\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 203}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=203}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0203}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7073, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.664,10.578) -- (9.726,10.247) -- (9.796,9.917) -- (9.874,9.588) -- (9.96,9.262) -- (10.054,8.938) -- (10.155,8.616) -- (10.263,8.296) -- (10.379,7.979) -- (10.503,7.665) -- (10.634,7.353) -- (10.772,7.046) -- (10.917,6.741) -- (11.069,6.44) -- (11.229,6.143);
\draw[line width=0.5pt] (9.664,10.578) -- (9.46,10.198) -- (9.248,9.824) -- (9.026,9.454) -- (8.796,9.089) -- (8.558,8.73) -- (8.311,8.377) -- (8.055,8.029) -- (7.792,7.688) -- (7.521,7.353) -- (7.242,7.024) -- (6.955,6.702) -- (6.661,6.387) -- (6.359,6.079) -- (6.051,5.778);
\draw[line width=0.5pt] (1.888,9.075) -- (2.146,8.796) -- (2.412,8.523) -- (2.684,8.256) -- (2.962,7.996) -- (3.247,7.742) -- (3.537,7.495) -- (3.833,7.255) -- (4.135,7.022) -- (4.442,6.796) -- (4.754,6.577) -- (5.071,6.366) -- (5.393,6.162) -- (5.72,5.966) -- (6.051,5.778);
\draw[line width=0.5pt] (1.888,9.075) -- (1.986,8.83) -- (2.079,8.583) -- (2.166,8.333) -- (2.246,8.082) -- (2.321,7.828) -- (2.39,7.573) -- (2.454,7.316) -- (2.511,7.058) -- (2.561,6.799) -- (2.606,6.539) -- (2.645,6.277) -- (2.677,6.015) -- (2.704,5.752) -- (2.724,5.489);
\draw[line width=0.5pt] (11.229,6.143) -- (10.858,6.174) -- (10.486,6.196) -- (10.114,6.209) -- (9.742,6.213) -- (9.369,6.209) -- (8.997,6.196) -- (8.625,6.174) -- (8.253,6.144) -- (7.883,6.105) -- (7.513,6.057) -- (7.145,6.0) -- (6.779,5.935) -- (6.414,5.861) -- (6.051,5.778);
\draw[line width=0.5pt] (11.229,6.143) -- (11.201,5.807) -- (11.166,5.472) -- (11.122,5.138) -- (11.071,4.804) -- (11.012,4.472) -- (10.945,4.142) -- (10.87,3.813) -- (10.788,3.486) -- (10.698,3.161) -- (10.6,2.838) -- (10.495,2.517) -- (10.382,2.2) -- (10.262,1.885) -- (10.135,1.573);
\draw[line width=0.5pt] (6.051,5.778) -- (5.812,5.794) -- (5.572,5.805) -- (5.333,5.809) -- (5.093,5.808) -- (4.854,5.801) -- (4.614,5.789) -- (4.375,5.771) -- (4.137,5.747) -- (3.899,5.718) -- (3.662,5.683) -- (3.425,5.643) -- (3.19,5.597) -- (2.956,5.546) -- (2.724,5.489);
\draw[line width=0.5pt] (6.051,5.778) -- (6.386,5.525) -- (6.716,5.264) -- (7.039,4.995) -- (7.356,4.718) -- (7.666,4.434) -- (7.97,4.143) -- (8.266,3.844) -- (8.556,3.539) -- (8.838,3.227) -- (9.113,2.908) -- (9.38,2.583) -- (9.64,2.252) -- (9.891,1.916) -- (10.135,1.573);
\draw[line width=0.5pt] (6.051,5.778) -- (5.661,5.518) -- (5.277,5.249) -- (4.899,4.97) -- (4.528,4.683) -- (4.164,4.387) -- (3.807,4.082) -- (3.457,3.769) -- (3.115,3.448) -- (2.78,3.119) -- (2.453,2.782) -- (2.135,2.438) -- (1.824,2.086) -- (1.522,1.727) -- (1.229,1.362);
\draw[line width=0.5pt] (2.724,5.489) -- (2.663,5.18) -- (2.595,4.873) -- (2.519,4.567) -- (2.437,4.263) -- (2.347,3.961) -- (2.25,3.661) -- (2.146,3.364) -- (2.036,3.069) -- (1.918,2.776) -- (1.793,2.487) -- (1.662,2.201) -- (1.524,1.917) -- (1.38,1.638) -- (1.229,1.362);
