\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 221}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=221}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0221}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7004, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.988,11.279) -- (10.831,11.298) -- (10.673,11.313) -- (10.515,11.325) -- (10.357,11.332) -- (10.199,11.336) -- (10.04,11.337) -- (9.882,11.333) -- (9.723,11.326) -- (9.565,11.315) -- (9.407,11.301) -- (9.25,11.283) -- (9.093,11.261) -- (8.936,11.235) -- (8.781,11.206);
\draw[line width=0.5pt] (10.988,11.279) -- (11.052,11.039) -- (11.111,10.798) -- (11.163,10.556) -- (11.21,10.312) -- (11.251,10.067) -- (11.287,9.821) -- (11.316,9.575) -- (11.34,9.328) -- (11.358,9.08) -- (11.37,8.832) -- (11.377,8.584) -- (11.377,8.336) -- (11.372,8.088) -- (11.361,7.84);
\draw[line width=0.5pt] (8.781,11.206) -- (8.476,11.077) -- (8.174,10.94) -- (7.875,10.797) -- (7.579,10.647) -- (7.288,10.489) -- (6.999,10.325) -- (6.715,10.154) -- (6.435,9.977) -- (6.159,9.792) -- (5.888,9.602) -- (5.621,9.405) -- (5.359,9.202) -- (5.102,8.993) -- (4.85,8.778);
\draw[line width=0.5pt] (8.781,11.206) -- (9.0,10.995) -- (9.215,10.78) -- (9.425,10.559) -- (9.629,10.334) -- (9.828,10.104) -- (10.021,9.869) -- (10.209,9.629) -- (10.392,9.385) -- (10.568,9.138) -- (10.739,8.886) -- (10.904,8.63) -- (11.062,8.37) -- (11.215,8.107) -- (11.361,7.84);
\draw[line width=0.5pt] (4.85,8.778) -- (5.092,8.522) -- (5.339,8.271) -- (5.593,8.027) -- (5.852,7.788) -- (6.117,7.555) -- (6.388,7.329) -- (6.664,7.109) -- (6.944,6.896) -- (7.23,6.689) -- (7.521,6.489) -- (7.816,6.296) -- (8.115,6.11) -- (8.419,5.931) -- (8.726,5.76);
\draw[line width=0.5pt] (4.85,8.778) -- (4.641,8.492) -- (4.425,8.211) -- (4.203,7.935) -- (3.974,7.664) -- (3.738,7.399) -- (3.497,7.139) -- (3.25,6.885) -- (2.996,6.637) -- (2.737,6.395) -- (2.472,6.159) -- (2.202,5.929) -- (1.927,5.706) -- (1.646,5.489) -- (1.361,5.28);
\draw[line width=0.5pt] (4.85,8.778) -- (4.834,8.507) -- (4.825,8.236) -- (4.823,7.964) -- (4.826,7.693) -- (4.836,7.421) -- (4.853,7.15) -- (4.876,6.879) -- (4.905,6.609) -- (4.941,6.34) -- (4.982,6.071) -- (5.031,5.804) -- (5.085,5.538) -- (5.146,5.273) -- (5.213,5.01) -- (5.194,4.77) -- (5.17,4.53) -- (5.14,4.291) -- (5.105,4.052) -- (5.064,3.815) -- (5.017,3.578) -- (4.965,3.342) -- (4.908,3.108) -- (4.844,2.875) -- (4.776,2.644) -- (4.702,2.415) -- (4.622,2.187) -- (4.538,1.962) -- (4.448,1.738);
\draw[line width=0.5pt] (8.14,8.116) -- (8.371,8.132) -- (8.603,8.142) -- (8.835,8.147) -- (9.067,8.146) -- (9.298,8.14) -- (9.53,8.128) -- (9.762,8.111) -- (9.993,8.089) -- (10.223,8.061) -- (10.452,8.027) -- (10.681,7.988) -- (10.909,7.944) -- (11.135,7.895) -- (11.361,7.84);
\draw[line width=0.5pt] (8.14,8.116) -- (8.156,7.943) -- (8.176,7.77) -- (8.2,7.597) -- (8.228,7.425) -- (8.26,7.254) -- (8.296,7.084) -- (8.336,6.914) -- (8.38,6.745) -- (8.428,6.578) -- (8.48,6.411) -- (8.536,6.246) -- (8.596,6.083) -- (8.659,5.92) -- (8.726,5.76);
