\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 234}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=234}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0234}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7002, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.365,6.956) -- (11.068,6.863) -- (10.773,6.762) -- (10.481,6.654) -- (10.191,6.54) -- (9.903,6.418) -- (9.619,6.29) -- (9.338,6.156) -- (9.06,6.014) -- (8.785,5.867) -- (8.514,5.712) -- (8.247,5.552) -- (7.983,5.385) -- (7.724,5.212) -- (7.469,5.033);
\draw[line width=0.5pt] (11.365,6.956) -- (11.221,6.701) -- (11.071,6.45) -- (10.915,6.202) -- (10.753,5.957) -- (10.585,5.717) -- (10.412,5.48) -- (10.233,5.248) -- (10.049,5.019) -- (9.859,4.796) -- (9.665,4.576) -- (9.465,4.362) -- (9.26,4.152) -- (9.051,3.947) -- (8.836,3.748) -- (8.628,3.618) -- (8.422,3.484) -- (8.219,3.345) -- (8.02,3.201) -- (7.825,3.053) -- (7.632,2.899) -- (7.444,2.742) -- (7.259,2.58) -- (7.078,2.414) -- (6.901,2.243) -- (6.728,2.069) -- (6.559,1.89) -- (6.395,1.708) -- (6.235,1.522);
\draw[line width=0.5pt] (7.469,5.033) -- (7.036,5.097) -- (6.601,5.151) -- (6.166,5.194) -- (5.729,5.227) -- (5.292,5.25) -- (4.854,5.263) -- (4.415,5.265) -- (3.977,5.257) -- (3.54,5.239) -- (3.103,5.21) -- (2.666,5.171) -- (2.231,5.122) -- (1.797,5.063) -- (1.365,4.993);
\draw[line width=0.5pt] (7.469,5.033) -- (7.166,4.897) -- (6.859,4.767) -- (6.549,4.645) -- (6.237,4.53) -- (5.921,4.422) -- (5.604,4.322) -- (5.284,4.229) -- (4.962,4.144) -- (4.638,4.066) -- (4.312,3.996) -- (3.985,3.934) -- (3.656,3.88) -- (3.327,3.833) -- (2.996,3.794);
\draw[line width=0.5pt] (1.365,4.993) -- (1.468,4.89) -- (1.573,4.79) -- (1.68,4.692) -- (1.789,4.597) -- (1.901,4.504) -- (2.015,4.414) -- (2.131,4.326) -- (2.249,4.242) -- (2.369,4.16) -- (2.491,4.081) -- (2.615,4.004) -- (2.74,3.931) -- (2.867,3.861) -- (2.996,3.794);
\draw[line width=0.5pt] (1.365,4.993) -- (1.426,4.766) -- (1.482,4.538) -- (1.532,4.308) -- (1.576,4.078) -- (1.615,3.846) -- (1.649,3.613) -- (1.677,3.38) -- (1.7,3.146) -- (1.717,2.911) -- (1.729,2.677) -- (1.735,2.442) -- (1.736,2.207) -- (1.731,1.972) -- (1.721,1.737);
\draw[line width=0.5pt] (2.996,3.794) -- (3.201,3.598) -- (3.41,3.406) -- (3.624,3.219) -- (3.842,3.038) -- (4.065,2.861) -- (4.291,2.69) -- (4.522,2.524) -- (4.756,2.364) -- (4.994,2.209) -- (5.236,2.06) -- (5.481,1.916) -- (5.729,1.779) -- (5.981,1.647) -- (6.235,1.522);
\draw[line width=0.5pt] (1.721,1.737) -- (2.043,1.772) -- (2.366,1.798) -- (2.69,1.817) -- (3.014,1.828) -- (3.338,1.832) -- (3.663,1.827) -- (3.987,1.816) -- (4.311,1.796) -- (4.634,1.77) -- (4.957,1.735) -- (5.278,1.693) -- (5.598,1.643) -- (5.918,1.586) -- (6.235,1.522);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.525,6.956) -- (11.504,7.036) -- (11.445,7.095) -- (11.365,7.116) -- (11.285,7.095) -- (11.227,7.036) -- (11.205,6.956) -- (11.227,6.876) -- (11.285,6.818) -- (11.365,6.796) -- (11.445,6.818) -- (11.504,6.876) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.629,5.033) -- (7.607,5.113) -- (7.549,5.172) -- (7.469,5.193) -- (7.389,5.172) -- (7.33,5.113) -- (7.309,5.033) -- (7.33,4.953) -- (7.389,4.895) -- (7.469,4.873) -- (7.549,4.895) -- (7.607,4.953) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.525,4.993) -- (1.504,5.073