\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 231}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=231}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0231}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.701, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.567,6.115) -- (7.127,6.105) -- (6.687,6.083) -- (6.247,6.052) -- (5.809,6.009) -- (5.371,5.957) -- (4.935,5.894) -- (4.5,5.822) -- (4.067,5.738) -- (3.636,5.645) -- (3.208,5.542) -- (2.782,5.429) -- (2.359,5.305) -- (1.939,5.172) -- (1.523,5.029);
\draw[line width=0.5pt] (7.567,6.115) -- (7.365,5.87) -- (7.158,5.629) -- (6.944,5.393) -- (6.725,5.162) -- (6.501,4.936) -- (6.272,4.715) -- (6.037,4.5) -- (5.797,4.291) -- (5.553,4.087) -- (5.304,3.889) -- (5.05,3.697) -- (4.792,3.511) -- (4.529,3.331) -- (4.263,3.158);
\draw[line width=0.5pt] (7.567,6.115) -- (7.67,5.952) -- (7.776,5.791) -- (7.886,5.632) -- (8.001,5.476) -- (8.118,5.323) -- (8.24,5.172) -- (8.364,5.025) -- (8.493,4.88) -- (8.624,4.738) -- (8.759,4.6) -- (8.897,4.465) -- (9.038,4.333) -- (9.182,4.204) -- (9.33,4.079) -- (9.497,3.947) -- (9.66,3.811) -- (9.821,3.671) -- (9.978,3.528) -- (10.132,3.38) -- (10.282,3.229) -- (10.429,3.075) -- (10.572,2.917) -- (10.712,2.756) -- (10.847,2.592) -- (10.979,2.424) -- (11.107,2.254) -- (11.23,2.08) -- (11.349,1.904);
\draw[line width=0.5pt] (7.567,6.115) -- (7.498,5.773) -- (7.421,5.432) -- (7.335,5.093) -- (7.242,4.755) -- (7.14,4.42) -- (7.031,4.088) -- (6.914,3.758) -- (6.79,3.431) -- (6.657,3.107) -- (6.518,2.786) -- (6.37,2.469) -- (6.216,2.155) -- (6.054,1.845) -- (5.884,1.54);
\draw[line width=0.5pt] (1.523,5.029) -- (1.696,4.866) -- (1.874,4.708) -- (2.055,4.554) -- (2.24,4.404) -- (2.429,4.258) -- (2.62,4.117) -- (2.816,3.98) -- (3.014,3.848) -- (3.215,3.721) -- (3.419,3.599) -- (3.626,3.481) -- (3.836,3.368) -- (4.048,3.26) -- (4.263,3.158);
\draw[line width=0.5pt] (1.523,5.029) -- (1.545,4.803) -- (1.562,4.576) -- (1.574,4.348) -- (1.58,4.121) -- (1.581,3.893) -- (1.577,3.665) -- (1.567,3.438) -- (1.552,3.21) -- (1.531,2.984) -- (1.505,2.757) -- (1.474,2.532) -- (1.438,2.307) -- (1.396,2.083) -- (1.349,1.861);
\draw[line width=0.5pt] (4.263,3.158) -- (4.042,3.098) -- (3.823,3.033) -- (3.605,2.962) -- (3.389,2.886) -- (3.175,2.806) -- (2.963,2.72) -- (2.753,2.629) -- (2.545,2.534) -- (2.339,2.434) -- (2.136,2.328) -- (1.935,2.218) -- (1.737,2.104) -- (1.542,1.985) -- (1.349,1.861);
\draw[line width=0.5pt] (4.263,3.158) -- (4.395,3.061) -- (4.526,2.961) -- (4.654,2.858) -- (4.779,2.751) -- (4.902,2.642) -- (5.023,2.53) -- (5.14,2.416) -- (5.255,2.298) -- (5.368,2.178) -- (5.477,2.055) -- (5.583,1.93) -- (5.687,1.802) -- (5.787,1.672) -- (5.884,1.54);
\draw[line width=0.5pt] (11.349,1.904) -- (10.958,1.938) -- (10.566,1.963) -- (10.173,1.978) -- (9.78,1.984) -- (9.387,1.981) -- (8.994,1.969) -- (8.602,1.947) -- (8.21,1.916) -- (7.819,1.877) -- (7.429,1.827) -- (7.04,1.769) -- (6.653,1.702) -- (6.268,1.625) -- (5.884,1.54);
