\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 212}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=212}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0212}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7046, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.281,9.012) -- (1.445,8.688) -- (1.616,8.368) -- (1.795,8.052) -- (1.981,7.74) -- (2.175,7.433) -- (2.376,7.131) -- (2.583,6.833) -- (2.798,6.54) -- (3.02,6.252) -- (3.248,5.97) -- (3.483,5.693) -- (3.724,5.422) -- (3.972,5.156) -- (4.225,4.897);
\draw[line width=0.5pt] (10.898,8.922) -- (10.674,8.811) -- (10.447,8.706) -- (10.217,8.606) -- (9.985,8.511) -- (9.751,8.422) -- (9.515,8.338) -- (9.276,8.26) -- (9.036,8.187) -- (8.795,8.12) -- (8.552,8.059) -- (8.307,8.003) -- (8.062,7.954) -- (7.815,7.91) -- (7.568,7.872);
\draw[line width=0.5pt] (10.898,8.922) -- (10.816,8.618) -- (10.74,8.312) -- (10.671,8.004) -- (10.61,7.695) -- (10.556,7.384) -- (10.51,7.072) -- (10.47,6.759) -- (10.438,6.445) -- (10.414,6.13) -- (10.397,5.815) -- (10.387,5.5) -- (10.385,5.184) -- (10.39,4.869) -- (10.403,4.554);
\draw[line width=0.5pt] (7.568,7.872) -- (7.805,7.668) -- (8.037,7.458) -- (8.265,7.243) -- (8.487,7.022) -- (8.704,6.796) -- (8.916,6.566) -- (9.122,6.33) -- (9.323,6.089) -- (9.518,5.844) -- (9.707,5.594) -- (9.89,5.34) -- (10.067,5.082) -- (10.238,4.82) -- (10.403,4.554);
\draw[line width=0.5pt] (4.225,4.897) -- (4.414,4.853) -- (4.603,4.814) -- (4.794,4.78) -- (4.985,4.75) -- (5.177,4.724) -- (5.37,4.703) -- (5.563,4.687) -- (5.756,4.675) -- (5.949,4.667) -- (6.143,4.665) -- (6.337,4.666) -- (6.53,4.672) -- (6.723,4.683) -- (6.916,4.699) -- (7.165,4.727) -- (7.414,4.749) -- (7.664,4.765) -- (7.914,4.775) -- (8.165,4.779) -- (8.415,4.778) -- (8.665,4.77) -- (8.916,4.757) -- (9.165,4.738) -- (9.414,4.713) -- (9.663,4.682) -- (9.911,4.645) -- (10.157,4.602) -- (10.403,4.554);
\draw[line width=0.5pt] (4.225,4.897) -- (4.249,4.668) -- (4.267,4.439) -- (4.28,4.21) -- (4.287,3.98) -- (4.289,3.75) -- (4.286,3.52) -- (4.277,3.29) -- (4.263,3.061) -- (4.243,2.831) -- (4.218,2.603) -- (4.188,2.375) -- (4.152,2.148) -- (4.111,1.922) -- (4.065,1.697);
\draw[line width=0.5pt] (4.225,4.897) -- (4.383,4.631) -- (4.546,4.369) -- (4.716,4.111) -- (4.892,3.857) -- (5.074,3.607) -- (5.262,3.362) -- (5.455,3.121) -- (5.654,2.884) -- (5.859,2.652) -- (6.069,2.425) -- (6.284,2.203) -- (6.504,1.987) -- (6.729,1.775) -- (6.96,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (10.403,4.554) -- (10.486,4.427) -- (10.566,4.298) -- (10.643,4.168) -- (10.718,4.035) -- (10.789,3.901) -- (10.857,3.765) -- (10.921,3.628) -- (10.983,3.489) -- (11.041,3.349) -- (11.096,3.207) -- (11.147,3.064) -- (11.195,2.92) -- (11.24,2.775) -- (11.281,2.629);
