\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 22}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=22}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0022}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7011, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.913,10.991) -- (7.625,10.864) -- (7.34,10.731) -- (7.058,10.591) -- (6.78,10.444) -- (6.505,10.291) -- (6.234,10.132) -- (5.967,9.966) -- (5.704,9.793) -- (5.444,9.615) -- (5.189,9.431) -- (4.939,9.241) -- (4.693,9.045) -- (4.452,8.843) -- (4.216,8.635);
\draw[line width=0.5pt] (7.913,10.991) -- (7.94,10.754) -- (7.962,10.516) -- (7.978,10.278) -- (7.989,10.039) -- (7.994,9.801) -- (7.993,9.562) -- (7.987,9.323) -- (7.976,9.084) -- (7.958,8.846) -- (7.935,8.608) -- (7.907,8.371) -- (7.873,8.135) -- (7.833,7.9) -- (7.788,7.665) -- (7.783,7.49) -- (7.782,7.315) -- (7.785,7.14) -- (7.793,6.965) -- (7.805,6.79) -- (7.82,6.615) -- (7.84,6.441) -- (7.864,6.268) -- (7.892,6.095) -- (7.924,5.922) -- (7.96,5.751) -- (8.001,5.58) -- (8.045,5.411) -- (8.093,5.242);
\draw[line width=0.5pt] (4.216,8.635) -- (4.012,8.66) -- (3.807,8.681) -- (3.601,8.696) -- (3.396,8.707) -- (3.19,8.712) -- (2.984,8.713) -- (2.778,8.709) -- (2.572,8.7) -- (2.366,8.687) -- (2.161,8.668) -- (1.956,8.645) -- (1.752,8.617) -- (1.549,8.584) -- (1.347,8.546);
\draw[line width=0.5pt] (4.216,8.635) -- (4.528,8.437) -- (4.835,8.232) -- (5.137,8.019) -- (5.434,7.799) -- (5.726,7.573) -- (6.013,7.339) -- (6.294,7.099) -- (6.57,6.852) -- (6.839,6.599) -- (7.103,6.339) -- (7.36,6.074) -- (7.611,5.802) -- (7.855,5.525) -- (8.093,5.242);
\draw[line width=0.5pt] (4.216,8.635) -- (4.22,8.347) -- (4.232,8.059) -- (4.25,7.771) -- (4.275,7.483) -- (4.306,7.196) -- (4.345,6.91) -- (4.39,6.624) -- (4.442,6.34) -- (4.5,6.058) -- (4.566,5.776) -- (4.637,5.497) -- (4.716,5.219) -- (4.8,4.943) -- (4.892,4.669) -- (4.951,4.45) -- (5.005,4.229) -- (5.054,4.007) -- (5.098,3.783) -- (5.137,3.559) -- (5.17,3.334) -- (5.198,3.108) -- (5.221,2.881) -- (5.238,2.654) -- (5.25,2.427) -- (5.257,2.199) -- (5.258,1.972) -- (5.254,1.744) -- (5.244,1.517);
\draw[line width=0.5pt] (10.183,8.343) -- (10.069,8.1) -- (9.949,7.861) -- (9.823,7.624) -- (9.692,7.389) -- (9.555,7.158) -- (9.413,6.931) -- (9.266,6.706) -- (9.113,6.486) -- (8.955,6.268) -- (8.793,6.055) -- (8.625,5.846) -- (8.452,5.64) -- (8.275,5.439) -- (8.093,5.242);
\draw[line width=0.5pt] (10.183,8.343) -- (10.178,8.082) -- (10.18,7.821) -- (10.188,7.559) -- (10.202,7.298) -- (10.222,7.038) -- (10.248,6.778) -- (10.281,6.518) -- (10.319,6.26) -- (10.364,6.002) -- (10.414,5.746) -- (10.471,5.49) -- (10.533,5.237) -- (10.602,4.985) -- (10.676,4.734);
\draw[line width=0.5pt] (8.093,5.242) -- (8.281,5.235) -- (8.47,5.222) -- (8.658,5.206) -- (8.846,5.185) -- (9.033,5.159) -- (9.22,5.129) -- (9.406,5.095) -- (9.591,5.056) -- (9.775,5.013) -- (9.958,4.966) -- (10.139,4.914) -- (10.32,4.859) -- (10.499,4.798) -- (10.676,4.734);
\draw[line width=0.5pt] (8.093,5.242) -- (8.295,5.02) -- (8.502,4.802) -- (8.714,4.59) -- (8.931,4.382) -- (9.153,4.18) -- (9.38,3.982) -- (9.611,3.791) -- (9.847,3.604) -- (10.087,3.423) -- (10.331,3.248) -- (10.58,3.079) -- (10.832,2.916) -- (11.087,2.758) -- (11.347,2.607);