\draw[line width=0.5pt] (1.349,1.861) -- (1.674,1.888) -- (2.0,1.907) -- (2.326,1.918) -- (2.652,1.922) -- (2.978,1.918) -- (3.304,1.907) -- (3.63,1.887) -- (3.955,1.86) -- (4.28,1.826) -- (4.603,1.784) -- (4.926,1.734) -- (5.247,1.677) -- (5.566,1.612) -- (5.884,1.54);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.727,6.115) -- (7.706,6.195) -- (7.647,6.254) -- (7.567,6.275) -- (7.487,6.254) -- (7.428,6.195) -- (7.407,6.115) -- (7.428,6.035) -- (7.487,5.977) -- (7.567,5.955) -- (7.647,5.977) -- (7.706,6.035) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.683,5.029) -- (1.661,5.109) -- (1.603,5.168) -- (1.523,5.189) -- (1.443,5.168) -- (1.384,5.109) -- (1.363,5.029) -- (1.384,4.949) -- (1.443,4.89) -- (1.523,4.869) -- (1.603,4.89) -- (1.661,4.949) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.423,3.158) -- (4.401,3.238) -- (4.343,3.296) -- (4.263,3.318) -- (4.183,3.296) -- (4.124,3.238) -- (4.103,3.158) -- (4.124,3.078) -- (4.183,3.019) -- (4.263,2.998) -- (4.343,3.019) -- (4.401,3.078) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.509,1.904) -- (11.488,1.984) -- (11.429,2.043) -- (11.349,2.064) -- (11.269,2.043) -- (11.211,1.984) -- (11.189,1.904) -- (11.211,1.824) -- (11.269,1.765) -- (11.349,1.744) -- (11.429,1.765) -- (11.488,1.824) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.509,1.861) -- (1.488,1.941) -- (1.429,1.999) -- (1.349,2.021) -- (1.269,1.999) -- (1.211,1.941) -- (1.189,1.861) -- (1.211,1.781) -- (1.269,1.722) -- (1.349,1.701) -- (1.429,1.722) -- (1.488,1.781) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.044,1.54) -- (6.023,1.62) -- (5.964,1.678) -- (5.884,1.7) -- (5.804,1.678) -- (5.746,1.62) -- (5.724,1.54) -- (5.746,1.46) -- (5.804,1.401) -- (5.884,1.38) -- (5.964,1.401) -- (6.023,1.46) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.897,5.507) -- (4.851,5.677) -- (4.727,5.801) -- (4.557,5.847) -- (4.387,5.801) -- (4.262,5.677) -- (4.217,5.507) -- (4.262,5.337) -- (4.387,5.212) -- (4.557,5.167) -- (4.727,5.212) -- (4.851,5.337) -- cycle;
\node at (4.557,5.507) {\scalebox{1.427}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.59,4.262) -- (6.545,4.432) -- (6.42,4.556) -- (6.25,4.602) -- (6.08,4.556) -- (5.956,4.432) -- (5.91,4.262) -- (5.956,4.092) -- (6.08,3.967) -- (6.25,3.922) -- (6.42,3.967) -- (6.545,4.092) -- cycle;
\node at (6.25,4.262) {\scalebox{1.427}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.872,4.327) -- (9.827,4.497) -- (9.702,4.621) -- (9.532,4.667) -- (9.362,4.621) -- (9.238,4.497) -- (9.192,4.327) -- (9.238,4.157) -- (9.362,4.033) -- (9.532,3.987) -- (9.702,4.033) -- (9.827,4.157) -- cycle;
\node at (9.532,4.327) {\scalebox{1.427}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.555,3.648) -- (7.509,3.818) -- (7.385,3.942) -- (7.215,3.988) -- (7.045,3.942) -- (6.92,3.818) -- (6.875,3.648) -- (6.92,3.478) -- (7.045,3.353) -- (7.215,3.308) -- (7.385,3.353) -- (7.509,3.478) -- cycle;
\node at (7.215,3.648) {\scalebox{1.427}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.336,4.245) -- (3.29,4.415) -- (3.166,4.539) -- (2.996,4.585) -- (2.826,4.539) -- (2.702,4.415) -- (2.656,4.245) -- (2.702,4.075) -- (2.826,3.95) -- (2.996,3.905) -- (3.166,3.95) -- (3.29,4.075) -- cycle;
\node at (2.996,4.245) {\scalebox{1.427}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.226,3.42) -- (2.181,3.59) -- (2.056,3.715) -- (1.886,3.76) -- (1.716,3.715) -- (1.592,3.59) -- (1.546,3.42) -- (1.592,3.25) -- (1.716,3.126) -- (1.886,3.08) -- (2.056,3.126) -- (2.181,3.25) -- cycle;