\draw[line width=0.5pt] (11.361,7.84) -- (11.197,7.664) -- (11.029,7.492) -- (10.856,7.323) -- (10.68,7.159) -- (10.5,6.999) -- (10.317,6.843) -- (10.129,6.691) -- (9.938,6.544) -- (9.744,6.402) -- (9.547,6.264) -- (9.346,6.13) -- (9.143,6.002) -- (8.936,5.878) -- (8.726,5.76);
\draw[line width=0.5pt] (8.726,5.76) -- (8.379,5.522) -- (8.038,5.275) -- (7.702,5.021) -- (7.372,4.758) -- (7.049,4.488) -- (6.732,4.211) -- (6.421,3.925) -- (6.117,3.633) -- (5.821,3.334) -- (5.531,3.028) -- (5.249,2.715) -- (4.974,2.396) -- (4.707,2.07) -- (4.448,1.738);
\draw[line width=0.5pt] (1.361,5.28) -- (1.412,5.006) -- (1.457,4.731) -- (1.496,4.455) -- (1.528,4.178) -- (1.553,3.901) -- (1.572,3.623) -- (1.585,3.344) -- (1.591,3.065) -- (1.59,2.786) -- (1.583,2.508) -- (1.569,2.229) -- (1.549,1.952) -- (1.522,1.674) -- (1.488,1.398);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.148,11.279) -- (11.127,11.359) -- (11.068,11.418) -- (10.988,11.439) -- (10.908,11.418) -- (10.85,11.359) -- (10.828,11.279) -- (10.85,11.199) -- (10.908,11.141) -- (10.988,11.119) -- (11.068,11.141) -- (11.127,11.199) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.941,11.206) -- (8.919,11.286) -- (8.861,11.344) -- (8.781,11.366) -- (8.701,11.344) -- (8.642,11.286) -- (8.621,11.206) -- (8.642,11.126) -- (8.701,11.067) -- (8.781,11.046) -- (8.861,11.067) -- (8.919,11.126) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.01,8.778) -- (4.988,8.858) -- (4.93,8.917) -- (4.85,8.938) -- (4.77,8.917) -- (4.711,8.858) -- (4.69,8.778) -- (4.711,8.698) -- (4.77,8.64) -- (4.85,8.618) -- (4.93,8.64) -- (4.988,8.698) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.3,8.116) -- (8.278,8.196) -- (8.22,8.255) -- (8.14,8.276) -- (8.06,8.255) -- (8.001,8.196) -- (7.98,8.116) -- (8.001,8.036) -- (8.06,7.978) -- (8.14,7.956) -- (8.22,7.978) -- (8.278,8.036) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.521,7.84) -- (11.499,7.92) -- (11.441,7.979) -- (11.361,8.0) -- (11.281,7.979) -- (11.222,7.92) -- (11.201,7.84) -- (11.222,7.76) -- (11.281,7.702) -- (11.361,7.68) -- (11.441,7.702) -- (11.499,7.76) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.886,5.76) -- (8.865,5.84) -- (8.806,5.898) -- (8.726,5.92) -- (8.646,5.898) -- (8.588,5.84) -- (8.566,5.76) -- (8.588,5.68) -- (8.646,5.621) -- (8.726,5.6) -- (8.806,5.621) -- (8.865,5.68) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.521,5.28) -- (1.499,5.36) -- (1.441,5.418) -- (1.361,5.44) -- (1.281,5.418) -- (1.222,5.36) -- (1.201,5.28) -- (1.222,5.2) -- (1.281,5.141) -- (1.361,5.12) -- (1.441,5.141) -- (1.499,5.2) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.608,1.738) -- (4.586,1.818) -- (4.528,1.877) -- (4.448,1.898) -- (4.368,1.877) -- (4.309,1.818) -- (4.288,1.738) -- (4.309,1.658) -- (4.368,1.6) -- (4.448,1.578) -- (4.528,1.6) -- (4.586,1.