\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 204}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=204}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0204}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7085, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.206,11.242) -- (1.539,11.087) -- (1.876,10.94) -- (2.216,10.801) -- (2.56,10.67) -- (2.906,10.547) -- (3.256,10.432) -- (3.608,10.326) -- (3.962,10.227) -- (4.319,10.137) -- (4.678,10.056) -- (5.038,9.983) -- (5.4,9.918) -- (5.763,9.862) -- (6.128,9.815) -- (6.413,9.887) -- (6.7,9.953) -- (6.989,10.012) -- (7.279,10.064) -- (7.57,10.109) -- (7.862,10.148) -- (8.155,10.179) -- (8.449,10.204) -- (8.743,10.222) -- (9.038,10.233) -- (9.332,10.237) -- (9.627,10.234) -- (9.921,10.224) -- (10.215,10.207);
\draw[line width=0.5pt] (1.206,11.242) -- (1.363,10.917) -- (1.512,10.589) -- (1.654,10.256) -- (1.787,9.921) -- (1.913,9.582) -- (2.031,9.24) -- (2.141,8.896) -- (2.243,8.549) -- (2.336,8.2) -- (2.421,7.849) -- (2.498,7.496) -- (2.567,7.142) -- (2.627,6.786) -- (2.679,6.428);
\draw[line width=0.5pt] (10.215,10.207) -- (9.932,9.956) -- (9.654,9.699) -- (9.383,9.435) -- (9.118,9.165) -- (8.859,8.888) -- (8.607,8.606) -- (8.361,8.318) -- (8.122,8.024) -- (7.891,7.724) -- (7.666,7.419) -- (7.449,7.109) -- (7.239,6.794) -- (7.036,6.474) -- (6.842,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (10.215,10.207) -- (10.34,9.864) -- (10.456,9.519) -- (10.565,9.17) -- (10.665,8.819) -- (10.757,8.466) -- (10.841,8.111) -- (10.916,7.753) -- (10.983,7.394) -- (11.042,7.034) -- (11.092,6.673) -- (11.133,6.31) -- (11.166,5.947) -- (11.19,5.583) -- (11.206,5.218);
\draw[line width=0.5pt] (2.679,6.428) -- (2.971,6.363) -- (3.264,6.305) -- (3.559,6.253) -- (3.855,6.209) -- (4.152,6.171) -- (4.45,6.141) -- (4.749,6.117) -- (5.048,6.101) -- (5.347,6.092) -- (5.647,6.089) -- (5.946,6.094) -- (6.245,6.105) -- (6.544,6.124) -- (6.842,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (2.679,6.428) -- (2.678,6.063) -- (2.668,5.699) -- (2.65,5.334) -- (2.623,4.97) -- (2.588,4.607) -- (2.544,4.244) -- (2.491,3.883) -- (2.43,3.522) -- (2.361,3.164) -- (2.283,2.807) -- (2.197,2.452) -- (2.103,2.1) -- (2.0,1.749) -- (1.889,1.402);
\draw[line width=0.5pt] (6.842,6.15) -- (7.141,6.036) -- (7.443,5.93) -- (7.747,5.83) -- (8.053,5.738) -- (8.362,5.653) -- (8.673,5.575) -- (8.985,5.504) -- (9.299,5.441) -- (9.615,5.385) -- (9.931,5.337) -- (10.249,5.296) -- (10.567,5.262) -- (10.886,5.236) -- (11.206,5.218);
\draw[line width=0.5pt] (6.842,6.15) -- (7.136,5.925) -- (7.425,5.693) -- (7.708,5.454) -- (7.986,5.209) -- (8.258,4.957) -- (8.524,4.698) -- (8.784,4.434) -- (9.037,4.163) -- (9.285,3.887) -- (9.525,3.605) -- (9.759,3.317) -- (9.986,3.024) -- (10.206,2.726) -- (10.418,2.423);
\draw[line width=0.5pt] (6.842,6.15) -- (6.439,5.868) -- (6.043,5.576) -- (5.653,5.275) -- (5.271,4.964) -- (4.896,4.645) -- (4.529,4.317) -- (4.17,3.98) -- (3.818,3.635) -- (3.475,3.282) -- (3.14,2.921) -- (2.814,2.552) -- (2.496,2.176) -- (2.188,1.793) -- (1.889,1.402);
