\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 233}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=233}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0233}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7014, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.999,7.327) -- (2.261,7.183) -- (2.526,7.045) -- (2.795,6.913) -- (3.067,6.787) -- (3.342,6.668) -- (3.619,6.555) -- (3.9,6.449) -- (4.182,6.349) -- (4.467,6.256) -- (4.754,6.17) -- (5.042,6.09) -- (5.333,6.018) -- (5.625,5.952) -- (5.918,5.893);
\draw[line width=0.5pt] (1.999,7.327) -- (2.268,7.14) -- (2.532,6.945) -- (2.792,6.745) -- (3.047,6.538) -- (3.298,6.325) -- (3.543,6.107) -- (3.783,5.883) -- (4.018,5.653) -- (4.247,5.418) -- (4.471,5.177) -- (4.688,4.931) -- (4.9,4.681) -- (5.106,4.425) -- (5.306,4.165);
\draw[line width=0.5pt] (1.999,7.327) -- (1.9,6.997) -- (1.809,6.664) -- (1.726,6.329) -- (1.651,5.992) -- (1.584,5.654) -- (1.525,5.314) -- (1.474,4.972) -- (1.431,4.63) -- (1.396,4.286) -- (1.369,3.942) -- (1.35,3.597) -- (1.339,3.253) -- (1.337,2.908) -- (1.342,2.563);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,5.893) -- (5.894,5.764) -- (5.866,5.636) -- (5.836,5.508) -- (5.802,5.38) -- (5.766,5.254) -- (5.726,5.128) -- (5.684,5.004) -- (5.638,4.88) -- (5.59,4.758) -- (5.539,4.637) -- (5.485,4.517) -- (5.428,4.398) -- (5.368,4.281) -- (5.306,4.165);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,5.893) -- (6.123,5.768) -- (6.331,5.648) -- (6.541,5.533) -- (6.754,5.423) -- (6.97,5.317) -- (7.188,5.217) -- (7.408,5.122) -- (7.631,5.032) -- (7.856,4.948) -- (8.082,4.869) -- (8.31,4.795) -- (8.54,4.726) -- (8.772,4.663) -- (9.004,4.606) -- (9.187,4.525) -- (9.367,4.439) -- (9.545,4.35) -- (9.721,4.256) -- (9.895,4.158) -- (10.066,4.056) -- (10.235,3.95) -- (10.402,3.84) -- (10.566,3.726) -- (10.727,3.608) -- (10.885,3.487) -- (11.041,3.362) -- (11.193,3.233) -- (11.342,3.101);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,5.893) -- (5.952,5.584) -- (5.978,5.274) -- (5.997,4.964) -- (6.008,4.653) -- (6.012,4.341) -- (6.009,4.03) -- (5.999,3.719) -- (5.981,3.408) -- (5.956,3.098) -- (5.924,2.788) -- (5.884,2.479) -- (5.837,2.172) -- (5.783,1.865) -- (5.722,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (5.306,4.165) -- (5.008,4.095) -- (4.711,4.017) -- (4.416,3.933) -- (4.123,3.842) -- (3.832,3.744) -- (3.544,3.639) -- (3.258,3.527) -- (2.975,3.409) -- (2.695,3.284) -- (2.417,3.153) -- (2.143,3.015) -- (1.873,2.87) -- (1.606,2.72) -- (1.342,2.563);
\draw[line width=0.5pt] (11.342,3.101) -- (10.961,2.93) -- (10.575,2.768) -- (10.186,2.616) -- (9.793,2.473) -- (9.397,2.339) -- (8.998,2.214) -- (8.596,2.099) -- (8.191,1.993) -- (7.784,1.897) -- (7.375,1.81) -- (6.963,1.733) -- (6.551,1.666) -- (6.137,1.608) -- (5.722,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (1.342,2.563) -- (1.642,2.444) -- (1.944,2.332) -- (2.249,2.227) -- (2.556,2.13) -- (2.866,2.04) -- (3.177,1.957) -- (3.491,1.881) -- (3.806,1.813) -- (4.123,1.752) -- (4.441,1.699) -- (4.76,1.653) -- (5.08,1.614) -- (5.4,1.584) -- (5.722,1.56);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.159,7.327) -- (2.137,7.407) -- (2.079,7.466) -- (1.999,7.487) -- (1.919,7.466) -- (1.86,7.407) -- (1.839,7.327) -- (1.86,7.247) -- (1.919,7.189) -- (1.999,7.167) -- (2.079,7.189) -- (2.137,7.