\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 243}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=243}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0243}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7061, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.251,10.971) -- (10.864,11.004) -- (10.475,11.028) -- (10.086,11.042) -- (9.697,11.047) -- (9.308,11.044) -- (8.918,11.031) -- (8.529,11.009) -- (8.141,10.977) -- (7.754,10.937) -- (7.368,10.888) -- (6.983,10.829) -- (6.599,10.762) -- (6.218,10.685) -- (5.838,10.6) -- (5.511,10.567) -- (5.182,10.543) -- (4.853,10.526) -- (4.523,10.517) -- (4.194,10.515) -- (3.864,10.522) -- (3.534,10.536) -- (3.205,10.557) -- (2.877,10.587) -- (2.549,10.624) -- (2.223,10.669) -- (1.897,10.722) -- (1.573,10.782) -- (1.251,10.85);
\draw[line width=0.5pt] (11.251,10.971) -- (11.184,10.631) -- (11.109,10.292) -- (11.025,9.955) -- (10.934,9.62) -- (10.835,9.288) -- (10.728,8.957) -- (10.613,8.63) -- (10.491,8.305) -- (10.361,7.983) -- (10.223,7.664) -- (10.078,7.349) -- (9.926,7.037) -- (9.767,6.729) -- (9.6,6.425);
\draw[line width=0.5pt] (11.251,10.971) -- (10.834,10.682) -- (10.423,10.383) -- (10.02,10.074) -- (9.624,9.756) -- (9.235,9.428) -- (8.854,9.091) -- (8.481,8.746) -- (8.117,8.392) -- (7.76,8.029) -- (7.413,7.658) -- (7.074,7.279) -- (6.745,6.893) -- (6.424,6.499) -- (6.114,6.097);
\draw[line width=0.5pt] (1.251,10.85) -- (1.341,10.637) -- (1.425,10.422) -- (1.504,10.205) -- (1.579,9.986) -- (1.648,9.766) -- (1.712,9.544) -- (1.77,9.32) -- (1.824,9.095) -- (1.872,8.869) -- (1.914,8.642) -- (1.952,8.414) -- (1.984,8.185) -- (2.01,7.956) -- (2.031,7.726);
\draw[line width=0.5pt] (1.251,10.85) -- (1.544,10.46) -- (1.845,10.077) -- (2.156,9.701) -- (2.476,9.332) -- (2.804,8.971) -- (3.141,8.618) -- (3.486,8.273) -- (3.839,7.936) -- (4.2,7.607) -- (4.569,7.287) -- (4.944,6.976) -- (5.327,6.673) -- (5.717,6.38) -- (6.114,6.097);
\draw[line width=0.5pt] (2.031,7.726) -- (2.339,7.655) -- (2.644,7.577) -- (2.948,7.492) -- (3.249,7.399) -- (3.548,7.3) -- (3.845,7.193) -- (4.14,7.08) -- (4.431,6.959) -- (4.72,6.832) -- (5.006,6.698) -- (5.288,6.558) -- (5.567,6.411) -- (5.842,6.257) -- (6.114,6.097);
\draw[line width=0.5pt] (6.114,6.097) -- (6.377,5.841) -- (6.646,5.592) -- (6.921,5.35) -- (7.202,5.113) -- (7.488,4.884) -- (7.78,4.661) -- (8.076,4.445) -- (8.378,4.236) -- (8.685,4.034) -- (8.996,3.839) -- (9.312,3.652) -- (9.632,3.473) -- (9.956,3.301) -- (10.284,3.136);
\draw[line width=0.5pt] (6.114,6.097) -- (6.092,5.764) -- (6.063,5.431) -- (6.027,5.099) -- (5.982,4.768) -- (5.929,4.437) -- (5.869,4.109) -- (5.801,3.781) -- (5.726,3.455) -- (5.642,3.132) -- (5.551,2.81) -- (5.453,2.491) -- (5.347,2.174) -- (5.234,1.859) -- (5.113,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (10.284,3.136) -- (9.9,3.08) -- (9.517,3.015) -- (9.137,2.941) -- (8.757,2.858) -- (8.38,2.766) -- (8.005,2.665) -- (7.633,2.555) -- (7.263,2.437) -- (6.896,2.31) -- (6.533,2.174) -- (6.172,2.03) -- (5.815,1.878) -- (5.462,1.717) -- (5.113,1.548);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.411,10.971) -- (11.39,11.051) -- (11.331,11.109) -- (11.251,11.131) -- (11.171,11.109) -- (11.113,11.051) -- (11.091,10.971) -- (11.113,10.891) -- (11.171,10.832) -- (11.251,10.811) -- (11.331,10.832) -- (11.39,10.891) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.411,10.85) -- (1.39,10.93) -- (1.331,10.988) -- (1.251,11.01) -- (1.171,10.988) -- (1.113,10.93) -- (1.091,10.85) -- (1.113,10.77) -- (1.171,10.711) -- (1.251,10.69) -- (1.331,10.711) -- (1.39,10.77) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.191,7.726) -- (2.17,7.806) -- (2.111,7.864) -- (2.031,7.886) -- (1.951,7.864) -- (1.893,7.806) -- (1.871,7.726) -- (1.893,7.646) -- (1.951,7.587) -- (2.031,7.566) -- (2.111,7.587) -- (2.17,7.646) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.76,6.425) -- (9.738,6.505) -- (9.68,6.563) -- (9.6,6.585) -- (9.52,6.563) -- (9.461,6.505) -- (9.44,6.425) -- (9.461,6.345) -- (9.52,6.286) -- (9.6,6.265) -- (9.68,6.286) -- (9.738,6.345) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.274,6.097) -- (6.252,6.177) -- (6.194,6.235) -- (6.114,6.257) -- (6.034,6.235) -- (5.975,6.177) -- (5.954,6.097) -- (5.975,6.017) -- (6.034,5.958) -- (6.114,5.937) -- (6.194,5.958) -- (6.252,6.017) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.444,3.136) -- (10.422,3.216) -- (10.364,3.275) -- (10.284,3.296) -- (10.204,3.275) -- (10.145,3.216) -- (10.124,3.136) -- (10.145,3.056) -- (10.204,2.998) -- (10.284,2.976) -- (10.364,2.998) -- (10.422,3.056) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.273,1.548) -- (5.252,1.628) -- (5.193,1.686) -- (5.113,1.708) -- (5.033,1.686) -- (4.975,1.628) -- (4.953,1.548) -- (4.975,1.468) -- (5.033,1.409) -- (5.113,1.388) -- (5.193,1.409) -- (5.252,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.231,10.284) -- (6.186,10.454) -- (6.061,10.579) -- (5.891,10.624) -- (5.721,10.579) -- (5.597,10.454) -- (5.551,10.284) -- (5.597,10.114) -- (5.721,9.99) -- (5.891,9.944) -- (6.061,9.99) -- (6.186,10.114) -- cycle;
\node at (5.891,10.284) {\scalebox{1.416}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.254,8.52) -- (11.208,8.69) -- (11.084,8.815) -- (10.914,8.86) -- (10.744,8.815) -- (10.619,8.69) -- (10.574,8.52) -- (10.619,8.35) -- (10.744,8.226) -- (10.914,8.18) -- (11.084,8.226) -- (11.208,8.35) -- cycle;
\node at (10.914,8.52) {\scalebox{1.416}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.042,8.514) -- (8.996,8.684) -- (8.872,8.808) -- (8.702,8.854) -- (8.532,8.808) -- (8.407,8.684) -- (8.362,8.514) -- (8.407,8.344) -- (8.532,8.219) -- (8.702,8.174) -- (8.872,8.219) -- (8.996,8.344) -- cycle;
\node at (8.702,8.514) {\scalebox{1.416}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.421,9.398) -- (2.375,9.568) -- (2.251,9.692) -- (2.081,9.738) -- (1.911,9.692) -- (1.786,9.568) -- (1.741,9.398) -- (1.786,9.228) -- (1.911,9.103) -- (2.081,9.058) -- (2.251,9.103) -- (2.375,9.228) -- cycle;
\node at (2.081,9.398) {\scalebox{1.416}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.05,8.502) -- (4.004,8.672) -- (3.88,8.796) -- (3.71,8.842) -- (3.54,8.796) -- (3.416,8.672) -- (3.37,8.502) -- (3.416,8.332) -- (3.54,8.207) -- (3.71,8.162) -- (3.88,8.207) -- (4.004,8.332) -- cycle;