) -- (1.445,5.132) -- (1.365,5.153) -- (1.285,5.132) -- (1.227,5.073) -- (1.205,4.993) -- (1.227,4.913) -- (1.285,4.854) -- (1.365,4.833) -- (1.445,4.854) -- (1.504,4.913) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.156,3.794) -- (3.135,3.874) -- (3.076,3.933) -- (2.996,3.954) -- (2.916,3.933) -- (2.858,3.874) -- (2.836,3.794) -- (2.858,3.714) -- (2.916,3.655) -- (2.996,3.634) -- (3.076,3.655) -- (3.135,3.714) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.881,1.737) -- (1.859,1.817) -- (1.801,1.876) -- (1.721,1.897) -- (1.641,1.876) -- (1.582,1.817) -- (1.561,1.737) -- (1.582,1.657) -- (1.641,1.599) -- (1.721,1.577) -- (1.801,1.599) -- (1.859,1.657) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.395,1.522) -- (6.374,1.602) -- (6.315,1.66) -- (6.235,1.682) -- (6.155,1.66) -- (6.097,1.602) -- (6.075,1.522) -- (6.097,1.442) -- (6.155,1.383) -- (6.235,1.362) -- (6.315,1.383) -- (6.374,1.442) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.819,5.869) -- (9.774,6.039) -- (9.649,6.163) -- (9.479,6.209) -- (9.309,6.163) -- (9.185,6.039) -- (9.139,5.869) -- (9.185,5.699) -- (9.309,5.574) -- (9.479,5.529) -- (9.649,5.574) -- (9.774,5.699) -- cycle;
\node at (9.479,5.869) {\scalebox{1.428}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.373,3.495) -- (9.327,3.665) -- (9.203,3.789) -- (9.033,3.835) -- (8.863,3.789) -- (8.738,3.665) -- (8.693,3.495) -- (8.738,3.325) -- (8.863,3.201) -- (9.033,3.155) -- (9.203,3.201) -- (9.327,3.325) -- cycle;
\node at (9.033,3.495) {\scalebox{1.428}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.758,4.945) -- (4.712,5.115) -- (4.588,5.239) -- (4.418,5.285) -- (4.248,5.239) -- (4.123,5.115) -- (4.078,4.945) -- (4.123,4.775) -- (4.248,4.651) -- (4.418,4.605) -- (4.588,4.651) -- (4.712,4.775) -- cycle;
\node at (4.418,4.945) {\scalebox{1.428}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.709,3.921) -- (5.664,4.091) -- (5.539,4.215) -- (5.369,4.261) -- (5.199,4.215) -- (5.075,4.091) -- (5.029,3.921) -- (5.075,3.751) -- (5.199,3.626) -- (5.369,3.581) -- (5.539,3.626) -- (5.664,3.751) -- cycle;
\node at (5.369,3.921) {\scalebox{1.428}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.661,4.584) -- (2.615,4.754) -- (2.491,4.878) -- (2.321,4.924) -- (2.151,4.878) -- (2.026,4.754) -- (1.981,4.584) -- (2.026,4.414) -- (2.151,4.29) -- (2.321,4.244) -- (2.491,4.29) -- (2.615,4.414) -- cycle;
\node at (2.321,4.584) {\scalebox{1.428}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.335,3.415) -- (2.29,3.585) -- (2.165,3.709) -- (1.995,3.755) -- (1.825,3.709) -- (1.701,3.585) -- (1.655,3.415) -- (1.701,3.245) -- (1.825,3.12) -- (1.995,3.075) -- (2.165,3.12) -- (2.29,3.245) -- cycle;
\node at (1.995,3.415) {\scalebox{1.428}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.046,2.786) -- (5.0,2.956) -- (4.876,3.081) -- (4.706,3.126) -- (4.536,3.081) -- (4.411,2.956) -- (4.366,2.786) -- (4.411,2.616) -- (4.536,2.492) -- (4.706,2.446) -- (4.876,2.492) -- (5.0,2.616) -- cycle;
\node at (4.706,2.786) {\scalebox{1.428}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.342,2.135) -- (4.297,2.305) -- (4.172,2.43) -- (4.002,2.475) -- (3.832,2.43) -- (3.708,2.305) -- (3.662,2.135) -- (3.708,1.965) -- (3.832,1.841) -- (4.002,1.795) -- (4.172,1.841) -- (4.297,1.965) -- cycle;
