) -- (1.57,6.815) -- (1.479,6.409) -- (1.397,6.001) -- (1.325,5.592) -- (1.263,5.18) -- (1.21,4.767) -- (1.167,4.353) -- (1.134,3.938) -- (1.11,3.523) -- (1.097,3.107) -- (1.093,2.69) -- (1.099,2.274) -- (1.114,1.859) -- (1.14,1.444);
\draw[line width=0.5pt] (6.245,5.569) -- (6.546,5.41) -- (6.843,5.243) -- (7.136,5.069) -- (7.425,4.889) -- (7.71,4.701) -- (7.99,4.507) -- (8.266,4.307) -- (8.537,4.1) -- (8.803,3.886) -- (9.064,3.667) -- (9.319,3.441) -- (9.569,3.21) -- (9.814,2.973) -- (10.053,2.73);
\draw[line width=0.5pt] (6.245,5.569) -- (5.838,5.333) -- (5.437,5.086) -- (5.041,4.831) -- (4.652,4.566) -- (4.269,4.292) -- (3.892,4.009) -- (3.522,3.717) -- (3.159,3.417) -- (2.804,3.108) -- (2.455,2.791) -- (2.114,2.466) -- (1.781,2.133) -- (1.457,1.792) -- (1.14,1.444);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.063,11.359) -- (6.042,11.439) -- (5.983,11.497) -- (5.903,11.519) -- (5.823,11.497) -- (5.765,11.439) -- (5.743,11.359) -- (5.765,11.279) -- (5.823,11.22) -- (5.903,11.199) -- (5.983,11.22) -- (6.042,11.279) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.888,11.129) -- (1.866,11.209) -- (1.808,11.267) -- (1.728,11.289) -- (1.648,11.267) -- (1.589,11.209) -- (1.568,11.129) -- (1.589,11.049) -- (1.648,10.99) -- (1.728,10.969) -- (1.808,10.99) -- (1.866,11.049) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.3,10.035) -- (11.279,10.115) -- (11.22,10.173) -- (11.14,10.195) -- (11.06,10.173) -- (11.001,10.115) -- (10.98,10.035) -- (11.001,9.955) -- (11.06,9.896) -- (11.14,9.875) -- (11.22,9.896) -- (11.279,9.955) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.831,7.219) -- (1.809,7.299) -- (1.751,7.357) -- (1.671,7.379) -- (1.591,7.357) -- (1.532,7.299) -- (1.511,7.219) -- (1.532,7.139) -- (1.591,7.08) -- (1.671,7.059) -- (1.751,7.08) -- (1.809,7.139) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.405,5.569) -- (6.383,5.649) -- (6.325,5.708) -- (6.245,5.729) -- (6.165,5.708) -- (6.106,5.649) -- (6.085,5.569) -- (6.106,5.489) -- (6.165,5.43) -- (6.245,5.409) -- (6.325,5.43) -- (6.383,5.489) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.213,2.73) -- (10.191,2.81) -- (10.133,2.868) -- (10.053,2.89) -- (9.973,2.868) -- (9.914,2.81) -- (9.893,2.73) -- (9.914,2.65) -- (9.973,2.591) -- (10.053,2.57) -- (10.133,2.591) -- (10.191,2.65) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.3,1.444) -- (1.279,1.524) -- (1.22,1.582) -- (1.14,1.604) -- (1.06,1.582) -- (1.001,1.524) -- (0.98,1.444) -- (1.001,1.364) -- (1.06,1.305) -- (1.14,1.284) -- (1.22,1.305) -- (1.279,1.364) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.164,11.096) -- (4.118,11.266) -- (3.994,11.391) -- (3.824,11.436) -- (3.654,11.391) -- (3.529,11.266) -- (3.484,11.096) -- (3.529,10.926) -- (3.654,10.802) -- (3.824,10.756) -- (3.994,10.802) -- (4.118,10.926) -- cycle;
\node at (3.824,11.096) {\scalebox{1.404}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.995,11.223) -- (8.949,11.393) -- (8.825,11.517) -- (8.655,11.563) -- (8.485,11.517) -- (8.36,11.393) -- (8.315,11.223) -- (8.36,11.053) -- (8.485,10.928) -- (8.655,10.883) -- (8.825,10.928) -- (8.949,11.053) -- cycle;
