\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 211}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=211}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0211}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7028, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.797,6.942) -- (7.547,7.033) -- (7.295,7.118) -- (7.042,7.198) -- (6.786,7.271) -- (6.529,7.339) -- (6.27,7.4) -- (6.01,7.455) -- (5.749,7.505) -- (5.486,7.548) -- (5.223,7.584) -- (4.959,7.615) -- (4.694,7.639) -- (4.429,7.657) -- (4.163,7.669) -- (3.972,7.57) -- (3.778,7.476) -- (3.583,7.386) -- (3.385,7.3) -- (3.185,7.22) -- (2.983,7.144) -- (2.779,7.073) -- (2.574,7.006) -- (2.367,6.945) -- (2.159,6.888) -- (1.95,6.836) -- (1.739,6.789) -- (1.528,6.748) -- (1.315,6.711);
\draw[line width=0.5pt] (7.797,6.942) -- (7.638,6.717) -- (7.474,6.495) -- (7.305,6.278) -- (7.13,6.064) -- (6.951,5.855) -- (6.767,5.65) -- (6.577,5.449) -- (6.384,5.253) -- (6.186,5.061) -- (5.983,4.874) -- (5.776,4.692) -- (5.565,4.515) -- (5.349,4.343) -- (5.13,4.177);
\draw[line width=0.5pt] (7.797,6.942) -- (8.01,6.673) -- (8.23,6.409) -- (8.457,6.15) -- (8.689,5.897) -- (8.928,5.649) -- (9.172,5.406) -- (9.422,5.17) -- (9.677,4.939) -- (9.938,4.715) -- (10.204,4.497) -- (10.474,4.285) -- (10.75,4.079) -- (11.03,3.88) -- (11.315,3.688);
\draw[line width=0.5pt] (1.315,6.711) -- (1.414,6.567) -- (1.51,6.42) -- (1.602,6.271) -- (1.691,6.12) -- (1.776,5.967) -- (1.857,5.812) -- (1.935,5.655) -- (2.009,5.496) -- (2.08,5.335) -- (2.146,5.173) -- (2.209,5.01) -- (2.268,4.845) -- (2.323,4.679) -- (2.374,4.511);
\draw[line width=0.5pt] (1.315,6.711) -- (1.558,6.489) -- (1.806,6.274) -- (2.059,6.064) -- (2.317,5.861) -- (2.579,5.663) -- (2.847,5.471) -- (3.118,5.286) -- (3.394,5.108) -- (3.674,4.936) -- (3.958,4.77) -- (4.246,4.611) -- (4.537,4.459) -- (4.832,4.314) -- (5.13,4.177);
\draw[line width=0.5pt] (8.205,4.822) -- (7.994,4.743) -- (7.781,4.668) -- (7.567,4.599) -- (7.351,4.535) -- (7.133,4.475) -- (6.914,4.421) -- (6.694,4.373) -- (6.473,4.329) -- (6.251,4.29) -- (6.028,4.257) -- (5.804,4.229) -- (5.58,4.206) -- (5.355,4.189) -- (5.13,4.177);
\draw[line width=0.5pt] (8.205,4.822) -- (8.138,4.61) -- (8.077,4.397) -- (8.021,4.182) -- (7.97,3.966) -- (7.924,3.749) -- (7.883,3.531) -- (7.847,3.312) -- (7.817,3.092) -- (7.791,2.871) -- (7.771,2.65) -- (7.756,2.429) -- (7.746,2.207) -- (7.742,1.985) -- (7.743,1.763);
\draw[line width=0.5pt] (2.374,4.511) -- (2.573,4.518) -- (2.772,4.519) -- (2.971,4.516) -- (3.17,4.509) -- (3.369,4.496) -- (3.568,4.479) -- (3.766,4.458) -- (3.963,4.431) -- (4.16,4.4) -- (4.356,4.365) -- (4.551,4.325) -- (4.746,4.28) -- (4.939,4.23) -- (5.13,4.177);
\draw[line width=0.5pt] (5.13,4.177) -- (5.289,3.977) -- (5.452,3.781) -- (5.62,3.589) -- (5.793,3.401) -- (5.97,3.217) -- (6.151,3.038) -- (6.337,2.862) -- (6.526,2.691) -- (6.72,2.525) -- (6.917,2.363) -- (7.118,2.206) -- (7.323,2.053) -- (7.531,1.906) -- (7.743,1.763);
\draw[line width=0.5pt] (5.13,4.177) -- (5.11,3.978) -- (5.084,3.78) -- (5.054,3.583) -- (5.02,3.386) -- (4.98,3.191) -- (4.937,2.996) -- (4.888,2.802) -- (4.835,2.61) -- (4.778,2.418) -- (4.716,2.229) -- (4.649,2.04) -- (4.579,1.854) -- (4.503,1.669) -- (4.424,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (11.315,3.688) -- (11.041,3.591) -- (10.769,3.487) -- (10.5,3.377) -- (10.233,3.26) -- (9.969,3.138) -- (9.708,3.008) -- (9.45,2.873) -- (9.195,2.732) -- (8.943,2.585) -- (8.695,2.432) -- (8.451,2.273) -- (8.211,2.109) -- (7.975,1.939) -- (7.743,1.763);