\draw[line width=0.5pt] (10.135,1.573) -- (9.913,1.588) -- (9.691,1.597) -- (9.468,1.602) -- (9.246,1.601) -- (9.023,1.595) -- (8.801,1.583) -- (8.579,1.567) -- (8.357,1.545) -- (8.136,1.518) -- (7.916,1.486) -- (7.697,1.448) -- (7.478,1.406) -- (7.261,1.358) -- (7.045,1.306) -- (6.632,1.246) -- (6.218,1.196) -- (5.803,1.156) -- (5.386,1.126) -- (4.969,1.105) -- (4.552,1.095) -- (4.135,1.094) -- (3.717,1.103) -- (3.3,1.121) -- (2.883,1.15) -- (2.468,1.188) -- (2.053,1.236) -- (1.64,1.294) -- (1.229,1.362);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.824,10.578) -- (9.802,10.658) -- (9.744,10.717) -- (9.664,10.738) -- (9.584,10.717) -- (9.525,10.658) -- (9.504,10.578) -- (9.525,10.498) -- (9.584,10.439) -- (9.664,10.418) -- (9.744,10.439) -- (9.802,10.498) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.048,9.075) -- (2.026,9.155) -- (1.968,9.214) -- (1.888,9.235) -- (1.808,9.214) -- (1.749,9.155) -- (1.728,9.075) -- (1.749,8.995) -- (1.808,8.936) -- (1.888,8.915) -- (1.968,8.936) -- (2.026,8.995) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.389,6.143) -- (11.367,6.223) -- (11.309,6.281) -- (11.229,6.303) -- (11.149,6.281) -- (11.09,6.223) -- (11.069,6.143) -- (11.09,6.063) -- (11.149,6.004) -- (11.229,5.983) -- (11.309,6.004) -- (11.367,6.063) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.211,5.778) -- (6.189,5.858) -- (6.131,5.917) -- (6.051,5.938) -- (5.971,5.917) -- (5.912,5.858) -- (5.891,5.778) -- (5.912,5.698) -- (5.971,5.64) -- (6.051,5.618) -- (6.131,5.64) -- (6.189,5.698) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.884,5.489) -- (2.862,5.569) -- (2.804,5.627) -- (2.724,5.649) -- (2.644,5.627) -- (2.585,5.569) -- (2.564,5.489) -- (2.585,5.409) -- (2.644,5.35) -- (2.724,5.329) -- (2.804,5.35) -- (2.862,5.409) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.295,1.573) -- (10.273,1.653) -- (10.215,1.711) -- (10.135,1.733) -- (10.055,1.711) -- (9.996,1.653) -- (9.975,1.573) -- (9.996,1.493) -- (10.055,1.434) -- (10.135,1.413) -- (10.215,1.434) -- (10.273,1.493) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.389,1.362) -- (1.367,1.442) -- (1.309,1.5) -- (1.229,1.522) -- (1.149,1.5) -- (1.09,1.442) -- (1.069,1.362) -- (1.09,1.282) -- (1.149,1.223) -- (1.229,1.202) -- (1.309,1.223) -- (1.367,1.282) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.905,8.402) -- (10.86,8.572) -- (10.735,8.697) -- (10.565,8.742) -- (10.395,8.697) -- (10.271,8.572) -- (10.225,8.402) -- (10.271,8.232) -- (10.395,8.108) -- (10.565,8.062) -- (10.735,8.108) -- (10.86,8.232) -- cycle;
\node at (10.565,8.402) {\scalebox{1.414}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.651,7.837) -- (8.605,8.007) -- (8.481,8.131) -- (8.311,8.177) -- (8.141,8.131) -- (8.016,8.007) -- (7.971,7.837) -- (8.016,7.667) -- (8.141,7.542) -- (8.311,7.497) -- (8.481,7.542) -- (8.605,7.667) -- cycle;
\node at (8.311,7.837) {\scalebox{1.414}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.372,7.506) -- (4.326,7.676) -- (4.202,7.8) -- (4.032,7.846) -- (3.862,7.8) -- (3.737,7.676) -- (3.692,7.506) -- (3.737,7.336) -- (3.862,7.211) -- (4.032,7.166) -- (4.202,7.211) -- (4.326,7.336) -- cycle;
\node at (4.032,7.506) {\scalebox{1.414}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.105,7.389) -- (3.06,7.559) -- (2.935,7.684) -- (2.765,7.729) -- (2.595,7.684) -- (2.471,7.559) -- (2.425,7.389) -- (2.471,7.219) -- (2.595,7.095) -- (2.765,7.049) -- (2.935,7.095) -- (3.06,7.219) -- cycle;
\node at (2.765,7.389) {\scalebox{1.414}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.987,5.855) -- (8.942,6.025) -- (8.817,6.149) -- (8.647,6.195) -- (8.477,6.149) -- (8.353,6.025) -- (8.307,5.855) -- (8.353,5.685) -- (8.477,5.561) -- (8.647,5.515) -- (8.817,5.561) -- (8.942,5.685) -- cycle;
