\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 210}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=210}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0210}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7385, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.629,8.084) -- (10.362,8.059) -- (10.096,8.027) -- (9.831,7.988) -- (9.566,7.944) -- (9.303,7.893) -- (9.041,7.836) -- (8.78,7.773) -- (8.521,7.703) -- (8.264,7.628) -- (8.008,7.547) -- (7.754,7.459) -- (7.503,7.366) -- (7.254,7.267) -- (7.008,7.162);
\draw[line width=0.5pt] (10.629,8.084) -- (10.708,7.896) -- (10.782,7.706) -- (10.852,7.514) -- (10.917,7.32) -- (10.978,7.125) -- (11.034,6.928) -- (11.086,6.73) -- (11.132,6.531) -- (11.174,6.331) -- (11.212,6.13) -- (11.245,5.929) -- (11.273,5.726) -- (11.296,5.523) -- (11.314,5.32) -- (11.232,5.096) -- (11.155,4.87) -- (11.084,4.643) -- (11.018,4.413) -- (10.958,4.183) -- (10.903,3.95) -- (10.853,3.717) -- (10.809,3.482) -- (10.771,3.247) -- (10.738,3.011) -- (10.71,2.774) -- (10.689,2.536) -- (10.672,2.298) -- (10.662,2.06);
\draw[line width=0.5pt] (4.885,7.86) -- (5.028,7.787) -- (5.173,7.718) -- (5.319,7.652) -- (5.466,7.59) -- (5.615,7.531) -- (5.766,7.475) -- (5.918,7.423) -- (6.071,7.375) -- (6.225,7.33) -- (6.38,7.289) -- (6.535,7.252) -- (6.692,7.218) -- (6.849,7.188) -- (7.008,7.162);
\draw[line width=0.5pt] (4.885,7.86) -- (4.903,7.588) -- (4.914,7.316) -- (4.919,7.043) -- (4.918,6.77) -- (4.91,6.498) -- (4.895,6.226) -- (4.874,5.954) -- (4.847,5.682) -- (4.813,5.412) -- (4.774,5.142) -- (4.727,4.873) -- (4.675,4.606) -- (4.616,4.34) -- (4.551,4.075);
\draw[line width=0.5pt] (7.008,7.162) -- (7.063,6.996) -- (7.122,6.831) -- (7.184,6.668) -- (7.251,6.506) -- (7.322,6.345) -- (7.396,6.187) -- (7.474,6.03) -- (7.556,5.875) -- (7.641,5.722) -- (7.73,5.571) -- (7.822,5.422) -- (7.918,5.275) -- (8.017,5.131) -- (8.12,4.989);
\draw[line width=0.5pt] (7.008,7.162) -- (6.867,6.916) -- (6.721,6.674) -- (6.569,6.435) -- (6.412,6.2) -- (6.249,5.968) -- (6.08,5.741) -- (5.907,5.517) -- (5.728,5.298) -- (5.544,5.082) -- (5.355,4.872) -- (5.161,4.665) -- (4.962,4.464) -- (4.759,4.267) -- (4.551,4.075);
\draw[line width=0.5pt] (8.12,4.989) -- (8.009,4.758) -- (7.903,4.524) -- (7.803,4.288) -- (7.708,4.049) -- (7.619,3.809) -- (7.536,3.566) -- (7.458,3.321) -- (7.386,3.075) -- (7.32,2.827) -- (7.26,2.577) -- (7.206,2.326) -- (7.157,2.074) -- (7.115,1.821) -- (7.079,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (4.551,4.075) -- (4.346,3.881) -- (4.137,3.691) -- (3.923,3.507) -- (3.704,3.327) -- (3.482,3.153) -- (3.255,2.984) -- (3.025,2.82) -- (2.791,2.662) -- (2.553,2.509) -- (2.311,2.362) -- (2.067,2.221) -- (1.819,2.085) -- (1.568,1.956) -- (1.314,1.832);
