\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 213}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=213}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0213}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6993, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.533,7.955) -- (1.485,7.715) -- (1.443,7.474) -- (1.406,7.233) -- (1.376,6.99) -- (1.35,6.747) -- (1.331,6.503) -- (1.317,6.259) -- (1.309,6.014) -- (1.307,5.77) -- (1.311,5.525) -- (1.32,5.281) -- (1.335,5.037) -- (1.356,4.794) -- (1.382,4.551);
\draw[line width=0.5pt] (8.015,7.738) -- (8.17,7.719) -- (8.325,7.697) -- (8.479,7.671) -- (8.633,7.642) -- (8.785,7.609) -- (8.937,7.572) -- (9.088,7.532) -- (9.239,7.488) -- (9.388,7.441) -- (9.536,7.39) -- (9.682,7.336) -- (9.827,7.279) -- (9.971,7.218) -- (10.114,7.153);
\draw[line width=0.5pt] (8.015,7.738) -- (7.922,7.567) -- (7.833,7.395) -- (7.748,7.221) -- (7.667,7.044) -- (7.59,6.866) -- (7.518,6.686) -- (7.449,6.504) -- (7.385,6.321) -- (7.326,6.136) -- (7.27,5.95) -- (7.219,5.763) -- (7.173,5.574) -- (7.131,5.385) -- (7.093,5.195);
\draw[line width=0.5pt] (8.015,7.738) -- (7.838,7.5) -- (7.656,7.266) -- (7.468,7.037) -- (7.274,6.812) -- (7.076,6.592) -- (6.872,6.376) -- (6.663,6.166) -- (6.449,5.96) -- (6.231,5.759) -- (6.008,5.564) -- (5.78,5.374) -- (5.548,5.189) -- (5.312,5.01) -- (5.071,4.836);
\draw[line width=0.5pt] (10.114,7.153) -- (10.113,6.967) -- (10.117,6.78) -- (10.125,6.593) -- (10.137,6.407) -- (10.154,6.221) -- (10.175,6.035) -- (10.201,5.85) -- (10.231,5.666) -- (10.265,5.482) -- (10.304,5.299) -- (10.347,5.117) -- (10.394,4.936) -- (10.445,4.757) -- (10.501,4.579);
\draw[line width=0.5pt] (7.093,5.195) -- (6.954,5.147) -- (6.813,5.103) -- (6.672,5.062) -- (6.529,5.024) -- (6.386,4.99) -- (6.242,4.959) -- (6.097,4.932) -- (5.952,4.908) -- (5.806,4.888) -- (5.659,4.87) -- (5.513,4.857) -- (5.366,4.846) -- (5.219,4.84) -- (5.071,4.836);
\draw[line width=0.5pt] (7.093,5.195) -- (7.328,5.114) -- (7.565,5.038) -- (7.803,4.968) -- (8.043,4.904) -- (8.285,4.846) -- (8.528,4.793) -- (8.772,4.746) -- (9.017,4.705) -- (9.263,4.669) -- (9.51,4.639) -- (9.757,4.615) -- (10.005,4.597) -- (10.253,4.585) -- (10.501,4.579);
\draw[line width=0.5pt] (5.071,4.836) -- (4.813,4.776) -- (4.553,4.721) -- (4.292,4.673) -- (4.03,4.631) -- (3.767,4.595) -- (3.503,4.565) -- (3.239,4.541) -- (2.974,4.524) -- (2.708,4.513) -- (2.443,4.508) -- (2.177,4.509) -- (1.912,4.517) -- (1.647,4.531) -- (1.382,4.551);
\draw[line width=0.5pt] (5.071,4.836) -- (4.972,4.643) -- (4.876,4.447) -- (4.786,4.248) -- (4.7,4.048) -- (4.619,3.845) -- (4.543,3.641) -- (4.471,3.435) -- (4.405,3.227) -- (4.343,3.017) -- (4.286,2.807) -- (4.234,2.595) -- (4.187,2.382) -- (4.146,2.168) -- (4.109,1.953);
\draw[line width=0.5pt] (4.109,1.953) -- (4.355,1.932) -- (4.601,1.906) -- (4.846,1.873) -- (5.09,1.835) -- (5.334,1.791) -- (5.576,1.741) -- (5.817,1.686) -- (6.057,1.625) -- (6.295,1.558) -- (6.532,1.486) -- (6.767,1.408) -- (7.0,1.325) -- (7.23,1.236) -- (7.459,1.142) -- (7.739,1.113) -- (8.02,1.09) -- (8.301,1.073) -- (8.583,1.063) -- (8.865,1.06) -- (9.147,1.064) -- (9.428,1.074) -- (9.71,1.09) -- (9.991,1.114) -- (10.271,1.143) -- (10.551,1.18) -- (10.829,1.223) -- (11.106,1.272) -- (11.382,1.329);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.693,7.955) -- (1.672,8.035) -- (1.613,8.093) -- (1.533,8.115) -- (1.453,8.093) -- (1.395,8.035) -- (1.373,7.955) -- (1.395,7.875) -- (1.453,7.816) -- (1.533,7.795) -- (1.613,7.816) -- (1.672,7.875) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.175,7.738) -- (8.154,7.818) -- (8.095,7.876) -- (8.015,7.898) -- (7.935,7.876) -- (7.877,7.818) -- (7.855,7.738) -- (7.877,7.658) -- (7.935,7.599) -- (8.015,7.578) -- (8.095,7.599) -- (8.154,7.