\draw[line width=0.5pt] (8.093,5.242) -- (7.932,4.947) -- (7.764,4.656) -- (7.589,4.368) -- (7.407,4.085) -- (7.219,3.806) -- (7.024,3.532) -- (6.822,3.262) -- (6.615,2.997) -- (6.401,2.737) -- (6.181,2.482) -- (5.956,2.232) -- (5.724,1.988) -- (5.487,1.75) -- (5.244,1.517);
\draw[line width=0.5pt] (10.676,4.734) -- (10.701,4.576) -- (10.729,4.419) -- (10.76,4.262) -- (10.796,4.106) -- (10.835,3.951) -- (10.878,3.796) -- (10.924,3.643) -- (10.974,3.491) -- (11.027,3.34) -- (11.084,3.191) -- (11.145,3.042) -- (11.209,2.896) -- (11.276,2.751) -- (11.347,2.607);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.073,10.991) -- (8.051,11.071) -- (7.993,11.129) -- (7.913,11.151) -- (7.833,11.129) -- (7.774,11.071) -- (7.753,10.991) -- (7.774,10.911) -- (7.833,10.852) -- (7.913,10.831) -- (7.993,10.852) -- (8.051,10.911) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.376,8.635) -- (4.354,8.715) -- (4.296,8.774) -- (4.216,8.795) -- (4.136,8.774) -- (4.077,8.715) -- (4.056,8.635) -- (4.077,8.555) -- (4.136,8.497) -- (4.216,8.475) -- (4.296,8.497) -- (4.354,8.555) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.507,8.546) -- (1.485,8.626) -- (1.427,8.685) -- (1.347,8.706) -- (1.267,8.685) -- (1.208,8.626) -- (1.187,8.546) -- (1.208,8.466) -- (1.267,8.407) -- (1.347,8.386) -- (1.427,8.407) -- (1.485,8.466) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.343,8.343) -- (10.321,8.423) -- (10.263,8.482) -- (10.183,8.503) -- (10.103,8.482) -- (10.044,8.423) -- (10.023,8.343) -- (10.044,8.263) -- (10.103,8.204) -- (10.183,8.183) -- (10.263,8.204) -- (10.321,8.263) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.253,5.242) -- (8.231,5.322) -- (8.173,5.381) -- (8.093,5.402) -- (8.013,5.381) -- (7.954,5.322) -- (7.933,5.242) -- (7.954,5.162) -- (8.013,5.104) -- (8.093,5.082) -- (8.173,5.104) -- (8.231,5.162) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.836,4.734) -- (10.815,4.814) -- (10.756,4.873) -- (10.676,4.894) -- (10.596,4.873) -- (10.538,4.814) -- (10.516,4.734) -- (10.538,4.654) -- (10.596,4.596) -- (10.676,4.574) -- (10.756,4.596) -- (10.815,4.654) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.507,2.607) -- (11.485,2.687) -- (11.427,2.746) -- (11.347,2.767) -- (11.267,2.746) -- (11.208,2.687) -- (11.187,2.607) -- (11.208,2.527) -- (11.267,2.469) -- (11.347,2.447) -- (11.427,2.469) -- (11.485,2.527) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.404,1.517) -- (5.383,1.597) -- (5.324,1.655) -- (5.244,1.677) -- (5.164,1.655) -- (5.106,1.597) -- (5.084,1.517) -- (5.106,1.437) -- (5.164,1.378) -- (5.244,1.357) -- (5.324,1.378) -- (5.383,1.437) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.479,9.696) -- (6.433,9.866) -- (6.309,9.99) -- (6.139,10.036) -- (5.969,9.99) -- (5.845,9.866) -- (5.799,9.696) -- (5.845,9.526) -- (5.969,9.401) -- (6.139,9.356) -- (6.309,9.401) -- (6.433,9.526) -- cycle;
\node at (6.139,9.696) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.445,7.627) -- (8.4,7.797) -- (8.275,7.921) -- (8.105,7.967) -- (7.935,7.921) -- (7.811,7.797) -- (7.765,7.627) -- (7.811,7.457) -- (7.935,7.332) -- (8.105,7.287) -- (8.275,7.332) -- (8.4,7.457) -- cycle;