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.078,5.893) -- (6.057,5.973) -- (5.998,6.032) -- (5.918,6.053) -- (5.838,6.032) -- (5.78,5.973) -- (5.758,5.893) -- (5.78,5.813) -- (5.838,5.755) -- (5.918,5.733) -- (5.998,5.755) -- (6.057,5.813) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.466,4.165) -- (5.445,4.245) -- (5.386,4.303) -- (5.306,4.325) -- (5.226,4.303) -- (5.168,4.245) -- (5.146,4.165) -- (5.168,4.085) -- (5.226,4.026) -- (5.306,4.005) -- (5.386,4.026) -- (5.445,4.085) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.502,3.101) -- (11.481,3.181) -- (11.422,3.239) -- (11.342,3.261) -- (11.262,3.239) -- (11.204,3.181) -- (11.182,3.101) -- (11.204,3.021) -- (11.262,2.962) -- (11.342,2.941) -- (11.422,2.962) -- (11.481,3.021) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.502,2.563) -- (1.481,2.643) -- (1.422,2.701) -- (1.342,2.723) -- (1.262,2.701) -- (1.204,2.643) -- (1.182,2.563) -- (1.204,2.483) -- (1.262,2.424) -- (1.342,2.403) -- (1.422,2.424) -- (1.481,2.483) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.882,1.56) -- (5.86,1.64) -- (5.802,1.699) -- (5.722,1.72) -- (5.642,1.699) -- (5.583,1.64) -- (5.562,1.56) -- (5.583,1.48) -- (5.642,1.422) -- (5.722,1.4) -- (5.802,1.422) -- (5.86,1.48) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.349,6.749) -- (4.304,6.919) -- (4.179,7.044) -- (4.009,7.089) -- (3.839,7.044) -- (3.715,6.919) -- (3.669,6.749) -- (3.715,6.579) -- (3.839,6.455) -- (4.009,6.409) -- (4.179,6.455) -- (4.304,6.579) -- cycle;
\node at (4.009,6.749) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.902,5.651) -- (3.856,5.821) -- (3.732,5.946) -- (3.562,5.991) -- (3.392,5.946) -- (3.267,5.821) -- (3.222,5.651) -- (3.267,5.481) -- (3.392,5.357) -- (3.562,5.311) -- (3.732,5.357) -- (3.856,5.481) -- cycle;
\node at (3.562,5.651) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.131,4.929) -- (2.086,5.099) -- (1.961,5.223) -- (1.791,5.269) -- (1.621,5.223) -- (1.497,5.099) -- (1.451,4.929) -- (1.497,4.759) -- (1.621,4.634) -- (1.791,4.589) -- (1.961,4.634) -- (2.086,4.759) -- cycle;
\node at (1.791,4.929) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.325,4.897) -- (6.28,5.067) -- (6.155,5.191) -- (5.985,5.237) -- (5.815,5.191) -- (5.691,5.067) -- (5.645,4.897) -- (5.691,4.727) -- (5.815,4.603) -- (5.985,4.557) -- (6.155,4.603) -- (6.28,4.727) -- cycle;
\node at (5.985,4.897) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.446,4.909) -- (9.4,5.079) -- (9.276,5.204) -- (9.106,5.249) -- (8.936,5.204) -- (8.811,5.079) -- (8.766,4.909) -- (8.811,4.739) -- (8.936,4.615) -- (9.106,4.569) -- (9.276,4.615) -- (9.4,4.739) -- cycle;
\node at (9.106,4.909) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.658,3.704) -- (6.613,3.874) -- (6.488,3.999) -- (6.318,4.044) -- (6.148,3.999) -- (6.024,3.874) -- (5.978,3.704) -- (6.024,3.534) -- (6.148,3.41) -- (6.318,3.364) -- (6.488,3.41) -- (6.613,3.534) -- cycle;
\node at (6.318,3.704) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.718,3.231) -- (3.672,3.401) -- (3.548,3.525) -- (3.378,3.571) -- (3.208,3.525) -- (3.084,3.401) -- (3.038,3.231) -- (3.084,3.061) -- (3.208,2.936) -- (3.378,2.891) -- (3.548,2.936) -- (3.672,3.061) -- cycle;
\node at (3.378,3.231) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.02,1.79) -- (8.975,1.96) -- (8.85,2.085) -- (8.68,2.13) -- (8.51,2.085) -- (8.386,1.96) -- (8.34,1.79) -- (8.386,1.62) -- (8.51,1.496) -- (8.68,1.45) -- (8.85,1.496) -- (8.975,1.62) -- cycle;
\node at (8.68,1.79) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.902,2.193) -- (3.856,2.363) -- (3.732,2.487) -- (3.562,2.533) -- (3.392,2.487) -- (3.268,2.363) -- (3.222,2.193) -- (3.268,2.023) -- (3.392,1.898) -- (3.562,1.853) -- (3.732,1.898) -- (3.856,2.023) -- cycle;