\node at (8.655,11.223) {\scalebox{1.404}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.495,8.469) -- (6.449,8.639) -- (6.325,8.763) -- (6.155,8.809) -- (5.985,8.763) -- (5.86,8.639) -- (5.815,8.469) -- (5.86,8.299) -- (5.985,8.174) -- (6.155,8.129) -- (6.325,8.174) -- (6.449,8.299) -- cycle;
\node at (6.155,8.469) {\scalebox{1.404}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.52,9.167) -- (2.475,9.337) -- (2.35,9.461) -- (2.18,9.507) -- (2.01,9.461) -- (1.886,9.337) -- (1.84,9.167) -- (1.886,8.997) -- (2.01,8.872) -- (2.18,8.827) -- (2.35,8.872) -- (2.475,8.997) -- cycle;
\node at (2.18,9.167) {\scalebox{1.404}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.755,5.403) -- (10.709,5.573) -- (10.585,5.698) -- (10.415,5.743) -- (10.245,5.698) -- (10.12,5.573) -- (10.075,5.403) -- (10.12,5.233) -- (10.245,5.109) -- (10.415,5.063) -- (10.585,5.109) -- (10.709,5.233) -- cycle;
\node at (10.415,5.403) {\scalebox{1.404}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.474,6.884) -- (4.429,7.054) -- (4.304,7.178) -- (4.134,7.224) -- (3.964,7.178) -- (3.84,7.054) -- (3.794,6.884) -- (3.84,6.714) -- (3.964,6.589) -- (4.134,6.544) -- (4.304,6.589) -- (4.429,6.714) -- cycle;
\node at (4.134,6.884) {\scalebox{1.404}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.826,4.324) -- (1.78,4.494) -- (1.656,4.618) -- (1.486,4.664) -- (1.316,4.618) -- (1.191,4.494) -- (1.146,4.324) -- (1.191,4.154) -- (1.316,4.029) -- (1.486,3.984) -- (1.656,4.029) -- (1.78,4.154) -- cycle;
\node at (1.486,4.324) {\scalebox{1.404}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.797,4.563) -- (8.752,4.733) -- (8.627,4.858) -- (8.457,4.903) -- (8.287,4.858) -- (8.163,4.733) -- (8.117,4.563) -- (8.163,4.393) -- (8.287,4.269) -- (8.457,4.223) -- (8.627,4.269) -- (8.752,4.393) -- cycle;
\node at (8.457,4.563) {\scalebox{1.404}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.063,3.468) -- (4.018,3.638) -- (3.893,3.763) -- (3.723,3.808) -- (3.553,3.763) -- (3.429,3.638) -- (3.383,3.468) -- (3.429,3.298) -- (3.553,3.174) -- (3.723,3.128) -- (3.893,3.174) -- (4.018,3.298) -- cycle;
\node at (3.723,3.468) {\scalebox{1.404}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.603,11.059) -- (6.203,11.059) -- (6.203,11.659) -- (5.603,11.659) -- cycle;
\node at (5.903,11.359) {\scalebox{1.404}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.183,3.799) -- (9.783,3.799) -- (9.783,4.399) -- (9.183,4.399) -- cycle;
\node at (9.483,4.099) {\scalebox{1.404}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.813,6.828) -- (3.413,6.828) -- (3.413,7.428) -- (2.813,7.428) -- cycle;
\node at (3.113,7.128) {\scalebox{1.404}{\small c}};
\node at (5.974,11.975) {\scalebox{1.404}{\small A}};
\node at (1.311,11.588) {\scalebox{1.404}{\small B}};
\node at (11.691,10.32) {\scalebox{1.404}{\small C}};
\node at (1.051,7.243) {\scalebox{1.404}{\small D}};
\node at (6.546,5.027) {\scalebox{1.404}{\small E}};
\node at (10.506,2.307) {\scalebox{1.404}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.404}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.44,10.409) -- (12.44,11.509);
\draw[line width=0.5pt] (12.209,11.124) -- (12.44,11.509) -- (12.671,11.124);
\draw[line width=0.5pt] (12.137,10.959) -- (12.742,10.959);