\draw[line width=0.5pt] (10.403,4.554) -- (10.126,4.38) -- (9.853,4.2) -- (9.585,4.013) -- (9.321,3.82) -- (9.062,3.62) -- (8.808,3.415) -- (8.558,3.204) -- (8.313,2.987) -- (8.074,2.764) -- (7.84,2.536) -- (7.611,2.302) -- (7.388,2.063) -- (7.171,1.819) -- (6.96,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (11.281,2.629) -- (10.986,2.507) -- (10.689,2.392) -- (10.389,2.283) -- (10.086,2.182) -- (9.781,2.088) -- (9.473,2.001) -- (9.164,1.921) -- (8.853,1.849) -- (8.54,1.784) -- (8.226,1.726) -- (7.911,1.676) -- (7.595,1.633) -- (7.277,1.597) -- (6.96,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (4.065,1.697) -- (4.268,1.656) -- (4.473,1.62) -- (4.679,1.589) -- (4.885,1.563) -- (5.092,1.542) -- (5.299,1.525) -- (5.507,1.514) -- (5.715,1.507) -- (5.923,1.505) -- (6.131,1.508) -- (6.338,1.516) -- (6.546,1.529) -- (6.753,1.547) -- (6.96,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.441,9.012) -- (1.42,9.092) -- (1.361,9.15) -- (1.281,9.172) -- (1.201,9.15) -- (1.142,9.092) -- (1.121,9.012) -- (1.142,8.932) -- (1.201,8.873) -- (1.281,8.852) -- (1.361,8.873) -- (1.42,8.932) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.058,8.922) -- (11.037,9.002) -- (10.978,9.061) -- (10.898,9.082) -- (10.818,9.061) -- (10.76,9.002) -- (10.738,8.922) -- (10.76,8.842) -- (10.818,8.784) -- (10.898,8.762) -- (10.978,8.784) -- (11.037,8.842) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.728,7.872) -- (7.706,7.952) -- (7.648,8.01) -- (7.568,8.032) -- (7.488,8.01) -- (7.429,7.952) -- (7.408,7.872) -- (7.429,7.792) -- (7.488,7.733) -- (7.568,7.712) -- (7.648,7.733) -- (7.706,7.792) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.385,4.897) -- (4.364,4.977) -- (4.305,5.036) -- (4.225,5.057) -- (4.145,5.036) -- (4.087,4.977) -- (4.065,4.897) -- (4.087,4.817) -- (4.145,4.758) -- (4.225,4.737) -- (4.305,4.758) -- (4.364,4.817) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.563,4.554) -- (10.541,4.634) -- (10.483,4.692) -- (10.403,4.714) -- (10.323,4.692) -- (10.264,4.634) -- (10.243,4.554) -- (10.264,4.474) -- (10.323,4.415) -- (10.403,4.394) -- (10.483,4.415) -- (10.541,4.474) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.441,2.629) -- (11.42,2.709) -- (11.361,2.768) -- (11.281,2.789) -- (11.201,2.768) -- (11.142,2.709) -- (11.121,2.629) -- (11.142,2.549) -- (11.201,2.491) -- (11.281,2.469) -- (11.361,2.491) -- (11.42,2.549) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.225,1.697) -- (4.203,1.777) -- (4.145,1.835) -- (4.065,1.857) -- (3.985,1.835) -- (3.926,1.777) -- (3.905,1.697) -- (3.926,1.617) -- (3.985,1.558) -- (4.065,1.537) -- (4.145,1.558) -- (4.203,1.617) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.12,1.57) -- (7.098,1.65) -- (7.04,1.708) -- (6.96,1.73) -- (6.88,1.708) -- (6.821,1.65) -- (6.8,1.57) -- (6.821,1.49) -- (6.88,1.431) -- (6.96,1.41) -- (7.04,1.431) -- (7.098,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.184,7.019) -- (3.138,7.189) -- (3.014,7.313) -- (2.844,7.359) -- (2.674,7.313) -- (2.549,7.189) -- (2.504,7.019) -- (2.549,6.849) -- (2.674,6.725) -- (2.844,6.679) -- (3.014,6.725) -- (3.138,6.849) -- cycle;
\node at (2.844,7.019) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.713,7.954) -- (9.667,8.124) -- (9.543,8.249) -- (9.373,8.294) -- (9.203,8.249) -- (9.078,8.124) -- (9.033,7.954) -- (9.078,7.784) -- (9.203,7.66) -- (9.373,7.614) -- (9.543,7.66) -- (9.667,7.784) -- cycle;