\draw[line width=0.5pt] (7.743,1.763) -- (7.51,1.707) -- (7.277,1.657) -- (7.042,1.612) -- (6.807,1.573) -- (6.57,1.539) -- (6.333,1.51) -- (6.095,1.488) -- (5.856,1.471) -- (5.617,1.459) -- (5.379,1.453) -- (5.14,1.453) -- (4.901,1.458) -- (4.662,1.469) -- (4.424,1.486);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.957,6.942) -- (7.935,7.022) -- (7.877,7.08) -- (7.797,7.102) -- (7.717,7.08) -- (7.658,7.022) -- (7.637,6.942) -- (7.658,6.862) -- (7.717,6.803) -- (7.797,6.782) -- (7.877,6.803) -- (7.935,6.862) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.475,6.711) -- (1.454,6.791) -- (1.395,6.849) -- (1.315,6.871) -- (1.235,6.849) -- (1.177,6.791) -- (1.155,6.711) -- (1.177,6.631) -- (1.235,6.572) -- (1.315,6.551) -- (1.395,6.572) -- (1.454,6.631) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.365,4.822) -- (8.343,4.902) -- (8.285,4.961) -- (8.205,4.982) -- (8.125,4.961) -- (8.066,4.902) -- (8.045,4.822) -- (8.066,4.742) -- (8.125,4.683) -- (8.205,4.662) -- (8.285,4.683) -- (8.343,4.742) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.534,4.511) -- (2.512,4.591) -- (2.454,4.65) -- (2.374,4.671) -- (2.294,4.65) -- (2.235,4.591) -- (2.214,4.511) -- (2.235,4.431) -- (2.294,4.373) -- (2.374,4.351) -- (2.454,4.373) -- (2.512,4.431) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.29,4.177) -- (5.269,4.257) -- (5.21,4.315) -- (5.13,4.337) -- (5.05,4.315) -- (4.992,4.257) -- (4.97,4.177) -- (4.992,4.097) -- (5.05,4.038) -- (5.13,4.017) -- (5.21,4.038) -- (5.269,4.097) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.475,3.688) -- (11.454,3.768) -- (11.395,3.827) -- (11.315,3.848) -- (11.235,3.827) -- (11.177,3.768) -- (11.155,3.688) -- (11.177,3.608) -- (11.235,3.55) -- (11.315,3.528) -- (11.395,3.55) -- (11.454,3.608) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.903,1.763) -- (7.881,1.843) -- (7.823,1.902) -- (7.743,1.923) -- (7.663,1.902) -- (7.604,1.843) -- (7.583,1.763) -- (7.604,1.683) -- (7.663,1.625) -- (7.743,1.603) -- (7.823,1.625) -- (7.881,1.683) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.584,1.486) -- (4.562,1.566) -- (4.504,1.625) -- (4.424,1.646) -- (4.344,1.625) -- (4.285,1.566) -- (4.264,1.486) -- (4.285,1.406) -- (4.344,1.347) -- (4.424,1.326) -- (4.504,1.347) -- (4.562,1.406) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.564,7.355) -- (4.518,7.525) -- (4.394,7.649) -- (4.224,7.695) -- (4.054,7.649) -- (3.929,7.525) -- (3.884,7.355) -- (3.929,7.185) -- (4.054,7.06) -- (4.224,7.015) -- (4.394,7.06) -- (4.518,7.185) -- cycle;
\node at (4.224,7.355) {\scalebox{1.423}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.148,5.227) -- (7.102,5.397) -- (6.978,5.522) -- (6.808,5.567) -- (6.638,5.522) -- (6.513,5.397) -- (6.468,5.227) -- (6.513,5.057) -- (6.638,4.933) -- (6.808,4.887) -- (6.978,4.933) -- (7.102,5.057) -- cycle;
\node at (6.808,5.227) {\scalebox{1.423}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.979,5.405) -- (9.933,5.575) -- (9.809,5.699) -- (9.639,5.745) -- (9.469,5.699) -- (9.345,5.575) -- (9.299,5.405) -- (9.345,5.235) -- (9.469,5.11) -- (9.639,5.065) -- (9.809,5.11) -- (9.933,5.235) -- cycle;