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.274,7.153) -- (10.252,7.233) -- (10.194,7.292) -- (10.114,7.313) -- (10.034,7.292) -- (9.975,7.233) -- (9.954,7.153) -- (9.975,7.073) -- (10.034,7.015) -- (10.114,6.993) -- (10.194,7.015) -- (10.252,7.073) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.253,5.195) -- (7.232,5.275) -- (7.173,5.333) -- (7.093,5.355) -- (7.013,5.333) -- (6.955,5.275) -- (6.933,5.195) -- (6.955,5.115) -- (7.013,5.056) -- (7.093,5.035) -- (7.173,5.056) -- (7.232,5.115) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.231,4.836) -- (5.21,4.916) -- (5.151,4.975) -- (5.071,4.996) -- (4.991,4.975) -- (4.933,4.916) -- (4.911,4.836) -- (4.933,4.756) -- (4.991,4.698) -- (5.071,4.676) -- (5.151,4.698) -- (5.21,4.756) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.661,4.579) -- (10.64,4.659) -- (10.581,4.717) -- (10.501,4.739) -- (10.421,4.717) -- (10.362,4.659) -- (10.341,4.579) -- (10.362,4.499) -- (10.421,4.44) -- (10.501,4.419) -- (10.581,4.44) -- (10.64,4.499) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.542,4.551) -- (1.521,4.631) -- (1.462,4.689) -- (1.382,4.711) -- (1.302,4.689) -- (1.244,4.631) -- (1.222,4.551) -- (1.244,4.471) -- (1.302,4.412) -- (1.382,4.391) -- (1.462,4.412) -- (1.521,4.471) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.269,1.953) -- (4.248,2.033) -- (4.189,2.092) -- (4.109,2.113) -- (4.029,2.092) -- (3.97,2.033) -- (3.949,1.953) -- (3.97,1.873) -- (4.029,1.815) -- (4.109,1.793) -- (4.189,1.815) -- (4.248,1.873) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.542,1.329) -- (11.521,1.409) -- (11.462,1.467) -- (11.382,1.489) -- (11.302,1.467) -- (11.244,1.409) -- (11.222,1.329) -- (11.244,1.249) -- (11.302,1.19) -- (11.382,1.169) -- (11.462,1.19) -- (11.521,1.249) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.977,6.245) -- (1.931,6.415) -- (1.807,6.539) -- (1.637,6.585) -- (1.467,6.539) -- (1.343,6.415) -- (1.297,6.245) -- (1.343,6.075) -- (1.467,5.95) -- (1.637,5.905) -- (1.807,5.95) -- (1.931,6.075) -- cycle;
\node at (1.637,6.245) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.514,7.84) -- (9.469,8.01) -- (9.344,8.135) -- (9.174,8.18) -- (9.004,8.135) -- (8.88,8.01) -- (8.834,7.84) -- (8.88,7.67) -- (9.004,7.546) -- (9.174,7.5) -- (9.344,7.546) -- (9.469,7.67) -- cycle;
\node at (9.174,7.84) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.09,6.395) -- (8.045,6.565) -- (7.92,6.689) -- (7.75,6.735) -- (7.58,6.689) -- (7.456,6.565) -- (7.41,6.395) -- (7.456,6.225) -- (7.58,6.101) -- (7.75,6.055) -- (7.92,6.101) -- (8.045,6.225) -- cycle;
\node at (7.75,6.395) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.778,6.393) -- (6.733,6.563) -- (6.608,6.688) -- (6.438,6.733) -- (6.268,6.688) -- (6.144,6.563) -- (6.098,6.393) -- (6.144,6.223) -- (6.268,6.099) -- (6.438,6.053) -- (6.608,6.099) -- (6.733,6.223) -- cycle;