\node at (3.562,2.193) {\scalebox{1.426}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.006,3.865) -- (5.606,3.865) -- (5.606,4.465) -- (5.006,4.465) -- cycle;
\node at (5.306,4.165) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (0.65,4.858) -- (1.25,4.858) -- (1.25,5.458) -- (0.65,5.458) -- cycle;
\node at (0.95,5.158) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.542,1.333) -- (3.142,1.333) -- (3.142,1.933) -- (2.542,1.933) -- cycle;
\node at (2.842,1.633) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.296,3.059) -- (7.896,3.059) -- (7.896,3.659) -- (7.296,3.659) -- cycle;
\node at (7.596,3.359) {\scalebox{1.426}{\small d}};
\node at (1.557,7.763) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (6.129,6.477) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (5.603,4.709) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (11.954,3.0) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (0.765,2.337) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (5.83,0.95) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.642,6.377) -- (12.642,7.477);
\draw[line width=0.5pt] (12.411,7.092) -- (12.642,7.477) -- (12.873,7.092);
\draw[line width=0.5pt] (12.34,6.927) -- (12.945,6.927);
\node at (12.642,7.862) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① avenue de la Gare & ⑥ rue du Puits & Ⓐ Carrefour de la Mairie & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Basse & ⑦ rue du Stade & Ⓑ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ boulevard du Parc & ⑧ rue du Moulin & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ chemin des Vignes & ⑨ rue Haute & Ⓓ Place Sainte-Croix & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
⑤ sentier des Prés &  & Ⓔ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6275, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.999,7.327) -- (2.261,7.183) -- (2.526,7.045) -- (2.795,6.913) -- (3.067,6.787) -- (3.342,6.668) -- (3.619,6.555) -- (3.9,6.449) -- (4.182,6.349) -- (4.467,6.256) -- (4.754,6.17) -- (5.042,6.09) -- (5.333,6.018) -- (5.625,5.952) -- (5.918,5.893);
\draw[line width=0.5pt] (1.999,7.327) -- (2.268,7.14) -- (2.532,6.945) -- (2.792,6.745) -- (3.047,6.538) -- (3.298,6.325) -- (3.543,6.107) -- (3.783,5.883) -- (4.018,5.653) -- (4.247,5.418) -- (4.471,5.177) -- (4.688,4.931) -- (4.9,4.681) -- (5.106,4.425) -- (5.306,4.165);
\draw[line width=0.5pt] (1.999,7.327) -- (1.9,6.997) -- (1.809,6.664) -- (1.726,6.329) -- (1.651,5.992) -- (1.584,5.654) -- (1.525,5.314) -- (1.474,4.972) -- (1.431,4.63) -- (1.396,4.286) -- (1.369,3.942) -- (1.35,3.597) -- (1.339,3.253) -- (1.337,2.908) -- (1.342,2.563);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,5.893) -- (5.894,5.764) -- (5.866,5.636) -- (5.836,5.508) -- (5.802,5.38) -- (5.766,5.254) -- (5.726,5.128) -- (5.684,5.004) -- (5.638,4.88) -- (5.59,4.758) -- (5.539,4.637) -- (5.485,4.517) -- (5.428,4.398) -- (5.368,4.281) -- (5.306,4.165);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,5.893) -- (6.123,5.768) -- (6.331,5.648) -- (6.541,5.533) -- (6.754,5.423) -- (6.97,5.317) -- (7.188,5.217) -- (7.408,5.122) -- (7.631,5.032) -- (7.856,4.948) -- (8.082,4.869) -- (8.31,4.795) -- (8.54,4.726) -- (8.772,4.663) -- (9.004,4.606) -- (9.187,4.525) -- (9.367,4.439) -- (9.545,4.35) -- (9.721,4.256) -- (9.895,4.158) -- (10.066,4.056) -- (10.235,3.