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.648,1.398) -- (1.627,1.478) -- (1.568,1.536) -- (1.488,1.558) -- (1.408,1.536) -- (1.35,1.478) -- (1.328,1.398) -- (1.35,1.318) -- (1.408,1.259) -- (1.488,1.238) -- (1.568,1.259) -- (1.627,1.318) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.232,11.014) -- (10.187,11.184) -- (10.062,11.308) -- (9.892,11.354) -- (9.722,11.308) -- (9.598,11.184) -- (9.552,11.014) -- (9.598,10.844) -- (9.722,10.719) -- (9.892,10.674) -- (10.062,10.719) -- (10.187,10.844) -- cycle;
\node at (9.892,11.014) {\scalebox{1.428}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.974,9.609) -- (11.929,9.779) -- (11.804,9.904) -- (11.634,9.949) -- (11.464,9.904) -- (11.34,9.779) -- (11.294,9.609) -- (11.34,9.439) -- (11.464,9.315) -- (11.634,9.269) -- (11.804,9.315) -- (11.929,9.439) -- cycle;
\node at (11.634,9.609) {\scalebox{1.428}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.223,9.882) -- (7.178,10.052) -- (7.053,10.176) -- (6.883,10.222) -- (6.713,10.176) -- (6.589,10.052) -- (6.543,9.882) -- (6.589,9.712) -- (6.713,9.587) -- (6.883,9.542) -- (7.053,9.587) -- (7.178,9.712) -- cycle;
\node at (6.883,9.882) {\scalebox{1.428}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.803,9.824) -- (10.758,9.994) -- (10.633,10.118) -- (10.463,10.164) -- (10.293,10.118) -- (10.169,9.994) -- (10.123,9.824) -- (10.169,9.654) -- (10.293,9.529) -- (10.463,9.484) -- (10.633,9.529) -- (10.758,9.654) -- cycle;
\node at (10.463,9.824) {\scalebox{1.428}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.2,7.362) -- (7.155,7.532) -- (7.03,7.656) -- (6.86,7.702) -- (6.69,7.656) -- (6.566,7.532) -- (6.52,7.362) -- (6.566,7.192) -- (6.69,7.067) -- (6.86,7.022) -- (7.03,7.067) -- (7.155,7.192) -- cycle;
\node at (6.86,7.362) {\scalebox{1.428}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.816,6.659) -- (3.771,6.829) -- (3.646,6.954) -- (3.476,6.999) -- (3.306,6.954) -- (3.182,6.829) -- (3.136,6.659) -- (3.182,6.489) -- (3.306,6.365) -- (3.476,6.319) -- (3.646,6.365) -- (3.771,6.489) -- cycle;
\node at (3.476,6.659) {\scalebox{1.428}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.871,5.041) -- (5.826,5.211) -- (5.701,5.335) -- (5.531,5.381) -- (5.361,5.335) -- (5.237,5.211) -- (5.191,5.041) -- (5.237,4.871) -- (5.361,4.746) -- (5.531,4.701) -- (5.701,4.746) -- (5.826,4.871) -- cycle;
\node at (5.531,5.041) {\scalebox{1.428}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.129,8.43) -- (10.083,8.6) -- (9.959,8.724) -- (9.789,8.77) -- (9.619,8.724) -- (9.494,8.6) -- (9.449,8.43) -- (9.494,8.26) -- (9.619,8.135) -- (9.789,8.09) -- (9.959,8.135) -- (10.083,8.26) -- cycle;
\node at (9.789,8.43) {\scalebox{1.428}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.986,6.991) -- (8.941,7.161) -- (8.816,7.286) -- (8.646,7.331) -- (8.476,7.286) -- (8.352,7.161) -- (8.306,6.991) -- (8.352,6.821) -- (8.476,6.697) -- (8.646,6.651) -- (8.816,6.697) -- (8.941,6.821) -- cycle;
