\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 225}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=225}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0225}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6913, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.599,9.445) -- (6.808,9.4) -- (7.019,9.36) -- (7.23,9.325) -- (7.443,9.294) -- (7.656,9.269) -- (7.869,9.249) -- (8.083,9.234) -- (8.297,9.224) -- (8.512,9.219) -- (8.726,9.219) -- (8.941,9.224) -- (9.155,9.234) -- (9.369,9.25) -- (9.582,9.27);
\draw[line width=0.5pt] (6.599,9.445) -- (6.672,9.277) -- (6.74,9.107) -- (6.805,8.936) -- (6.866,8.763) -- (6.923,8.589) -- (6.975,8.413) -- (7.024,8.237) -- (7.068,8.059) -- (7.108,7.88) -- (7.144,7.7) -- (7.176,7.52) -- (7.203,7.339) -- (7.226,7.157) -- (7.245,6.975);
\draw[line width=0.5pt] (6.599,9.445) -- (6.746,9.24) -- (6.898,9.039) -- (7.056,8.841) -- (7.217,8.647) -- (7.384,8.457) -- (7.554,8.271) -- (7.729,8.088) -- (7.909,7.91) -- (8.092,7.737) -- (8.279,7.567) -- (8.471,7.402) -- (8.666,7.242) -- (8.865,7.086) -- (9.067,6.936);
\draw[line width=0.5pt] (6.599,9.445) -- (6.499,9.239) -- (6.395,9.036) -- (6.286,8.835) -- (6.172,8.637) -- (6.053,8.441) -- (5.93,8.249) -- (5.802,8.059) -- (5.67,7.872) -- (5.534,7.689) -- (5.393,7.509) -- (5.248,7.332) -- (5.099,7.158) -- (4.947,6.989) -- (4.79,6.823);
\draw[line width=0.5pt] (9.582,9.27) -- (9.52,9.11) -- (9.462,8.949) -- (9.407,8.786) -- (9.357,8.622) -- (9.31,8.457) -- (9.267,8.291) -- (9.228,8.124) -- (9.193,7.956) -- (9.162,7.787) -- (9.135,7.618) -- (9.112,7.448) -- (9.093,7.278) -- (9.078,7.107) -- (9.067,6.936);
\draw[line width=0.5pt] (11.54,2.136) -- (11.421,2.079) -- (11.301,2.025) -- (11.179,1.973) -- (11.057,1.925) -- (10.933,1.879) -- (10.808,1.836) -- (10.682,1.797) -- (10.555,1.76) -- (10.428,1.726) -- (10.3,1.695) -- (10.171,1.667) -- (10.041,1.642) -- (9.911,1.621) -- (9.781,1.602);
\draw[line width=0.5pt] (7.245,6.975) -- (7.177,6.829) -- (7.113,6.682) -- (7.052,6.533) -- (6.995,6.383) -- (6.941,6.231) -- (6.891,6.078) -- (6.844,5.924) -- (6.801,5.769) -- (6.761,5.613) -- (6.726,5.456) -- (6.694,5.299) -- (6.666,5.14) -- (6.641,4.981) -- (6.62,4.822);
\draw[line width=0.5pt] (9.067,6.936) -- (9.252,6.816) -- (9.434,6.692) -- (9.613,6.563) -- (9.788,6.431) -- (9.961,6.294) -- (10.131,6.153) -- (10.297,6.008) -- (10.46,5.86) -- (10.619,5.707) -- (10.774,5.551) -- (10.926,5.392) -- (11.074,5.229) -- (11.218,5.062) -- (11.358,4.892);
\draw[line width=0.5pt] (9.067,6.936) -- (9.073,6.719) -- (9.085,6.503) -- (9.102,6.286) -- (9.124,6.07) -- (9.151,5.855) -- (9.183,5.64) -- (9.22,5.427) -- (9.262,5.214) -- (9.309,5.002) -- (9.361,4.791) -- (9.418,4.582) -- (9.48,4.374) -- (9.547,4.168) -- (9.618,3.963);
\draw[line width=0.5pt] (4.79,6.823) -- (4.564,6.755) -- (4.337,6.693) -- (4.109,6.636) -- (3.879,6.584) -- (3.648,6.538) -- (3.416,6.497) -- (3.183,6.462) -- (2.95,6.432) -- (2.715,6.408) -- (2.481,6.389) -- (2.245,6.376) -- (2.01,6.368) -- (1.775,6.366) -- (1.54,6.37);
\draw[line width=0.5pt] (4.79,6.823) -- (4.897,6.661) -- (5.009,6.502) -- (5.125,6.345) -- (5.244,6.191) -- (5.366,6.04) -- (5.493,5.892) -- (5.622,5.747) -- (5.756,5.605) -- (5.892,5.466) -- (6.032,5.33) -- (6.174,5.198) -- (6.32,5.069) -- (6.469,4.944) -- (6.62,4.822);
\draw[line width=0.5pt] (4.79,6.823) -- (4.659,6.61) -- (4.524,6.401) -- (4.383,6.195) -- (4.238,5.992) -- (4.088,5.793) -- (3.933,5.597) -- (3.773,5.405) -- (3.61,5.217) -- (3.441,5.032) -- (3.269,4.852) -- (3.092,4.676) -- (2.912,4.504) -- (2.727,4.336) -- (2.539,4.173);
\draw[line width=0.5pt] (1.54,6.37) -- (1.586,6.203) -- (1.637,6.038) -- (1.692,5.873) -- (1.75,5.71) -- (1.812,5.549) -- (1.879,5.389) -- (1.948,5.23) -- (2.022,5.073) -- (2.099,4.918) -- (2.18,4.765) -- (2.264,4.614) -- (2.352,4.465) -- (2.444,4.318) -- (2.539,4.173);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,4.892) -- (11.401,4.699) -- (11.44,4.504) -- (11.473,4.309) -- (11.503,4.113) -- (11.527,3.917) -- (11.547,3.719) -- (11.563,3.522) -- (11.573,3.324) -- (11.579,3.126) -- (11.581,2.927) -- (11.577,2.729) -- (11.569,2.531) -- (11.557,2.334) -- (11.54,2.136);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,4.892) -- (11.21,4.676) -- (11.068,4.457) -- (10.93,4.234) -- (10.798,4.008) -- (10.671,3.779) -- (10.55,3.547) -- (10.434,3.312) -- (10.323,3.075) -- (10.218,2.835) -- (10.119,2.592) -- (10.026,2.348) -- (9.938,2.101) -- (9.856,1.852) -- (9.781,1.602);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,4.892) -- (11.245,4.807) -- (11.13,4.725) -- (11.013,4.646) -- (10.894,4.569) -- (10.773,4.495) -- (10.651,4.424) -- (10.527,4.356) -- (10.401,4.291) -- (10.274,4.228) -- (10.145,4.169) -- (10.015,4.113) -- (9.884,4.06) -- (9.752,4.01) -- (9.618,3.963);