\node at (9.639,5.405) {\scalebox{1.423}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.564,5.793) -- (2.518,5.963) -- (2.394,6.088) -- (2.224,6.133) -- (2.054,6.088) -- (1.929,5.963) -- (1.884,5.793) -- (1.929,5.623) -- (2.054,5.499) -- (2.224,5.453) -- (2.394,5.499) -- (2.518,5.623) -- cycle;
\node at (2.224,5.793) {\scalebox{1.423}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.635,5.553) -- (3.59,5.723) -- (3.465,5.847) -- (3.295,5.893) -- (3.125,5.847) -- (3.001,5.723) -- (2.955,5.553) -- (3.001,5.383) -- (3.125,5.258) -- (3.295,5.213) -- (3.465,5.258) -- (3.59,5.383) -- cycle;
\node at (3.295,5.553) {\scalebox{1.423}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.1,4.059) -- (7.054,4.229) -- (6.93,4.354) -- (6.76,4.399) -- (6.59,4.354) -- (6.465,4.229) -- (6.42,4.059) -- (6.465,3.889) -- (6.59,3.765) -- (6.76,3.719) -- (6.93,3.765) -- (7.054,3.889) -- cycle;
\node at (6.76,4.059) {\scalebox{1.423}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.504,3.264) -- (8.458,3.434) -- (8.334,3.558) -- (8.164,3.604) -- (7.994,3.558) -- (7.869,3.434) -- (7.824,3.264) -- (7.869,3.094) -- (7.994,2.969) -- (8.164,2.924) -- (8.334,2.969) -- (8.458,3.094) -- cycle;
\node at (8.164,3.264) {\scalebox{1.423}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.144,4.775) -- (4.099,4.945) -- (3.974,5.07) -- (3.804,5.115) -- (3.634,5.07) -- (3.51,4.945) -- (3.464,4.775) -- (3.51,4.605) -- (3.634,4.481) -- (3.804,4.435) -- (3.974,4.481) -- (4.099,4.605) -- cycle;
\node at (3.804,4.775) {\scalebox{1.423}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.894,3.097) -- (6.848,3.267) -- (6.724,3.392) -- (6.554,3.437) -- (6.384,3.392) -- (6.26,3.267) -- (6.214,3.097) -- (6.26,2.927) -- (6.384,2.803) -- (6.554,2.757) -- (6.724,2.803) -- (6.848,2.927) -- cycle;
\node at (6.554,3.097) {\scalebox{1.423}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.538,2.721) -- (5.492,2.891) -- (5.368,3.015) -- (5.198,3.061) -- (5.028,3.015) -- (4.903,2.891) -- (4.858,2.721) -- (4.903,2.551) -- (5.028,2.426) -- (5.198,2.381) -- (5.368,2.426) -- (5.492,2.551) -- cycle;
\node at (5.198,2.721) {\scalebox{1.423}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.941,2.592) -- (9.896,2.762) -- (9.771,2.886) -- (9.601,2.932) -- (9.431,2.886) -- (9.307,2.762) -- (9.261,2.592) -- (9.307,2.422) -- (9.431,2.297) -- (9.601,2.252) -- (9.771,2.297) -- (9.896,2.422) -- cycle;
\node at (9.601,2.592) {\scalebox{1.423}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.461,1.169) -- (6.416,1.339) -- (6.291,1.463) -- (6.121,1.509) -- (5.951,1.463) -- (5.827,1.339) -- (5.781,1.169) -- (5.827,0.999) -- (5.951,0.874) -- (6.121,0.829) -- (6.291,0.874) -- (6.416,0.999) -- cycle;
\node at (6.121,1.169) {\scalebox{1.423}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.443,1.463) -- (8.043,1.463) -- (8.043,2.063) -- (7.443,2.063) -- cycle;
\node at (7.743,1.763) {\scalebox{1.423}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.724,1.336) -- (5.324,1.336) -- (5.324,1.936) -- (4.724,1.936) -- cycle;
\node at (5.024,1.636) {\scalebox{1.423}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.129,6.046) -- (1.729,6.046) -- (1.729,6.646) -- (1.129,6.646) -- cycle;