\node at (3.71,8.502) {\scalebox{1.416}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.598,7.377) -- (4.553,7.547) -- (4.428,7.671) -- (4.258,7.717) -- (4.088,7.671) -- (3.964,7.547) -- (3.918,7.377) -- (3.964,7.207) -- (4.088,7.083) -- (4.258,7.037) -- (4.428,7.083) -- (4.553,7.207) -- cycle;
\node at (4.258,7.377) {\scalebox{1.416}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.602,4.706) -- (8.556,4.876) -- (8.432,5.0) -- (8.262,5.046) -- (8.092,5.0) -- (7.967,4.876) -- (7.922,4.706) -- (7.967,4.536) -- (8.092,4.411) -- (8.262,4.366) -- (8.432,4.411) -- (8.556,4.536) -- cycle;
\node at (8.262,4.706) {\scalebox{1.416}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.454,3.712) -- (6.408,3.882) -- (6.284,4.007) -- (6.114,4.052) -- (5.944,4.007) -- (5.819,3.882) -- (5.774,3.712) -- (5.819,3.542) -- (5.944,3.418) -- (6.114,3.372) -- (6.284,3.418) -- (6.408,3.542) -- cycle;
\node at (6.114,3.712) {\scalebox{1.416}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.067,2.25) -- (8.021,2.42) -- (7.897,2.544) -- (7.727,2.59) -- (7.557,2.544) -- (7.433,2.42) -- (7.387,2.25) -- (7.433,2.08) -- (7.557,1.955) -- (7.727,1.91) -- (7.897,1.955) -- (8.021,2.08) -- cycle;
\node at (7.727,2.25) {\scalebox{1.416}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.814,5.797) -- (6.414,5.797) -- (6.414,6.397) -- (5.814,6.397) -- cycle;
\node at (6.114,6.097) {\scalebox{1.416}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.785,0.669) -- (8.385,0.669) -- (8.385,1.269) -- (7.785,1.269) -- cycle;
\node at (8.085,0.969) {\scalebox{1.416}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.456,8.685) -- (10.056,8.685) -- (10.056,9.285) -- (9.456,9.285) -- cycle;
\node at (9.756,8.985) {\scalebox{1.416}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.475,7.947) -- (3.075,7.947) -- (3.075,8.547) -- (2.475,8.547) -- cycle;
\node at (2.775,8.247) {\scalebox{1.416}{\small d}};
\node at (11.71,11.387) {\scalebox{1.416}{\small A}};
\node at (0.765,11.235) {\scalebox{1.416}{\small B}};
\node at (1.428,7.867) {\scalebox{1.416}{\small C}};
\node at (10.218,6.374) {\scalebox{1.416}{\small D}};
\node at (5.758,5.589) {\scalebox{1.416}{\small E}};
\node at (10.735,2.711) {\scalebox{1.416}{\small F}};
\node at (4.949,0.95) {\scalebox{1.416}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.551,10.021) -- (12.551,11.121);
\draw[line width=0.5pt] (12.32,10.736) -- (12.551,11.121) -- (12.782,10.736);
\draw[line width=0.5pt] (12.249,10.571) -- (12.854,10.571);
\node at (12.551,11.506) {\scalebox{1.416}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① venelle du Chat & ⑥ chemin de Ronde & Ⓐ Rond-point de la Poste & \textbf{a} la poste \\ \hline
② impasse du Vieux-Four & ⑦ rue du Puits & Ⓑ Carrefour Saint-Roch & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ avenue de la Gare & ⑧ rue du Pont & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ rue des Lilas & ⑨ chemin Creux & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ boulevard du Parc &  & Ⓔ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6318, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.251,10.971) -- (10.864,11.004) -- (10.475,11.028) -- (10.086,11.042) -- (9.697,11.047) -- (9.308,11.044) -- (8.918,11.031) -- (8.529,11.009) -- (8.141,10.977) -- (7.754,10.937) -- (7.368,10.888) -- (6.983,10.829) -- (6.599,10.762) -- (6.218,10.685) -- (5.838,10.6) -- (5.511,10.567) -- (5.182,10.543) -- (4.853,10.526) -- (4.523,10.517) -- (4.194,10.515) -- (3.864,10.522) -- (3.534,10.536) -- (3.205,10.557) -- (2.877,10.587) -- (2.549,10.624) -- (2.223,10.669) -- (1.897,10.722) -- (1.573,10.782) -- (1.251,10.85);