\node at (8.646,6.991) {\scalebox{1.428}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.668,6.44) -- (10.622,6.61) -- (10.498,6.735) -- (10.328,6.78) -- (10.158,6.735) -- (10.033,6.61) -- (9.988,6.44) -- (10.033,6.27) -- (10.158,6.146) -- (10.328,6.1) -- (10.498,6.146) -- (10.622,6.27) -- cycle;
\node at (10.328,6.44) {\scalebox{1.428}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.98,3.692) -- (6.935,3.862) -- (6.81,3.987) -- (6.64,4.032) -- (6.47,3.987) -- (6.346,3.862) -- (6.3,3.692) -- (6.346,3.522) -- (6.47,3.398) -- (6.64,3.352) -- (6.81,3.398) -- (6.935,3.522) -- cycle;
\node at (6.64,3.692) {\scalebox{1.428}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.244,3.355) -- (2.199,3.525) -- (2.074,3.649) -- (1.904,3.695) -- (1.734,3.649) -- (1.61,3.525) -- (1.564,3.355) -- (1.61,3.185) -- (1.734,3.06) -- (1.904,3.015) -- (2.074,3.06) -- (2.199,3.185) -- cycle;
\node at (1.904,3.355) {\scalebox{1.428}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.55,8.478) -- (5.15,8.478) -- (5.15,9.078) -- (4.55,9.078) -- cycle;
\node at (4.85,8.778) {\scalebox{1.428}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.146,8.249) -- (7.746,8.249) -- (7.746,8.849) -- (7.146,8.849) -- cycle;
\node at (7.446,8.549) {\scalebox{1.428}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.208,10.347) -- (11.808,10.347) -- (11.808,10.947) -- (11.208,10.947) -- cycle;
\node at (11.508,10.647) {\scalebox{1.428}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.536,2.125) -- (7.136,2.125) -- (7.136,2.725) -- (6.536,2.725) -- cycle;
\node at (6.836,2.425) {\scalebox{1.428}{\small d}};
\node at (11.419,11.725) {\scalebox{1.428}{\small A}};
\node at (9.049,11.765) {\scalebox{1.428}{\small B}};
\node at (4.426,9.231) {\scalebox{1.428}{\small C}};
\node at (8.603,8.528) {\scalebox{1.428}{\small D}};
\node at (11.966,7.972) {\scalebox{1.428}{\small E}};
\node at (9.277,5.474) {\scalebox{1.428}{\small F}};
\node at (0.765,5.107) {\scalebox{1.428}{\small G}};
\node at (4.198,1.171) {\scalebox{1.428}{\small H}};
\node at (1.06,0.95) {\scalebox{1.428}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.661,10.329) -- (12.661,11.429);
\draw[line width=0.5pt] (12.43,11.044) -- (12.661,11.429) -- (12.892,11.044);
\draw[line width=0.5pt] (12.358,10.879) -- (12.963,10.879);
\node at (12.661,11.814) {\scalebox{1.428}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin Creux & ⑦ rue de l'Église & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② boulevard du Parc & ⑧ rue de la Poste & Ⓑ Carrefour du Moulin & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ chemin des Vignes & ⑨ rue des Jardins & Ⓒ Carrefour des Tilleuls & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ rue du Pont & ⑩ rue du Four & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ quai aux Fleurs & ⑪ rue Verte & Ⓔ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑥ rue du Puits & ⑫ impasse des Roses & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6267, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.988,11.279) -- (10.831,11.298) -- (10.673,11.313) -- (10.515,11.325) -- (10.357,11.332) -- (10.199,11.336) -- (10.04,11.337) -- (9.882,11.333) -- (9.723,11.326) -- (9.565,11.315) -- (9.407,11.301) -- (9.25,11.283) -- (9.093,11.261) -- (8.936,11.235) -- (8.781,11.206);