\node at (6.438,6.393) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.858,5.898) -- (10.812,6.068) -- (10.688,6.192) -- (10.518,6.238) -- (10.348,6.192) -- (10.223,6.068) -- (10.178,5.898) -- (10.223,5.728) -- (10.348,5.603) -- (10.518,5.558) -- (10.688,5.603) -- (10.812,5.728) -- cycle;
\node at (10.518,5.898) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.493,4.617) -- (6.447,4.787) -- (6.323,4.911) -- (6.153,4.957) -- (5.983,4.911) -- (5.858,4.787) -- (5.813,4.617) -- (5.858,4.447) -- (5.983,4.323) -- (6.153,4.277) -- (6.323,4.323) -- (6.447,4.447) -- cycle;
\node at (6.153,4.617) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.169,5.061) -- (9.123,5.231) -- (8.999,5.355) -- (8.829,5.401) -- (8.659,5.355) -- (8.534,5.231) -- (8.489,5.061) -- (8.534,4.891) -- (8.659,4.767) -- (8.829,4.721) -- (8.999,4.767) -- (9.123,4.891) -- cycle;
\node at (8.829,5.061) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.603,4.222) -- (3.558,4.392) -- (3.433,4.517) -- (3.263,4.562) -- (3.093,4.517) -- (2.969,4.392) -- (2.923,4.222) -- (2.969,4.052) -- (3.093,3.928) -- (3.263,3.882) -- (3.433,3.928) -- (3.558,4.052) -- cycle;
\node at (3.263,4.222) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.115,3.333) -- (5.069,3.503) -- (4.945,3.628) -- (4.775,3.673) -- (4.605,3.628) -- (4.48,3.503) -- (4.435,3.333) -- (4.48,3.163) -- (4.605,3.039) -- (4.775,2.993) -- (4.945,3.039) -- (5.069,3.163) -- cycle;
\node at (4.775,3.333) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.875,1.453) -- (7.829,1.623) -- (7.705,1.748) -- (7.535,1.793) -- (7.365,1.748) -- (7.24,1.623) -- (7.195,1.453) -- (7.24,1.283) -- (7.365,1.159) -- (7.535,1.113) -- (7.705,1.159) -- (7.829,1.283) -- cycle;
\node at (7.535,1.453) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.771,4.536) -- (5.371,4.536) -- (5.371,5.136) -- (4.771,5.136) -- cycle;
\node at (5.071,4.836) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.893,4.091) -- (6.493,4.091) -- (6.493,4.691) -- (5.893,4.691) -- cycle;
\node at (6.193,4.391) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.474,6.764) -- (9.074,6.764) -- (9.074,7.364) -- (8.474,7.364) -- cycle;
\node at (8.774,7.064) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\node at (0.997,8.265) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (8.306,8.285) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (10.645,7.472) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (7.685,5.381) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (4.456,4.757) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (11.117,4.508) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (0.765,4.494) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (3.721,1.47) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\node at (11.873,0.95) {\scalebox{1.43}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.682,7.005) -- (12.682,8.105);
\draw[line width=0.5pt] (12.451,7.72) -- (12.682,8.105) -- (12.913,7.72);
\draw[line width=0.5pt] (12.38,7.555) -- (12.985,7.555);
\node at (12.682,8.49) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse Sainte-Anne & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Puits & ⑦ rue de l'Église & Ⓑ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑧ rue Basse & Ⓒ Place du Marché & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑨ rue du Moulin & Ⓓ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