\node at (1.886,3.42) {\scalebox{1.427}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.223,2.337) -- (3.177,2.507) -- (3.053,2.632) -- (2.883,2.677) -- (2.713,2.632) -- (2.588,2.507) -- (2.543,2.337) -- (2.588,2.167) -- (2.713,2.043) -- (2.883,1.997) -- (3.053,2.043) -- (3.177,2.167) -- cycle;
\node at (2.883,2.337) {\scalebox{1.427}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.706,2.642) -- (5.661,2.812) -- (5.536,2.937) -- (5.366,2.982) -- (5.196,2.937) -- (5.072,2.812) -- (5.026,2.642) -- (5.072,2.472) -- (5.196,2.348) -- (5.366,2.302) -- (5.536,2.348) -- (5.661,2.472) -- cycle;
\node at (5.366,2.642) {\scalebox{1.427}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.963,1.628) -- (8.918,1.798) -- (8.793,1.922) -- (8.623,1.968) -- (8.453,1.922) -- (8.329,1.798) -- (8.283,1.628) -- (8.329,1.458) -- (8.453,1.333) -- (8.623,1.288) -- (8.793,1.333) -- (8.918,1.458) -- cycle;
\node at (8.623,1.628) {\scalebox{1.427}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.993,2.206) -- (3.947,2.376) -- (3.823,2.501) -- (3.653,2.546) -- (3.483,2.501) -- (3.358,2.376) -- (3.313,2.206) -- (3.358,2.036) -- (3.483,1.912) -- (3.653,1.866) -- (3.823,1.912) -- (3.947,2.036) -- cycle;
\node at (3.653,2.206) {\scalebox{1.427}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.223,4.729) -- (1.823,4.729) -- (1.823,5.329) -- (1.223,5.329) -- cycle;
\node at (1.523,5.029) {\scalebox{1.427}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.924,6.015) -- (4.524,6.015) -- (4.524,6.615) -- (3.924,6.615) -- cycle;
\node at (4.224,6.315) {\scalebox{1.427}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.717,3.156) -- (1.317,3.156) -- (1.317,3.756) -- (0.717,3.756) -- cycle;
\node at (1.017,3.456) {\scalebox{1.427}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.979,4.457) -- (7.579,4.457) -- (7.579,5.057) -- (6.979,5.057) -- cycle;
\node at (7.279,4.757) {\scalebox{1.427}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.676,1.5) -- (6.276,1.5) -- (6.276,2.1) -- (5.676,2.1) -- cycle;
\node at (5.976,1.8) {\scalebox{1.427}{\small e}};
\node at (7.951,6.602) {\scalebox{1.427}{\small A}};
\node at (0.96,5.29) {\scalebox{1.427}{\small B}};
\node at (3.646,3.094) {\scalebox{1.427}{\small C}};
\node at (11.954,1.767) {\scalebox{1.427}{\small D}};
\node at (0.765,1.654) {\scalebox{1.427}{\small E}};
\node at (6.076,0.95) {\scalebox{1.427}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.649,5.165) -- (12.649,6.265);
\draw[line width=0.5pt] (12.418,5.88) -- (12.649,6.265) -- (12.88,5.88);
\draw[line width=0.5pt] (12.347,5.715) -- (12.952,5.715);
\node at (12.649,6.65) {\scalebox{1.427}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Haute & ⑥ passage du Marché & Ⓐ Carrefour des Tilleuls & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Stade & ⑦ chemin Creux & Ⓑ Carrefour du Lavoir & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ chemin du Lavoir & ⑧ venelle du Chat & Ⓒ Rond-point du Pont & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue de la Mairie & ⑨ rue Verte & Ⓓ Coin du Lavoir & \textbf{d} le lavoir \\ \hline