\draw[line width=0.5pt] (11.206,5.218) -- (11.181,5.011) -- (11.15,4.805) -- (11.115,4.6) -- (11.076,4.395) -- (11.031,4.192) -- (10.982,3.989) -- (10.927,3.788) -- (10.868,3.588) -- (10.805,3.389) -- (10.737,3.193) -- (10.664,2.997) -- (10.587,2.804) -- (10.505,2.612) -- (10.418,2.423);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.366,11.242) -- (1.344,11.322) -- (1.286,11.381) -- (1.206,11.402) -- (1.126,11.381) -- (1.067,11.322) -- (1.046,11.242) -- (1.067,11.162) -- (1.126,11.104) -- (1.206,11.082) -- (1.286,11.104) -- (1.344,11.162) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.375,10.207) -- (10.354,10.287) -- (10.295,10.345) -- (10.215,10.367) -- (10.135,10.345) -- (10.076,10.287) -- (10.055,10.207) -- (10.076,10.127) -- (10.135,10.068) -- (10.215,10.047) -- (10.295,10.068) -- (10.354,10.127) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.839,6.428) -- (2.817,6.508) -- (2.759,6.567) -- (2.679,6.588) -- (2.599,6.567) -- (2.54,6.508) -- (2.519,6.428) -- (2.54,6.348) -- (2.599,6.29) -- (2.679,6.268) -- (2.759,6.29) -- (2.817,6.348) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.002,6.15) -- (6.98,6.23) -- (6.922,6.289) -- (6.842,6.31) -- (6.762,6.289) -- (6.703,6.23) -- (6.682,6.15) -- (6.703,6.07) -- (6.762,6.011) -- (6.842,5.99) -- (6.922,6.011) -- (6.98,6.07) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.366,5.218) -- (11.344,5.298) -- (11.286,5.357) -- (11.206,5.378) -- (11.126,5.357) -- (11.067,5.298) -- (11.046,5.218) -- (11.067,5.138) -- (11.126,5.08) -- (11.206,5.058) -- (11.286,5.08) -- (11.344,5.138) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.578,2.423) -- (10.557,2.503) -- (10.498,2.561) -- (10.418,2.583) -- (10.338,2.561) -- (10.28,2.503) -- (10.258,2.423) -- (10.28,2.343) -- (10.338,2.284) -- (10.418,2.263) -- (10.498,2.284) -- (10.557,2.343) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.049,1.402) -- (2.028,1.482) -- (1.969,1.541) -- (1.889,1.562) -- (1.809,1.541) -- (1.75,1.482) -- (1.729,1.402) -- (1.75,1.322) -- (1.809,1.263) -- (1.889,1.242) -- (1.969,1.263) -- (2.028,1.322) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.455,10.135) -- (6.41,10.305) -- (6.285,10.429) -- (6.115,10.475) -- (5.945,10.429) -- (5.821,10.305) -- (5.775,10.135) -- (5.821,9.965) -- (5.945,9.84) -- (6.115,9.795) -- (6.285,9.84) -- (6.41,9.965) -- cycle;
\node at (6.115,10.135) {\scalebox{1.411}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.787,8.99) -- (2.741,9.16) -- (2.617,9.284) -- (2.447,9.33) -- (2.277,9.284) -- (2.152,9.16) -- (2.107,8.99) -- (2.152,8.82) -- (2.277,8.695) -- (2.447,8.65) -- (2.617,8.695) -- (2.741,8.82) -- cycle;
\node at (2.447,8.99) {\scalebox{1.411}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.947,8.113) -- (8.902,8.283) -- (8.777,8.407) -- (8.607,8.453) -- (8.437,8.407) -- (8.313,8.283) -- (8.267,8.113) -- (8.313,7.943) -- (8.437,7.819) -- (8.607,7.773) -- (8.777,7.819) -- (8.902,7.943) -- cycle;
\node at (8.607,8.113) {\scalebox{1.411}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.57,7.816) -- (11.524,7.986) -- (11.4,8.11) -- (11.23,8.156) -- (11.06,8.11) -- (10.936,7.986) -- (10.89,7.816) -- (10.936,7.646) -- (11.06,7.521) -- (11.23,7.476) -- (11.4,7.521) -- (11.524,7.646) -- cycle;
\node at (11.23,7.816) {\scalebox{1.411}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.11,6.437) -- (5.065,6.607) -- (4.94,6.731) -- (4.77,6.777) -- (4.6,6.731) -- (4.476,6.607) -- (4.43,6.437) -- (4.476,6.267) -- (4.6,6.142) -- (4.77,6.097) -- (4.94,6.142) -- (5.065,6.267) -- cycle;