\draw[line width=0.5pt] (10.988,11.279) -- (11.052,11.039) -- (11.111,10.798) -- (11.163,10.556) -- (11.21,10.312) -- (11.251,10.067) -- (11.287,9.821) -- (11.316,9.575) -- (11.34,9.328) -- (11.358,9.08) -- (11.37,8.832) -- (11.377,8.584) -- (11.377,8.336) -- (11.372,8.088) -- (11.361,7.84);
\draw[line width=0.5pt] (8.781,11.206) -- (8.476,11.077) -- (8.174,10.94) -- (7.875,10.797) -- (7.579,10.647) -- (7.288,10.489) -- (6.999,10.325) -- (6.715,10.154) -- (6.435,9.977) -- (6.159,9.792) -- (5.888,9.602) -- (5.621,9.405) -- (5.359,9.202) -- (5.102,8.993) -- (4.85,8.778);
\draw[line width=0.5pt] (8.781,11.206) -- (9.0,10.995) -- (9.215,10.78) -- (9.425,10.559) -- (9.629,10.334) -- (9.828,10.104) -- (10.021,9.869) -- (10.209,9.629) -- (10.392,9.385) -- (10.568,9.138) -- (10.739,8.886) -- (10.904,8.63) -- (11.062,8.37) -- (11.215,8.107) -- (11.361,7.84);
\draw[line width=0.5pt] (4.85,8.778) -- (5.092,8.522) -- (5.339,8.271) -- (5.593,8.027) -- (5.852,7.788) -- (6.117,7.555) -- (6.388,7.329) -- (6.664,7.109) -- (6.944,6.896) -- (7.23,6.689) -- (7.521,6.489) -- (7.816,6.296) -- (8.115,6.11) -- (8.419,5.931) -- (8.726,5.76);
\draw[line width=0.5pt] (4.85,8.778) -- (4.641,8.492) -- (4.425,8.211) -- (4.203,7.935) -- (3.974,7.664) -- (3.738,7.399) -- (3.497,7.139) -- (3.25,6.885) -- (2.996,6.637) -- (2.737,6.395) -- (2.472,6.159) -- (2.202,5.929) -- (1.927,5.706) -- (1.646,5.489) -- (1.361,5.28);
\draw[line width=0.5pt] (4.85,8.778) -- (4.834,8.507) -- (4.825,8.236) -- (4.823,7.964) -- (4.826,7.693) -- (4.836,7.421) -- (4.853,7.15) -- (4.876,6.879) -- (4.905,6.609) -- (4.941,6.34) -- (4.982,6.071) -- (5.031,5.804) -- (5.085,5.538) -- (5.146,5.273) -- (5.213,5.01) -- (5.194,4.77) -- (5.17,4.53) -- (5.14,4.291) -- (5.105,4.052) -- (5.064,3.815) -- (5.017,3.578) -- (4.965,3.342) -- (4.908,3.108) -- (4.844,2.875) -- (4.776,2.644) -- (4.702,2.415) -- (4.622,2.187) -- (4.538,1.962) -- (4.448,1.738);
\draw[line width=0.5pt] (8.14,8.116) -- (8.371,8.132) -- (8.603,8.142) -- (8.835,8.147) -- (9.067,8.146) -- (9.298,8.14) -- (9.53,8.128) -- (9.762,8.111) -- (9.993,8.089) -- (10.223,8.061) -- (10.452,8.027) -- (10.681,7.988) -- (10.909,7.944) -- (11.135,7.895) -- (11.361,7.84);
\draw[line width=0.5pt] (8.14,8.116) -- (8.156,7.943) -- (8.176,7.77) -- (8.2,7.597) -- (8.228,7.425) -- (8.26,7.254) -- (8.296,7.084) -- (8.336,6.914) -- (8.38,6.745) -- (8.428,6.578) -- (8.48,6.411) -- (8.536,6.246) -- (8.596,6.083) -- (8.659,5.92) -- (8.726,5.76);
\draw[line width=0.5pt] (11.361,7.84) -- (11.197,7.664) -- (11.029,7.492) -- (10.856,7.323) -- (10.68,7.159) -- (10.5,6.999) -- (10.317,6.843) -- (10.129,6.691) -- (9.938,6.544) -- (9.744,6.402) -- (9.547,6.264) -- (9.346,6.13) -- (9.143,6.002) -- (8.936,5.878) -- (8.726,5.76);