⑤ rue de l'Église & ⑩ quai aux Fleurs & Ⓔ Rond-point de la Poste & \textbf{e} la mairie \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point du Stade &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6272, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.567,6.115) -- (7.127,6.105) -- (6.687,6.083) -- (6.247,6.052) -- (5.809,6.009) -- (5.371,5.957) -- (4.935,5.894) -- (4.5,5.822) -- (4.067,5.738) -- (3.636,5.645) -- (3.208,5.542) -- (2.782,5.429) -- (2.359,5.305) -- (1.939,5.172) -- (1.523,5.029);
\draw[line width=0.5pt] (7.567,6.115) -- (7.365,5.87) -- (7.158,5.629) -- (6.944,5.393) -- (6.725,5.162) -- (6.501,4.936) -- (6.272,4.715) -- (6.037,4.5) -- (5.797,4.291) -- (5.553,4.087) -- (5.304,3.889) -- (5.05,3.697) -- (4.792,3.511) -- (4.529,3.331) -- (4.263,3.158);
\draw[line width=0.5pt] (7.567,6.115) -- (7.67,5.952) -- (7.776,5.791) -- (7.886,5.632) -- (8.001,5.476) -- (8.118,5.323) -- (8.24,5.172) -- (8.364,5.025) -- (8.493,4.88) -- (8.624,4.738) -- (8.759,4.6) -- (8.897,4.465) -- (9.038,4.333) -- (9.182,4.204) -- (9.33,4.079) -- (9.497,3.947) -- (9.66,3.811) -- (9.821,3.671) -- (9.978,3.528) -- (10.132,3.38) -- (10.282,3.229) -- (10.429,3.075) -- (10.572,2.917) -- (10.712,2.756) -- (10.847,2.592) -- (10.979,2.424) -- (11.107,2.254) -- (11.23,2.08) -- (11.349,1.904);
\draw[line width=0.5pt] (7.567,6.115) -- (7.498,5.773) -- (7.421,5.432) -- (7.335,5.093) -- (7.242,4.755) -- (7.14,4.42) -- (7.031,4.088) -- (6.914,3.758) -- (6.79,3.431) -- (6.657,3.107) -- (6.518,2.786) -- (6.37,2.469) -- (6.216,2.155) -- (6.054,1.845) -- (5.884,1.54);
\draw[line width=0.5pt] (1.523,5.029) -- (1.696,4.866) -- (1.874,4.708) -- (2.055,4.554) -- (2.24,4.404) -- (2.429,4.258) -- (2.62,4.117) -- (2.816,3.98) -- (3.014,3.848) -- (3.215,3.721) -- (3.419,3.599) -- (3.626,3.481) -- (3.836,3.368) -- (4.048,3.26) -- (4.263,3.158);
\draw[line width=0.5pt] (1.523,5.029) -- (1.545,4.803) -- (1.562,4.576) -- (1.574,4.348) -- (1.58,4.121) -- (1.581,3.893) -- (1.577,3.665) -- (1.567,3.438) -- (1.552,3.21) -- (1.531,2.984) -- (1.505,2.757) -- (1.474,2.532) -- (1.438,2.307) -- (1.396,2.083) -- (1.349,1.861);
\draw[line width=0.5pt] (4.263,3.158) -- (4.042,3.098) -- (3.823,3.033) -- (3.605,2.962) -- (3.389,2.886) -- (3.175,2.806) -- (2.963,2.72) -- (2.753,2.629) -- (2.545,2.534) -- (2.339,2.434) -- (2.136,2.328) -- (1.935,2.218) -- (1.737,2.104) -- (1.542,1.985) -- (1.349,1.861);
\draw[line width=0.5pt] (4.263,3.158) -- (4.395,3.061) -- (4.526,2.961) -- (4.654,2.858) -- (4.779,2.751) -- (4.902,2.642) -- (5.023,2.53) -- (5.14,2.416) -- (5.255,2.298) -- (5.368,2.178) -- (5.477,2.055) -- (5.583,1.93) -- (5.687,1.802) -- (5.787,1.672) -- (5.884,1.54);
\draw[line width=0.5pt] (11.349,1.904) -- (10.958,1.938) -- (10.566,1.963) -- (10.173,1.978) -- (9.78,1.984) -- (9.387,1.981) -- (8.994,1.969) -- (8.602,1.947) -- (8.21,1.916) -- (7.819,1.877) -- (7.429,1.827) -- (7.04,1.769) -- (6.653,1.702) -- (6.268,1.625) -- (5.884,1.54);