\node at (1.429,6.346) {\scalebox{1.423}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.39,1.589) -- (10.99,1.589) -- (10.99,2.189) -- (10.39,2.189) -- cycle;
\node at (10.69,1.889) {\scalebox{1.423}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.507,3.534) -- (7.107,3.534) -- (7.107,4.134) -- (6.507,4.134) -- cycle;
\node at (6.807,3.834) {\scalebox{1.423}{\small e}};
\node at (8.137,7.46) {\scalebox{1.423}{\small A}};
\node at (0.765,6.996) {\scalebox{1.423}{\small B}};
\node at (8.805,4.977) {\scalebox{1.423}{\small C}};
\node at (1.755,4.553) {\scalebox{1.423}{\small D}};
\node at (4.513,4.118) {\scalebox{1.423}{\small E}};
\node at (11.932,3.621) {\scalebox{1.423}{\small F}};
\node at (8.092,1.251) {\scalebox{1.423}{\small G}};
\node at (4.112,0.95) {\scalebox{1.423}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.615,5.992) -- (12.615,7.092);
\draw[line width=0.5pt] (12.384,6.707) -- (12.615,7.092) -- (12.846,6.707);
\draw[line width=0.5pt] (12.313,6.542) -- (12.918,6.542);
\node at (12.615,7.477) {\scalebox{1.423}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin de Ronde & ⑦ rue de la Poste & Ⓐ Carrefour de la Mairie & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑧ avenue de la Gare & Ⓑ Rond-point de la Poste & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑨ rue Basse & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue Haute & ⑩ rue du Puits & Ⓓ Place de la Fontaine & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
⑤ boulevard du Parc & ⑪ rue du Moulin & Ⓔ Carrefour du Lavoir & \textbf{e} l'église \\ \hline
⑥ rue de l'Église & ⑫ rue Pasteur & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6288, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.797,6.942) -- (7.547,7.033) -- (7.295,7.118) -- (7.042,7.198) -- (6.786,7.271) -- (6.529,7.339) -- (6.27,7.4) -- (6.01,7.455) -- (5.749,7.505) -- (5.486,7.548) -- (5.223,7.584) -- (4.959,7.615) -- (4.694,7.639) -- (4.429,7.657) -- (4.163,7.669) -- (3.972,7.57) -- (3.778,7.476) -- (3.583,7.386) -- (3.385,7.3) -- (3.185,7.22) -- (2.983,7.144) -- (2.779,7.073) -- (2.574,7.006) -- (2.367,6.945) -- (2.159,6.888) -- (1.95,6.836) -- (1.739,6.789) -- (1.528,6.748) -- (1.315,6.711);
\draw[line width=0.5pt] (7.797,6.942) -- (7.638,6.717) -- (7.474,6.495) -- (7.305,6.278) -- (7.13,6.064) -- (6.951,5.855) -- (6.767,5.65) -- (6.577,5.449) -- (6.384,5.253) -- (6.186,5.061) -- (5.983,4.874) -- (5.776,4.692) -- (5.565,4.515) -- (5.349,4.343) -- (5.13,4.177);
\draw[line width=0.5pt] (7.797,6.942) -- (8.01,6.673) -- (8.23,6.409) -- (8.457,6.15) -- (8.689,5.897) -- (8.928,5.649) -- (9.172,5.406) -- (9.422,5.17) -- (9.677,4.939) -- (9.938,4.715) -- (10.204,4.497) -- (10.474,4.285) -- (10.75,4.079) -- (11.03,3.88) -- (11.315,3.688);
\draw[line width=0.5pt] (1.315,6.711) -- (1.414,6.567) -- (1.51,6.42) -- (1.602,6.271) -- (1.691,6.12) -- (1.776,5.967) -- (1.857,5.812) -- (1.935,5.655) -- (2.009,5.496) -- (2.08,5.335) -- (2.146,5.173) -- (2.209,5.01) -- (2.268,4.845) -- (2.323,4.679) -- (2.374,4.511);
\draw[line width=0.5pt] (1.315,6.711) -- (1.558,6.489) -- (1.806,6.274) -- (2.059,6.064) -- (2.317,5.861) -- (2.579,5.663) -- (2.847,5.471) -- (3.118,5.286) -- (3.394,5.108) -- (3.674,4.936) -- (3.958,4.77) -- (4.246,4.611) -- (4.537,4.459) -- (4.832,4.314) -- (5.13,4.177);