\node at (8.105,7.627) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.128,8.389) -- (3.082,8.559) -- (2.958,8.684) -- (2.788,8.729) -- (2.618,8.684) -- (2.493,8.559) -- (2.448,8.389) -- (2.493,8.219) -- (2.618,8.095) -- (2.788,8.049) -- (2.958,8.095) -- (3.082,8.219) -- cycle;
\node at (2.788,8.389) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.845,7.34) -- (6.799,7.51) -- (6.675,7.634) -- (6.505,7.68) -- (6.335,7.634) -- (6.211,7.51) -- (6.165,7.34) -- (6.211,7.17) -- (6.335,7.045) -- (6.505,7.0) -- (6.675,7.045) -- (6.799,7.17) -- cycle;
\node at (6.505,7.34) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.538,4.763) -- (5.492,4.933) -- (5.368,5.057) -- (5.198,5.103) -- (5.028,5.057) -- (4.903,4.933) -- (4.858,4.763) -- (4.903,4.593) -- (5.028,4.468) -- (5.198,4.423) -- (5.368,4.468) -- (5.492,4.593) -- cycle;
\node at (5.198,4.763) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.871,6.528) -- (9.826,6.698) -- (9.701,6.822) -- (9.531,6.868) -- (9.361,6.822) -- (9.237,6.698) -- (9.191,6.528) -- (9.237,6.358) -- (9.361,6.233) -- (9.531,6.188) -- (9.701,6.233) -- (9.826,6.358) -- cycle;
\node at (9.531,6.528) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.938,6.562) -- (10.892,6.732) -- (10.768,6.856) -- (10.598,6.902) -- (10.428,6.856) -- (10.303,6.732) -- (10.258,6.562) -- (10.303,6.392) -- (10.428,6.267) -- (10.598,6.222) -- (10.768,6.267) -- (10.892,6.392) -- cycle;
\node at (10.598,6.562) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.807,5.409) -- (9.762,5.579) -- (9.637,5.703) -- (9.467,5.749) -- (9.297,5.703) -- (9.173,5.579) -- (9.127,5.409) -- (9.173,5.239) -- (9.297,5.114) -- (9.467,5.069) -- (9.637,5.114) -- (9.762,5.239) -- cycle;
\node at (9.467,5.409) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.153,4.039) -- (10.107,4.209) -- (9.983,4.334) -- (9.813,4.379) -- (9.643,4.334) -- (9.518,4.209) -- (9.473,4.039) -- (9.518,3.869) -- (9.643,3.745) -- (9.813,3.699) -- (9.983,3.745) -- (10.107,3.869) -- cycle;
\node at (9.813,4.039) {\scalebox{1.426}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.417,3.068) -- (7.371,3.238) -- (7.247,3.362) -- (7.077,3.408) -- (6.907,3.362) -- (6.782,3.238) -- (6.737,3.068) -- (6.782,2.898) -- (6.907,2.773) -- (7.077,2.728) -- (7.247,2.773) -- (7.371,2.898) -- cycle;
\node at (7.077,3.068) {\scalebox{1.426}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.569,3.739) -- (11.523,3.909) -- (11.399,4.034) -- (11.229,4.079) -- (11.059,4.034) -- (10.935,3.909) -- (10.889,3.739) -- (10.935,3.569) -- (11.059,3.445) -- (11.229,3.399) -- (11.399,3.445) -- (11.523,3.569) -- cycle;
\node at (11.229,3.739) {\scalebox{1.426}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.793,4.942) -- (8.393,4.942) -- (8.393,5.542) -- (7.793,5.542) -- cycle;
\node at (8.093,5.242) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.622,6.377) -- (12.222,6.377) -- (12.222,6.977) -- (11.622,6.977) -- cycle;
\node at (11.922,6.677) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.657,3.918) -- (10.257,3.918) -- (10.257,4.518) -- (9.657,4.518) -- cycle;