\draw[line width=0.5pt] (6.62,4.822) -- (6.809,4.559) -- (7.004,4.301) -- (7.205,4.047) -- (7.412,3.798) -- (7.625,3.554) -- (7.843,3.315) -- (8.068,3.082) -- (8.297,2.853) -- (8.532,2.63) -- (8.772,2.413) -- (9.017,2.201) -- (9.267,1.995) -- (9.521,1.796) -- (9.781,1.602);
\draw[line width=0.5pt] (6.62,4.822) -- (6.521,4.563) -- (6.416,4.306) -- (6.305,4.052) -- (6.188,3.801) -- (6.065,3.552) -- (5.936,3.306) -- (5.801,3.063) -- (5.661,2.824) -- (5.515,2.588) -- (5.364,2.355) -- (5.207,2.126) -- (5.045,1.901) -- (4.877,1.68) -- (4.705,1.463);
\draw[line width=0.5pt] (6.62,4.822) -- (6.424,4.799) -- (6.228,4.772) -- (6.032,4.74) -- (5.837,4.703) -- (5.643,4.662) -- (5.451,4.616) -- (5.259,4.566) -- (5.068,4.511) -- (4.879,4.452) -- (4.692,4.388) -- (4.505,4.32) -- (4.321,4.247) -- (4.138,4.171) -- (3.958,4.09) -- (3.856,4.08) -- (3.755,4.073) -- (3.653,4.068) -- (3.551,4.066) -- (3.449,4.066) -- (3.347,4.068) -- (3.245,4.073) -- (3.143,4.08) -- (3.041,4.089) -- (2.94,4.101) -- (2.839,4.116) -- (2.738,4.132) -- (2.638,4.151) -- (2.539,4.173);
\draw[line width=0.5pt] (6.62,4.822) -- (6.842,4.794) -- (7.063,4.761) -- (7.284,4.722) -- (7.503,4.678) -- (7.722,4.629) -- (7.939,4.575) -- (8.155,4.516) -- (8.369,4.452) -- (8.582,4.383) -- (8.793,4.309) -- (9.003,4.23) -- (9.21,4.146) -- (9.415,4.057) -- (9.618,3.963);
\draw[line width=0.5pt] (2.539,4.173) -- (2.662,3.957) -- (2.791,3.744) -- (2.925,3.535) -- (3.064,3.328) -- (3.208,3.125) -- (3.357,2.925) -- (3.51,2.729) -- (3.668,2.536) -- (3.83,2.347) -- (3.997,2.162) -- (4.167,1.981) -- (4.343,1.804) -- (4.522,1.631) -- (4.705,1.463);
\draw[line width=0.5pt] (9.618,3.963) -- (9.656,3.798) -- (9.689,3.631) -- (9.718,3.464) -- (9.744,3.296) -- (9.766,3.128) -- (9.783,2.959) -- (9.797,2.789) -- (9.806,2.62) -- (9.812,2.45) -- (9.814,2.28) -- (9.811,2.11) -- (9.805,1.94) -- (9.795,1.771) -- (9.781,1.602);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.759,9.445) -- (6.737,9.525) -- (6.679,9.583) -- (6.599,9.605) -- (6.519,9.583) -- (6.46,9.525) -- (6.439,9.445) -- (6.46,9.365) -- (6.519,9.306) -- (6.599,9.285) -- (6.679,9.306) -- (6.737,9.365) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.742,9.27) -- (9.721,9.35) -- (9.662,9.408) -- (9.582,9.43) -- (9.502,9.408) -- (9.443,9.35) -- (9.422,9.27) -- (9.443,9.19) -- (9.502,9.131) -- (9.582,9.11) -- (9.662,9.131) -- (9.721,9.19) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.405,6.975) -- (7.384,7.055) -- (7.325,7.114) -- (7.245,7.135) -- (7.165,7.114) -- (7.107,7.055) -- (7.085,6.975) -- (7.107,6.895) -- (7.165,6.836) -- (7.245,6.815) -- (7.325,6.836) -- (7.384,6.895) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.227,6.936) -- (9.206,7.016) -- (9.147,7.074) -- (9.067,7.096) -- (8.987,7.074) -- (8.928,7.016) -- (8.907,6.936) -- (8.928,6.856) -- (8.987,6.797) -- (9.067,6.776) -- (9.147,6.797) -- (9.206,6.856) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.95,6.823) -- (4.928,6.903) -- (4.87,6.961) -- (4.79,6.983) -- (4.71,6.961) -- (4.651,6.903) -- (4.63,6.823) -- (4.651,6.743) -- (4.71,6.684) -- (4.79,6.663) -- (4.87,6.684) -- (4.928,6.743) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.7,6.37) -- (1.678,6.45) -- (1.62,6.508) -- (1.54,6.53) -- (1.46,6.508) -- (1.401,6.45) -- (1.38,6.37) -- (1.401,6.29) -- (1.46,6.231) -- (1.54,6.21) -- (1.62,6.231) -- (1.678,6.29) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.518,4.892) -- (11.497,4.972) -- (11.438,5.031) -- (11.358,5.052) -- (11.278,5.031) -- (11.22,4.972) -- (11.198,4.892) -- (11.22,4.812) -- (11.278,4.754) -- (11.358,4.732) -- (11.438,4.754) -- (11.497,4.812) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.78,4.822) -- (6.759,4.902) -- (6.7,4.961) -- (6.62,4.982) -- (6.54,4.961) -- (6.482,4.902) -- (6.46,4.822) -- (6.482,4.742) -- (6.54,4.683) -- (6.62,4.662) -- (6.7,4.683) -- (6.759,4.742) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.699,4.173) -- (2.677,4.253) -- (2.619,4.311) -- (2.539,4.333) -- (2.459,4.311) -- (2.4,4.253) -- (2.379,4.173) -- (2.4,4.093) -- (2.459,4.034) -- (2.539,4.013) -- (2.619,4.034) -- (2.677,4.093) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.778,3.963) -- (9.757,4.043) -- (9.698,4.102) -- (9.618,4.123) -- (9.538,4.102) -- (9.48,4.043) -- (9.458,3.963) -- (9.48,3.883) -- (9.538,3.825) -- (9.618,3.803) -- (9.698,3.825) -- (9.757,3.883) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.7,2.136) -- (11.678,2.216) -- (11.62,2.275) -- (11.54,2.296) -- (11.46,2.275) -- (11.401,2.216) -- (11.38,2.136) -- (11.401,2.056) -- (11.46,1.998) -- (11.54,1.976) -- (11.62,1.998) -- (11.678,2.056) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.941,1.602) -- (9.919,1.682) -- (9.861,1.741) -- (9.781,1.762) -- (9.701,1.741) -- (9.642,1.682) -- (9.621,1.602) -- (9.642,1.522) -- (9.701,1.463) -- (9.781,1.442) -- (9.861,1.463) -- (9.919,1.522) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.865,1.463) -- (4.843,1.543) -- (4.785,1.602) -- (4.705,1.623) -- (4.625,1.602) -- (4.566,1.543) -- (4.545,1.463) -- (4.566,1.383) -- (4.625,1.325) -- (4.705,1.303) -- (4.785,1.325) -- (4.843,1.383) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.442,9.554) -- (8.396,9.724) -- (8.272,9.848) -- (8.102,9.894) -- (7.932,9.848) -- (7.807,9.724) -- (7.762,9.554) -- (7.807,9.384) -- (7.932,9.259) -- (8.102,9.214) -- (8.272,9.259) -- (8.396,9.384) -- cycle;