\draw[line width=0.5pt] (4.551,4.075) -- (4.703,3.87) -- (4.859,3.668) -- (5.02,3.47) -- (5.186,3.276) -- (5.357,3.085) -- (5.532,2.899) -- (5.711,2.717) -- (5.895,2.539) -- (6.083,2.365) -- (6.274,2.196) -- (6.47,2.032) -- (6.669,1.872) -- (6.872,1.717) -- (7.079,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (10.662,2.06) -- (10.413,1.986) -- (10.163,1.918) -- (9.911,1.855) -- (9.658,1.799) -- (9.403,1.749) -- (9.147,1.704) -- (8.891,1.666) -- (8.633,1.634) -- (8.375,1.607) -- (8.116,1.587) -- (7.857,1.573) -- (7.597,1.565) -- (7.338,1.563) -- (7.079,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (1.314,1.832) -- (1.566,1.772) -- (1.819,1.717) -- (2.074,1.668) -- (2.33,1.626) -- (2.587,1.589) -- (2.845,1.559) -- (3.103,1.534) -- (3.362,1.516) -- (3.621,1.503) -- (3.88,1.497) -- (4.14,1.497) -- (4.399,1.503) -- (4.658,1.515) -- (4.917,1.533) -- (5.069,1.559) -- (5.223,1.582) -- (5.377,1.601) -- (5.531,1.616) -- (5.686,1.627) -- (5.841,1.635) -- (5.996,1.639) -- (6.151,1.64) -- (6.307,1.637) -- (6.462,1.63) -- (6.617,1.62) -- (6.771,1.606) -- (6.925,1.588) -- (7.079,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.789,8.084) -- (10.768,8.164) -- (10.709,8.223) -- (10.629,8.244) -- (10.549,8.223) -- (10.491,8.164) -- (10.469,8.084) -- (10.491,8.004) -- (10.549,7.946) -- (10.629,7.924) -- (10.709,7.946) -- (10.768,8.004) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.045,7.86) -- (5.024,7.94) -- (4.965,7.998) -- (4.885,8.02) -- (4.805,7.998) -- (4.747,7.94) -- (4.725,7.86) -- (4.747,7.78) -- (4.805,7.721) -- (4.885,7.7) -- (4.965,7.721) -- (5.024,7.78) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.168,7.162) -- (7.146,7.242) -- (7.088,7.301) -- (7.008,7.322) -- (6.928,7.301) -- (6.869,7.242) -- (6.848,7.162) -- (6.869,7.082) -- (6.928,7.023) -- (7.008,7.002) -- (7.088,7.023) -- (7.146,7.082) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.28,4.989) -- (8.259,5.069) -- (8.2,5.128) -- (8.12,5.149) -- (8.04,5.128) -- (7.981,5.069) -- (7.96,4.989) -- (7.981,4.909) -- (8.04,4.851) -- (8.12,4.829) -- (8.2,4.851) -- (8.259,4.909) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.711,4.075) -- (4.689,4.155) -- (4.631,4.214) -- (4.551,4.235) -- (4.471,4.214) -- (4.412,4.155) -- (4.391,4.075) -- (4.412,3.995) -- (4.471,3.936) -- (4.551,3.915) -- (4.631,3.936) -- (4.689,3.995) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.822,2.06) -- (10.8,2.14) -- (10.742,2.199) -- (10.662,2.22) -- (10.582,2.199) -- (10.523,2.14) -- (10.502,2.06) -- (10.523,1.98) -- (10.582,1.922) -- (10.662,1.9) -- (10.742,1.922) -- (10.8,1.98) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.474,1.832) -- (1.452,1.912) -- (1.394,1.971) -- (1.314,1.992) -- (1.234,1.971) -- (1.175,1.912) -- (1.154,1.832) -- (1.175,1.752) -- (1.234,1.694) -- (1.314,1.672) -- (1.394,1.694) -- (1.452,1.752) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.239,1.567) -- (7.217,1.647) -- (7.159,1.706) -- (7.079,1.727) -- (6.999,1.706) -- (6.94,1.647) -- (6.919,1.567) -- (6.94,1.487) -- (6.999,1.429) -- (7.079,1.407) -- (7.159,1.429) -- (7.217,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.199,7.462) -- (9.154,7.632) -- (9.029,7.757) -- (8.859,7.802) -- (8.689,7.757) -- (8.565,7.632) -- (8.519,7.462) -- (8.565,7.292) -- (8.689,7.168) -- (8.859,7.122) -- (9.029,7.168) -- (9.154,7.292) -- cycle;
\node at (8.859,7.462) {\scalebox{1.354}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.97,5.273) -- (11.925,5.443) -- (11.8,5.567) -- (11.63,5.613) -- (11.46,5.567) -- (11.336,5.443) -- (11.29,5.273) -- (11.336,5.103) -- (11.46,4.978) -- (11.63,4.933) -- (11.8,4.978) -- (11.925,5.103) -- cycle;