\draw[line width=0.5pt] (11.251,10.971) -- (11.184,10.631) -- (11.109,10.292) -- (11.025,9.955) -- (10.934,9.62) -- (10.835,9.288) -- (10.728,8.957) -- (10.613,8.63) -- (10.491,8.305) -- (10.361,7.983) -- (10.223,7.664) -- (10.078,7.349) -- (9.926,7.037) -- (9.767,6.729) -- (9.6,6.425);
\draw[line width=0.5pt] (11.251,10.971) -- (10.834,10.682) -- (10.423,10.383) -- (10.02,10.074) -- (9.624,9.756) -- (9.235,9.428) -- (8.854,9.091) -- (8.481,8.746) -- (8.117,8.392) -- (7.76,8.029) -- (7.413,7.658) -- (7.074,7.279) -- (6.745,6.893) -- (6.424,6.499) -- (6.114,6.097);
\draw[line width=0.5pt] (1.251,10.85) -- (1.341,10.637) -- (1.425,10.422) -- (1.504,10.205) -- (1.579,9.986) -- (1.648,9.766) -- (1.712,9.544) -- (1.77,9.32) -- (1.824,9.095) -- (1.872,8.869) -- (1.914,8.642) -- (1.952,8.414) -- (1.984,8.185) -- (2.01,7.956) -- (2.031,7.726);
\draw[line width=0.5pt] (1.251,10.85) -- (1.544,10.46) -- (1.845,10.077) -- (2.156,9.701) -- (2.476,9.332) -- (2.804,8.971) -- (3.141,8.618) -- (3.486,8.273) -- (3.839,7.936) -- (4.2,7.607) -- (4.569,7.287) -- (4.944,6.976) -- (5.327,6.673) -- (5.717,6.38) -- (6.114,6.097);
\draw[line width=0.5pt] (2.031,7.726) -- (2.339,7.655) -- (2.644,7.577) -- (2.948,7.492) -- (3.249,7.399) -- (3.548,7.3) -- (3.845,7.193) -- (4.14,7.08) -- (4.431,6.959) -- (4.72,6.832) -- (5.006,6.698) -- (5.288,6.558) -- (5.567,6.411) -- (5.842,6.257) -- (6.114,6.097);
\draw[line width=0.5pt] (6.114,6.097) -- (6.377,5.841) -- (6.646,5.592) -- (6.921,5.35) -- (7.202,5.113) -- (7.488,4.884) -- (7.78,4.661) -- (8.076,4.445) -- (8.378,4.236) -- (8.685,4.034) -- (8.996,3.839) -- (9.312,3.652) -- (9.632,3.473) -- (9.956,3.301) -- (10.284,3.136);
\draw[line width=0.5pt] (6.114,6.097) -- (6.092,5.764) -- (6.063,5.431) -- (6.027,5.099) -- (5.982,4.768) -- (5.929,4.437) -- (5.869,4.109) -- (5.801,3.781) -- (5.726,3.455) -- (5.642,3.132) -- (5.551,2.81) -- (5.453,2.491) -- (5.347,2.174) -- (5.234,1.859) -- (5.113,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (10.284,3.136) -- (9.9,3.08) -- (9.517,3.015) -- (9.137,2.941) -- (8.757,2.858) -- (8.38,2.766) -- (8.005,2.665) -- (7.633,2.555) -- (7.263,2.437) -- (6.896,2.31) -- (6.533,2.174) -- (6.172,2.03) -- (5.815,1.878) -- (5.462,1.717) -- (5.113,1.548);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.411,10.971) -- (11.39,11.051) -- (11.331,11.109) -- (11.251,11.131) -- (11.171,11.109) -- (11.113,11.051) -- (11.091,10.971) -- (11.113,10.891) -- (11.171,10.832) -- (11.251,10.811) -- (11.331,10.832) -- (11.39,10.891) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.411,10.85) -- (1.39,10.93) -- (1.331,10.988) -- (1.251,11.01) -- (1.171,10.988) -- (1.113,10.93) -- (1.091,10.85) -- (1.113,10.77) -- (1.171,10.711) -- (1.251,10.69) -- (1.331,10.711) -- (1.39,10.77) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.