\node at (9.373,7.954) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.128,6.722) -- (11.083,6.892) -- (10.958,7.017) -- (10.788,7.062) -- (10.618,7.017) -- (10.494,6.892) -- (10.448,6.722) -- (10.494,6.552) -- (10.618,6.428) -- (10.788,6.382) -- (10.958,6.428) -- (11.083,6.552) -- cycle;
\node at (10.788,6.722) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.705,6.538) -- (9.66,6.708) -- (9.535,6.832) -- (9.365,6.878) -- (9.195,6.832) -- (9.071,6.708) -- (9.025,6.538) -- (9.071,6.368) -- (9.195,6.243) -- (9.365,6.198) -- (9.535,6.243) -- (9.66,6.368) -- cycle;
\node at (9.365,6.538) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.225,5.017) -- (7.18,5.187) -- (7.055,5.312) -- (6.885,5.357) -- (6.715,5.312) -- (6.591,5.187) -- (6.545,5.017) -- (6.591,4.847) -- (6.715,4.723) -- (6.885,4.677) -- (7.055,4.723) -- (7.18,4.847) -- cycle;
\node at (6.885,5.017) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.937,3.274) -- (4.891,3.444) -- (4.767,3.569) -- (4.597,3.614) -- (4.427,3.569) -- (4.302,3.444) -- (4.257,3.274) -- (4.302,3.104) -- (4.427,2.98) -- (4.597,2.934) -- (4.767,2.98) -- (4.891,3.104) -- cycle;
\node at (4.597,3.274) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.042,3.324) -- (5.997,3.494) -- (5.872,3.618) -- (5.702,3.664) -- (5.532,3.618) -- (5.408,3.494) -- (5.362,3.324) -- (5.408,3.154) -- (5.532,3.029) -- (5.702,2.984) -- (5.872,3.029) -- (5.997,3.154) -- cycle;
\node at (5.702,3.324) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.552,3.761) -- (11.507,3.931) -- (11.382,4.055) -- (11.212,4.101) -- (11.042,4.055) -- (10.918,3.931) -- (10.872,3.761) -- (10.918,3.591) -- (11.042,3.466) -- (11.212,3.421) -- (11.382,3.466) -- (11.507,3.591) -- cycle;
\node at (11.212,3.761) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.108,2.962) -- (9.062,3.132) -- (8.938,3.256) -- (8.768,3.302) -- (8.598,3.256) -- (8.473,3.132) -- (8.428,2.962) -- (8.473,2.792) -- (8.598,2.668) -- (8.768,2.622) -- (8.938,2.668) -- (9.062,2.792) -- cycle;
\node at (8.768,2.962) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.58,1.61) -- (9.535,1.78) -- (9.41,1.905) -- (9.24,1.95) -- (9.07,1.905) -- (8.946,1.78) -- (8.9,1.61) -- (8.946,1.44) -- (9.07,1.316) -- (9.24,1.27) -- (9.41,1.316) -- (9.535,1.44) -- cycle;
\node at (9.24,1.61) {\scalebox{1.419}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.861,1.833) -- (5.815,2.003) -- (5.691,2.128) -- (5.521,2.173) -- (5.351,2.128) -- (5.226,2.003) -- (5.181,1.833) -- (5.226,1.663) -- (5.351,1.539) -- (5.521,1.493) -- (5.691,1.539) -- (5.815,1.663) -- cycle;
\node at (5.521,1.833) {\scalebox{1.419}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.981,8.712) -- (1.581,8.712) -- (1.581,9.312) -- (0.981,9.312) -- cycle;
\node at (1.281,9.012) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.74,6.8) -- (12.34,6.8) -- (12.34,7.4) -- (11.74,7.4) -- cycle;
\node at (12.04,7.1) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.679,7.292) -- (11.279,7.292) -- (11.279,7.892) -- (10.679,7.892) -- cycle;