\node at (4.002,2.135) {\scalebox{1.428}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.065,4.693) -- (1.665,4.693) -- (1.665,5.293) -- (1.065,5.293) -- cycle;
\node at (1.365,4.993) {\scalebox{1.428}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.844,2.933) -- (1.444,2.933) -- (1.444,3.533) -- (0.844,3.533) -- cycle;
\node at (1.144,3.233) {\scalebox{1.428}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.806,2.531) -- (6.406,2.531) -- (6.406,3.131) -- (5.806,3.131) -- cycle;
\node at (6.106,2.831) {\scalebox{1.428}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.071,1.172) -- (3.671,1.172) -- (3.671,1.772) -- (3.071,1.772) -- cycle;
\node at (3.371,1.472) {\scalebox{1.428}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.31,5.751) -- (10.91,5.751) -- (10.91,6.351) -- (10.31,6.351) -- cycle;
\node at (10.61,6.051) {\scalebox{1.428}{\small e}};
\node at (11.925,7.224) {\scalebox{1.428}{\small A}};
\node at (8.034,5.288) {\scalebox{1.428}{\small B}};
\node at (0.765,5.148) {\scalebox{1.428}{\small C}};
\node at (2.379,3.734) {\scalebox{1.428}{\small D}};
\node at (1.202,1.398) {\scalebox{1.428}{\small E}};
\node at (6.475,0.95) {\scalebox{1.428}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.665,6.006) -- (12.665,7.106);
\draw[line width=0.5pt] (12.434,6.721) -- (12.665,7.106) -- (12.896,6.721);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,6.556) -- (12.968,6.556);
\node at (12.665,7.491) {\scalebox{1.428}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① boulevard du Parc & ⑤ rue de la Mairie & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin des Vignes & ⑥ venelle du Chat & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑦ rue de la Poste & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ passage du Marché & ⑧ rue du Puits & Ⓓ Rond-point du Pont & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
 &  & Ⓔ Coin du Lavoir & \textbf{e} la salle des fêtes \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6265, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.365,6.956) -- (11.068,6.863) -- (10.773,6.762) -- (10.481,6.654) -- (10.191,6.54) -- (9.903,6.418) -- (9.619,6.29) -- (9.338,6.156) -- (9.06,6.014) -- (8.785,5.867) -- (8.514,5.712) -- (8.247,5.552) -- (7.983,5.385) -- (7.724,5.212) -- (7.469,5.033);
\draw[line width=0.5pt] (11.365,6.956) -- (11.221,6.701) -- (11.071,6.45) -- (10.915,6.202) -- (10.753,5.957) -- (10.585,5.717) -- (10.412,5.48) -- (10.233,5.248) -- (10.049,5.019) -- (9.859,4.796) -- (9.665,4.576) -- (9.465,4.362) -- (9.26,4.152) -- (9.051,3.947) -- (8.836,3.748) -- (8.628,3.618) -- (8.422,3.484) -- (8.219,3.345) -- (8.02,3.201) -- (7.825,3.053) -- (7.632,2.899) -- (7.444,2.742) -- (7.259,2.58) -- (7.078,2.414) -- (6.901,2.243) -- (6.728,2.069) -- (6.559,1.89) -- (6.395,1.708) -- (6.235,1.522);
\draw[line width=0.5pt] (7.469,5.033) -- (7.036,5.097) -- (6.601,5.151) -- (6.166,5.194) -- (5.729,5.227) -- (5.292,5.25) -- (4.854,5.263) -- (4.415,5.265) -- (3.977,5.257) -- (3.54,5.239) -- (3.103,5.21) -- (2.666,5.171) -- (2.231,5.122) -- (1.797,5.063) -- (1.365,4.993);
\draw[line width=0.5pt] (7.469,5.033) -- (7.166,4.897) -- (6.859,4.767) -- (6.549,4.645) -- (6.237,4.53) -- (5.921,4.422) -- (5.604,4.322) -- (5.284,4.229) -- (4.962,4.144) -- (4.638,4.066) -- (4.312,3.996) -- (3.985,3.934) -- (3.656,3.88) -- (3.327,3.833) -- (2.996,3.794);