\node at (8.102,9.554) {\scalebox{1.447}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.673,8.318) -- (7.628,8.488) -- (7.503,8.612) -- (7.333,8.658) -- (7.163,8.612) -- (7.039,8.488) -- (6.993,8.318) -- (7.039,8.148) -- (7.163,8.023) -- (7.333,7.978) -- (7.503,8.023) -- (7.628,8.148) -- cycle;
\node at (7.333,8.318) {\scalebox{1.447}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.649,7.972) -- (8.604,8.142) -- (8.479,8.266) -- (8.309,8.312) -- (8.139,8.266) -- (8.015,8.142) -- (7.969,7.972) -- (8.015,7.802) -- (8.139,7.677) -- (8.309,7.632) -- (8.479,7.677) -- (8.604,7.802) -- cycle;
\node at (8.309,7.972) {\scalebox{1.447}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.406,7.877) -- (6.36,8.047) -- (6.236,8.172) -- (6.066,8.217) -- (5.896,8.172) -- (5.771,8.047) -- (5.726,7.877) -- (5.771,7.707) -- (5.896,7.583) -- (6.066,7.537) -- (6.236,7.583) -- (6.36,7.707) -- cycle;
\node at (6.066,7.877) {\scalebox{1.447}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.881,8.055) -- (9.835,8.225) -- (9.711,8.35) -- (9.541,8.395) -- (9.371,8.35) -- (9.246,8.225) -- (9.201,8.055) -- (9.246,7.885) -- (9.371,7.761) -- (9.541,7.715) -- (9.711,7.761) -- (9.835,7.885) -- cycle;
\node at (9.541,8.055) {\scalebox{1.447}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.115,1.49) -- (11.07,1.66) -- (10.945,1.785) -- (10.775,1.83) -- (10.605,1.785) -- (10.481,1.66) -- (10.435,1.49) -- (10.481,1.32) -- (10.605,1.196) -- (10.775,1.15) -- (10.945,1.196) -- (11.07,1.32) -- cycle;
\node at (10.775,1.49) {\scalebox{1.447}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.491,5.835) -- (7.446,6.005) -- (7.321,6.13) -- (7.151,6.175) -- (6.981,6.13) -- (6.857,6.005) -- (6.811,5.835) -- (6.857,5.665) -- (6.981,5.541) -- (7.151,5.495) -- (7.321,5.541) -- (7.446,5.665) -- cycle;
\node at (7.151,5.835) {\scalebox{1.447}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.85,6.247) -- (10.804,6.417) -- (10.68,6.542) -- (10.51,6.587) -- (10.34,6.542) -- (10.215,6.417) -- (10.17,6.247) -- (10.215,6.077) -- (10.34,5.953) -- (10.51,5.907) -- (10.68,5.953) -- (10.804,6.077) -- cycle;
\node at (10.51,6.247) {\scalebox{1.447}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.875,5.485) -- (9.829,5.655) -- (9.705,5.779) -- (9.535,5.825) -- (9.365,5.779) -- (9.24,5.655) -- (9.195,5.485) -- (9.24,5.315) -- (9.365,5.191) -- (9.535,5.145) -- (9.705,5.191) -- (9.829,5.315) -- cycle;
\node at (9.535,5.485) {\scalebox{1.447}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.567,6.145) -- (3.522,6.315) -- (3.397,6.44) -- (3.227,6.485) -- (3.057,6.44) -- (2.933,6.315) -- (2.887,6.145) -- (2.933,5.975) -- (3.057,5.851) -- (3.227,5.805) -- (3.397,5.851) -- (3.522,5.975) -- cycle;
\node at (3.227,6.145) {\scalebox{1.447}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.199,5.963) -- (6.153,6.133) -- (6.029,6.257) -- (5.859,6.303) -- (5.689,6.257) -- (5.564,6.133) -- (5.519,5.963) -- (5.564,5.793) -- (5.689,5.668) -- (5.859,5.623) -- (6.029,5.668) -- (6.153,5.793) -- cycle;
\node at (5.859,5.963) {\scalebox{1.447}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.357,5.198) -- (4.312,5.368) -- (4.187,5.492) -- (4.017,5.538) -- (3.847,5.492) -- (3.723,5.368) -- (3.677,5.198) -- (3.723,5.028) -- (3.847,4.903) -- (4.017,4.858) -- (4.187,4.903) -- (4.312,5.028) -- cycle;
\node at (4.017,5.198) {\scalebox{1.447}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.58,5.363) -- (2.534,5.533) -- (2.41,5.657) -- (2.24,5.703) -- (2.07,5.657) -- (1.945,5.533) -- (1.9,5.363) -- (1.945,5.193) -- (2.07,5.068) -- (2.24,5.023) -- (2.41,5.068) -- (2.534,5.193) -- cycle;
\node at (2.24,5.363) {\scalebox{1.447}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.222,3.543) -- (12.176,3.713) -- (12.052,3.837) -- (11.882,3.883) -- (11.712,3.837) -- (11.587,3.713) -- (11.542,3.543) -- (11.587,3.373) -- (11.712,3.248) -- (11.882,3.203) -- (12.052,3.248) -- (12.176,3.373) -- cycle;
\node at (11.882,3.543) {\scalebox{1.447}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.062,3.174) -- (11.017,3.344) -- (10.892,3.468) -- (10.722,3.514) -- (10.552,3.468) -- (10.428,3.344) -- (10.382,3.174) -- (10.428,3.004) -- (10.552,2.879) -- (10.722,2.834) -- (10.892,2.879) -- (11.017,3.004) -- cycle;
\node at (10.722,3.174) {\scalebox{1.447}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.017,4.074) -- (10.972,4.244) -- (10.847,4.368) -- (10.677,4.414) -- (10.507,4.368) -- (10.383,4.244) -- (10.337,4.074) -- (10.383,3.904) -- (10.507,3.779) -- (10.677,3.734) -- (10.847,3.779) -- (10.972,3.904) -- cycle;