\node at (10.979,7.592) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.882,8.249) -- (10.482,8.249) -- (10.482,8.849) -- (9.882,8.849) -- cycle;
\node at (10.182,8.549) {\scalebox{1.419}{\small d}};
\node at (0.765,9.355) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (11.339,9.359) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (7.676,8.482) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (3.608,4.844) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (11.013,4.445) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (11.813,2.311) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\node at (3.656,1.23) {\scalebox{1.419}{\small G}};
\node at (6.938,0.95) {\scalebox{1.419}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.581,8.062) -- (12.581,9.162);
\draw[line width=0.5pt] (12.35,8.777) -- (12.581,9.162) -- (12.812,8.777);
\draw[line width=0.5pt] (12.278,8.612) -- (12.883,8.612);
\node at (12.581,9.547) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse des Cerisiers & ⑦ allée des Peupliers & Ⓐ Place du Marché & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Four & ⑧ venelle du Chat & Ⓑ Place du Vieux-Puits & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑨ avenue de la Gare & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ allée des Tilleuls & ⑩ rue des Lilas & Ⓓ Carrefour Saint-Roch & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ rue du Puits & ⑪ rue de la Poste & Ⓔ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑥ rue Haute &  & Ⓕ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6304, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.281,9.012) -- (1.445,8.688) -- (1.616,8.368) -- (1.795,8.052) -- (1.981,7.74) -- (2.175,7.433) -- (2.376,7.131) -- (2.583,6.833) -- (2.798,6.54) -- (3.02,6.252) -- (3.248,5.97) -- (3.483,5.693) -- (3.724,5.422) -- (3.972,5.156) -- (4.225,4.897);
\draw[line width=0.5pt] (10.898,8.922) -- (10.674,8.811) -- (10.447,8.706) -- (10.217,8.606) -- (9.985,8.511) -- (9.751,8.422) -- (9.515,8.338) -- (9.276,8.26) -- (9.036,8.187) -- (8.795,8.12) -- (8.552,8.059) -- (8.307,8.003) -- (8.062,7.954) -- (7.815,7.91) -- (7.568,7.872);
\draw[line width=0.5pt] (10.898,8.922) -- (10.816,8.618) -- (10.74,8.312) -- (10.671,8.004) -- (10.61,7.695) -- (10.556,7.384) -- (10.51,7.072) -- (10.47,6.759) -- (10.438,6.445) -- (10.414,6.13) -- (10.397,5.815) -- (10.387,5.5) -- (10.385,5.184) -- (10.39,4.869) -- (10.403,4.554);
\draw[line width=0.5pt] (7.568,7.872) -- (7.805,7.668) -- (8.037,7.458) -- (8.265,7.243) -- (8.487,7.022) -- (8.704,6.796) -- (8.916,6.566) -- (9.122,6.33) -- (9.323,6.089) -- (9.518,5.844) -- (9.707,5.594) -- (9.89,5.34) -- (10.067,5.082) -- (10.238,4.82) -- (10.403,4.554);
\draw[line width=0.5pt] (4.225,4.897) -- (4.414,4.853) -- (4.603,4.814) -- (4.794,4.78) -- (4.985,4.75) -- (5.177,4.724) -- (5.37,4.703) -- (5.563,4.687) -- (5.756,4.675) -- (5.949,4.667) -- (6.143,4.665) -- (6.337,4.666) -- (6.53,4.672) -- (6.723,4.683) -- (6.916,4.699) -- (7.165,4.727) -- (7.414,4.749) -- (7.664,4.765) -- (7.914,4.775) -- (8.165,4.779) -- (8.415,4.778) -- (8.665,4.77) -- (8.916,4.757) -- (9.165,4.738) -- (9.414,4.713) -- (9.663,4.682) -- (9.911,4.645) -- (10.157,4.602) -- (10.403,4.554);