\node at (9.957,4.218) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\node at (7.983,11.607) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (3.715,9.001) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (0.765,8.76) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (10.686,8.705) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (8.434,4.725) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (11.235,4.465) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\node at (11.799,2.183) {\scalebox{1.426}{\small G}};
\node at (4.993,0.95) {\scalebox{1.426}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.647,10.041) -- (12.647,11.141);
\draw[line width=0.5pt] (12.416,10.756) -- (12.647,11.141) -- (12.878,10.756);
\draw[line width=0.5pt] (12.344,10.591) -- (12.949,10.591);
\node at (12.647,11.526) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin du Lavoir & ⑦ chemin Creux & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② boulevard du Parc & ⑧ rue Neuve & Ⓑ Carrefour des Tilleuls & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ impasse des Roses & ⑨ rue de la Mairie & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ rue Basse & ⑩ venelle du Chat & Ⓓ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
⑤ rue du Stade & ⑪ allée des Peupliers & Ⓔ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
⑥ chemin de Ronde &  & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6273, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.913,10.991) -- (7.625,10.864) -- (7.34,10.731) -- (7.058,10.591) -- (6.78,10.444) -- (6.505,10.291) -- (6.234,10.132) -- (5.967,9.966) -- (5.704,9.793) -- (5.444,9.615) -- (5.189,9.431) -- (4.939,9.241) -- (4.693,9.045) -- (4.452,8.843) -- (4.216,8.635);
\draw[line width=0.5pt] (7.913,10.991) -- (7.94,10.754) -- (7.962,10.516) -- (7.978,10.278) -- (7.989,10.039) -- (7.994,9.801) -- (7.993,9.562) -- (7.987,9.323) -- (7.976,9.084) -- (7.958,8.846) -- (7.935,8.608) -- (7.907,8.371) -- (7.873,8.135) -- (7.833,7.9) -- (7.788,7.665) -- (7.783,7.49) -- (7.782,7.315) -- (7.785,7.14) -- (7.793,6.965) -- (7.805,6.79) -- (7.82,6.615) -- (7.84,6.441) -- (7.864,6.268) -- (7.892,6.095) -- (7.924,5.922) -- (7.96,5.751) -- (8.001,5.58) -- (8.045,5.411) -- (8.093,5.242);
\draw[line width=0.5pt] (4.216,8.635) -- (4.012,8.66) -- (3.807,8.681) -- (3.601,8.696) -- (3.396,8.707) -- (3.19,8.712) -- (2.984,8.713) -- (2.778,8.709) -- (2.572,8.7) -- (2.366,8.687) -- (2.161,8.668) -- (1.956,8.645) -- (1.752,8.617) -- (1.549,8.584) -- (1.347,8.546);
\draw[line width=0.5pt] (4.216,8.635) -- (4.528,8.437) -- (4.835,8.232) -- (5.137,8.019) -- (5.434,7.799) -- (5.726,7.573) -- (6.013,7.339) -- (6.294,7.099) -- (6.57,6.852) -- (6.839,6.599) -- (7.103,6.339) -- (7.36,6.074) -- (7.611,5.802) -- (7.855,5.525) -- (8.093,5.242);
\draw[line width=0.5pt] (4.216,8.635) -- (4.22,8.347) -- (4.232,8.059) -- (4.25,7.771) -- (4.275,7.483) -- (4.306,7.196) -- (4.345,6.91) -- (4.39,6.624) -- (4.442,6.34) -- (4.5,6.058) -- (4.566,5.776) -- (4.637,5.497) -- (4.716,5.219) -- (4.8,4.943) -- (4.892,4.669) -- (4.951,4.45) -- (5.005,4.229) -- (5.054,4.007) -- (5.098,3.783) -- (5.137,3.559) -- (5.17,3.334) -- (5.198,3.108) -- (5.221,2.881) -- (5.238,2.654) -- (5.25,2.427) -- (5.257,2.199) -- (5.258,1.972) -- (5.254,1.744) -- (5.244,1.517);