\node at (10.677,4.074) {\scalebox{1.447}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.636,3.306) -- (8.59,3.476) -- (8.466,3.6) -- (8.296,3.646) -- (8.126,3.6) -- (8.002,3.476) -- (7.956,3.306) -- (8.002,3.136) -- (8.126,3.011) -- (8.296,2.966) -- (8.466,3.011) -- (8.59,3.136) -- cycle;
\node at (8.296,3.306) {\scalebox{1.447}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.419,2.905) -- (6.374,3.075) -- (6.249,3.199) -- (6.079,3.245) -- (5.909,3.199) -- (5.785,3.075) -- (5.739,2.905) -- (5.785,2.735) -- (5.909,2.611) -- (6.079,2.565) -- (6.249,2.611) -- (6.374,2.735) -- cycle;
\node at (6.079,2.905) {\scalebox{1.447}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.396,3.785) -- (4.35,3.955) -- (4.226,4.079) -- (4.056,4.125) -- (3.886,4.079) -- (3.761,3.955) -- (3.716,3.785) -- (3.761,3.615) -- (3.886,3.491) -- (4.056,3.445) -- (4.226,3.491) -- (4.35,3.615) -- cycle;
\node at (4.056,3.785) {\scalebox{1.447}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.583,4.824) -- (8.537,4.994) -- (8.413,5.118) -- (8.243,5.164) -- (8.073,5.118) -- (7.948,4.994) -- (7.903,4.824) -- (7.948,4.654) -- (8.073,4.529) -- (8.243,4.484) -- (8.413,4.529) -- (8.537,4.654) -- cycle;
\node at (8.243,4.824) {\scalebox{1.447}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.1,2.928) -- (4.054,3.098) -- (3.93,3.223) -- (3.76,3.268) -- (3.59,3.223) -- (3.465,3.098) -- (3.42,2.928) -- (3.465,2.758) -- (3.59,2.634) -- (3.76,2.588) -- (3.93,2.634) -- (4.054,2.758) -- cycle;
\node at (3.76,2.928) {\scalebox{1.447}{\small 21}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.818,2.767) -- (9.772,2.937) -- (9.648,3.062) -- (9.478,3.107) -- (9.308,3.062) -- (9.183,2.937) -- (9.138,2.767) -- (9.183,2.597) -- (9.308,2.473) -- (9.478,2.427) -- (9.648,2.473) -- (9.772,2.597) -- cycle;
\node at (9.478,2.767) {\scalebox{1.447}{\small 22}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.767,6.636) -- (9.367,6.636) -- (9.367,7.236) -- (8.767,7.236) -- cycle;
\node at (9.067,6.936) {\scalebox{1.447}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.821,8.174) -- (8.421,8.174) -- (8.421,8.774) -- (7.821,8.774) -- cycle;
\node at (8.121,8.474) {\scalebox{1.447}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.365,1.455) -- (11.965,1.455) -- (11.965,2.055) -- (11.365,2.055) -- cycle;
\node at (11.665,1.755) {\scalebox{1.447}{\small c}};
\node at (6.494,10.056) {\scalebox{1.447}{\small S0}};
\node at (9.89,9.808) {\scalebox{1.447}{\small S1}};
\node at (7.222,7.595) {\scalebox{1.447}{\small S2}};
\node at (9.521,7.358) {\scalebox{1.447}{\small S3}};
\node at (4.259,7.144) {\scalebox{1.447}{\small S4}};
\node at (0.93,6.483) {\scalebox{1.447}{\small S5}};
\node at (11.975,4.83) {\scalebox{1.447}{\small S6}};
\node at (6.111,4.469) {\scalebox{1.447}{\small S7}};
\node at (1.935,4.03) {\scalebox{1.447}{\small S8}};
\node at (10.155,3.653) {\scalebox{1.447}{\small S9}};
\node at (12.036,1.765) {\scalebox{1.447}{\small S10}};
\node at (10.125,1.087) {\scalebox{1.447}{\small S11}};
\node at (4.357,0.95) {\scalebox{1.447}{\small S12}};
\draw[line width=0.5pt] (12.84,8.495) -- (12.84,9.595);
\draw[line width=0.5pt] (12.609,9.21) -- (12.84,9.595) -- (13.071,9.21);
\draw[line width=0.5pt] (12.537,9.045) -- (13.142,9.045);
\node at (12.84,9.98) {\scalebox{1.447}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Peupliers & ⑫ rue Haute & S0 Carrefour de l'Hôpital & \textbf{a} la poste \\ \hline
② sentier des Prés & ⑬ rue de la Poste & S1 Place des Tanneurs & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ rue Neuve & ⑭ chemin de Ronde & S2 Place Sainte-Croix & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue du Puits & ⑮ chemin Creux & S3 Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑤ rue du Stade & ⑯ rue des Jardins & S4 Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑥ boulevard du Parc & ⑰ rue du Pont & S5 Place de la Fontaine &  \\ \hline
⑦ chemin des Vignes & ⑱ rue des Lilas & S6 Rond-point du Stade &  \\ \hline
⑧ rue Basse & ⑲ rue des Écoles & S7 Rond-point du Pont &  \\ \hline
⑨ chemin du Lavoir & ⑳ rue du Four & S8 Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
⑩ allée des Tilleuls & 21 quai aux Fleurs & S9 Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
⑪ passage du Marché & 22 rue de l'Église & S10 Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & S11 Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & S12 Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6185, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.599,9.445) -- (6.808,9.4) -- (7.019,9.36) -- (7.23,9.325) -- (7.443,9.294) -- (7.656,9.269) -- (7.869,9.249) -- (8.083,9.234) -- (8.297,9.224) -- (8.512,9.219) -- (8.726,9.219) -- (8.941,9.224) -- (9.155,9.234) -- (9.369,9.25) -- (9.582,9.27);