\node at (8.647,5.855) {\scalebox{1.414}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.521,3.738) -- (11.476,3.908) -- (11.351,4.033) -- (11.181,4.078) -- (11.011,4.033) -- (10.887,3.908) -- (10.841,3.738) -- (10.887,3.568) -- (11.011,3.444) -- (11.181,3.398) -- (11.351,3.444) -- (11.476,3.568) -- cycle;
\node at (11.181,3.738) {\scalebox{1.414}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.743,5.452) -- (4.697,5.622) -- (4.573,5.747) -- (4.403,5.792) -- (4.233,5.747) -- (4.109,5.622) -- (4.063,5.452) -- (4.109,5.282) -- (4.233,5.158) -- (4.403,5.112) -- (4.573,5.158) -- (4.697,5.282) -- cycle;
\node at (4.403,5.452) {\scalebox{1.414}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.836,4.067) -- (8.79,4.237) -- (8.666,4.361) -- (8.496,4.407) -- (8.326,4.361) -- (8.201,4.237) -- (8.156,4.067) -- (8.201,3.897) -- (8.326,3.773) -- (8.496,3.727) -- (8.666,3.773) -- (8.79,3.897) -- cycle;
\node at (8.496,4.067) {\scalebox{1.414}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.014,3.533) -- (3.968,3.703) -- (3.844,3.827) -- (3.674,3.873) -- (3.504,3.827) -- (3.379,3.703) -- (3.334,3.533) -- (3.379,3.363) -- (3.504,3.239) -- (3.674,3.193) -- (3.844,3.239) -- (3.968,3.363) -- cycle;
\node at (3.674,3.533) {\scalebox{1.414}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.787,3.255) -- (2.742,3.425) -- (2.617,3.549) -- (2.447,3.595) -- (2.277,3.549) -- (2.153,3.425) -- (2.107,3.255) -- (2.153,3.085) -- (2.277,2.96) -- (2.447,2.915) -- (2.617,2.96) -- (2.742,3.085) -- cycle;
\node at (2.447,3.255) {\scalebox{1.414}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.441,0.991) -- (7.396,1.161) -- (7.271,1.285) -- (7.101,1.331) -- (6.931,1.285) -- (6.807,1.161) -- (6.761,0.991) -- (6.807,0.821) -- (6.931,0.696) -- (7.101,0.651) -- (7.271,0.696) -- (7.396,0.821) -- cycle;
\node at (7.101,0.991) {\scalebox{1.414}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.424,5.189) -- (3.024,5.189) -- (3.024,5.789) -- (2.424,5.789) -- cycle;
\node at (2.724,5.489) {\scalebox{1.414}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.132,2.99) -- (12.732,2.99) -- (12.732,3.59) -- (12.132,3.59) -- cycle;
\node at (12.432,3.29) {\scalebox{1.414}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.1,8.167) -- (3.7,8.167) -- (3.7,8.767) -- (3.1,8.767) -- cycle;
\node at (3.4,8.467) {\scalebox{1.414}{\small c}};
\node at (10.028,11.08) {\scalebox{1.414}{\small A}};
\node at (1.402,9.46) {\scalebox{1.414}{\small B}};
\node at (11.846,6.195) {\scalebox{1.414}{\small C}};
\node at (5.567,6.167) {\scalebox{1.414}{\small D}};
\node at (2.105,5.448) {\scalebox{1.414}{\small E}};
\node at (10.566,1.127) {\scalebox{1.414}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.414}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.529,9.628) -- (12.529,10.728);
\draw[line width=0.5pt] (12.298,10.343) -- (12.529,10.728) -- (12.76,10.343);
\draw[line width=0.5pt] (12.226,10.178) -- (12.831,10.178);
\node at (12.529,11.113) {\scalebox{1.414}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Jardins & ⑦ avenue de la Gare & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Lilas & ⑧ rue Pasteur & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ chemin du Lavoir & ⑨ rue du Stade & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue de la Poste & ⑩ rue du Moulin & Ⓓ Rond-point du Pont &  \\ \hline