\node at (11.63,5.273) {\scalebox{1.354}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.358,7.727) -- (6.312,7.897) -- (6.188,8.022) -- (6.018,8.067) -- (5.848,8.022) -- (5.723,7.897) -- (5.678,7.727) -- (5.723,7.557) -- (5.848,7.433) -- (6.018,7.387) -- (6.188,7.433) -- (6.312,7.557) -- cycle;
\node at (6.018,7.727) {\scalebox{1.354}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.533,5.925) -- (5.487,6.095) -- (5.363,6.22) -- (5.193,6.265) -- (5.023,6.22) -- (4.899,6.095) -- (4.853,5.925) -- (4.899,5.755) -- (5.023,5.631) -- (5.193,5.585) -- (5.363,5.631) -- (5.487,5.755) -- cycle;
\node at (5.193,5.925) {\scalebox{1.354}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.099,6.175) -- (8.053,6.345) -- (7.929,6.47) -- (7.759,6.515) -- (7.589,6.47) -- (7.465,6.345) -- (7.419,6.175) -- (7.465,6.005) -- (7.589,5.881) -- (7.759,5.835) -- (7.929,5.881) -- (8.053,6.005) -- cycle;
\node at (7.759,6.175) {\scalebox{1.354}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.497,5.318) -- (6.451,5.488) -- (6.327,5.612) -- (6.157,5.658) -- (5.987,5.612) -- (5.862,5.488) -- (5.817,5.318) -- (5.862,5.148) -- (5.987,5.023) -- (6.157,4.978) -- (6.327,5.023) -- (6.451,5.148) -- cycle;
\node at (6.157,5.318) {\scalebox{1.354}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.104,3.228) -- (8.059,3.398) -- (7.934,3.522) -- (7.764,3.568) -- (7.594,3.522) -- (7.47,3.398) -- (7.424,3.228) -- (7.47,3.058) -- (7.594,2.934) -- (7.764,2.888) -- (7.934,2.934) -- (8.059,3.058) -- cycle;
\node at (7.764,3.228) {\scalebox{1.354}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.547,2.557) -- (3.502,2.727) -- (3.377,2.852) -- (3.207,2.897) -- (3.037,2.852) -- (2.913,2.727) -- (2.867,2.557) -- (2.913,2.387) -- (3.037,2.263) -- (3.207,2.217) -- (3.377,2.263) -- (3.502,2.387) -- cycle;
\node at (3.207,2.557) {\scalebox{1.354}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.277,2.944) -- (6.231,3.114) -- (6.107,3.238) -- (5.937,3.284) -- (5.767,3.238) -- (5.642,3.114) -- (5.597,2.944) -- (5.642,2.774) -- (5.767,2.65) -- (5.937,2.604) -- (6.107,2.65) -- (6.231,2.774) -- cycle;
\node at (5.937,2.944) {\scalebox{1.354}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.274,1.349) -- (9.229,1.519) -- (9.104,1.643) -- (8.934,1.689) -- (8.764,1.643) -- (8.64,1.519) -- (8.594,1.349) -- (8.64,1.179) -- (8.764,1.054) -- (8.934,1.009) -- (9.104,1.054) -- (9.229,1.179) -- cycle;
\node at (8.934,1.349) {\scalebox{1.354}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.222,1.851) -- (5.177,2.021) -- (5.052,2.146) -- (4.882,2.191) -- (4.712,2.146) -- (4.588,2.021) -- (4.542,1.851) -- (4.588,1.681) -- (4.712,1.557) -- (4.882,1.511) -- (5.052,1.557) -- (5.177,1.681) -- cycle;
\node at (4.882,1.851) {\scalebox{1.354}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.251,3.775) -- (4.851,3.775) -- (4.851,4.375) -- (4.251,4.375) -- cycle;
\node at (4.551,4.075) {\scalebox{1.354}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.361,1.994) -- (8.961,1.994) -- (8.961,2.594) -- (8.361,2.594) -- cycle;