\draw[line width=0.5pt] (8.205,4.822) -- (7.994,4.743) -- (7.781,4.668) -- (7.567,4.599) -- (7.351,4.535) -- (7.133,4.475) -- (6.914,4.421) -- (6.694,4.373) -- (6.473,4.329) -- (6.251,4.29) -- (6.028,4.257) -- (5.804,4.229) -- (5.58,4.206) -- (5.355,4.189) -- (5.13,4.177);
\draw[line width=0.5pt] (8.205,4.822) -- (8.138,4.61) -- (8.077,4.397) -- (8.021,4.182) -- (7.97,3.966) -- (7.924,3.749) -- (7.883,3.531) -- (7.847,3.312) -- (7.817,3.092) -- (7.791,2.871) -- (7.771,2.65) -- (7.756,2.429) -- (7.746,2.207) -- (7.742,1.985) -- (7.743,1.763);
\draw[line width=0.5pt] (2.374,4.511) -- (2.573,4.518) -- (2.772,4.519) -- (2.971,4.516) -- (3.17,4.509) -- (3.369,4.496) -- (3.568,4.479) -- (3.766,4.458) -- (3.963,4.431) -- (4.16,4.4) -- (4.356,4.365) -- (4.551,4.325) -- (4.746,4.28) -- (4.939,4.23) -- (5.13,4.177);
\draw[line width=0.5pt] (5.13,4.177) -- (5.289,3.977) -- (5.452,3.781) -- (5.62,3.589) -- (5.793,3.401) -- (5.97,3.217) -- (6.151,3.038) -- (6.337,2.862) -- (6.526,2.691) -- (6.72,2.525) -- (6.917,2.363) -- (7.118,2.206) -- (7.323,2.053) -- (7.531,1.906) -- (7.743,1.763);
\draw[line width=0.5pt] (5.13,4.177) -- (5.11,3.978) -- (5.084,3.78) -- (5.054,3.583) -- (5.02,3.386) -- (4.98,3.191) -- (4.937,2.996) -- (4.888,2.802) -- (4.835,2.61) -- (4.778,2.418) -- (4.716,2.229) -- (4.649,2.04) -- (4.579,1.854) -- (4.503,1.669) -- (4.424,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (11.315,3.688) -- (11.041,3.591) -- (10.769,3.487) -- (10.5,3.377) -- (10.233,3.26) -- (9.969,3.138) -- (9.708,3.008) -- (9.45,2.873) -- (9.195,2.732) -- (8.943,2.585) -- (8.695,2.432) -- (8.451,2.273) -- (8.211,2.109) -- (7.975,1.939) -- (7.743,1.763);
\draw[line width=0.5pt] (7.743,1.763) -- (7.51,1.707) -- (7.277,1.657) -- (7.042,1.612) -- (6.807,1.573) -- (6.57,1.539) -- (6.333,1.51) -- (6.095,1.488) -- (5.856,1.471) -- (5.617,1.459) -- (5.379,1.453) -- (5.14,1.453) -- (4.901,1.458) -- (4.662,1.469) -- (4.424,1.486);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.957,6.942) -- (7.935,7.022) -- (7.877,7.08) -- (7.797,7.102) -- (7.717,7.08) -- (7.658,7.022) -- (7.637,6.942) -- (7.658,6.862) -- (7.717,6.803) -- (7.797,6.782) -- (7.877,6.803) -- (7.935,6.862) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.475,6.711) -- (1.454,6.791) -- (1.395,6.849) -- (1.315,6.871) -- (1.235,6.849) -- (1.177,6.791) -- (1.155,6.711) -- (1.177,6.631) -- (1.235,6.572) -- (1.315,6.551) -- (1.395,6.572) -- (1.454,6.631) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.365,4.822) -- (8.343,4.902) -- (8.285,4.961) -- (8.205,4.982) -- (8.125,4.961) -- (8.066,4.902) -- (8.045,4.822) -- (8.066,4.742) -- (8.125,4.683) -- (8.205,4.662) -- (8.285,4.683) -- (8.343,4.742) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.534,4.511) -- (2.512,4.591) -- (2.454,4.65) -- (2.374,4.671) -- (2.294,4.65) -- (2.235,4.591) -- (2.214,4.511) -- (2.235,4.431) -- (2.294,4.373) -- (2.374,4.351) -- (2.454,4.373) -- (2.512,4.431) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.29,4.177) -- (5.269,4.257) -- (5.21,4.315) -- (5.13,4.337) -- (5.05,4.315) -- (4.992,4.257) -- (4.97,4.177) -- (4.992,4.097) -- (5.05,4.038) -- (5.13,4.017) -- (5.21,4.038) -- (5.269,4.097) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.475,3.688) -- (11.454,3.768) -- (11.395,3.827) -- (11.315,3.848) -- (11.235,3.827) -- (11.177,3.768) -- (11.155,3.688) -- (11.177,3.608) -- (11.235,3.55) -- (11.315,3.528) -- (11.395,3.55) -- (11.454,3.608) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.903,1.763) -- (7.881,1.843) -- (7.823,1.902) -- (7.743,1.923) -- (7.663,1.902) -- (7.604,1.843) -- (7.583,1.763) -- (7.604,1.683) -- (7.663,1.625) -- (7.743,1.603) -- (7.823,1.625) -- (7.881,1.683) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.584,1.486) -- (4.562,1.566) -- (4.504,1.625) -- (4.424,1.646) -- (4.344,1.625) -- (4.285,1.566) -- (4.264,1.486) -- (4.285,1.406) -- (4.344,1.347) -- (4.424,1.326) -- (4.504,1.347) -- (4.562,1.406) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.564,7.355) -- (4.518,7.525) -- (4.394,7.649) -- (4.224,7.695) -- (4.054,7.649) -- (3.929,7.525) -- (3.884,7.355) -- (3.929,7.185) -- (4.054,7.06) -- (4.224,7.015) -- (4.394,7.06) -- (4.518,7.185) -- cycle;
\node at (4.224,7.355) {\scalebox{1.59}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.148,5.227) -- (7.102,5.397) -- (6.978,5.522) -- (6.808,5.567) -- (6.638,5.522) -- (6.513,5.397) -- (6.468,5.227) -- (6.513,5.057) -- (6.638,4.933) -- (6.808,4.887) -- (6.978,4.933) -- (7.102,5.057) -- cycle;
\node at (6.808,5.227) {\scalebox{1.59}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.979,5.405) -- (9.933,5.575) -- (9.809,5.699) -- (9.639,5.745) -- (9.469,5.699) -- (9.345,5.575) -- (9.299,5.405) -- (9.345,5.235) -- (9.469,5.11) -- (9.639,5.065) -- (9.809,5.11) -- (9.933,5.235) -- cycle;
\node at (9.639,5.405) {\scalebox{1.59}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.564,5.793) -- (2.518,5.963) -- (2.394,6.088) -- (2.224,6.133) -- (2.054,6.088) -- (1.929,5.963) -- (1.884,5.793) -- (1.929,5.623) -- (2.054,5.499) -- (2.224,5.453) -- (2.394,5.499) -- (2.518,5.623) -- cycle;
\node at (2.224,5.793) {\scalebox{1.59}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.635,5.553) -- (3.59,5.723) -- (3.465,5.847) -- (3.295,5.893) -- (3.125,5.847) -- (3.001,5.723) -- (2.955,5.553) -- (3.001,5.383) -- (3.125,5.258) -- (3.295,5.213) -- (3.465,5.258) -- (3.59,5.383) -- cycle;
\node at (3.295,5.553) {\scalebox{1.59}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.1,4.059) -- (7.054,4.229) -- (6.93,4.354) -- (6.76,4.399) -- (6.59,4.354) -- (6.465,4.229) -- (6.42,4.059) -- (6.465,3.889) -- (6.59,3.765) -- (6.76,3.719) -- (6.93,3.765) -- (7.054,3.889) -- cycle;
\node at (6.76,4.059) {\scalebox{1.59}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.504,3.264) -- (8.458,3.434) -- (8.334,3.558) -- (8.164,3.604) -- (7.994,3.558) -- (7.869,3.434) -- (7.824,3.264) -- (7.869,3.094) -- (7.994,2.969) -- (8.164,2.924) -- (8.334,2.969) -- (8.458,3.094) -- cycle;
\node at (8.164,3.264) {\scalebox{1.59}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.144,4.775) -- (4.099,4.945) -- (3.974,5.07) -- (3.804,5.115) -- (3.634,5.07) -- (3.51,4.945) -- (3.464,4.775) -- (3.51,4.605) -- (3.634,4.481) -- (3.804,4.435) -- (3.974,4.481) -- (4.099,4.605) -- cycle;
\node at (3.804,4.775) {\scalebox{1.59}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.894,3.097) -- (6.848,3.267) -- (6.724,3.392) -- (6.554,3.437) -- (6.384,3.392) -- (6.26,3.267) -- (6.214,3.097) -- (6.26,2.927) -- (6.384,2.803) -- (6.554,2.757) -- (6.724,2.803) -- (6.848,2.927) -- cycle;