\draw[line width=0.5pt] (6.599,9.445) -- (6.672,9.277) -- (6.74,9.107) -- (6.805,8.936) -- (6.866,8.763) -- (6.923,8.589) -- (6.975,8.413) -- (7.024,8.237) -- (7.068,8.059) -- (7.108,7.88) -- (7.144,7.7) -- (7.176,7.52) -- (7.203,7.339) -- (7.226,7.157) -- (7.245,6.975);
\draw[line width=0.5pt] (6.599,9.445) -- (6.746,9.24) -- (6.898,9.039) -- (7.056,8.841) -- (7.217,8.647) -- (7.384,8.457) -- (7.554,8.271) -- (7.729,8.088) -- (7.909,7.91) -- (8.092,7.737) -- (8.279,7.567) -- (8.471,7.402) -- (8.666,7.242) -- (8.865,7.086) -- (9.067,6.936);
\draw[line width=0.5pt] (6.599,9.445) -- (6.499,9.239) -- (6.395,9.036) -- (6.286,8.835) -- (6.172,8.637) -- (6.053,8.441) -- (5.93,8.249) -- (5.802,8.059) -- (5.67,7.872) -- (5.534,7.689) -- (5.393,7.509) -- (5.248,7.332) -- (5.099,7.158) -- (4.947,6.989) -- (4.79,6.823);
\draw[line width=0.5pt] (9.582,9.27) -- (9.52,9.11) -- (9.462,8.949) -- (9.407,8.786) -- (9.357,8.622) -- (9.31,8.457) -- (9.267,8.291) -- (9.228,8.124) -- (9.193,7.956) -- (9.162,7.787) -- (9.135,7.618) -- (9.112,7.448) -- (9.093,7.278) -- (9.078,7.107) -- (9.067,6.936);
\draw[line width=0.5pt] (11.54,2.136) -- (11.421,2.079) -- (11.301,2.025) -- (11.179,1.973) -- (11.057,1.925) -- (10.933,1.879) -- (10.808,1.836) -- (10.682,1.797) -- (10.555,1.76) -- (10.428,1.726) -- (10.3,1.695) -- (10.171,1.667) -- (10.041,1.642) -- (9.911,1.621) -- (9.781,1.602);
\draw[line width=0.5pt] (7.245,6.975) -- (7.177,6.829) -- (7.113,6.682) -- (7.052,6.533) -- (6.995,6.383) -- (6.941,6.231) -- (6.891,6.078) -- (6.844,5.924) -- (6.801,5.769) -- (6.761,5.613) -- (6.726,5.456) -- (6.694,5.299) -- (6.666,5.14) -- (6.641,4.981) -- (6.62,4.822);
\draw[line width=0.5pt] (9.067,6.936) -- (9.252,6.816) -- (9.434,6.692) -- (9.613,6.563) -- (9.788,6.431) -- (9.961,6.294) -- (10.131,6.153) -- (10.297,6.008) -- (10.46,5.86) -- (10.619,5.707) -- (10.774,5.551) -- (10.926,5.392) -- (11.074,5.229) -- (11.218,5.062) -- (11.358,4.892);
\draw[line width=0.5pt] (9.067,6.936) -- (9.073,6.719) -- (9.085,6.503) -- (9.102,6.286) -- (9.124,6.07) -- (9.151,5.855) -- (9.183,5.64) -- (9.22,5.427) -- (9.262,5.214) -- (9.309,5.002) -- (9.361,4.791) -- (9.418,4.582) -- (9.48,4.374) -- (9.547,4.168) -- (9.618,3.963);
\draw[line width=0.5pt] (4.79,6.823) -- (4.564,6.755) -- (4.337,6.693) -- (4.109,6.636) -- (3.879,6.584) -- (3.648,6.538) -- (3.416,6.497) -- (3.183,6.462) -- (2.95,6.432) -- (2.715,6.408) -- (2.481,6.389) -- (2.245,6.376) -- (2.01,6.368) -- (1.775,6.366) -- (1.54,6.37);
\draw[line width=0.5pt] (4.79,6.823) -- (4.897,6.661) -- (5.009,6.502) -- (5.125,6.345) -- (5.244,6.191) -- (5.366,6.04) -- (5.493,5.892) -- (5.622,5.747) -- (5.756,5.605) -- (5.892,5.466) -- (6.032,5.33) -- (6.174,5.198) -- (6.32,5.069) -- (6.469,4.944) -- (6.62,4.822);
\draw[line width=0.5pt] (4.79,6.823) -- (4.659,6.61) -- (4.524,6.401) -- (4.383,6.195) -- (4.238,5.992) -- (4.088,5.793) -- (3.933,5.597) -- (3.773,5.405) -- (3.61,5.217) -- (3.441,5.032) -- (3.269,4.852) -- (3.092,4.676) -- (2.912,4.504) -- (2.727,4.336) -- (2.539,4.173);
\draw[line width=0.5pt] (1.54,6.37) -- (1.586,6.203) -- (1.637,6.038) -- (1.692,5.873) -- (1.75,5.71) -- (1.812,5.549) -- (1.879,5.389) -- (1.948,5.23) -- (2.022,5.073) -- (2.099,4.918) -- (2.18,4.765) -- (2.264,4.614) -- (2.352,4.465) -- (2.444,4.318) -- (2.539,4.173);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,4.892) -- (11.401,4.699) -- (11.44,4.504) -- (11.473,4.309) -- (11.503,4.113) -- (11.527,3.917) -- (11.547,3.719) -- (11.563,3.522) -- (11.573,3.324) -- (11.579,3.126) -- (11.581,2.927) -- (11.577,2.729) -- (11.569,2.531) -- (11.557,2.334) -- (11.54,2.136);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,4.892) -- (11.21,4.676) -- (11.068,4.457) -- (10.93,4.234) -- (10.798,4.008) -- (10.671,3.779) -- (10.55,3.547) -- (10.434,3.312) -- (10.323,3.075) -- (10.218,2.835) -- (10.119,2.592) -- (10.026,2.348) -- (9.938,2.101) -- (9.856,1.852) -- (9.781,1.602);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,4.892) -- (11.245,4.807) -- (11.13,4.725) -- (11.013,4.646) -- (10.894,4.569) -- (10.773,4.495) -- (10.651,4.424) -- (10.527,4.356) -- (10.401,4.291) -- (10.274,4.228) -- (10.145,4.169) -- (10.015,4.113) -- (9.884,4.06) -- (9.752,4.01) -- (9.618,3.963);
\draw[line width=0.5pt] (6.62,4.822) -- (6.809,4.559) -- (7.004,4.301) -- (7.205,4.047) -- (7.412,3.798) -- (7.625,3.554) -- (7.843,3.315) -- (8.068,3.082) -- (8.297,2.853) -- (8.532,2.63) -- (8.772,2.413) -- (9.017,2.201) -- (9.267,1.995) -- (9.521,1.796) -- (9.781,1.602);
\draw[line width=0.5pt] (6.62,4.822) -- (6.521,4.563) -- (6.416,4.306) -- (6.305,4.052) -- (6.188,3.801) -- (6.065,3.552) -- (5.936,3.306) -- (5.801,3.063) -- (5.661,2.824) -- (5.515,2.588) -- (5.364,2.355) -- (5.207,2.126) -- (5.045,1.901) -- (4.877,1.68) -- (4.705,1.463);