⑤ chemin des Vignes & ⑩ impasse du Vieux-Four & Ⓔ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6257, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.533,7.955) -- (1.485,7.715) -- (1.443,7.474) -- (1.406,7.233) -- (1.376,6.99) -- (1.35,6.747) -- (1.331,6.503) -- (1.317,6.259) -- (1.309,6.014) -- (1.307,5.77) -- (1.311,5.525) -- (1.32,5.281) -- (1.335,5.037) -- (1.356,4.794) -- (1.382,4.551);
\draw[line width=0.5pt] (8.015,7.738) -- (8.17,7.719) -- (8.325,7.697) -- (8.479,7.671) -- (8.633,7.642) -- (8.785,7.609) -- (8.937,7.572) -- (9.088,7.532) -- (9.239,7.488) -- (9.388,7.441) -- (9.536,7.39) -- (9.682,7.336) -- (9.827,7.279) -- (9.971,7.218) -- (10.114,7.153);
\draw[line width=0.5pt] (8.015,7.738) -- (7.922,7.567) -- (7.833,7.395) -- (7.748,7.221) -- (7.667,7.044) -- (7.59,6.866) -- (7.518,6.686) -- (7.449,6.504) -- (7.385,6.321) -- (7.326,6.136) -- (7.27,5.95) -- (7.219,5.763) -- (7.173,5.574) -- (7.131,5.385) -- (7.093,5.195);
\draw[line width=0.5pt] (8.015,7.738) -- (7.838,7.5) -- (7.656,7.266) -- (7.468,7.037) -- (7.274,6.812) -- (7.076,6.592) -- (6.872,6.376) -- (6.663,6.166) -- (6.449,5.96) -- (6.231,5.759) -- (6.008,5.564) -- (5.78,5.374) -- (5.548,5.189) -- (5.312,5.01) -- (5.071,4.836);
\draw[line width=0.5pt] (10.114,7.153) -- (10.113,6.967) -- (10.117,6.78) -- (10.125,6.593) -- (10.137,6.407) -- (10.154,6.221) -- (10.175,6.035) -- (10.201,5.85) -- (10.231,5.666) -- (10.265,5.482) -- (10.304,5.299) -- (10.347,5.117) -- (10.394,4.936) -- (10.445,4.757) -- (10.501,4.579);
\draw[line width=0.5pt] (7.093,5.195) -- (6.954,5.147) -- (6.813,5.103) -- (6.672,5.062) -- (6.529,5.024) -- (6.386,4.99) -- (6.242,4.959) -- (6.097,4.932) -- (5.952,4.908) -- (5.806,4.888) -- (5.659,4.87) -- (5.513,4.857) -- (5.366,4.846) -- (5.219,4.84) -- (5.071,4.836);
\draw[line width=0.5pt] (7.093,5.195) -- (7.328,5.114) -- (7.565,5.038) -- (7.803,4.968) -- (8.043,4.904) -- (8.285,4.846) -- (8.528,4.793) -- (8.772,4.746) -- (9.017,4.705) -- (9.263,4.669) -- (9.51,4.639) -- (9.757,4.615) -- (10.005,4.597) -- (10.253,4.585) -- (10.501,4.579);
\draw[line width=0.5pt] (5.071,4.836) -- (4.813,4.776) -- (4.553,4.721) -- (4.292,4.673) -- (4.03,4.631) -- (3.767,4.595) -- (3.503,4.565) -- (3.239,4.541) -- (2.974,4.524) -- (2.708,4.513) -- (2.443,4.508) -- (2.177,4.509) -- (1.912,4.517) -- (1.647,4.531) -- (1.382,4.551);
\draw[line width=0.5pt] (5.071,4.836) -- (4.972,4.643) -- (4.876,4.447) -- (4.786,4.248) -- (4.7,4.048) -- (4.619,3.845) -- (4.543,3.641) -- (4.471,3.435) -- (4.405,3.227) -- (4.343,3.017) -- (4.286,2.807) -- (4.234,2.595) -- (4.187,2.382) -- (4.146,2.168) -- (4.109,1.953);
\draw[line width=0.5pt] (4.109,1.953) -- (4.355,1.932) -- (4.601,1.906) -- (4.846,1.873) -- (5.09,1.835) -- (5.334,1.791) -- (5.576,1.741) -- (5.817,1.686) -- (6.057,1.625) -- (6.295,1.558) -- (6.532,1.486) -- (6.767,1.408) -- (7.0,1.325) -- (7.23,1.236) -- (7.459,1.142) -- (7.739,1.113) -- (8.02,1.09) -- (8.301,1.073) -- (8.583,1.063) -- (8.865,1.06) -- (9.147,1.064) -- (9.428,1.074) -- (9.71,1.09) -- (9.991,1.114) -- (10.271,1.143) -- (10.551,1.18) -- (10.829,1.223) -- (11.106,1.272) -- (11.382,1.329);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.693,7.955) -- (1.672,8.035) -- (1.613,8.093) -- (1.533,8.115) -- (1.453,8.093) -- (1.395,8.035) -- (1.373,7.955) -- (1.395,7.875) -- (1.453,7.816) -- (1.533,7.795) -- (1.613,7.816) -- (1.672,7.875) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.175,7.738) -- (8.154,7.818) -- (8.095,7.876) -- (8.015,7.898) -- (7.935,7.876) -- (7.877,7.818) -- (7.855,7.738) -- (7.877,7.658) -- (7.935,7.599) -- (8.015,7.578) -- (8.095,7.599) -- (8.154,7.