\node at (4.77,6.437) {\scalebox{1.411}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.147,3.833) -- (3.102,4.003) -- (2.977,4.127) -- (2.807,4.173) -- (2.637,4.127) -- (2.513,4.003) -- (2.467,3.833) -- (2.513,3.663) -- (2.637,3.538) -- (2.807,3.493) -- (2.977,3.538) -- (3.102,3.663) -- cycle;
\node at (2.807,3.833) {\scalebox{1.411}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.392,5.817) -- (9.347,5.987) -- (9.222,6.111) -- (9.052,6.157) -- (8.882,6.111) -- (8.758,5.987) -- (8.712,5.817) -- (8.758,5.647) -- (8.882,5.523) -- (9.052,5.477) -- (9.222,5.523) -- (9.347,5.647) -- cycle;
\node at (9.052,5.817) {\scalebox{1.411}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.355,4.656) -- (9.309,4.826) -- (9.185,4.95) -- (9.015,4.996) -- (8.845,4.95) -- (8.72,4.826) -- (8.675,4.656) -- (8.72,4.486) -- (8.845,4.361) -- (9.015,4.316) -- (9.185,4.361) -- (9.309,4.486) -- cycle;
\node at (9.015,4.656) {\scalebox{1.411}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.731,3.749) -- (4.685,3.919) -- (4.561,4.044) -- (4.391,4.089) -- (4.221,4.044) -- (4.097,3.919) -- (4.051,3.749) -- (4.097,3.579) -- (4.221,3.455) -- (4.391,3.409) -- (4.561,3.455) -- (4.685,3.579) -- cycle;
\node at (4.391,3.749) {\scalebox{1.411}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.575,3.701) -- (11.53,3.871) -- (11.405,3.996) -- (11.235,4.041) -- (11.065,3.996) -- (10.941,3.871) -- (10.895,3.701) -- (10.941,3.531) -- (11.065,3.407) -- (11.235,3.361) -- (11.405,3.407) -- (11.53,3.531) -- cycle;
\node at (11.235,3.701) {\scalebox{1.411}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.906,4.918) -- (11.506,4.918) -- (11.506,5.518) -- (10.906,5.518) -- cycle;
\node at (11.206,5.218) {\scalebox{1.411}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.899,5.698) -- (10.499,5.698) -- (10.499,6.298) -- (9.899,6.298) -- cycle;
\node at (10.199,5.998) {\scalebox{1.411}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.366,8.323) -- (9.966,8.323) -- (9.966,8.923) -- (9.366,8.923) -- cycle;
\node at (9.666,8.623) {\scalebox{1.411}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.838,2.86) -- (2.438,2.86) -- (2.438,3.46) -- (1.838,3.46) -- cycle;
\node at (2.138,3.16) {\scalebox{1.411}{\small d}};
\node at (0.765,11.679) {\scalebox{1.411}{\small A}};
\node at (10.643,10.656) {\scalebox{1.411}{\small B}};
\node at (2.061,6.475) {\scalebox{1.411}{\small C}};
\node at (7.462,6.146) {\scalebox{1.411}{\small D}};
\node at (11.815,5.101) {\scalebox{1.411}{\small E}};
\node at (10.875,2.004) {\scalebox{1.411}{\small F}};
\node at (1.465,0.95) {\scalebox{1.411}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.506,10.292) -- (12.506,11.392);
\draw[line width=0.5pt] (12.275,11.007) -- (12.506,11.392) -- (12.737,11.007);
\draw[line width=0.5pt] (12.203,10.842) -- (12.808,10.842);