95) -- (10.402,3.84) -- (10.566,3.726) -- (10.727,3.608) -- (10.885,3.487) -- (11.041,3.362) -- (11.193,3.233) -- (11.342,3.101);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,5.893) -- (5.952,5.584) -- (5.978,5.274) -- (5.997,4.964) -- (6.008,4.653) -- (6.012,4.341) -- (6.009,4.03) -- (5.999,3.719) -- (5.981,3.408) -- (5.956,3.098) -- (5.924,2.788) -- (5.884,2.479) -- (5.837,2.172) -- (5.783,1.865) -- (5.722,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (5.306,4.165) -- (5.008,4.095) -- (4.711,4.017) -- (4.416,3.933) -- (4.123,3.842) -- (3.832,3.744) -- (3.544,3.639) -- (3.258,3.527) -- (2.975,3.409) -- (2.695,3.284) -- (2.417,3.153) -- (2.143,3.015) -- (1.873,2.87) -- (1.606,2.72) -- (1.342,2.563);
\draw[line width=0.5pt] (11.342,3.101) -- (10.961,2.93) -- (10.575,2.768) -- (10.186,2.616) -- (9.793,2.473) -- (9.397,2.339) -- (8.998,2.214) -- (8.596,2.099) -- (8.191,1.993) -- (7.784,1.897) -- (7.375,1.81) -- (6.963,1.733) -- (6.551,1.666) -- (6.137,1.608) -- (5.722,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (1.342,2.563) -- (1.642,2.444) -- (1.944,2.332) -- (2.249,2.227) -- (2.556,2.13) -- (2.866,2.04) -- (3.177,1.957) -- (3.491,1.881) -- (3.806,1.813) -- (4.123,1.752) -- (4.441,1.699) -- (4.76,1.653) -- (5.08,1.614) -- (5.4,1.584) -- (5.722,1.56);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.159,7.327) -- (2.137,7.407) -- (2.079,7.466) -- (1.999,7.487) -- (1.919,7.466) -- (1.86,7.407) -- (1.839,7.327) -- (1.86,7.247) -- (1.919,7.189) -- (1.999,7.167) -- (2.079,7.189) -- (2.137,7.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.078,5.893) -- (6.057,5.973) -- (5.998,6.032) -- (5.918,6.053) -- (5.838,6.032) -- (5.78,5.973) -- (5.758,5.893) -- (5.78,5.813) -- (5.838,5.755) -- (5.918,5.733) -- (5.998,5.755) -- (6.057,5.813) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.466,4.165) -- (5.445,4.245) -- (5.386,4.303) -- (5.306,4.325) -- (5.226,4.303) -- (5.168,4.245) -- (5.146,4.165) -- (5.168,4.085) -- (5.226,4.026) -- (5.306,4.005) -- (5.386,4.026) -- (5.445,4.085) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.502,3.101) -- (11.481,3.181) -- (11.422,3.239) -- (11.342,3.261) -- (11.262,3.239) -- (11.204,3.181) -- (11.182,3.101) -- (11.204,3.021) -- (11.262,2.962) -- (11.342,2.941) -- (11.422,2.962) -- (11.481,3.021) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.502,2.563) -- (1.481,2.643) -- (1.422,2.701) -- (1.342,2.723) -- (1.262,2.701) -- (1.204,2.643) -- (1.182,2.563) -- (1.204,2.483) -- (1.262,2.424) -- (1.342,2.403) -- (1.422,2.424) -- (1.481,2.483) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.882,1.56) -- (5.86,1.64) -- (5.802,1.699) -- (5.722,1.72) -- (5.642,1.699) -- (5.583,1.64) -- (5.562,1.56) -- (5.583,1.48) -- (5.642,1.422) -- (5.722,1.4) -- (5.802,1.422) -- (5.86,1.48) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.349,6.749) -- (4.304,6.919) -- (4.179,7.044) -- (4.009,7.089) -- (3.839,7.044) -- (3.715,6.919) -- (3.669,6.749) -- (3.715,6.579) -- (3.839,6.455) -- (4.009,6.409) -- (4.179,6.455) -- (4.304,6.579) -- cycle;
\node at (4.009,6.749) {\scalebox{1.594}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.902,5.651) -- (3.856,5.821) -- (3.732,5.946) -- (3.562,5.991) -- (3.392,5.946) -- (3.267,5.821) -- (3.222,5.651) -- (3.267,5.481) -- (3.392,5.357) -- (3.562,5.311) -- (3.732,5.357) -- (3.856,5.481) -- cycle;