\draw[line width=0.5pt] (1.349,1.861) -- (1.674,1.888) -- (2.0,1.907) -- (2.326,1.918) -- (2.652,1.922) -- (2.978,1.918) -- (3.304,1.907) -- (3.63,1.887) -- (3.955,1.86) -- (4.28,1.826) -- (4.603,1.784) -- (4.926,1.734) -- (5.247,1.677) -- (5.566,1.612) -- (5.884,1.54);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.727,6.115) -- (7.706,6.195) -- (7.647,6.254) -- (7.567,6.275) -- (7.487,6.254) -- (7.428,6.195) -- (7.407,6.115) -- (7.428,6.035) -- (7.487,5.977) -- (7.567,5.955) -- (7.647,5.977) -- (7.706,6.035) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.683,5.029) -- (1.661,5.109) -- (1.603,5.168) -- (1.523,5.189) -- (1.443,5.168) -- (1.384,5.109) -- (1.363,5.029) -- (1.384,4.949) -- (1.443,4.89) -- (1.523,4.869) -- (1.603,4.89) -- (1.661,4.949) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.423,3.158) -- (4.401,3.238) -- (4.343,3.296) -- (4.263,3.318) -- (4.183,3.296) -- (4.124,3.238) -- (4.103,3.158) -- (4.124,3.078) -- (4.183,3.019) -- (4.263,2.998) -- (4.343,3.019) -- (4.401,3.078) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.509,1.904) -- (11.488,1.984) -- (11.429,2.043) -- (11.349,2.064) -- (11.269,2.043) -- (11.211,1.984) -- (11.189,1.904) -- (11.211,1.824) -- (11.269,1.765) -- (11.349,1.744) -- (11.429,1.765) -- (11.488,1.824) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.509,1.861) -- (1.488,1.941) -- (1.429,1.999) -- (1.349,2.021) -- (1.269,1.999) -- (1.211,1.941) -- (1.189,1.861) -- (1.211,1.781) -- (1.269,1.722) -- (1.349,1.701) -- (1.429,1.722) -- (1.488,1.781) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.044,1.54) -- (6.023,1.62) -- (5.964,1.678) -- (5.884,1.7) -- (5.804,1.678) -- (5.746,1.62) -- (5.724,1.54) -- (5.746,1.46) -- (5.804,1.401) -- (5.884,1.38) -- (5.964,1.401) -- (6.023,1.46) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.897,5.507) -- (4.851,5.677) -- (4.727,5.801) -- (4.557,5.847) -- (4.387,5.801) -- (4.262,5.677) -- (4.217,5.507) -- (4.262,5.337) -- (4.387,5.212) -- (4.557,5.167) -- (4.727,5.212) -- (4.851,5.337) -- cycle;
\node at (4.557,5.507) {\scalebox{1.594}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.59,4.262) -- (6.545,4.432) -- (6.42,4.556) -- (6.25,4.602) -- (6.08,4.556) -- (5.956,4.432) -- (5.91,4.262) -- (5.956,4.092) -- (6.08,3.967) -- (6.25,3.922) -- (6.42,3.967) -- (6.545,4.092) -- cycle;
\node at (6.25,4.262) {\scalebox{1.594}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.872,4.327) -- (9.827,4.497) -- (9.702,4.621) -- (9.532,4.667) -- (9.362,4.621) -- (9.238,4.497) -- (9.192,4.327) -- (9.238,4.157) -- (9.362,4.033) -- (9.532,3.987) -- (9.702,4.033) -- (9.827,4.157) -- cycle;
\node at (9.532,4.327) {\scalebox{1.594}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.555,3.648) -- (7.509,3.818) -- (7.385,3.942) -- (7.215,3.988) -- (7.045,3.942) -- (6.92,3.818) -- (6.875,3.648) -- (6.92,3.478) -- (7.045,3.353) -- (7.215,3.308) -- (7.385,3.353) -- (7.509,3.478) -- cycle;
\node at (7.215,3.648) {\scalebox{1.594}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.336,4.245) -- (3.29,4.415) -- (3.166,4.539) -- (2.996,4.585) -- (2.826,4.539) -- (2.702,4.415) -- (2.656,4.245) -- (2.702,4.075) -- (2.826,3.95) -- (2.996,3.905) -- (3.166,3.95) -- (3.29,4.075) -- cycle;
\node at (2.996,4.245) {\scalebox{1.594}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.226,3.42) -- (2.181,3.59) -- (2.056,3.715) -- (1.886,3.76) -- (1.716,3.715) -- (1.592,3.59) -- (1.546,3.42) -- (1.592,3.25) -- (1.716,3.126) -- (1.886,3.08) -- (2.056,3.126) -- (2.181,3.25) -- cycle;