\draw[line width=0.5pt] (1.365,4.993) -- (1.468,4.89) -- (1.573,4.79) -- (1.68,4.692) -- (1.789,4.597) -- (1.901,4.504) -- (2.015,4.414) -- (2.131,4.326) -- (2.249,4.242) -- (2.369,4.16) -- (2.491,4.081) -- (2.615,4.004) -- (2.74,3.931) -- (2.867,3.861) -- (2.996,3.794);
\draw[line width=0.5pt] (1.365,4.993) -- (1.426,4.766) -- (1.482,4.538) -- (1.532,4.308) -- (1.576,4.078) -- (1.615,3.846) -- (1.649,3.613) -- (1.677,3.38) -- (1.7,3.146) -- (1.717,2.911) -- (1.729,2.677) -- (1.735,2.442) -- (1.736,2.207) -- (1.731,1.972) -- (1.721,1.737);
\draw[line width=0.5pt] (2.996,3.794) -- (3.201,3.598) -- (3.41,3.406) -- (3.624,3.219) -- (3.842,3.038) -- (4.065,2.861) -- (4.291,2.69) -- (4.522,2.524) -- (4.756,2.364) -- (4.994,2.209) -- (5.236,2.06) -- (5.481,1.916) -- (5.729,1.779) -- (5.981,1.647) -- (6.235,1.522);
\draw[line width=0.5pt] (1.721,1.737) -- (2.043,1.772) -- (2.366,1.798) -- (2.69,1.817) -- (3.014,1.828) -- (3.338,1.832) -- (3.663,1.827) -- (3.987,1.816) -- (4.311,1.796) -- (4.634,1.77) -- (4.957,1.735) -- (5.278,1.693) -- (5.598,1.643) -- (5.918,1.586) -- (6.235,1.522);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.525,6.956) -- (11.504,7.036) -- (11.445,7.095) -- (11.365,7.116) -- (11.285,7.095) -- (11.227,7.036) -- (11.205,6.956) -- (11.227,6.876) -- (11.285,6.818) -- (11.365,6.796) -- (11.445,6.818) -- (11.504,6.876) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.629,5.033) -- (7.607,5.113) -- (7.549,5.172) -- (7.469,5.193) -- (7.389,5.172) -- (7.33,5.113) -- (7.309,5.033) -- (7.33,4.953) -- (7.389,4.895) -- (7.469,4.873) -- (7.549,4.895) -- (7.607,4.953) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.525,4.993) -- (1.504,5.073) -- (1.445,5.132) -- (1.365,5.153) -- (1.285,5.132) -- (1.227,5.073) -- (1.205,4.993) -- (1.227,4.913) -- (1.285,4.854) -- (1.365,4.833) -- (1.445,4.854) -- (1.504,4.913) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.156,3.794) -- (3.135,3.874) -- (3.076,3.933) -- (2.996,3.954) -- (2.916,3.933) -- (2.858,3.874) -- (2.836,3.794) -- (2.858,3.714) -- (2.916,3.655) -- (2.996,3.634) -- (3.076,3.655) -- (3.135,3.714) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.881,1.737) -- (1.859,1.817) -- (1.801,1.876) -- (1.721,1.897) -- (1.641,1.876) -- (1.582,1.817) -- (1.561,1.737) -- (1.582,1.657) -- (1.641,1.599) -- (1.721,1.577) -- (1.801,1.599) -- (1.859,1.657) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.395,1.522) -- (6.374,1.602) -- (6.315,1.66) -- (6.235,1.682) -- (6.155,1.66) -- (6.097,1.602) -- (6.075,1.522) -- (6.097,1.442) -- (6.155,1.383) -- (6.235,1.362) -- (6.315,1.383) -- (6.374,1.442) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.819,5.869) -- (9.774,6.039) -- (9.649,6.163) -- (9.479,6.209) -- (9.309,6.163) -- (9.185,6.039) -- (9.139,5.869) -- (9.185,5.699) -- (9.309,5.574) -- (9.479,5.529) -- (9.649,5.574) -- (9.774,5.699) -- cycle;
\node at (9.479,5.869) {\scalebox{1.596}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.373,3.495) -- (9.327,3.665) -- (9.203,3.789) -- (9.033,3.835) -- (8.863,3.789) -- (8.738,3.665) -- (8.693,3.495) -- (8.738,3.325) -- (8.863,3.201) -- (9.033,3.155) -- (9.203,3.201) -- (9.327,3.325) -- cycle;