\draw[line width=0.5pt] (6.62,4.822) -- (6.424,4.799) -- (6.228,4.772) -- (6.032,4.74) -- (5.837,4.703) -- (5.643,4.662) -- (5.451,4.616) -- (5.259,4.566) -- (5.068,4.511) -- (4.879,4.452) -- (4.692,4.388) -- (4.505,4.32) -- (4.321,4.247) -- (4.138,4.171) -- (3.958,4.09) -- (3.856,4.08) -- (3.755,4.073) -- (3.653,4.068) -- (3.551,4.066) -- (3.449,4.066) -- (3.347,4.068) -- (3.245,4.073) -- (3.143,4.08) -- (3.041,4.089) -- (2.94,4.101) -- (2.839,4.116) -- (2.738,4.132) -- (2.638,4.151) -- (2.539,4.173);
\draw[line width=0.5pt] (6.62,4.822) -- (6.842,4.794) -- (7.063,4.761) -- (7.284,4.722) -- (7.503,4.678) -- (7.722,4.629) -- (7.939,4.575) -- (8.155,4.516) -- (8.369,4.452) -- (8.582,4.383) -- (8.793,4.309) -- (9.003,4.23) -- (9.21,4.146) -- (9.415,4.057) -- (9.618,3.963);
\draw[line width=0.5pt] (2.539,4.173) -- (2.662,3.957) -- (2.791,3.744) -- (2.925,3.535) -- (3.064,3.328) -- (3.208,3.125) -- (3.357,2.925) -- (3.51,2.729) -- (3.668,2.536) -- (3.83,2.347) -- (3.997,2.162) -- (4.167,1.981) -- (4.343,1.804) -- (4.522,1.631) -- (4.705,1.463);
\draw[line width=0.5pt] (9.618,3.963) -- (9.656,3.798) -- (9.689,3.631) -- (9.718,3.464) -- (9.744,3.296) -- (9.766,3.128) -- (9.783,2.959) -- (9.797,2.789) -- (9.806,2.62) -- (9.812,2.45) -- (9.814,2.28) -- (9.811,2.11) -- (9.805,1.94) -- (9.795,1.771) -- (9.781,1.602);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.759,9.445) -- (6.737,9.525) -- (6.679,9.583) -- (6.599,9.605) -- (6.519,9.583) -- (6.46,9.525) -- (6.439,9.445) -- (6.46,9.365) -- (6.519,9.306) -- (6.599,9.285) -- (6.679,9.306) -- (6.737,9.365) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.742,9.27) -- (9.721,9.35) -- (9.662,9.408) -- (9.582,9.43) -- (9.502,9.408) -- (9.443,9.35) -- (9.422,9.27) -- (9.443,9.19) -- (9.502,9.131) -- (9.582,9.11) -- (9.662,9.131) -- (9.721,9.19) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.405,6.975) -- (7.384,7.055) -- (7.325,7.114) -- (7.245,7.135) -- (7.165,7.114) -- (7.107,7.055) -- (7.085,6.975) -- (7.107,6.895) -- (7.165,6.836) -- (7.245,6.815) -- (7.325,6.836) -- (7.384,6.895) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.227,6.936) -- (9.206,7.016) -- (9.147,7.074) -- (9.067,7.096) -- (8.987,7.074) -- (8.928,7.016) -- (8.907,6.936) -- (8.928,6.856) -- (8.987,6.797) -- (9.067,6.776) -- (9.147,6.797) -- (9.206,6.856) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.95,6.823) -- (4.928,6.903) -- (4.87,6.961) -- (4.79,6.983) -- (4.71,6.961) -- (4.651,6.903) -- (4.63,6.823) -- (4.651,6.743) -- (4.71,6.684) -- (4.79,6.663) -- (4.87,6.684) -- (4.928,6.743) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.7,6.37) -- (1.678,6.45) -- (1.62,6.508) -- (1.54,6.53) -- (1.46,6.508) -- (1.401,6.45) -- (1.38,6.37) -- (1.401,6.29) -- (1.46,6.231) -- (1.54,6.21) -- (1.62,6.231) -- (1.678,6.29) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.518,4.892) -- (11.497,4.972) -- (11.438,5.031) -- (11.358,5.052) -- (11.278,5.031) -- (11.22,4.972) -- (11.198,4.892) -- (11.22,4.812) -- (11.278,4.754) -- (11.358,4.732) -- (11.438,4.754) -- (11.497,4.812) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.78,4.822) -- (6.759,4.902) -- (6.7,4.961) -- (6.62,4.982) -- (6.54,4.961) -- (6.482,4.902) -- (6.46,4.822) -- (6.482,4.742) -- (6.54,4.683) -- (6.62,4.662) -- (6.7,4.683) -- (6.759,4.742) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.699,4.173) -- (2.677,4.253) -- (2.619,4.311) -- (2.539,4.333) -- (2.459,4.311) -- (2.4,4.253) -- (2.379,4.173) -- (2.4,4.093) -- (2.459,4.034) -- (2.539,4.013) -- (2.619,4.034) -- (2.677,4.093) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.778,3.963) -- (9.757,4.043) -- (9.698,4.102) -- (9.618,4.123) -- (9.538,4.102) -- (9.48,4.043) -- (9.458,3.963) -- (9.48,3.883) -- (9.538,3.825) -- (9.618,3.803) -- (9.698,3.825) -- (9.757,3.883) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.7,2.136) -- (11.678,2.216) -- (11.62,2.275) -- (11.54,2.296) -- (11.46,2.275) -- (11.401,2.216) -- (11.38,2.136) -- (11.401,2.056) -- (11.46,1.998) -- (11.54,1.976) -- (11.62,1.998) -- (11.678,2.056) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.941,1.602) -- (9.919,1.682) -- (9.861,1.741) -- (9.781,1.762) -- (9.701,1.741) -- (9.642,1.682) -- (9.621,1.602) -- (9.642,1.522) -- (9.701,1.463) -- (9.781,1.442) -- (9.861,1.463) -- (9.919,1.522) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.865,1.463) -- (4.843,1.543) -- (4.785,1.602) -- (4.705,1.623) -- (4.625,1.602) -- (4.566,1.543) -- (4.545,1.463) -- (4.566,1.383) -- (4.625,1.325) -- (4.705,1.303) -- (4.785,1.325) -- (4.843,1.383) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.442,9.554) -- (8.396,9.724) -- (8.272,9.848) -- (8.102,9.894) -- (7.932,9.848) -- (7.807,9.724) -- (7.762,9.554) -- (7.807,9.384) -- (7.932,9.259) -- (8.102,9.214) -- (8.272,9.259) -- (8.396,9.384) -- cycle;
\node at (8.102,9.554) {\scalebox{1.617}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.673,8.318) -- (7.628,8.488) -- (7.503,8.612) -- (7.333,8.658) -- (7.163,8.612) -- (7.039,8.488) -- (6.993,8.318) -- (7.039,8.148) -- (7.163,8.023) -- (7.333,7.978) -- (7.503,8.023) -- (7.628,8.148) -- cycle;