\node at (8.661,2.294) {\scalebox{1.354}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.907,0.893) -- (4.507,0.893) -- (4.507,1.493) -- (3.907,1.493) -- cycle;
\node at (4.207,1.193) {\scalebox{1.354}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.037,4.875) -- (6.637,4.875) -- (6.637,5.475) -- (6.037,5.475) -- cycle;
\node at (6.337,5.175) {\scalebox{1.354}{\small d}};
\node at (11.095,8.494) {\scalebox{1.354}{\small A}};
\node at (4.566,8.391) {\scalebox{1.354}{\small B}};
\node at (7.064,7.779) {\scalebox{1.354}{\small C}};
\node at (8.726,5.118) {\scalebox{1.354}{\small D}};
\node at (3.954,3.907) {\scalebox{1.354}{\small E}};
\node at (11.174,1.711) {\scalebox{1.354}{\small F}};
\node at (0.765,1.544) {\scalebox{1.354}{\small G}};
\node at (7.137,0.95) {\scalebox{1.354}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (11.962,7.134) -- (11.962,8.234);
\draw[line width=0.5pt] (11.731,7.849) -- (11.962,8.234) -- (12.193,7.849);
\draw[line width=0.5pt] (11.659,7.684) -- (12.264,7.684);
\node at (11.962,8.619) {\scalebox{1.354}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Haute & ⑦ sentier des Prés & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑧ rue des Jardins & Ⓑ Place des Tanneurs & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ allée des Tilleuls & ⑨ chemin Creux & Ⓒ Rond-point du Stade & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue du Stade & ⑩ rue du Puits & Ⓓ Place Sainte-Croix & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
⑤ rue Pasteur & ⑪ allée des Peupliers & Ⓔ Rond-point du Pont &  \\ \hline
⑥ chemin de Ronde &  & Ⓕ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6607, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.629,8.084) -- (10.362,8.059) -- (10.096,8.027) -- (9.831,7.988) -- (9.566,7.944) -- (9.303,7.893) -- (9.041,7.836) -- (8.78,7.773) -- (8.521,7.703) -- (8.264,7.628) -- (8.008,7.547) -- (7.754,7.459) -- (7.503,7.366) -- (7.254,7.267) -- (7.008,7.162);
\draw[line width=0.5pt] (10.629,8.084) -- (10.708,7.896) -- (10.782,7.706) -- (10.852,7.514) -- (10.917,7.32) -- (10.978,7.125) -- (11.034,6.928) -- (11.086,6.73) -- (11.132,6.531) -- (11.174,6.331) -- (11.212,6.13) -- (11.245,5.929) -- (11.273,5.726) -- (11.296,5.523) -- (11.314,5.32) -- (11.232,5.096) -- (11.155,4.87) -- (11.084,4.643) -- (11.018,4.413) -- (10.958,4.183) -- (10.903,3.95) -- (10.853,3.717) -- (10.809,3.482) -- (10.771,3.247) -- (10.738,3.011) -- (10.71,2.774) -- (10.689,2.536) -- (10.672,2.298) -- (10.662,2.06);
\draw[line width=0.5pt] (4.885,7.86) -- (5.028,7.787) -- (5.173,7.718) -- (5.319,7.652) -- (5.466,7.59) -- (5.615,7.531) -- (5.766,7.475) -- (5.918,7.423) -- (6.071,7.375) -- (6.225,7.33) -- (6.38,7.289) -- (6.535,7.252) -- (6.692,7.218) -- (6.849,7.188) -- (7.008,7.162);
\draw[line width=0.5pt] (4.885,7.86) -- (4.903,7.588) -- (4.914,7.316) -- (4.919,7.043) -- (4.918,6.77) -- (4.91,6.498) -- (4.895,6.226) -- (4.874,5.954) -- (4.847,5.682) -- (4.813,5.412) -- (4.774,5.142) -- (4.727,4.873) -- (4.675,4.606) -- (4.616,4.34) -- (4.551,4.075);