\node at (1.886,3.42) {\scalebox{1.594}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.223,2.337) -- (3.177,2.507) -- (3.053,2.632) -- (2.883,2.677) -- (2.713,2.632) -- (2.588,2.507) -- (2.543,2.337) -- (2.588,2.167) -- (2.713,2.043) -- (2.883,1.997) -- (3.053,2.043) -- (3.177,2.167) -- cycle;
\node at (2.883,2.337) {\scalebox{1.594}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.706,2.642) -- (5.661,2.812) -- (5.536,2.937) -- (5.366,2.982) -- (5.196,2.937) -- (5.072,2.812) -- (5.026,2.642) -- (5.072,2.472) -- (5.196,2.348) -- (5.366,2.302) -- (5.536,2.348) -- (5.661,2.472) -- cycle;
\node at (5.366,2.642) {\scalebox{1.594}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.963,1.628) -- (8.918,1.798) -- (8.793,1.922) -- (8.623,1.968) -- (8.453,1.922) -- (8.329,1.798) -- (8.283,1.628) -- (8.329,1.458) -- (8.453,1.333) -- (8.623,1.288) -- (8.793,1.333) -- (8.918,1.458) -- cycle;
\node at (8.623,1.628) {\scalebox{1.594}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.993,2.206) -- (3.947,2.376) -- (3.823,2.501) -- (3.653,2.546) -- (3.483,2.501) -- (3.358,2.376) -- (3.313,2.206) -- (3.358,2.036) -- (3.483,1.912) -- (3.653,1.866) -- (3.823,1.912) -- (3.947,2.036) -- cycle;
\node at (3.653,2.206) {\scalebox{1.594}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.223,4.729) -- (1.823,4.729) -- (1.823,5.329) -- (1.223,5.329) -- cycle;
\node at (1.523,5.029) {\scalebox{1.594}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.924,6.015) -- (4.524,6.015) -- (4.524,6.615) -- (3.924,6.615) -- cycle;
\node at (4.224,6.315) {\scalebox{1.594}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.717,3.156) -- (1.317,3.156) -- (1.317,3.756) -- (0.717,3.756) -- cycle;
\node at (1.017,3.456) {\scalebox{1.594}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.979,4.457) -- (7.579,4.457) -- (7.579,5.057) -- (6.979,5.057) -- cycle;
\node at (7.279,4.757) {\scalebox{1.594}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.676,1.5) -- (6.276,1.5) -- (6.276,2.1) -- (5.676,2.1) -- cycle;
\node at (5.976,1.8) {\scalebox{1.594}{\small e}};
\node at (7.951,6.602) {\scalebox{1.594}{\small A}};
\node at (0.96,5.29) {\scalebox{1.594}{\small B}};
\node at (3.646,3.094) {\scalebox{1.594}{\small C}};
\node at (11.954,1.767) {\scalebox{1.594}{\small D}};
\node at (0.765,1.654) {\scalebox{1.594}{\small E}};
\node at (6.076,0.95) {\scalebox{1.594}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.649,5.165) -- (12.649,6.265);
\draw[line width=0.5pt] (12.418,5.88) -- (12.649,6.265) -- (12.88,5.88);
\draw[line width=0.5pt] (12.347,5.715) -- (12.952,5.715);
\node at (12.649,6.65) {\scalebox{1.594}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 3 & 4 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{B}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en E}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue Haute ①} vers l'est et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑥}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ④}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ③}, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