\node at (6.554,3.097) {\scalebox{1.59}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.538,2.721) -- (5.492,2.891) -- (5.368,3.015) -- (5.198,3.061) -- (5.028,3.015) -- (4.903,2.891) -- (4.858,2.721) -- (4.903,2.551) -- (5.028,2.426) -- (5.198,2.381) -- (5.368,2.426) -- (5.492,2.551) -- cycle;
\node at (5.198,2.721) {\scalebox{1.59}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.941,2.592) -- (9.896,2.762) -- (9.771,2.886) -- (9.601,2.932) -- (9.431,2.886) -- (9.307,2.762) -- (9.261,2.592) -- (9.307,2.422) -- (9.431,2.297) -- (9.601,2.252) -- (9.771,2.297) -- (9.896,2.422) -- cycle;
\node at (9.601,2.592) {\scalebox{1.59}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.461,1.169) -- (6.416,1.339) -- (6.291,1.463) -- (6.121,1.509) -- (5.951,1.463) -- (5.827,1.339) -- (5.781,1.169) -- (5.827,0.999) -- (5.951,0.874) -- (6.121,0.829) -- (6.291,0.874) -- (6.416,0.999) -- cycle;
\node at (6.121,1.169) {\scalebox{1.59}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.443,1.463) -- (8.043,1.463) -- (8.043,2.063) -- (7.443,2.063) -- cycle;
\node at (7.743,1.763) {\scalebox{1.59}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.724,1.336) -- (5.324,1.336) -- (5.324,1.936) -- (4.724,1.936) -- cycle;
\node at (5.024,1.636) {\scalebox{1.59}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.129,6.046) -- (1.729,6.046) -- (1.729,6.646) -- (1.129,6.646) -- cycle;
\node at (1.429,6.346) {\scalebox{1.59}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.39,1.589) -- (10.99,1.589) -- (10.99,2.189) -- (10.39,2.189) -- cycle;
\node at (10.69,1.889) {\scalebox{1.59}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.507,3.534) -- (7.107,3.534) -- (7.107,4.134) -- (6.507,4.134) -- cycle;
\node at (6.807,3.834) {\scalebox{1.59}{\small e}};
\node at (8.137,7.46) {\scalebox{1.59}{\small A}};
\node at (0.765,6.996) {\scalebox{1.59}{\small B}};
\node at (8.805,4.977) {\scalebox{1.59}{\small C}};
\node at (1.755,4.553) {\scalebox{1.59}{\small D}};
\node at (4.513,4.118) {\scalebox{1.59}{\small E}};
\node at (11.932,3.621) {\scalebox{1.59}{\small F}};
\node at (8.092,1.251) {\scalebox{1.59}{\small G}};
\node at (4.112,0.95) {\scalebox{1.59}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.615,5.992) -- (12.615,7.092);
\draw[line width=0.5pt] (12.384,6.707) -- (12.615,7.092) -- (12.846,6.707);
\draw[line width=0.5pt] (12.313,6.542) -- (12.918,6.542);
\node at (12.615,7.477) {\scalebox{1.59}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 2 & 2 & 6 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{B} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{G}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{A} à \textbf{B}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de A :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de la Mairie \textbf{(A)}, prend le \textbf{chemin de Ronde ①} vers l'ouest et atteint Rond-point de la Poste \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ④}, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ②}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ③}, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑦}, vers le nord, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑫}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ⑩}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\end{document}