\node at (12.506,11.777) {\scalebox{1.411}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin Creux & ⑥ rue du Puits & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② avenue de la Gare & ⑦ sentier des Prés & Ⓑ Carrefour du Moulin & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ rue des Jardins & ⑧ quai aux Fleurs & Ⓒ Rond-point du Pont & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ allée des Peupliers & ⑨ rue des Écoles & Ⓓ Carrefour du Lavoir & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue Basse & ⑩ rue Neuve & Ⓔ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6339, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.206,11.242) -- (1.539,11.087) -- (1.876,10.94) -- (2.216,10.801) -- (2.56,10.67) -- (2.906,10.547) -- (3.256,10.432) -- (3.608,10.326) -- (3.962,10.227) -- (4.319,10.137) -- (4.678,10.056) -- (5.038,9.983) -- (5.4,9.918) -- (5.763,9.862) -- (6.128,9.815) -- (6.413,9.887) -- (6.7,9.953) -- (6.989,10.012) -- (7.279,10.064) -- (7.57,10.109) -- (7.862,10.148) -- (8.155,10.179) -- (8.449,10.204) -- (8.743,10.222) -- (9.038,10.233) -- (9.332,10.237) -- (9.627,10.234) -- (9.921,10.224) -- (10.215,10.207);
\draw[line width=0.5pt] (1.206,11.242) -- (1.363,10.917) -- (1.512,10.589) -- (1.654,10.256) -- (1.787,9.921) -- (1.913,9.582) -- (2.031,9.24) -- (2.141,8.896) -- (2.243,8.549) -- (2.336,8.2) -- (2.421,7.849) -- (2.498,7.496) -- (2.567,7.142) -- (2.627,6.786) -- (2.679,6.428);
\draw[line width=0.5pt] (10.215,10.207) -- (9.932,9.956) -- (9.654,9.699) -- (9.383,9.435) -- (9.118,9.165) -- (8.859,8.888) -- (8.607,8.606) -- (8.361,8.318) -- (8.122,8.024) -- (7.891,7.724) -- (7.666,7.419) -- (7.449,7.109) -- (7.239,6.794) -- (7.036,6.474) -- (6.842,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (10.215,10.207) -- (10.34,9.864) -- (10.456,9.519) -- (10.565,9.17) -- (10.665,8.819) -- (10.757,8.466) -- (10.841,8.111) -- (10.916,7.753) -- (10.983,7.394) -- (11.042,7.034) -- (11.092,6.673) -- (11.133,6.31) -- (11.166,5.947) -- (11.19,5.583) -- (11.206,5.218);
\draw[line width=0.5pt] (2.679,6.428) -- (2.971,6.363) -- (3.264,6.305) -- (3.559,6.253) -- (3.855,6.209) -- (4.152,6.171) -- (4.45,6.141) -- (4.749,6.117) -- (5.048,6.101) -- (5.347,6.092) -- (5.647,6.089) -- (5.946,6.094) -- (6.245,6.105) -- (6.544,6.124) -- (6.842,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (2.679,6.428) -- (2.678,6.063) -- (2.668,5.699) -- (2.65,5.334) -- (2.623,4.97) -- (2.588,4.607) -- (2.544,4.244) -- (2.491,3.883) -- (2.43,3.522) -- (2.361,3.164) -- (2.283,2.807) -- (2.197,2.452) -- (2.103,2.1) -- (2.0,1.749) -- (1.889,1.402);
\draw[line width=0.5pt] (6.842,6.15) -- (7.141,6.036) -- (7.443,5.93) -- (7.747,5.83) -- (8.053,5.738) -- (8.362,5.653) -- (8.673,5.575) -- (8.985,5.504) -- (9.299,5.441) -- (9.615,5.385) -- (9.931,5.337) -- (10.249,5.296) -- (10.567,5.262) -- (10.886,5.236) -- (11.206,5.218);
\draw[line width=0.5pt] (6.842,6.15) -- (7.136,5.925) -- (7.425,5.693) -- (7.708,5.454) -- (7.986,5.209) -- (8.258,4.957) -- (8.524,4.698) -- (8.784,4.434) -- (9.037,4.163) -- (9.285,3.887) -- (9.525,3.605) -- (9.759,3.317) -- (9.986,3.024) -- (10.206,2.726) -- (10.418,2.423);
\draw[line width=0.5pt] (6.842,6.15) -- (6.439,5.868) -- (6.043,5.576) -- (5.653,5.275) -- (5.271,4.964) -- (4.896,4.645) -- (4.529,4.317) -- (4.17,3.98) -- (3.818,3.635) -- (3.475,3.282) -- (3.14,2.921) -- (2.814,2.552) -- (2.496,2.176) -- (2.188,1.793) -- (1.889,1.402);