\draw[line width=0.5pt] (7.008,7.162) -- (7.063,6.996) -- (7.122,6.831) -- (7.184,6.668) -- (7.251,6.506) -- (7.322,6.345) -- (7.396,6.187) -- (7.474,6.03) -- (7.556,5.875) -- (7.641,5.722) -- (7.73,5.571) -- (7.822,5.422) -- (7.918,5.275) -- (8.017,5.131) -- (8.12,4.989);
\draw[line width=0.5pt] (7.008,7.162) -- (6.867,6.916) -- (6.721,6.674) -- (6.569,6.435) -- (6.412,6.2) -- (6.249,5.968) -- (6.08,5.741) -- (5.907,5.517) -- (5.728,5.298) -- (5.544,5.082) -- (5.355,4.872) -- (5.161,4.665) -- (4.962,4.464) -- (4.759,4.267) -- (4.551,4.075);
\draw[line width=0.5pt] (8.12,4.989) -- (8.009,4.758) -- (7.903,4.524) -- (7.803,4.288) -- (7.708,4.049) -- (7.619,3.809) -- (7.536,3.566) -- (7.458,3.321) -- (7.386,3.075) -- (7.32,2.827) -- (7.26,2.577) -- (7.206,2.326) -- (7.157,2.074) -- (7.115,1.821) -- (7.079,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (4.551,4.075) -- (4.346,3.881) -- (4.137,3.691) -- (3.923,3.507) -- (3.704,3.327) -- (3.482,3.153) -- (3.255,2.984) -- (3.025,2.82) -- (2.791,2.662) -- (2.553,2.509) -- (2.311,2.362) -- (2.067,2.221) -- (1.819,2.085) -- (1.568,1.956) -- (1.314,1.832);
\draw[line width=0.5pt] (4.551,4.075) -- (4.703,3.87) -- (4.859,3.668) -- (5.02,3.47) -- (5.186,3.276) -- (5.357,3.085) -- (5.532,2.899) -- (5.711,2.717) -- (5.895,2.539) -- (6.083,2.365) -- (6.274,2.196) -- (6.47,2.032) -- (6.669,1.872) -- (6.872,1.717) -- (7.079,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (10.662,2.06) -- (10.413,1.986) -- (10.163,1.918) -- (9.911,1.855) -- (9.658,1.799) -- (9.403,1.749) -- (9.147,1.704) -- (8.891,1.666) -- (8.633,1.634) -- (8.375,1.607) -- (8.116,1.587) -- (7.857,1.573) -- (7.597,1.565) -- (7.338,1.563) -- (7.079,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (1.314,1.832) -- (1.566,1.772) -- (1.819,1.717) -- (2.074,1.668) -- (2.33,1.626) -- (2.587,1.589) -- (2.845,1.559) -- (3.103,1.534) -- (3.362,1.516) -- (3.621,1.503) -- (3.88,1.497) -- (4.14,1.497) -- (4.399,1.503) -- (4.658,1.515) -- (4.917,1.533) -- (5.069,1.559) -- (5.223,1.582) -- (5.377,1.601) -- (5.531,1.616) -- (5.686,1.627) -- (5.841,1.635) -- (5.996,1.639) -- (6.151,1.64) -- (6.307,1.637) -- (6.462,1.63) -- (6.617,1.62) -- (6.771,1.606) -- (6.925,1.588) -- (7.079,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.789,8.084) -- (10.768,8.164) -- (10.709,8.223) -- (10.629,8.244) -- (10.549,8.223) -- (10.491,8.164) -- (10.469,8.084) -- (10.491,8.004) -- (10.549,7.946) -- (10.629,7.924) -- (10.709,7.946) -- (10.768,8.004) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.045,7.86) -- (5.024,7.94) -- (4.965,7.998) -- (4.885,8.02) -- (4.805,7.998) -- (4.747,7.94) -- (4.725,7.86) -- (4.747,7.78) -- (4.805,7.721) -- (4.885,7.7) -- (4.965,7.721) -- (5.024,7.78) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.168,7.162) -- (7.146,7.242) -- (7.088,7.301) -- (7.008,7.322) -- (6.928,7.301) -- (6.869,7.242) -- (6.848,7.162) -- (6.869,7.082) -- (6.928,7.023) -- (7.008,7.002) -- (7.088,7.023) -- (7.146,7.082) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.28,4.989) -- (8.259,5.069) -- (8.2,5.128) -- (8.12,5.149) -- (8.04,5.128) -- (7.981,5.069) -- (7.96,4.989) -- (7.981,4.909) -- (8.04,4.851) -- (8.12,4.829) -- (8.2,4.851) -- (8.259,4.909) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