\node at (7.333,8.318) {\scalebox{1.617}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.649,7.972) -- (8.604,8.142) -- (8.479,8.266) -- (8.309,8.312) -- (8.139,8.266) -- (8.015,8.142) -- (7.969,7.972) -- (8.015,7.802) -- (8.139,7.677) -- (8.309,7.632) -- (8.479,7.677) -- (8.604,7.802) -- cycle;
\node at (8.309,7.972) {\scalebox{1.617}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.406,7.877) -- (6.36,8.047) -- (6.236,8.172) -- (6.066,8.217) -- (5.896,8.172) -- (5.771,8.047) -- (5.726,7.877) -- (5.771,7.707) -- (5.896,7.583) -- (6.066,7.537) -- (6.236,7.583) -- (6.36,7.707) -- cycle;
\node at (6.066,7.877) {\scalebox{1.617}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.881,8.055) -- (9.835,8.225) -- (9.711,8.35) -- (9.541,8.395) -- (9.371,8.35) -- (9.246,8.225) -- (9.201,8.055) -- (9.246,7.885) -- (9.371,7.761) -- (9.541,7.715) -- (9.711,7.761) -- (9.835,7.885) -- cycle;
\node at (9.541,8.055) {\scalebox{1.617}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.115,1.49) -- (11.07,1.66) -- (10.945,1.785) -- (10.775,1.83) -- (10.605,1.785) -- (10.481,1.66) -- (10.435,1.49) -- (10.481,1.32) -- (10.605,1.196) -- (10.775,1.15) -- (10.945,1.196) -- (11.07,1.32) -- cycle;
\node at (10.775,1.49) {\scalebox{1.617}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.491,5.835) -- (7.446,6.005) -- (7.321,6.13) -- (7.151,6.175) -- (6.981,6.13) -- (6.857,6.005) -- (6.811,5.835) -- (6.857,5.665) -- (6.981,5.541) -- (7.151,5.495) -- (7.321,5.541) -- (7.446,5.665) -- cycle;
\node at (7.151,5.835) {\scalebox{1.617}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.85,6.247) -- (10.804,6.417) -- (10.68,6.542) -- (10.51,6.587) -- (10.34,6.542) -- (10.215,6.417) -- (10.17,6.247) -- (10.215,6.077) -- (10.34,5.953) -- (10.51,5.907) -- (10.68,5.953) -- (10.804,6.077) -- cycle;
\node at (10.51,6.247) {\scalebox{1.617}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.875,5.485) -- (9.829,5.655) -- (9.705,5.779) -- (9.535,5.825) -- (9.365,5.779) -- (9.24,5.655) -- (9.195,5.485) -- (9.24,5.315) -- (9.365,5.191) -- (9.535,5.145) -- (9.705,5.191) -- (9.829,5.315) -- cycle;
\node at (9.535,5.485) {\scalebox{1.617}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.567,6.145) -- (3.522,6.315) -- (3.397,6.44) -- (3.227,6.485) -- (3.057,6.44) -- (2.933,6.315) -- (2.887,6.145) -- (2.933,5.975) -- (3.057,5.851) -- (3.227,5.805) -- (3.397,5.851) -- (3.522,5.975) -- cycle;
\node at (3.227,6.145) {\scalebox{1.617}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.199,5.963) -- (6.153,6.133) -- (6.029,6.257) -- (5.859,6.303) -- (5.689,6.257) -- (5.564,6.133) -- (5.519,5.963) -- (5.564,5.793) -- (5.689,5.668) -- (5.859,5.623) -- (6.029,5.668) -- (6.153,5.793) -- cycle;
\node at (5.859,5.963) {\scalebox{1.617}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.357,5.198) -- (4.312,5.368) -- (4.187,5.492) -- (4.017,5.538) -- (3.847,5.492) -- (3.723,5.368) -- (3.677,5.198) -- (3.723,5.028) -- (3.847,4.903) -- (4.017,4.858) -- (4.187,4.903) -- (4.312,5.028) -- cycle;
\node at (4.017,5.198) {\scalebox{1.617}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.58,5.363) -- (2.534,5.533) -- (2.41,5.657) -- (2.24,5.703) -- (2.07,5.657) -- (1.945,5.533) -- (1.9,5.363) -- (1.945,5.193) -- (2.07,5.068) -- (2.24,5.023) -- (2.41,5.068) -- (2.534,5.193) -- cycle;
\node at (2.24,5.363) {\scalebox{1.617}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.222,3.543) -- (12.176,3.713) -- (12.052,3.837) -- (11.882,3.883) -- (11.712,3.837) -- (11.587,3.713) -- (11.542,3.543) -- (11.587,3.373) -- (11.712,3.248) -- (11.882,3.203) -- (12.052,3.248) -- (12.176,3.373) -- cycle;
\node at (11.882,3.543) {\scalebox{1.617}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.062,3.174) -- (11.017,3.344) -- (10.892,3.468) -- (10.722,3.514) -- (10.552,3.468) -- (10.428,3.344) -- (10.382,3.174) -- (10.428,3.004) -- (10.552,2.879) -- (10.722,2.834) -- (10.892,2.879) -- (11.017,3.004) -- cycle;
\node at (10.722,3.174) {\scalebox{1.617}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.017,4.074) -- (10.972,4.244) -- (10.847,4.368) -- (10.677,4.414) -- (10.507,4.368) -- (10.383,4.244) -- (10.337,4.074) -- (10.383,3.904) -- (10.507,3.779) -- (10.677,3.734) -- (10.847,3.779) -- (10.972,3.904) -- cycle;
\node at (10.677,4.074) {\scalebox{1.617}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.636,3.306) -- (8.59,3.476) -- (8.466,3.6) -- (8.296,3.646) -- (8.126,3.6) -- (8.002,3.476) -- (7.956,3.306) -- (8.002,3.136) -- (8.126,3.011) -- (8.296,2.966) -- (8.466,3.011) -- (8.59,3.136) -- cycle;
\node at (8.296,3.306) {\scalebox{1.617}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.419,2.905) -- (6.374,3.075) -- (6.249,3.199) -- (6.079,3.245) -- (5.909,3.199) -- (5.785,3.075) -- (5.739,2.905) -- (5.785,2.735) -- (5.909,2.611) -- (6.079,2.565) -- (6.249,2.611) -- (6.374,2.735) -- cycle;