\node at (12.44,11.894) {\scalebox{1.404}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Puits & ⑥ rue du Four & Ⓐ Carrefour du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② sentier des Prés & ⑦ quai aux Fleurs & Ⓑ Place des Tanneurs & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑧ boulevard du Parc & Ⓒ Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ chemin des Vignes & ⑨ chemin de Ronde & Ⓓ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑤ rue des Jardins &  & Ⓔ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6371, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.903,11.359) -- (5.605,11.388) -- (5.306,11.41) -- (5.006,11.426) -- (4.706,11.434) -- (4.406,11.435) -- (4.106,11.429) -- (3.806,11.416) -- (3.506,11.396) -- (3.208,11.369) -- (2.909,11.335) -- (2.612,11.294) -- (2.316,11.246) -- (2.021,11.191) -- (1.728,11.129);
\draw[line width=0.5pt] (5.903,11.359) -- (6.289,11.322) -- (6.673,11.276) -- (7.057,11.222) -- (7.439,11.158) -- (7.82,11.085) -- (8.199,11.003) -- (8.576,10.913) -- (8.951,10.813) -- (9.323,10.705) -- (9.693,10.588) -- (10.06,10.463) -- (10.423,10.329) -- (10.783,10.186) -- (11.14,10.035);
\draw[line width=0.5pt] (5.903,11.359) -- (5.864,10.945) -- (5.835,10.53) -- (5.815,10.114) -- (5.806,9.698) -- (5.806,9.282) -- (5.816,8.866) -- (5.835,8.45) -- (5.865,8.034) -- (5.904,7.62) -- (5.953,7.207) -- (6.011,6.795) -- (6.079,6.384) -- (6.157,5.976) -- (6.245,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (1.728,11.129) -- (1.767,10.851) -- (1.799,10.572) -- (1.824,10.293) -- (1.843,10.013) -- (1.856,9.733) -- (1.861,9.452) -- (1.861,9.171) -- (1.853,8.891) -- (1.839,8.61) -- (1.819,8.33) -- (1.792,8.051) -- (1.758,7.773) -- (1.718,7.495) -- (1.671,7.219);
\draw[line width=0.5pt] (11.14,10.035) -- (11.015,9.718) -- (10.898,9.398) -- (10.788,9.075) -- (10.686,8.75) -- (10.592,8.423) -- (10.505,8.093) -- (10.426,7.761) -- (10.355,7.428) -- (10.292,7.093) -- (10.236,6.756) -- (10.189,6.419) -- (10.149,6.08) -- (10.118,5.741) -- (10.095,5.401) -- (10.121,5.212) -- (10.143,5.021) -- (10.16,4.83) -- (10.173,4.639) -- (10.181,4.447) -- (10.185,4.256) -- (10.184,4.064) -- (10.179,3.872) -- (10.169,3.681) -- (10.155,3.489) -- (10.136,3.299) -- (10.113,3.108) -- (10.085,2.919) -- (10.053,2.73);
\draw[line width=0.5pt] (1.671,7.219) -- (2.013,7.152) -- (2.353,7.077) -- (2.692,6.994) -- (3.029,6.903) -- (3.364,6.804) -- (3.696,6.697) -- (4.026,6.582) -- (4.353,6.46) -- (4.677,6.33) -- (4.998,6.193) -- (5.315,6.048) -- (5.629,5.896) -- (5.939,5.736) -- (6.245,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (1.671,7.219) -- (1.57,6.815) -- (1.479,6.409) -- (1.397,6.001) -- (1.325,5.592) -- (1.263,5.18) -- (1.21,4.767) -- (1.167,4.353) -- (1.134,3.938) -- (1.11,3.523) -- (1.097,3.107) -- (1.093,2.69) -- (1.099,2.274) -- (1.114,1.859) -- (1.14,1.444);
\draw[line width=0.5pt] (6.245,5.569) -- (6.546,5.41) -- (6.843,5.243) -- (7.136,5.069) -- (7.425,4.889) -- (7.71,4.701) -- (7.99,4.507) -- (8.266,4.307) -- (8.537,4.1) -- (8.803,3.886) -- (9.064,3.667) -- (9.319,3.441) -- (9.569,3.21) -- (9.814,2.973) -- (10.053,2.73);