.711,4.075) -- (4.689,4.155) -- (4.631,4.214) -- (4.551,4.235) -- (4.471,4.214) -- (4.412,4.155) -- (4.391,4.075) -- (4.412,3.995) -- (4.471,3.936) -- (4.551,3.915) -- (4.631,3.936) -- (4.689,3.995) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.822,2.06) -- (10.8,2.14) -- (10.742,2.199) -- (10.662,2.22) -- (10.582,2.199) -- (10.523,2.14) -- (10.502,2.06) -- (10.523,1.98) -- (10.582,1.922) -- (10.662,1.9) -- (10.742,1.922) -- (10.8,1.98) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.474,1.832) -- (1.452,1.912) -- (1.394,1.971) -- (1.314,1.992) -- (1.234,1.971) -- (1.175,1.912) -- (1.154,1.832) -- (1.175,1.752) -- (1.234,1.694) -- (1.314,1.672) -- (1.394,1.694) -- (1.452,1.752) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.239,1.567) -- (7.217,1.647) -- (7.159,1.706) -- (7.079,1.727) -- (6.999,1.706) -- (6.94,1.647) -- (6.919,1.567) -- (6.94,1.487) -- (6.999,1.429) -- (7.079,1.407) -- (7.159,1.429) -- (7.217,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.199,7.462) -- (9.154,7.632) -- (9.029,7.757) -- (8.859,7.802) -- (8.689,7.757) -- (8.565,7.632) -- (8.519,7.462) -- (8.565,7.292) -- (8.689,7.168) -- (8.859,7.122) -- (9.029,7.168) -- (9.154,7.292) -- cycle;
\node at (8.859,7.462) {\scalebox{1.514}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.97,5.273) -- (11.925,5.443) -- (11.8,5.567) -- (11.63,5.613) -- (11.46,5.567) -- (11.336,5.443) -- (11.29,5.273) -- (11.336,5.103) -- (11.46,4.978) -- (11.63,4.933) -- (11.8,4.978) -- (11.925,5.103) -- cycle;
\node at (11.63,5.273) {\scalebox{1.514}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.358,7.727) -- (6.312,7.897) -- (6.188,8.022) -- (6.018,8.067) -- (5.848,8.022) -- (5.723,7.897) -- (5.678,7.727) -- (5.723,7.557) -- (5.848,7.433) -- (6.018,7.387) -- (6.188,7.433) -- (6.312,7.557) -- cycle;
\node at (6.018,7.727) {\scalebox{1.514}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.533,5.925) -- (5.487,6.095) -- (5.363,6.22) -- (5.193,6.265) -- (5.023,6.22) -- (4.899,6.095) -- (4.853,5.925) -- (4.899,5.755) -- (5.023,5.631) -- (5.193,5.585) -- (5.363,5.631) -- (5.487,5.755) -- cycle;
\node at (5.193,5.925) {\scalebox{1.514}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.099,6.175) -- (8.053,6.345) -- (7.929,6.47) -- (7.759,6.515) -- (7.589,6.47) -- (7.465,6.345) -- (7.419,6.175) -- (7.465,6.005) -- (7.589,5.881) -- (7.759,5.835) -- (7.929,5.881) -- (8.053,6.005) -- cycle;
\node at (7.759,6.175) {\scalebox{1.514}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.497,5.318) -- (6.451,5.488) -- (6.327,5.612) -- (6.157,5.658) -- (5.987,5.612) -- (5.862,5.488) -- (5.817,5.318) -- (5.862,5.148) -- (5.987,5.023) -- (6.157,4.978) -- (6.327,5.023) -- (6.451,5.148) -- cycle;
\node at (6.157,5.318) {\scalebox{1.514}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.104,3.228) -- (8.059,3.398) -- (7.934,3.522) -- (7.764,3.568) -- (7.594,3.522) -- (7.47,3.398) -- (7.424,3.228) -- (7.47,3.058) -- (7.594,2.934) -- (7.764,2.888) -- (7.934,2.934) -- (8.059,3.058) -- cycle;