\draw[line width=0.5pt] (8.726,5.76) -- (8.379,5.522) -- (8.038,5.275) -- (7.702,5.021) -- (7.372,4.758) -- (7.049,4.488) -- (6.732,4.211) -- (6.421,3.925) -- (6.117,3.633) -- (5.821,3.334) -- (5.531,3.028) -- (5.249,2.715) -- (4.974,2.396) -- (4.707,2.07) -- (4.448,1.738);
\draw[line width=0.5pt] (1.361,5.28) -- (1.412,5.006) -- (1.457,4.731) -- (1.496,4.455) -- (1.528,4.178) -- (1.553,3.901) -- (1.572,3.623) -- (1.585,3.344) -- (1.591,3.065) -- (1.59,2.786) -- (1.583,2.508) -- (1.569,2.229) -- (1.549,1.952) -- (1.522,1.674) -- (1.488,1.398);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.148,11.279) -- (11.127,11.359) -- (11.068,11.418) -- (10.988,11.439) -- (10.908,11.418) -- (10.85,11.359) -- (10.828,11.279) -- (10.85,11.199) -- (10.908,11.141) -- (10.988,11.119) -- (11.068,11.141) -- (11.127,11.199) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.941,11.206) -- (8.919,11.286) -- (8.861,11.344) -- (8.781,11.366) -- (8.701,11.344) -- (8.642,11.286) -- (8.621,11.206) -- (8.642,11.126) -- (8.701,11.067) -- (8.781,11.046) -- (8.861,11.067) -- (8.919,11.126) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.01,8.778) -- (4.988,8.858) -- (4.93,8.917) -- (4.85,8.938) -- (4.77,8.917) -- (4.711,8.858) -- (4.69,8.778) -- (4.711,8.698) -- (4.77,8.64) -- (4.85,8.618) -- (4.93,8.64) -- (4.988,8.698) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.3,8.116) -- (8.278,8.196) -- (8.22,8.255) -- (8.14,8.276) -- (8.06,8.255) -- (8.001,8.196) -- (7.98,8.116) -- (8.001,8.036) -- (8.06,7.978) -- (8.14,7.956) -- (8.22,7.978) -- (8.278,8.036) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.521,7.84) -- (11.499,7.92) -- (11.441,7.979) -- (11.361,8.0) -- (11.281,7.979) -- (11.222,7.92) -- (11.201,7.84) -- (11.222,7.76) -- (11.281,7.702) -- (11.361,7.68) -- (11.441,7.702) -- (11.499,7.76) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.886,5.76) -- (8.865,5.84) -- (8.806,5.898) -- (8.726,5.92) -- (8.646,5.898) -- (8.588,5.84) -- (8.566,5.76) -- (8.588,5.68) -- (8.646,5.621) -- (8.726,5.6) -- (8.806,5.621) -- (8.865,5.68) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.521,5.28) -- (1.499,5.36) -- (1.441,5.418) -- (1.361,5.44) -- (1.281,5.418) -- (1.222,5.36) -- (1.201,5.28) -- (1.222,5.2) -- (1.281,5.141) -- (1.361,5.12) -- (1.441,5.141) -- (1.499,5.2) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.608,1.738) -- (4.586,1.818) -- (4.528,1.877) -- (4.448,1.898) -- (4.368,1.877) -- (4.309,1.818) -- (4.288,1.738) -- (4.309,1.658) -- (4.368,1.6) -- (4.448,1.578) -- (4.528,1.6) -- (4.586,1.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.648,1.398) -- (1.627,1.478) -- (1.568,1.536) -- (1.488,1.558) -- (1.408,1.536) -- (1.35,1.478) -- (1.328,1.398) -- (1.35,1.318) -- (1.408,1.259) -- (1.488,1.238) -- (1.568,1.259) -- (1.627,1.318) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.232,11.014) -- (10.187,11.184) -- (10.062,11.308) -- (9.892,11.354) -- (9.722,11.308) -- (9.598,11.184) -- (9.552,11.014) -- (9.598,10.844) -- (9.722,10.719) -- (9.892,10.674) -- (10.062,10.719) -- (10.187,10.844) -- cycle;