⑤ rue de l'Église & ⑪ venelle du Chat & Ⓔ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑥ allée des Tilleuls &  & Ⓕ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6329, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.664,10.578) -- (9.726,10.247) -- (9.796,9.917) -- (9.874,9.588) -- (9.96,9.262) -- (10.054,8.938) -- (10.155,8.616) -- (10.263,8.296) -- (10.379,7.979) -- (10.503,7.665) -- (10.634,7.353) -- (10.772,7.046) -- (10.917,6.741) -- (11.069,6.44) -- (11.229,6.143);
\draw[line width=0.5pt] (9.664,10.578) -- (9.46,10.198) -- (9.248,9.824) -- (9.026,9.454) -- (8.796,9.089) -- (8.558,8.73) -- (8.311,8.377) -- (8.055,8.029) -- (7.792,7.688) -- (7.521,7.353) -- (7.242,7.024) -- (6.955,6.702) -- (6.661,6.387) -- (6.359,6.079) -- (6.051,5.778);
\draw[line width=0.5pt] (1.888,9.075) -- (2.146,8.796) -- (2.412,8.523) -- (2.684,8.256) -- (2.962,7.996) -- (3.247,7.742) -- (3.537,7.495) -- (3.833,7.255) -- (4.135,7.022) -- (4.442,6.796) -- (4.754,6.577) -- (5.071,6.366) -- (5.393,6.162) -- (5.72,5.966) -- (6.051,5.778);
\draw[line width=0.5pt] (1.888,9.075) -- (1.986,8.83) -- (2.079,8.583) -- (2.166,8.333) -- (2.246,8.082) -- (2.321,7.828) -- (2.39,7.573) -- (2.454,7.316) -- (2.511,7.058) -- (2.561,6.799) -- (2.606,6.539) -- (2.645,6.277) -- (2.677,6.015) -- (2.704,5.752) -- (2.724,5.489);
\draw[line width=0.5pt] (11.229,6.143) -- (10.858,6.174) -- (10.486,6.196) -- (10.114,6.209) -- (9.742,6.213) -- (9.369,6.209) -- (8.997,6.196) -- (8.625,6.174) -- (8.253,6.144) -- (7.883,6.105) -- (7.513,6.057) -- (7.145,6.0) -- (6.779,5.935) -- (6.414,5.861) -- (6.051,5.778);
\draw[line width=0.5pt] (11.229,6.143) -- (11.201,5.807) -- (11.166,5.472) -- (11.122,5.138) -- (11.071,4.804) -- (11.012,4.472) -- (10.945,4.142) -- (10.87,3.813) -- (10.788,3.486) -- (10.698,3.161) -- (10.6,2.838) -- (10.495,2.517) -- (10.382,2.2) -- (10.262,1.885) -- (10.135,1.573);
\draw[line width=0.5pt] (6.051,5.778) -- (5.812,5.794) -- (5.572,5.805) -- (5.333,5.809) -- (5.093,5.808) -- (4.854,5.801) -- (4.614,5.789) -- (4.375,5.771) -- (4.137,5.747) -- (3.899,5.718) -- (3.662,5.683) -- (3.425,5.643) -- (3.19,5.597) -- (2.956,5.546) -- (2.724,5.489);
\draw[line width=0.5pt] (6.051,5.778) -- (6.386,5.525) -- (6.716,5.264) -- (7.039,4.995) -- (7.356,4.718) -- (7.666,4.434) -- (7.97,4.143) -- (8.266,3.844) -- (8.556,3.539) -- (8.838,3.227) -- (9.113,2.908) -- (9.38,2.583) -- (9.64,2.252) -- (9.891,1.916) -- (10.135,1.573);
\draw[line width=0.5pt] (6.051,5.778) -- (5.661,5.518) -- (5.277,5.249) -- (4.899,4.97) -- (4.528,4.683) -- (4.164,4.387) -- (3.807,4.082) -- (3.457,3.769) -- (3.115,3.448) -- (2.78,3.119) -- (2.453,2.782) -- (2.135,2.438) -- (1.824,2.086) -- (1.522,1.727) -- (1.229,1.362);
\draw[line width=0.5pt] (2.724,5.489) -- (2.663,5.18) -- (2.595,4.873) -- (2.519,4.567) -- (2.437,4.263) -- (2.347,3.961) -- (2.25,3.661) -- (2.146,3.364) -- (2.036,3.069) -- (1.918,2.776) -- (1.793,2.487) -- (1.662,2.201) -- (1.524,1.917) -- (1.38,1.638) -- (1.229,1.362);