\node at (7.764,3.228) {\scalebox{1.514}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.547,2.557) -- (3.502,2.727) -- (3.377,2.852) -- (3.207,2.897) -- (3.037,2.852) -- (2.913,2.727) -- (2.867,2.557) -- (2.913,2.387) -- (3.037,2.263) -- (3.207,2.217) -- (3.377,2.263) -- (3.502,2.387) -- cycle;
\node at (3.207,2.557) {\scalebox{1.514}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.277,2.944) -- (6.231,3.114) -- (6.107,3.238) -- (5.937,3.284) -- (5.767,3.238) -- (5.642,3.114) -- (5.597,2.944) -- (5.642,2.774) -- (5.767,2.65) -- (5.937,2.604) -- (6.107,2.65) -- (6.231,2.774) -- cycle;
\node at (5.937,2.944) {\scalebox{1.514}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.274,1.349) -- (9.229,1.519) -- (9.104,1.643) -- (8.934,1.689) -- (8.764,1.643) -- (8.64,1.519) -- (8.594,1.349) -- (8.64,1.179) -- (8.764,1.054) -- (8.934,1.009) -- (9.104,1.054) -- (9.229,1.179) -- cycle;
\node at (8.934,1.349) {\scalebox{1.514}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.222,1.851) -- (5.177,2.021) -- (5.052,2.146) -- (4.882,2.191) -- (4.712,2.146) -- (4.588,2.021) -- (4.542,1.851) -- (4.588,1.681) -- (4.712,1.557) -- (4.882,1.511) -- (5.052,1.557) -- (5.177,1.681) -- cycle;
\node at (4.882,1.851) {\scalebox{1.514}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.251,3.775) -- (4.851,3.775) -- (4.851,4.375) -- (4.251,4.375) -- cycle;
\node at (4.551,4.075) {\scalebox{1.514}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.361,1.994) -- (8.961,1.994) -- (8.961,2.594) -- (8.361,2.594) -- cycle;
\node at (8.661,2.294) {\scalebox{1.514}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.907,0.893) -- (4.507,0.893) -- (4.507,1.493) -- (3.907,1.493) -- cycle;
\node at (4.207,1.193) {\scalebox{1.514}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.037,4.875) -- (6.637,4.875) -- (6.637,5.475) -- (6.037,5.475) -- cycle;
\node at (6.337,5.175) {\scalebox{1.514}{\small d}};
\node at (11.095,8.494) {\scalebox{1.514}{\small A}};
\node at (4.566,8.391) {\scalebox{1.514}{\small B}};
\node at (7.064,7.779) {\scalebox{1.514}{\small C}};
\node at (8.726,5.118) {\scalebox{1.514}{\small D}};
\node at (3.954,3.907) {\scalebox{1.514}{\small E}};
\node at (11.174,1.711) {\scalebox{1.514}{\small F}};
\node at (0.765,1.544) {\scalebox{1.514}{\small G}};
\node at (7.137,0.95) {\scalebox{1.514}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (11.962,7.134) -- (11.962,8.234);
\draw[line width=0.5pt] (11.731,7.849) -- (11.962,8.234) -- (12.193,7.849);
\draw[line width=0.5pt] (11.659,7.684) -- (12.264,7.684);
\node at (11.962,8.619) {\scalebox{1.514}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Pont \textbf{(E)}, prend la \textbf{rue du Stade ④} vers le nord et atteint Place des Tanneurs \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ③}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Haute ①}, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ②}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ⑦}, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Jardins ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑪}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(H)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin Creux ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