\node at (9.033,3.495) {\scalebox{1.596}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.758,4.945) -- (4.712,5.115) -- (4.588,5.239) -- (4.418,5.285) -- (4.248,5.239) -- (4.123,5.115) -- (4.078,4.945) -- (4.123,4.775) -- (4.248,4.651) -- (4.418,4.605) -- (4.588,4.651) -- (4.712,4.775) -- cycle;
\node at (4.418,4.945) {\scalebox{1.596}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.709,3.921) -- (5.664,4.091) -- (5.539,4.215) -- (5.369,4.261) -- (5.199,4.215) -- (5.075,4.091) -- (5.029,3.921) -- (5.075,3.751) -- (5.199,3.626) -- (5.369,3.581) -- (5.539,3.626) -- (5.664,3.751) -- cycle;
\node at (5.369,3.921) {\scalebox{1.596}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.661,4.584) -- (2.615,4.754) -- (2.491,4.878) -- (2.321,4.924) -- (2.151,4.878) -- (2.026,4.754) -- (1.981,4.584) -- (2.026,4.414) -- (2.151,4.29) -- (2.321,4.244) -- (2.491,4.29) -- (2.615,4.414) -- cycle;
\node at (2.321,4.584) {\scalebox{1.596}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.335,3.415) -- (2.29,3.585) -- (2.165,3.709) -- (1.995,3.755) -- (1.825,3.709) -- (1.701,3.585) -- (1.655,3.415) -- (1.701,3.245) -- (1.825,3.12) -- (1.995,3.075) -- (2.165,3.12) -- (2.29,3.245) -- cycle;
\node at (1.995,3.415) {\scalebox{1.596}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.046,2.786) -- (5.0,2.956) -- (4.876,3.081) -- (4.706,3.126) -- (4.536,3.081) -- (4.411,2.956) -- (4.366,2.786) -- (4.411,2.616) -- (4.536,2.492) -- (4.706,2.446) -- (4.876,2.492) -- (5.0,2.616) -- cycle;
\node at (4.706,2.786) {\scalebox{1.596}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.342,2.135) -- (4.297,2.305) -- (4.172,2.43) -- (4.002,2.475) -- (3.832,2.43) -- (3.708,2.305) -- (3.662,2.135) -- (3.708,1.965) -- (3.832,1.841) -- (4.002,1.795) -- (4.172,1.841) -- (4.297,1.965) -- cycle;
\node at (4.002,2.135) {\scalebox{1.596}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.065,4.693) -- (1.665,4.693) -- (1.665,5.293) -- (1.065,5.293) -- cycle;
\node at (1.365,4.993) {\scalebox{1.596}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.844,2.933) -- (1.444,2.933) -- (1.444,3.533) -- (0.844,3.533) -- cycle;
\node at (1.144,3.233) {\scalebox{1.596}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.806,2.531) -- (6.406,2.531) -- (6.406,3.131) -- (5.806,3.131) -- cycle;
\node at (6.106,2.831) {\scalebox{1.596}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.071,1.172) -- (3.671,1.172) -- (3.671,1.772) -- (3.071,1.772) -- cycle;
\node at (3.371,1.472) {\scalebox{1.596}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.31,5.751) -- (10.91,5.751) -- (10.91,6.351) -- (10.31,6.351) -- cycle;
\node at (10.61,6.051) {\scalebox{1.596}{\small e}};
\node at (11.925,7.224) {\scalebox{1.596}{\small A}};
\node at (8.034,5.288) {\scalebox{1.596}{\small B}};
\node at (0.765,5.148) {\scalebox{1.596}{\small C}};
\node at (2.379,3.734) {\scalebox{1.596}{\small D}};
\node at (1.202,1.398) {\scalebox{1.596}{\small E}};
\node at (6.475,0.95) {\scalebox{1.596}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.665,6.006) -- (12.665,7.106);
\draw[line width=0.5pt] (12.434,6.721) -- (12.665,7.106) -- (12.896,6.721);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,6.556) -- (12.968,6.556);
\node at (12.665,7.491) {\scalebox{1.596}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