\draw[line width=0.5pt] (10.135,1.573) -- (9.913,1.588) -- (9.691,1.597) -- (9.468,1.602) -- (9.246,1.601) -- (9.023,1.595) -- (8.801,1.583) -- (8.579,1.567) -- (8.357,1.545) -- (8.136,1.518) -- (7.916,1.486) -- (7.697,1.448) -- (7.478,1.406) -- (7.261,1.358) -- (7.045,1.306) -- (6.632,1.246) -- (6.218,1.196) -- (5.803,1.156) -- (5.386,1.126) -- (4.969,1.105) -- (4.552,1.095) -- (4.135,1.094) -- (3.717,1.103) -- (3.3,1.121) -- (2.883,1.15) -- (2.468,1.188) -- (2.053,1.236) -- (1.64,1.294) -- (1.229,1.362);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.824,10.578) -- (9.802,10.658) -- (9.744,10.717) -- (9.664,10.738) -- (9.584,10.717) -- (9.525,10.658) -- (9.504,10.578) -- (9.525,10.498) -- (9.584,10.439) -- (9.664,10.418) -- (9.744,10.439) -- (9.802,10.498) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.048,9.075) -- (2.026,9.155) -- (1.968,9.214) -- (1.888,9.235) -- (1.808,9.214) -- (1.749,9.155) -- (1.728,9.075) -- (1.749,8.995) -- (1.808,8.936) -- (1.888,8.915) -- (1.968,8.936) -- (2.026,8.995) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.389,6.143) -- (11.367,6.223) -- (11.309,6.281) -- (11.229,6.303) -- (11.149,6.281) -- (11.09,6.223) -- (11.069,6.143) -- (11.09,6.063) -- (11.149,6.004) -- (11.229,5.983) -- (11.309,6.004) -- (11.367,6.063) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.211,5.778) -- (6.189,5.858) -- (6.131,5.917) -- (6.051,5.938) -- (5.971,5.917) -- (5.912,5.858) -- (5.891,5.778) -- (5.912,5.698) -- (5.971,5.64) -- (6.051,5.618) -- (6.131,5.64) -- (6.189,5.698) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.884,5.489) -- (2.862,5.569) -- (2.804,5.627) -- (2.724,5.649) -- (2.644,5.627) -- (2.585,5.569) -- (2.564,5.489) -- (2.585,5.409) -- (2.644,5.35) -- (2.724,5.329) -- (2.804,5.35) -- (2.862,5.409) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.295,1.573) -- (10.273,1.653) -- (10.215,1.711) -- (10.135,1.733) -- (10.055,1.711) -- (9.996,1.653) -- (9.975,1.573) -- (9.996,1.493) -- (10.055,1.434) -- (10.135,1.413) -- (10.215,1.434) -- (10.273,1.493) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.389,1.362) -- (1.367,1.442) -- (1.309,1.5) -- (1.229,1.522) -- (1.149,1.5) -- (1.09,1.442) -- (1.069,1.362) -- (1.09,1.282) -- (1.149,1.223) -- (1.229,1.202) -- (1.309,1.223) -- (1.367,1.282) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.905,8.402) -- (10.86,8.572) -- (10.735,8.697) -- (10.565,8.742) -- (10.395,8.697) -- (10.271,8.572) -- (10.225,8.402) -- (10.271,8.232) -- (10.395,8.108) -- (10.565,8.062) -- (10.735,8.108) -- (10.86,8.232) -- cycle;
\node at (10.565,8.402) {\scalebox{1.58}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.651,7.837) -- (8.605,8.007) -- (8.481,8.131) -- (8.311,8.177) -- (8.141,8.131) -- (8.016,8.007) -- (7.971,7.837) -- (8.016,7.667) -- (8.141,7.542) -- (8.311,7.497) -- (8.481,7.542) -- (8.605,7.667) -- cycle;
\node at (8.311,7.837) {\scalebox{1.58}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.372,7.506) -- (4.326,7.676) -- (4.202,7.8) -- (4.032,7.846) -- (3.862,7.8) -- (3.737,7.676) -- (3.692,7.506) -- (3.737,7.336) -- (3.862,7.211) -- (4.032,7.166) -- (4.202,7.211) -- (4.326,7.336) -- cycle;
\node at (4.032,7.506) {\scalebox{1.58}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.105,7.389) -- (3.06,7.559) -- (2.935,7.684) -- (2.765,7.729) -- (2.595,7.684) -- (2.471,7.559) -- (2.425,7.389) -- (2.471,7.219) -- (2.595,7.095) -- (2.765,7.049) -- (2.935,7.095) -- (3.06,7.219) -- cycle;