\node at (3.562,5.651) {\scalebox{1.594}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.131,4.929) -- (2.086,5.099) -- (1.961,5.223) -- (1.791,5.269) -- (1.621,5.223) -- (1.497,5.099) -- (1.451,4.929) -- (1.497,4.759) -- (1.621,4.634) -- (1.791,4.589) -- (1.961,4.634) -- (2.086,4.759) -- cycle;
\node at (1.791,4.929) {\scalebox{1.594}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.325,4.897) -- (6.28,5.067) -- (6.155,5.191) -- (5.985,5.237) -- (5.815,5.191) -- (5.691,5.067) -- (5.645,4.897) -- (5.691,4.727) -- (5.815,4.603) -- (5.985,4.557) -- (6.155,4.603) -- (6.28,4.727) -- cycle;
\node at (5.985,4.897) {\scalebox{1.594}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.446,4.909) -- (9.4,5.079) -- (9.276,5.204) -- (9.106,5.249) -- (8.936,5.204) -- (8.811,5.079) -- (8.766,4.909) -- (8.811,4.739) -- (8.936,4.615) -- (9.106,4.569) -- (9.276,4.615) -- (9.4,4.739) -- cycle;
\node at (9.106,4.909) {\scalebox{1.594}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.658,3.704) -- (6.613,3.874) -- (6.488,3.999) -- (6.318,4.044) -- (6.148,3.999) -- (6.024,3.874) -- (5.978,3.704) -- (6.024,3.534) -- (6.148,3.41) -- (6.318,3.364) -- (6.488,3.41) -- (6.613,3.534) -- cycle;
\node at (6.318,3.704) {\scalebox{1.594}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.718,3.231) -- (3.672,3.401) -- (3.548,3.525) -- (3.378,3.571) -- (3.208,3.525) -- (3.084,3.401) -- (3.038,3.231) -- (3.084,3.061) -- (3.208,2.936) -- (3.378,2.891) -- (3.548,2.936) -- (3.672,3.061) -- cycle;
\node at (3.378,3.231) {\scalebox{1.594}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.02,1.79) -- (8.975,1.96) -- (8.85,2.085) -- (8.68,2.13) -- (8.51,2.085) -- (8.386,1.96) -- (8.34,1.79) -- (8.386,1.62) -- (8.51,1.496) -- (8.68,1.45) -- (8.85,1.496) -- (8.975,1.62) -- cycle;
\node at (8.68,1.79) {\scalebox{1.594}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.902,2.193) -- (3.856,2.363) -- (3.732,2.487) -- (3.562,2.533) -- (3.392,2.487) -- (3.268,2.363) -- (3.222,2.193) -- (3.268,2.023) -- (3.392,1.898) -- (3.562,1.853) -- (3.732,1.898) -- (3.856,2.023) -- cycle;
\node at (3.562,2.193) {\scalebox{1.594}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.006,3.865) -- (5.606,3.865) -- (5.606,4.465) -- (5.006,4.465) -- cycle;
\node at (5.306,4.165) {\scalebox{1.594}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (0.65,4.858) -- (1.25,4.858) -- (1.25,5.458) -- (0.65,5.458) -- cycle;
\node at (0.95,5.158) {\scalebox{1.594}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.542,1.333) -- (3.142,1.333) -- (3.142,1.933) -- (2.542,1.933) -- cycle;
\node at (2.842,1.633) {\scalebox{1.594}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.296,3.059) -- (7.896,3.059) -- (7.896,3.659) -- (7.296,3.659) -- cycle;
\node at (7.596,3.359) {\scalebox{1.594}{\small d}};
\node at (1.557,7.763) {\scalebox{1.594}{\small A}};
\node at (6.129,6.477) {\scalebox{1.594}{\small B}};
\node at (5.603,4.709) {\scalebox{1.594}{\small C}};
\node at (11.954,3.0) {\scalebox{1.594}{\small D}};
\node at (0.765,2.337) {\scalebox{1.594}{\small E}};
\node at (5.83,0.95) {\scalebox{1.594}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.642,6.377) -- (12.642,7.477);
\draw[line width=0.5pt] (12.411,7.092) -- (12.642,7.477) -- (12.873,7.092);
\draw[line width=0.5pt] (12.34,6.927) -- (12.945,6.927);
\node at (12.642,7.862) {\scalebox{1.594}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 4 & 3 & 2 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{C}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, C, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