\node at (9.892,11.014) {\scalebox{1.596}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.974,9.609) -- (11.929,9.779) -- (11.804,9.904) -- (11.634,9.949) -- (11.464,9.904) -- (11.34,9.779) -- (11.294,9.609) -- (11.34,9.439) -- (11.464,9.315) -- (11.634,9.269) -- (11.804,9.315) -- (11.929,9.439) -- cycle;
\node at (11.634,9.609) {\scalebox{1.596}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.223,9.882) -- (7.178,10.052) -- (7.053,10.176) -- (6.883,10.222) -- (6.713,10.176) -- (6.589,10.052) -- (6.543,9.882) -- (6.589,9.712) -- (6.713,9.587) -- (6.883,9.542) -- (7.053,9.587) -- (7.178,9.712) -- cycle;
\node at (6.883,9.882) {\scalebox{1.596}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.803,9.824) -- (10.758,9.994) -- (10.633,10.118) -- (10.463,10.164) -- (10.293,10.118) -- (10.169,9.994) -- (10.123,9.824) -- (10.169,9.654) -- (10.293,9.529) -- (10.463,9.484) -- (10.633,9.529) -- (10.758,9.654) -- cycle;
\node at (10.463,9.824) {\scalebox{1.596}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.2,7.362) -- (7.155,7.532) -- (7.03,7.656) -- (6.86,7.702) -- (6.69,7.656) -- (6.566,7.532) -- (6.52,7.362) -- (6.566,7.192) -- (6.69,7.067) -- (6.86,7.022) -- (7.03,7.067) -- (7.155,7.192) -- cycle;
\node at (6.86,7.362) {\scalebox{1.596}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.816,6.659) -- (3.771,6.829) -- (3.646,6.954) -- (3.476,6.999) -- (3.306,6.954) -- (3.182,6.829) -- (3.136,6.659) -- (3.182,6.489) -- (3.306,6.365) -- (3.476,6.319) -- (3.646,6.365) -- (3.771,6.489) -- cycle;
\node at (3.476,6.659) {\scalebox{1.596}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.871,5.041) -- (5.826,5.211) -- (5.701,5.335) -- (5.531,5.381) -- (5.361,5.335) -- (5.237,5.211) -- (5.191,5.041) -- (5.237,4.871) -- (5.361,4.746) -- (5.531,4.701) -- (5.701,4.746) -- (5.826,4.871) -- cycle;
\node at (5.531,5.041) {\scalebox{1.596}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.129,8.43) -- (10.083,8.6) -- (9.959,8.724) -- (9.789,8.77) -- (9.619,8.724) -- (9.494,8.6) -- (9.449,8.43) -- (9.494,8.26) -- (9.619,8.135) -- (9.789,8.09) -- (9.959,8.135) -- (10.083,8.26) -- cycle;
\node at (9.789,8.43) {\scalebox{1.596}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.986,6.991) -- (8.941,7.161) -- (8.816,7.286) -- (8.646,7.331) -- (8.476,7.286) -- (8.352,7.161) -- (8.306,6.991) -- (8.352,6.821) -- (8.476,6.697) -- (8.646,6.651) -- (8.816,6.697) -- (8.941,6.821) -- cycle;
\node at (8.646,6.991) {\scalebox{1.596}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.668,6.44) -- (10.622,6.61) -- (10.498,6.735) -- (10.328,6.78) -- (10.158,6.735) -- (10.033,6.61) -- (9.988,6.44) -- (10.033,6.27) -- (10.158,6.146) -- (10.328,6.1) -- (10.498,6.146) -- (10.622,6.27) -- cycle;