\draw[line width=0.5pt] (6.245,5.569) -- (5.838,5.333) -- (5.437,5.086) -- (5.041,4.831) -- (4.652,4.566) -- (4.269,4.292) -- (3.892,4.009) -- (3.522,3.717) -- (3.159,3.417) -- (2.804,3.108) -- (2.455,2.791) -- (2.114,2.466) -- (1.781,2.133) -- (1.457,1.792) -- (1.14,1.444);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.063,11.359) -- (6.042,11.439) -- (5.983,11.497) -- (5.903,11.519) -- (5.823,11.497) -- (5.765,11.439) -- (5.743,11.359) -- (5.765,11.279) -- (5.823,11.22) -- (5.903,11.199) -- (5.983,11.22) -- (6.042,11.279) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.888,11.129) -- (1.866,11.209) -- (1.808,11.267) -- (1.728,11.289) -- (1.648,11.267) -- (1.589,11.209) -- (1.568,11.129) -- (1.589,11.049) -- (1.648,10.99) -- (1.728,10.969) -- (1.808,10.99) -- (1.866,11.049) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.3,10.035) -- (11.279,10.115) -- (11.22,10.173) -- (11.14,10.195) -- (11.06,10.173) -- (11.001,10.115) -- (10.98,10.035) -- (11.001,9.955) -- (11.06,9.896) -- (11.14,9.875) -- (11.22,9.896) -- (11.279,9.955) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.831,7.219) -- (1.809,7.299) -- (1.751,7.357) -- (1.671,7.379) -- (1.591,7.357) -- (1.532,7.299) -- (1.511,7.219) -- (1.532,7.139) -- (1.591,7.08) -- (1.671,7.059) -- (1.751,7.08) -- (1.809,7.139) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.405,5.569) -- (6.383,5.649) -- (6.325,5.708) -- (6.245,5.729) -- (6.165,5.708) -- (6.106,5.649) -- (6.085,5.569) -- (6.106,5.489) -- (6.165,5.43) -- (6.245,5.409) -- (6.325,5.43) -- (6.383,5.489) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.213,2.73) -- (10.191,2.81) -- (10.133,2.868) -- (10.053,2.89) -- (9.973,2.868) -- (9.914,2.81) -- (9.893,2.73) -- (9.914,2.65) -- (9.973,2.591) -- (10.053,2.57) -- (10.133,2.591) -- (10.191,2.65) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.3,1.444) -- (1.279,1.524) -- (1.22,1.582) -- (1.14,1.604) -- (1.06,1.582) -- (1.001,1.524) -- (0.98,1.444) -- (1.001,1.364) -- (1.06,1.305) -- (1.14,1.284) -- (1.22,1.305) -- (1.279,1.364) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.164,11.096) -- (4.118,11.266) -- (3.994,11.391) -- (3.824,11.436) -- (3.654,11.391) -- (3.529,11.266) -- (3.484,11.096) -- (3.529,10.926) -- (3.654,10.802) -- (3.824,10.756) -- (3.994,10.802) -- (4.118,10.926) -- cycle;
\node at (3.824,11.096) {\scalebox{1.57}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.995,11.223) -- (8.949,11.393) -- (8.825,11.517) -- (8.655,11.563) -- (8.485,11.517) -- (8.36,11.393) -- (8.315,11.223) -- (8.36,11.053) -- (8.485,10.928) -- (8.655,10.883) -- (8.825,10.928) -- (8.949,11.053) -- cycle;
\node at (8.655,11.223) {\scalebox{1.57}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.495,8.469) -- (6.449,8.639) -- (6.325,8.763) -- (6.155,8.809) -- (5.985,8.763) -- (5.86,8.639) -- (5.815,8.469) -- (5.86,8.299) -- (5.985,8.174) -- (6.155,8.129) -- (6.325,8.174) -- (6.449,8.299) -- cycle;
\node at (6.155,8.469) {\scalebox{1.57}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.52,9.167) -- (2.475,9.337) -- (2.35,9.461) -- (2.18,9.507) -- (2.01,9.461) -- (1.886,9.337) -- (1.84,9.167) -- (1.886,8.997) -- (2.01,8.872) -- (2.18,8.827) -- (2.35,8.872) -- (2.475,8.997) -- cycle;