\node at (2.765,7.389) {\scalebox{1.58}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.987,5.855) -- (8.942,6.025) -- (8.817,6.149) -- (8.647,6.195) -- (8.477,6.149) -- (8.353,6.025) -- (8.307,5.855) -- (8.353,5.685) -- (8.477,5.561) -- (8.647,5.515) -- (8.817,5.561) -- (8.942,5.685) -- cycle;
\node at (8.647,5.855) {\scalebox{1.58}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.521,3.738) -- (11.476,3.908) -- (11.351,4.033) -- (11.181,4.078) -- (11.011,4.033) -- (10.887,3.908) -- (10.841,3.738) -- (10.887,3.568) -- (11.011,3.444) -- (11.181,3.398) -- (11.351,3.444) -- (11.476,3.568) -- cycle;
\node at (11.181,3.738) {\scalebox{1.58}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.743,5.452) -- (4.697,5.622) -- (4.573,5.747) -- (4.403,5.792) -- (4.233,5.747) -- (4.109,5.622) -- (4.063,5.452) -- (4.109,5.282) -- (4.233,5.158) -- (4.403,5.112) -- (4.573,5.158) -- (4.697,5.282) -- cycle;
\node at (4.403,5.452) {\scalebox{1.58}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.836,4.067) -- (8.79,4.237) -- (8.666,4.361) -- (8.496,4.407) -- (8.326,4.361) -- (8.201,4.237) -- (8.156,4.067) -- (8.201,3.897) -- (8.326,3.773) -- (8.496,3.727) -- (8.666,3.773) -- (8.79,3.897) -- cycle;
\node at (8.496,4.067) {\scalebox{1.58}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.014,3.533) -- (3.968,3.703) -- (3.844,3.827) -- (3.674,3.873) -- (3.504,3.827) -- (3.379,3.703) -- (3.334,3.533) -- (3.379,3.363) -- (3.504,3.239) -- (3.674,3.193) -- (3.844,3.239) -- (3.968,3.363) -- cycle;
\node at (3.674,3.533) {\scalebox{1.58}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.787,3.255) -- (2.742,3.425) -- (2.617,3.549) -- (2.447,3.595) -- (2.277,3.549) -- (2.153,3.425) -- (2.107,3.255) -- (2.153,3.085) -- (2.277,2.96) -- (2.447,2.915) -- (2.617,2.96) -- (2.742,3.085) -- cycle;
\node at (2.447,3.255) {\scalebox{1.58}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.441,0.991) -- (7.396,1.161) -- (7.271,1.285) -- (7.101,1.331) -- (6.931,1.285) -- (6.807,1.161) -- (6.761,0.991) -- (6.807,0.821) -- (6.931,0.696) -- (7.101,0.651) -- (7.271,0.696) -- (7.396,0.821) -- cycle;
\node at (7.101,0.991) {\scalebox{1.58}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.424,5.189) -- (3.024,5.189) -- (3.024,5.789) -- (2.424,5.789) -- cycle;
\node at (2.724,5.489) {\scalebox{1.58}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.132,2.99) -- (12.732,2.99) -- (12.732,3.59) -- (12.132,3.59) -- cycle;
\node at (12.432,3.29) {\scalebox{1.58}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.1,8.167) -- (3.7,8.167) -- (3.7,8.767) -- (3.1,8.767) -- cycle;
\node at (3.4,8.467) {\scalebox{1.58}{\small c}};
\node at (10.028,11.08) {\scalebox{1.58}{\small A}};
\node at (1.402,9.46) {\scalebox{1.58}{\small B}};
\node at (11.846,6.195) {\scalebox{1.58}{\small C}};
\node at (5.567,6.167) {\scalebox{1.58}{\small D}};
\node at (2.105,5.448) {\scalebox{1.58}{\small E}};
\node at (10.566,1.127) {\scalebox{1.58}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.58}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.529,9.628) -- (12.529,10.728);
\draw[line width=0.5pt] (12.298,10.343) -- (12.529,10.728) -- (12.76,10.343);
\draw[line width=0.5pt] (12.226,10.178) -- (12.831,10.178);
\node at (12.529,11.113) {\scalebox{1.58}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 3 & 6 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (C, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