\draw[line width=0.5pt] (10.183,8.343) -- (10.069,8.1) -- (9.949,7.861) -- (9.823,7.624) -- (9.692,7.389) -- (9.555,7.158) -- (9.413,6.931) -- (9.266,6.706) -- (9.113,6.486) -- (8.955,6.268) -- (8.793,6.055) -- (8.625,5.846) -- (8.452,5.64) -- (8.275,5.439) -- (8.093,5.242);
\draw[line width=0.5pt] (10.183,8.343) -- (10.178,8.082) -- (10.18,7.821) -- (10.188,7.559) -- (10.202,7.298) -- (10.222,7.038) -- (10.248,6.778) -- (10.281,6.518) -- (10.319,6.26) -- (10.364,6.002) -- (10.414,5.746) -- (10.471,5.49) -- (10.533,5.237) -- (10.602,4.985) -- (10.676,4.734);
\draw[line width=0.5pt] (8.093,5.242) -- (8.281,5.235) -- (8.47,5.222) -- (8.658,5.206) -- (8.846,5.185) -- (9.033,5.159) -- (9.22,5.129) -- (9.406,5.095) -- (9.591,5.056) -- (9.775,5.013) -- (9.958,4.966) -- (10.139,4.914) -- (10.32,4.859) -- (10.499,4.798) -- (10.676,4.734);
\draw[line width=0.5pt] (8.093,5.242) -- (8.295,5.02) -- (8.502,4.802) -- (8.714,4.59) -- (8.931,4.382) -- (9.153,4.18) -- (9.38,3.982) -- (9.611,3.791) -- (9.847,3.604) -- (10.087,3.423) -- (10.331,3.248) -- (10.58,3.079) -- (10.832,2.916) -- (11.087,2.758) -- (11.347,2.607);
\draw[line width=0.5pt] (8.093,5.242) -- (7.932,4.947) -- (7.764,4.656) -- (7.589,4.368) -- (7.407,4.085) -- (7.219,3.806) -- (7.024,3.532) -- (6.822,3.262) -- (6.615,2.997) -- (6.401,2.737) -- (6.181,2.482) -- (5.956,2.232) -- (5.724,1.988) -- (5.487,1.75) -- (5.244,1.517);
\draw[line width=0.5pt] (10.676,4.734) -- (10.701,4.576) -- (10.729,4.419) -- (10.76,4.262) -- (10.796,4.106) -- (10.835,3.951) -- (10.878,3.796) -- (10.924,3.643) -- (10.974,3.491) -- (11.027,3.34) -- (11.084,3.191) -- (11.145,3.042) -- (11.209,2.896) -- (11.276,2.751) -- (11.347,2.607);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.073,10.991) -- (8.051,11.071) -- (7.993,11.129) -- (7.913,11.151) -- (7.833,11.129) -- (7.774,11.071) -- (7.753,10.991) -- (7.774,10.911) -- (7.833,10.852) -- (7.913,10.831) -- (7.993,10.852) -- (8.051,10.911) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.376,8.635) -- (4.354,8.715) -- (4.296,8.774) -- (4.216,8.795) -- (4.136,8.774) -- (4.077,8.715) -- (4.056,8.635) -- (4.077,8.555) -- (4.136,8.497) -- (4.216,8.475) -- (4.296,8.497) -- (4.354,8.555) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.507,8.546) -- (1.485,8.626) -- (1.427,8.685) -- (1.347,8.706) -- (1.267,8.685) -- (1.208,8.626) -- (1.187,8.546) -- (1.208,8.466) -- (1.267,8.407) -- (1.347,8.386) -- (1.427,8.407) -- (1.485,8.466) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.343,8.343) -- (10.321,8.423) -- (10.263,8.482) -- (10.183,8.503) -- (10.103,8.482) -- (10.044,8.423) -- (10.023,8.343) -- (10.044,8.263) -- (10.103,8.204) -- (10.183,8.183) -- (10.263,8.204) -- (10.321,8.263) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.253,5.242) -- (8.231,5.322) -- (8.173,5.381) -- (8.093,5.402) -- (8.013,5.381) -- (7.954,5.322) -- (7.933,5.242) -- (7.954,5.162) -- (8.013,5.104) -- (8.093,5.082) -- (8.173,5.104) -- (8.231,5.162) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.836,4.734) -- (10.815,4.814) -- (10.756,4.873) -- (10.676,4.894) -- (10.596,4.873) -- (10.538,4.814) -- (10.516,4.734) -- (10.538,4.654) -- (10.596,4.596) -- (10.676,4.574) -- (10.756,4.596) -- (10.815,4.654) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.507,2.607) -- (11.485,2.687) -- (11.427,2.746) -- (11.347,2.767) -- (11.267,2.746) -- (11.208,2.687) -- (11.187,2.607) -- (11.208,2.527) -- (11.267,2.469) -- (11.347,2.447) -- (11.427,2.469) -- (11.485,2.527) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.404,1.517) -- (5.383,1.597) -- (5.324,1.655) -- (5.244,1.677) -- (5.164,1.655) -- (5.106,1.597) -- (5.084,1.517) -- (5.106,1.437) -- (5.164,1.378) -- (5.244,1.357) -- (5.324,1.378) -- (5.383,1.437) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.479,9.696) -- (6.433,9.866) -- (6.309,9.99) -- (6.139,10.036) -- (5.969,9.99) -- (5.845,9.866) -- (5.799,9.696) -- (5.845,9.526) -- (5.969,9.401) -- (6.139,9.356) -- (6.309,9.401) -- (6.433,9.526) -- cycle;
\node at (6.139,9.696) {\scalebox{1.594}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.445,7.627) -- (8.4,7.797) -- (8.275,7.921) -- (8.105,7.967) -- (7.935,7.921) -- (7.811,7.797) -- (7.765,7.627) -- (7.811,7.457) -- (7.935,7.332) -- (8.105,7.287) -- (8.275,7.332) -- (8.4,7.457) -- cycle;
\node at (8.105,7.627) {\scalebox{1.594}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.128,8.389) -- (3.082,8.559) -- (2.958,8.684) -- (2.788,8.729) -- (2.618,8.684) -- (2.493,8.559) -- (2.448,8.389) -- (2.493,8.219) -- (2.618,8.095) -- (2.788,8.049) -- (2.958,8.095) -- (3.082,8.219) -- cycle;
\node at (2.788,8.389) {\scalebox{1.594}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.845,7.34) -- (6.799,7.51) -- (6.675,7.634) -- (6.505,7.68) -- (6.335,7.634) -- (6.211,7.51) -- (6.165,7.34) -- (6.211,7.17) -- (6.335,7.045) -- (6.505,7.0) -- (6.675,7.045) -- (6.799,7.17) -- cycle;
\node at (6.505,7.34) {\scalebox{1.594}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.538,4.763) -- (5.492,4.933) -- (5.368,5.057) -- (5.198,5.103) -- (5.028,5.057) -- (4.903,4.933) -- (4.858,4.763) -- (4.903,4.593) -- (5.028,4.468) -- (5.198,4.423) -- (5.368,4.468) -- (5.492,4.593) -- cycle;
\node at (5.198,4.763) {\scalebox{1.594}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.871,6.528) -- (9.826,6.698) -- (9.701,6.822) -- (9.531,6.868) -- (9.361,6.822) -- (9.237,6.698) -- (9.191,6.528) -- (9.237,6.358) -- (9.361,6.233) -- (9.531,6.188) -- (9.701,6.233) -- (9.826,6.358) -- cycle;
\node at (9.531,6.528) {\scalebox{1.594}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.938,6.562) -- (10.892,6.732) -- (10.768,6.856) -- (10.598,6.902) -- (10.428,6.856) -- (10.303,6.732) -- (10.258,6.562) -- (10.303,6.392) -- (10.428,6.267) -- (10.598,6.222) -- (10.768,6.267) -- (10.892,6.392) -- cycle;
\node at (10.598,6.562) {\scalebox{1.594}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.807,5.409) -- (9.762,5.579) -- (9.637,5.703) -- (9.467,5.749) -- (9.297,5.703) -- (9.173,5.579) -- (9.127,5.409) -- (9.173,5.239) -- (9.297,5.114) -- (9.467,5.069) -- (9.637,5.114) -- (9.762,5.239) -- cycle;