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.274,7.153) -- (10.252,7.233) -- (10.194,7.292) -- (10.114,7.313) -- (10.034,7.292) -- (9.975,7.233) -- (9.954,7.153) -- (9.975,7.073) -- (10.034,7.015) -- (10.114,6.993) -- (10.194,7.015) -- (10.252,7.073) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.253,5.195) -- (7.232,5.275) -- (7.173,5.333) -- (7.093,5.355) -- (7.013,5.333) -- (6.955,5.275) -- (6.933,5.195) -- (6.955,5.115) -- (7.013,5.056) -- (7.093,5.035) -- (7.173,5.056) -- (7.232,5.115) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.231,4.836) -- (5.21,4.916) -- (5.151,4.975) -- (5.071,4.996) -- (4.991,4.975) -- (4.933,4.916) -- (4.911,4.836) -- (4.933,4.756) -- (4.991,4.698) -- (5.071,4.676) -- (5.151,4.698) -- (5.21,4.756) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.661,4.579) -- (10.64,4.659) -- (10.581,4.717) -- (10.501,4.739) -- (10.421,4.717) -- (10.362,4.659) -- (10.341,4.579) -- (10.362,4.499) -- (10.421,4.44) -- (10.501,4.419) -- (10.581,4.44) -- (10.64,4.499) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.542,4.551) -- (1.521,4.631) -- (1.462,4.689) -- (1.382,4.711) -- (1.302,4.689) -- (1.244,4.631) -- (1.222,4.551) -- (1.244,4.471) -- (1.302,4.412) -- (1.382,4.391) -- (1.462,4.412) -- (1.521,4.471) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.269,1.953) -- (4.248,2.033) -- (4.189,2.092) -- (4.109,2.113) -- (4.029,2.092) -- (3.97,2.033) -- (3.949,1.953) -- (3.97,1.873) -- (4.029,1.815) -- (4.109,1.793) -- (4.189,1.815) -- (4.248,1.873) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.542,1.329) -- (11.521,1.409) -- (11.462,1.467) -- (11.382,1.489) -- (11.302,1.467) -- (11.244,1.409) -- (11.222,1.329) -- (11.244,1.249) -- (11.302,1.19) -- (11.382,1.169) -- (11.462,1.19) -- (11.521,1.249) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.977,6.245) -- (1.931,6.415) -- (1.807,6.539) -- (1.637,6.585) -- (1.467,6.539) -- (1.343,6.415) -- (1.297,6.245) -- (1.343,6.075) -- (1.467,5.95) -- (1.637,5.905) -- (1.807,5.95) -- (1.931,6.075) -- cycle;
\node at (1.637,6.245) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.514,7.84) -- (9.469,8.01) -- (9.344,8.135) -- (9.174,8.18) -- (9.004,8.135) -- (8.88,8.01) -- (8.834,7.84) -- (8.88,7.67) -- (9.004,7.546) -- (9.174,7.5) -- (9.344,7.546) -- (9.469,7.67) -- cycle;
\node at (9.174,7.84) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.09,6.395) -- (8.045,6.565) -- (7.92,6.689) -- (7.75,6.735) -- (7.58,6.689) -- (7.456,6.565) -- (7.41,6.395) -- (7.456,6.225) -- (7.58,6.101) -- (7.75,6.055) -- (7.92,6.101) -- (8.045,6.225) -- cycle;
\node at (7.75,6.395) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.778,6.393) -- (6.733,6.563) -- (6.608,6.688) -- (6.438,6.733) -- (6.268,6.688) -- (6.144,6.563) -- (6.098,6.393) -- (6.144,6.223) -- (6.268,6.099) -- (6.438,6.053) -- (6.608,6.099) -- (6.733,6.223) -- cycle;