\draw[line width=0.5pt] (11.206,5.218) -- (11.181,5.011) -- (11.15,4.805) -- (11.115,4.6) -- (11.076,4.395) -- (11.031,4.192) -- (10.982,3.989) -- (10.927,3.788) -- (10.868,3.588) -- (10.805,3.389) -- (10.737,3.193) -- (10.664,2.997) -- (10.587,2.804) -- (10.505,2.612) -- (10.418,2.423);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.366,11.242) -- (1.344,11.322) -- (1.286,11.381) -- (1.206,11.402) -- (1.126,11.381) -- (1.067,11.322) -- (1.046,11.242) -- (1.067,11.162) -- (1.126,11.104) -- (1.206,11.082) -- (1.286,11.104) -- (1.344,11.162) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.375,10.207) -- (10.354,10.287) -- (10.295,10.345) -- (10.215,10.367) -- (10.135,10.345) -- (10.076,10.287) -- (10.055,10.207) -- (10.076,10.127) -- (10.135,10.068) -- (10.215,10.047) -- (10.295,10.068) -- (10.354,10.127) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.839,6.428) -- (2.817,6.508) -- (2.759,6.567) -- (2.679,6.588) -- (2.599,6.567) -- (2.54,6.508) -- (2.519,6.428) -- (2.54,6.348) -- (2.599,6.29) -- (2.679,6.268) -- (2.759,6.29) -- (2.817,6.348) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.002,6.15) -- (6.98,6.23) -- (6.922,6.289) -- (6.842,6.31) -- (6.762,6.289) -- (6.703,6.23) -- (6.682,6.15) -- (6.703,6.07) -- (6.762,6.011) -- (6.842,5.99) -- (6.922,6.011) -- (6.98,6.07) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.366,5.218) -- (11.344,5.298) -- (11.286,5.357) -- (11.206,5.378) -- (11.126,5.357) -- (11.067,5.298) -- (11.046,5.218) -- (11.067,5.138) -- (11.126,5.08) -- (11.206,5.058) -- (11.286,5.08) -- (11.344,5.138) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.578,2.423) -- (10.557,2.503) -- (10.498,2.561) -- (10.418,2.583) -- (10.338,2.561) -- (10.28,2.503) -- (10.258,2.423) -- (10.28,2.343) -- (10.338,2.284) -- (10.418,2.263) -- (10.498,2.284) -- (10.557,2.343) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.049,1.402) -- (2.028,1.482) -- (1.969,1.541) -- (1.889,1.562) -- (1.809,1.541) -- (1.75,1.482) -- (1.729,1.402) -- (1.75,1.322) -- (1.809,1.263) -- (1.889,1.242) -- (1.969,1.263) -- (2.028,1.322) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.455,10.135) -- (6.41,10.305) -- (6.285,10.429) -- (6.115,10.475) -- (5.945,10.429) -- (5.821,10.305) -- (5.775,10.135) -- (5.821,9.965) -- (5.945,9.84) -- (6.115,9.795) -- (6.285,9.84) -- (6.41,9.965) -- cycle;
\node at (6.115,10.135) {\scalebox{1.578}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.787,8.99) -- (2.741,9.16) -- (2.617,9.284) -- (2.447,9.33) -- (2.277,9.284) -- (2.152,9.16) -- (2.107,8.99) -- (2.152,8.82) -- (2.277,8.695) -- (2.447,8.65) -- (2.617,8.695) -- (2.741,8.82) -- cycle;
\node at (2.447,8.99) {\scalebox{1.578}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.947,8.113) -- (8.902,8.283) -- (8.777,8.407) -- (8.607,8.453) -- (8.437,8.407) -- (8.313,8.283) -- (8.267,8.113) -- (8.313,7.943) -- (8.437,7.819) -- (8.607,7.773) -- (8.777,7.819) -- (8.902,7.943) -- cycle;
\node at (8.607,8.113) {\scalebox{1.578}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.57,7.816) -- (11.524,7.986) -- (11.4,8.11) -- (11.23,8.156) -- (11.06,8.11) -- (10.936,7.986) -- (10.89,7.816) -- (10.936,7.646) -- (11.06,7.521) -- (11.23,7.476) -- (11.4,7.521) -- (11.524,7.646) -- cycle;