\node at (9.467,5.409) {\scalebox{1.594}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.153,4.039) -- (10.107,4.209) -- (9.983,4.334) -- (9.813,4.379) -- (9.643,4.334) -- (9.518,4.209) -- (9.473,4.039) -- (9.518,3.869) -- (9.643,3.745) -- (9.813,3.699) -- (9.983,3.745) -- (10.107,3.869) -- cycle;
\node at (9.813,4.039) {\scalebox{1.594}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.417,3.068) -- (7.371,3.238) -- (7.247,3.362) -- (7.077,3.408) -- (6.907,3.362) -- (6.782,3.238) -- (6.737,3.068) -- (6.782,2.898) -- (6.907,2.773) -- (7.077,2.728) -- (7.247,2.773) -- (7.371,2.898) -- cycle;
\node at (7.077,3.068) {\scalebox{1.594}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.569,3.739) -- (11.523,3.909) -- (11.399,4.034) -- (11.229,4.079) -- (11.059,4.034) -- (10.935,3.909) -- (10.889,3.739) -- (10.935,3.569) -- (11.059,3.445) -- (11.229,3.399) -- (11.399,3.445) -- (11.523,3.569) -- cycle;
\node at (11.229,3.739) {\scalebox{1.594}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.793,4.942) -- (8.393,4.942) -- (8.393,5.542) -- (7.793,5.542) -- cycle;
\node at (8.093,5.242) {\scalebox{1.594}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.622,6.377) -- (12.222,6.377) -- (12.222,6.977) -- (11.622,6.977) -- cycle;
\node at (11.922,6.677) {\scalebox{1.594}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.657,3.918) -- (10.257,3.918) -- (10.257,4.518) -- (9.657,4.518) -- cycle;
\node at (9.957,4.218) {\scalebox{1.594}{\small c}};
\node at (7.983,11.607) {\scalebox{1.594}{\small A}};
\node at (3.715,9.001) {\scalebox{1.594}{\small B}};
\node at (0.765,8.76) {\scalebox{1.594}{\small C}};
\node at (10.686,8.705) {\scalebox{1.594}{\small D}};
\node at (8.434,4.725) {\scalebox{1.594}{\small E}};
\node at (11.235,4.465) {\scalebox{1.594}{\small F}};
\node at (11.799,2.183) {\scalebox{1.594}{\small G}};
\node at (4.993,0.95) {\scalebox{1.594}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.647,10.041) -- (12.647,11.141);
\draw[line width=0.5pt] (12.416,10.756) -- (12.647,11.141) -- (12.878,10.756);
\draw[line width=0.5pt] (12.344,10.591) -- (12.949,10.591);
\node at (12.647,11.526) {\scalebox{1.594}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 1 & 2 & 6 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{F} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{E}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{C} à \textbf{F}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de C :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place des Tanneurs \textbf{(C)}, prend l'\textbf{impasse des Roses ③} vers l'est et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ①}, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ②}, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑤}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑩}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin de Ronde ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(D)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin Creux ⑦}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑨}, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑪}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