\node at (2.18,9.167) {\scalebox{1.57}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.755,5.403) -- (10.709,5.573) -- (10.585,5.698) -- (10.415,5.743) -- (10.245,5.698) -- (10.12,5.573) -- (10.075,5.403) -- (10.12,5.233) -- (10.245,5.109) -- (10.415,5.063) -- (10.585,5.109) -- (10.709,5.233) -- cycle;
\node at (10.415,5.403) {\scalebox{1.57}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.474,6.884) -- (4.429,7.054) -- (4.304,7.178) -- (4.134,7.224) -- (3.964,7.178) -- (3.84,7.054) -- (3.794,6.884) -- (3.84,6.714) -- (3.964,6.589) -- (4.134,6.544) -- (4.304,6.589) -- (4.429,6.714) -- cycle;
\node at (4.134,6.884) {\scalebox{1.57}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.826,4.324) -- (1.78,4.494) -- (1.656,4.618) -- (1.486,4.664) -- (1.316,4.618) -- (1.191,4.494) -- (1.146,4.324) -- (1.191,4.154) -- (1.316,4.029) -- (1.486,3.984) -- (1.656,4.029) -- (1.78,4.154) -- cycle;
\node at (1.486,4.324) {\scalebox{1.57}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.797,4.563) -- (8.752,4.733) -- (8.627,4.858) -- (8.457,4.903) -- (8.287,4.858) -- (8.163,4.733) -- (8.117,4.563) -- (8.163,4.393) -- (8.287,4.269) -- (8.457,4.223) -- (8.627,4.269) -- (8.752,4.393) -- cycle;
\node at (8.457,4.563) {\scalebox{1.57}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.063,3.468) -- (4.018,3.638) -- (3.893,3.763) -- (3.723,3.808) -- (3.553,3.763) -- (3.429,3.638) -- (3.383,3.468) -- (3.429,3.298) -- (3.553,3.174) -- (3.723,3.128) -- (3.893,3.174) -- (4.018,3.298) -- cycle;
\node at (3.723,3.468) {\scalebox{1.57}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.603,11.059) -- (6.203,11.059) -- (6.203,11.659) -- (5.603,11.659) -- cycle;
\node at (5.903,11.359) {\scalebox{1.57}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.183,3.799) -- (9.783,3.799) -- (9.783,4.399) -- (9.183,4.399) -- cycle;
\node at (9.483,4.099) {\scalebox{1.57}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.813,6.828) -- (3.413,6.828) -- (3.413,7.428) -- (2.813,7.428) -- cycle;
\node at (3.113,7.128) {\scalebox{1.57}{\small c}};
\node at (5.974,11.975) {\scalebox{1.57}{\small A}};
\node at (1.311,11.588) {\scalebox{1.57}{\small B}};
\node at (11.691,10.32) {\scalebox{1.57}{\small C}};
\node at (1.051,7.243) {\scalebox{1.57}{\small D}};
\node at (6.546,5.027) {\scalebox{1.57}{\small E}};
\node at (10.506,2.307) {\scalebox{1.57}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.57}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.44,10.409) -- (12.44,11.509);
\draw[line width=0.5pt] (12.209,11.124) -- (12.44,11.509) -- (12.671,11.124);
\draw[line width=0.5pt] (12.137,10.959) -- (12.742,10.959);
\node at (12.44,11.894) {\scalebox{1.57}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{A}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue du Puits ①} vers l'ouest et atteint Place des Tanneurs \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ④}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ⑥}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ③}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ②}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑤}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑦}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