\draw[line width=0.5pt] (4.225,4.897) -- (4.249,4.668) -- (4.267,4.439) -- (4.28,4.21) -- (4.287,3.98) -- (4.289,3.75) -- (4.286,3.52) -- (4.277,3.29) -- (4.263,3.061) -- (4.243,2.831) -- (4.218,2.603) -- (4.188,2.375) -- (4.152,2.148) -- (4.111,1.922) -- (4.065,1.697);
\draw[line width=0.5pt] (4.225,4.897) -- (4.383,4.631) -- (4.546,4.369) -- (4.716,4.111) -- (4.892,3.857) -- (5.074,3.607) -- (5.262,3.362) -- (5.455,3.121) -- (5.654,2.884) -- (5.859,2.652) -- (6.069,2.425) -- (6.284,2.203) -- (6.504,1.987) -- (6.729,1.775) -- (6.96,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (10.403,4.554) -- (10.486,4.427) -- (10.566,4.298) -- (10.643,4.168) -- (10.718,4.035) -- (10.789,3.901) -- (10.857,3.765) -- (10.921,3.628) -- (10.983,3.489) -- (11.041,3.349) -- (11.096,3.207) -- (11.147,3.064) -- (11.195,2.92) -- (11.24,2.775) -- (11.281,2.629);
\draw[line width=0.5pt] (10.403,4.554) -- (10.126,4.38) -- (9.853,4.2) -- (9.585,4.013) -- (9.321,3.82) -- (9.062,3.62) -- (8.808,3.415) -- (8.558,3.204) -- (8.313,2.987) -- (8.074,2.764) -- (7.84,2.536) -- (7.611,2.302) -- (7.388,2.063) -- (7.171,1.819) -- (6.96,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (11.281,2.629) -- (10.986,2.507) -- (10.689,2.392) -- (10.389,2.283) -- (10.086,2.182) -- (9.781,2.088) -- (9.473,2.001) -- (9.164,1.921) -- (8.853,1.849) -- (8.54,1.784) -- (8.226,1.726) -- (7.911,1.676) -- (7.595,1.633) -- (7.277,1.597) -- (6.96,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (4.065,1.697) -- (4.268,1.656) -- (4.473,1.62) -- (4.679,1.589) -- (4.885,1.563) -- (5.092,1.542) -- (5.299,1.525) -- (5.507,1.514) -- (5.715,1.507) -- (5.923,1.505) -- (6.131,1.508) -- (6.338,1.516) -- (6.546,1.529) -- (6.753,1.547) -- (6.96,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.441,9.012) -- (1.42,9.092) -- (1.361,9.15) -- (1.281,9.172) -- (1.201,9.15) -- (1.142,9.092) -- (1.121,9.012) -- (1.142,8.932) -- (1.201,8.873) -- (1.281,8.852) -- (1.361,8.873) -- (1.42,8.932) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.058,8.922) -- (11.037,9.002) -- (10.978,9.061) -- (10.898,9.082) -- (10.818,9.061) -- (10.76,9.002) -- (10.738,8.922) -- (10.76,8.842) -- (10.818,8.784) -- (10.898,8.762) -- (10.978,8.784) -- (11.037,8.842) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.728,7.872) -- (7.706,7.952) -- (7.648,8.01) -- (7.568,8.032) -- (7.488,8.01) -- (7.429,7.952) -- (7.408,7.872) -- (7.429,7.792) -- (7.488,7.733) -- (7.568,7.712) -- (7.648,7.733) -- (7.706,7.792) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.385,4.897) -- (4.364,4.977) -- (4.305,5.036) -- (4.225,5.057) -- (4.145,5.036) -- (4.087,4.977) -- (4.065,4.897) -- (4.087,4.817) -- (4.145,4.758) -- (4.225,4.737) -- (4.305,4.758) -- (4.364,4.817) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.563,4.554) -- (10.541,4.634) -- (10.483,4.692) -- (10.403,4.714) -- (10.323,4.692) -- (10.264,4.634) -- (10.243,4.554) -- (10.264,4.474) -- (10.323,4.415) -- (10.403,4.394) -- (10.483,4.415) -- (10.541,4.474) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