\node at (11.23,7.816) {\scalebox{1.578}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.11,6.437) -- (5.065,6.607) -- (4.94,6.731) -- (4.77,6.777) -- (4.6,6.731) -- (4.476,6.607) -- (4.43,6.437) -- (4.476,6.267) -- (4.6,6.142) -- (4.77,6.097) -- (4.94,6.142) -- (5.065,6.267) -- cycle;
\node at (4.77,6.437) {\scalebox{1.578}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.147,3.833) -- (3.102,4.003) -- (2.977,4.127) -- (2.807,4.173) -- (2.637,4.127) -- (2.513,4.003) -- (2.467,3.833) -- (2.513,3.663) -- (2.637,3.538) -- (2.807,3.493) -- (2.977,3.538) -- (3.102,3.663) -- cycle;
\node at (2.807,3.833) {\scalebox{1.578}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.392,5.817) -- (9.347,5.987) -- (9.222,6.111) -- (9.052,6.157) -- (8.882,6.111) -- (8.758,5.987) -- (8.712,5.817) -- (8.758,5.647) -- (8.882,5.523) -- (9.052,5.477) -- (9.222,5.523) -- (9.347,5.647) -- cycle;
\node at (9.052,5.817) {\scalebox{1.578}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.355,4.656) -- (9.309,4.826) -- (9.185,4.95) -- (9.015,4.996) -- (8.845,4.95) -- (8.72,4.826) -- (8.675,4.656) -- (8.72,4.486) -- (8.845,4.361) -- (9.015,4.316) -- (9.185,4.361) -- (9.309,4.486) -- cycle;
\node at (9.015,4.656) {\scalebox{1.578}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.731,3.749) -- (4.685,3.919) -- (4.561,4.044) -- (4.391,4.089) -- (4.221,4.044) -- (4.097,3.919) -- (4.051,3.749) -- (4.097,3.579) -- (4.221,3.455) -- (4.391,3.409) -- (4.561,3.455) -- (4.685,3.579) -- cycle;
\node at (4.391,3.749) {\scalebox{1.578}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.575,3.701) -- (11.53,3.871) -- (11.405,3.996) -- (11.235,4.041) -- (11.065,3.996) -- (10.941,3.871) -- (10.895,3.701) -- (10.941,3.531) -- (11.065,3.407) -- (11.235,3.361) -- (11.405,3.407) -- (11.53,3.531) -- cycle;
\node at (11.235,3.701) {\scalebox{1.578}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.906,4.918) -- (11.506,4.918) -- (11.506,5.518) -- (10.906,5.518) -- cycle;
\node at (11.206,5.218) {\scalebox{1.578}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.899,5.698) -- (10.499,5.698) -- (10.499,6.298) -- (9.899,6.298) -- cycle;
\node at (10.199,5.998) {\scalebox{1.578}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.366,8.323) -- (9.966,8.323) -- (9.966,8.923) -- (9.366,8.923) -- cycle;
\node at (9.666,8.623) {\scalebox{1.578}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.838,2.86) -- (2.438,2.86) -- (2.438,3.46) -- (1.838,3.46) -- cycle;
\node at (2.138,3.16) {\scalebox{1.578}{\small d}};
\node at (0.765,11.679) {\scalebox{1.578}{\small A}};
\node at (10.643,10.656) {\scalebox{1.578}{\small B}};
\node at (2.061,6.475) {\scalebox{1.578}{\small C}};
\node at (7.462,6.146) {\scalebox{1.578}{\small D}};
\node at (11.815,5.101) {\scalebox{1.578}{\small E}};
\node at (10.875,2.004) {\scalebox{1.578}{\small F}};
\node at (1.465,0.95) {\scalebox{1.578}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.506,10.292) -- (12.506,11.392);
\draw[line width=0.5pt] (12.275,11.007) -- (12.506,11.392) -- (12.737,11.007);
\draw[line width=0.5pt] (12.203,10.842) -- (12.808,10.842);
\node at (12.506,11.777) {\scalebox{1.578}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 3 & 5 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