\node at (6.079,2.905) {\scalebox{1.617}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.396,3.785) -- (4.35,3.955) -- (4.226,4.079) -- (4.056,4.125) -- (3.886,4.079) -- (3.761,3.955) -- (3.716,3.785) -- (3.761,3.615) -- (3.886,3.491) -- (4.056,3.445) -- (4.226,3.491) -- (4.35,3.615) -- cycle;
\node at (4.056,3.785) {\scalebox{1.617}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.583,4.824) -- (8.537,4.994) -- (8.413,5.118) -- (8.243,5.164) -- (8.073,5.118) -- (7.948,4.994) -- (7.903,4.824) -- (7.948,4.654) -- (8.073,4.529) -- (8.243,4.484) -- (8.413,4.529) -- (8.537,4.654) -- cycle;
\node at (8.243,4.824) {\scalebox{1.617}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.1,2.928) -- (4.054,3.098) -- (3.93,3.223) -- (3.76,3.268) -- (3.59,3.223) -- (3.465,3.098) -- (3.42,2.928) -- (3.465,2.758) -- (3.59,2.634) -- (3.76,2.588) -- (3.93,2.634) -- (4.054,2.758) -- cycle;
\node at (3.76,2.928) {\scalebox{1.617}{\small 21}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.818,2.767) -- (9.772,2.937) -- (9.648,3.062) -- (9.478,3.107) -- (9.308,3.062) -- (9.183,2.937) -- (9.138,2.767) -- (9.183,2.597) -- (9.308,2.473) -- (9.478,2.427) -- (9.648,2.473) -- (9.772,2.597) -- cycle;
\node at (9.478,2.767) {\scalebox{1.617}{\small 22}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.767,6.636) -- (9.367,6.636) -- (9.367,7.236) -- (8.767,7.236) -- cycle;
\node at (9.067,6.936) {\scalebox{1.617}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.821,8.174) -- (8.421,8.174) -- (8.421,8.774) -- (7.821,8.774) -- cycle;
\node at (8.121,8.474) {\scalebox{1.617}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.365,1.455) -- (11.965,1.455) -- (11.965,2.055) -- (11.365,2.055) -- cycle;
\node at (11.665,1.755) {\scalebox{1.617}{\small c}};
\node at (6.494,10.056) {\scalebox{1.617}{\small S0}};
\node at (9.89,9.808) {\scalebox{1.617}{\small S1}};
\node at (7.222,7.595) {\scalebox{1.617}{\small S2}};
\node at (9.521,7.358) {\scalebox{1.617}{\small S3}};
\node at (4.259,7.144) {\scalebox{1.617}{\small S4}};
\node at (0.93,6.483) {\scalebox{1.617}{\small S5}};
\node at (11.975,4.83) {\scalebox{1.617}{\small S6}};
\node at (6.111,4.469) {\scalebox{1.617}{\small S7}};
\node at (1.935,4.03) {\scalebox{1.617}{\small S8}};
\node at (10.155,3.653) {\scalebox{1.617}{\small S9}};
\node at (12.036,1.765) {\scalebox{1.617}{\small S10}};
\node at (10.125,1.087) {\scalebox{1.617}{\small S11}};
\node at (4.357,0.95) {\scalebox{1.617}{\small S12}};
\draw[line width=0.5pt] (12.84,8.495) -- (12.84,9.595);
\draw[line width=0.5pt] (12.609,9.21) -- (12.84,9.595) -- (13.071,9.21);
\draw[line width=0.5pt] (12.537,9.045) -- (13.142,9.045);
\node at (12.84,9.98) {\scalebox{1.617}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries S0 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S12 \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 4 & 6 & 4 & 4 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 \(\times\) 22, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{S3}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Moulin \textbf{(S3)}, prend la \textbf{rue Neuve ③} vers le nord-ouest et atteint Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ①}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(S1)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S3)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(S6)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin de Ronde ⑭}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑮}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(S6)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Jardins ⑯}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(S9)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑳}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑦}, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(S2)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ②}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S4)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(S5)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑬}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑫}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ⑪}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑱}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(S12)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs 21}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ⑲}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑰}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église 22}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(S9)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑨}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S3)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