\node at (10.328,6.44) {\scalebox{1.596}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.98,3.692) -- (6.935,3.862) -- (6.81,3.987) -- (6.64,4.032) -- (6.47,3.987) -- (6.346,3.862) -- (6.3,3.692) -- (6.346,3.522) -- (6.47,3.398) -- (6.64,3.352) -- (6.81,3.398) -- (6.935,3.522) -- cycle;
\node at (6.64,3.692) {\scalebox{1.596}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.244,3.355) -- (2.199,3.525) -- (2.074,3.649) -- (1.904,3.695) -- (1.734,3.649) -- (1.61,3.525) -- (1.564,3.355) -- (1.61,3.185) -- (1.734,3.06) -- (1.904,3.015) -- (2.074,3.06) -- (2.199,3.185) -- cycle;
\node at (1.904,3.355) {\scalebox{1.596}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.55,8.478) -- (5.15,8.478) -- (5.15,9.078) -- (4.55,9.078) -- cycle;
\node at (4.85,8.778) {\scalebox{1.596}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.146,8.249) -- (7.746,8.249) -- (7.746,8.849) -- (7.146,8.849) -- cycle;
\node at (7.446,8.549) {\scalebox{1.596}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.208,10.347) -- (11.808,10.347) -- (11.808,10.947) -- (11.208,10.947) -- cycle;
\node at (11.508,10.647) {\scalebox{1.596}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.536,2.125) -- (7.136,2.125) -- (7.136,2.725) -- (6.536,2.725) -- cycle;
\node at (6.836,2.425) {\scalebox{1.596}{\small d}};
\node at (11.419,11.725) {\scalebox{1.596}{\small A}};
\node at (9.049,11.765) {\scalebox{1.596}{\small B}};
\node at (4.426,9.231) {\scalebox{1.596}{\small C}};
\node at (8.603,8.528) {\scalebox{1.596}{\small D}};
\node at (11.966,7.972) {\scalebox{1.596}{\small E}};
\node at (9.277,5.474) {\scalebox{1.596}{\small F}};
\node at (0.765,5.107) {\scalebox{1.596}{\small G}};
\node at (4.198,1.171) {\scalebox{1.596}{\small H}};
\node at (1.06,0.95) {\scalebox{1.596}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.661,10.329) -- (12.661,11.429);
\draw[line width=0.5pt] (12.43,11.044) -- (12.661,11.429) -- (12.892,11.044);
\draw[line width=0.5pt] (12.358,10.879) -- (12.963,10.879);
\node at (12.661,11.814) {\scalebox{1.596}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 4 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 1 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{I} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{I} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{I}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Moulin \textbf{(B)}, prend le \textbf{chemin Creux ①} vers l'est et atteint Place du Vieux-Puits \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑨}, vers le nord, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑩}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Verte ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(H)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de l'Église ⑦}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse des Roses ⑫}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(I)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