.441,2.629) -- (11.42,2.709) -- (11.361,2.768) -- (11.281,2.789) -- (11.201,2.768) -- (11.142,2.709) -- (11.121,2.629) -- (11.142,2.549) -- (11.201,2.491) -- (11.281,2.469) -- (11.361,2.491) -- (11.42,2.549) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.225,1.697) -- (4.203,1.777) -- (4.145,1.835) -- (4.065,1.857) -- (3.985,1.835) -- (3.926,1.777) -- (3.905,1.697) -- (3.926,1.617) -- (3.985,1.558) -- (4.065,1.537) -- (4.145,1.558) -- (4.203,1.617) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.12,1.57) -- (7.098,1.65) -- (7.04,1.708) -- (6.96,1.73) -- (6.88,1.708) -- (6.821,1.65) -- (6.8,1.57) -- (6.821,1.49) -- (6.88,1.431) -- (6.96,1.41) -- (7.04,1.431) -- (7.098,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.184,7.019) -- (3.138,7.189) -- (3.014,7.313) -- (2.844,7.359) -- (2.674,7.313) -- (2.549,7.189) -- (2.504,7.019) -- (2.549,6.849) -- (2.674,6.725) -- (2.844,6.679) -- (3.014,6.725) -- (3.138,6.849) -- cycle;
\node at (2.844,7.019) {\scalebox{1.586}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.713,7.954) -- (9.667,8.124) -- (9.543,8.249) -- (9.373,8.294) -- (9.203,8.249) -- (9.078,8.124) -- (9.033,7.954) -- (9.078,7.784) -- (9.203,7.66) -- (9.373,7.614) -- (9.543,7.66) -- (9.667,7.784) -- cycle;
\node at (9.373,7.954) {\scalebox{1.586}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.128,6.722) -- (11.083,6.892) -- (10.958,7.017) -- (10.788,7.062) -- (10.618,7.017) -- (10.494,6.892) -- (10.448,6.722) -- (10.494,6.552) -- (10.618,6.428) -- (10.788,6.382) -- (10.958,6.428) -- (11.083,6.552) -- cycle;
\node at (10.788,6.722) {\scalebox{1.586}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.705,6.538) -- (9.66,6.708) -- (9.535,6.832) -- (9.365,6.878) -- (9.195,6.832) -- (9.071,6.708) -- (9.025,6.538) -- (9.071,6.368) -- (9.195,6.243) -- (9.365,6.198) -- (9.535,6.243) -- (9.66,6.368) -- cycle;
\node at (9.365,6.538) {\scalebox{1.586}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.225,5.017) -- (7.18,5.187) -- (7.055,5.312) -- (6.885,5.357) -- (6.715,5.312) -- (6.591,5.187) -- (6.545,5.017) -- (6.591,4.847) -- (6.715,4.723) -- (6.885,4.677) -- (7.055,4.723) -- (7.18,4.847) -- cycle;
\node at (6.885,5.017) {\scalebox{1.586}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.937,3.274) -- (4.891,3.444) -- (4.767,3.569) -- (4.597,3.614) -- (4.427,3.569) -- (4.302,3.444) -- (4.257,3.274) -- (4.302,3.104) -- (4.427,2.98) -- (4.597,2.934) -- (4.767,2.98) -- (4.891,3.104) -- cycle;
\node at (4.597,3.274) {\scalebox{1.586}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.042,3.324) -- (5.997,3.494) -- (5.872,3.618) -- (5.702,3.664) -- (5.532,3.618) -- (5.408,3.494) -- (5.362,3.324) -- (5.408,3.154) -- (5.532,3.029) -- (5.702,2.984) -- (5.872,3.029) -- (5.997,3.154) -- cycle;
\node at (5.702,3.324) {\scalebox{1.586}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.552,3.761) -- (11.507,3.931) -- (11.382,4.055) -- (11.212,4.101) -- (11.042,4.055) -- (10.918,3.931) -- (10.872,3.761) -- (10.918,3.591) -- (11.042,3.466) -- (11.212,3.421) -- (11.382,3.466) -- (11.507,3.591) -- cycle;