\node at (6.438,6.393) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.858,5.898) -- (10.812,6.068) -- (10.688,6.192) -- (10.518,6.238) -- (10.348,6.192) -- (10.223,6.068) -- (10.178,5.898) -- (10.223,5.728) -- (10.348,5.603) -- (10.518,5.558) -- (10.688,5.603) -- (10.812,5.728) -- cycle;
\node at (10.518,5.898) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.493,4.617) -- (6.447,4.787) -- (6.323,4.911) -- (6.153,4.957) -- (5.983,4.911) -- (5.858,4.787) -- (5.813,4.617) -- (5.858,4.447) -- (5.983,4.323) -- (6.153,4.277) -- (6.323,4.323) -- (6.447,4.447) -- cycle;
\node at (6.153,4.617) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.169,5.061) -- (9.123,5.231) -- (8.999,5.355) -- (8.829,5.401) -- (8.659,5.355) -- (8.534,5.231) -- (8.489,5.061) -- (8.534,4.891) -- (8.659,4.767) -- (8.829,4.721) -- (8.999,4.767) -- (9.123,4.891) -- cycle;
\node at (8.829,5.061) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.603,4.222) -- (3.558,4.392) -- (3.433,4.517) -- (3.263,4.562) -- (3.093,4.517) -- (2.969,4.392) -- (2.923,4.222) -- (2.969,4.052) -- (3.093,3.928) -- (3.263,3.882) -- (3.433,3.928) -- (3.558,4.052) -- cycle;
\node at (3.263,4.222) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.115,3.333) -- (5.069,3.503) -- (4.945,3.628) -- (4.775,3.673) -- (4.605,3.628) -- (4.48,3.503) -- (4.435,3.333) -- (4.48,3.163) -- (4.605,3.039) -- (4.775,2.993) -- (4.945,3.039) -- (5.069,3.163) -- cycle;
\node at (4.775,3.333) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.875,1.453) -- (7.829,1.623) -- (7.705,1.748) -- (7.535,1.793) -- (7.365,1.748) -- (7.24,1.623) -- (7.195,1.453) -- (7.24,1.283) -- (7.365,1.159) -- (7.535,1.113) -- (7.705,1.159) -- (7.829,1.283) -- cycle;
\node at (7.535,1.453) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.771,4.536) -- (5.371,4.536) -- (5.371,5.136) -- (4.771,5.136) -- cycle;
\node at (5.071,4.836) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.893,4.091) -- (6.493,4.091) -- (6.493,4.691) -- (5.893,4.691) -- cycle;
\node at (6.193,4.391) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.474,6.764) -- (9.074,6.764) -- (9.074,7.364) -- (8.474,7.364) -- cycle;
\node at (8.774,7.064) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\node at (0.997,8.265) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (8.306,8.285) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (10.645,7.472) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (7.685,5.381) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (4.456,4.757) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (11.117,4.508) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (0.765,4.494) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (3.721,1.47) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\node at (11.873,0.95) {\scalebox{1.598}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.682,7.005) -- (12.682,8.105);
\draw[line width=0.5pt] (12.451,7.72) -- (12.682,8.105) -- (12.913,7.72);
\draw[line width=0.5pt] (12.38,7.555) -- (12.985,7.555);
\node at (12.682,8.49) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 3 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{I} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, D, I).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