\node at (11.212,3.761) {\scalebox{1.586}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.108,2.962) -- (9.062,3.132) -- (8.938,3.256) -- (8.768,3.302) -- (8.598,3.256) -- (8.473,3.132) -- (8.428,2.962) -- (8.473,2.792) -- (8.598,2.668) -- (8.768,2.622) -- (8.938,2.668) -- (9.062,2.792) -- cycle;
\node at (8.768,2.962) {\scalebox{1.586}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.58,1.61) -- (9.535,1.78) -- (9.41,1.905) -- (9.24,1.95) -- (9.07,1.905) -- (8.946,1.78) -- (8.9,1.61) -- (8.946,1.44) -- (9.07,1.316) -- (9.24,1.27) -- (9.41,1.316) -- (9.535,1.44) -- cycle;
\node at (9.24,1.61) {\scalebox{1.586}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.861,1.833) -- (5.815,2.003) -- (5.691,2.128) -- (5.521,2.173) -- (5.351,2.128) -- (5.226,2.003) -- (5.181,1.833) -- (5.226,1.663) -- (5.351,1.539) -- (5.521,1.493) -- (5.691,1.539) -- (5.815,1.663) -- cycle;
\node at (5.521,1.833) {\scalebox{1.586}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.981,8.712) -- (1.581,8.712) -- (1.581,9.312) -- (0.981,9.312) -- cycle;
\node at (1.281,9.012) {\scalebox{1.586}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.74,6.8) -- (12.34,6.8) -- (12.34,7.4) -- (11.74,7.4) -- cycle;
\node at (12.04,7.1) {\scalebox{1.586}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.679,7.292) -- (11.279,7.292) -- (11.279,7.892) -- (10.679,7.892) -- cycle;
\node at (10.979,7.592) {\scalebox{1.586}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.882,8.249) -- (10.482,8.249) -- (10.482,8.849) -- (9.882,8.849) -- cycle;
\node at (10.182,8.549) {\scalebox{1.586}{\small d}};
\node at (0.765,9.355) {\scalebox{1.586}{\small A}};
\node at (11.339,9.359) {\scalebox{1.586}{\small B}};
\node at (7.676,8.482) {\scalebox{1.586}{\small C}};
\node at (3.608,4.844) {\scalebox{1.586}{\small D}};
\node at (11.013,4.445) {\scalebox{1.586}{\small E}};
\node at (11.813,2.311) {\scalebox{1.586}{\small F}};
\node at (3.656,1.23) {\scalebox{1.586}{\small G}};
\node at (6.938,0.95) {\scalebox{1.586}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.581,8.062) -- (12.581,9.162);
\draw[line width=0.5pt] (12.35,8.777) -- (12.581,9.162) -- (12.812,8.777);
\draw[line width=0.5pt] (12.278,8.612) -- (12.883,8.612);
\node at (12.581,9.547) {\scalebox{1.586}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 2 & 2 & 4 & 5 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{A}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en E}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place du Marché \textbf{(A)}, prend l'\textbf{impasse des Cerisiers ①} vers le sud-est et atteint Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Puits ⑤}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ③}, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ②}, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ④}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{venelle du Chat ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Haute ⑥}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑪}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