191,7.726) -- (2.17,7.806) -- (2.111,7.864) -- (2.031,7.886) -- (1.951,7.864) -- (1.893,7.806) -- (1.871,7.726) -- (1.893,7.646) -- (1.951,7.587) -- (2.031,7.566) -- (2.111,7.587) -- (2.17,7.646) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.76,6.425) -- (9.738,6.505) -- (9.68,6.563) -- (9.6,6.585) -- (9.52,6.563) -- (9.461,6.505) -- (9.44,6.425) -- (9.461,6.345) -- (9.52,6.286) -- (9.6,6.265) -- (9.68,6.286) -- (9.738,6.345) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.274,6.097) -- (6.252,6.177) -- (6.194,6.235) -- (6.114,6.257) -- (6.034,6.235) -- (5.975,6.177) -- (5.954,6.097) -- (5.975,6.017) -- (6.034,5.958) -- (6.114,5.937) -- (6.194,5.958) -- (6.252,6.017) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.444,3.136) -- (10.422,3.216) -- (10.364,3.275) -- (10.284,3.296) -- (10.204,3.275) -- (10.145,3.216) -- (10.124,3.136) -- (10.145,3.056) -- (10.204,2.998) -- (10.284,2.976) -- (10.364,2.998) -- (10.422,3.056) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.273,1.548) -- (5.252,1.628) -- (5.193,1.686) -- (5.113,1.708) -- (5.033,1.686) -- (4.975,1.628) -- (4.953,1.548) -- (4.975,1.468) -- (5.033,1.409) -- (5.113,1.388) -- (5.193,1.409) -- (5.252,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.231,10.284) -- (6.186,10.454) -- (6.061,10.579) -- (5.891,10.624) -- (5.721,10.579) -- (5.597,10.454) -- (5.551,10.284) -- (5.597,10.114) -- (5.721,9.99) -- (5.891,9.944) -- (6.061,9.99) -- (6.186,10.114) -- cycle;
\node at (5.891,10.284) {\scalebox{1.583}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.254,8.52) -- (11.208,8.69) -- (11.084,8.815) -- (10.914,8.86) -- (10.744,8.815) -- (10.619,8.69) -- (10.574,8.52) -- (10.619,8.35) -- (10.744,8.226) -- (10.914,8.18) -- (11.084,8.226) -- (11.208,8.35) -- cycle;
\node at (10.914,8.52) {\scalebox{1.583}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.042,8.514) -- (8.996,8.684) -- (8.872,8.808) -- (8.702,8.854) -- (8.532,8.808) -- (8.407,8.684) -- (8.362,8.514) -- (8.407,8.344) -- (8.532,8.219) -- (8.702,8.174) -- (8.872,8.219) -- (8.996,8.344) -- cycle;
\node at (8.702,8.514) {\scalebox{1.583}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.421,9.398) -- (2.375,9.568) -- (2.251,9.692) -- (2.081,9.738) -- (1.911,9.692) -- (1.786,9.568) -- (1.741,9.398) -- (1.786,9.228) -- (1.911,9.103) -- (2.081,9.058) -- (2.251,9.103) -- (2.375,9.228) -- cycle;
\node at (2.081,9.398) {\scalebox{1.583}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.05,8.502) -- (4.004,8.672) -- (3.88,8.796) -- (3.71,8.842) -- (3.54,8.796) -- (3.416,8.672) -- (3.37,8.502) -- (3.416,8.332) -- (3.54,8.207) -- (3.71,8.162) -- (3.88,8.207) -- (4.004,8.332) -- cycle;
\node at (3.71,8.502) {\scalebox{1.583}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.598,7.377) -- (4.553,7.547) -- (4.428,7.671) -- (4.258,7.717) -- (4.088,7.671) -- (3.964,7.547) -- (3.918,7.377) -- (3.964,7.207) -- (4.088,7.083) -- (4.258,7.037) -- (4.428,7.083) -- (4.553,7.207) -- cycle;
\node at (4.258,7.377) {\scalebox{1.583}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.602,4.706) -- (8.556,4.876) -- (8.432,5.0) -- (8.262,5.046) -- (8.092,5.0) -- (7.967,4.876) -- (7.922,4.706) -- (7.967,4.536) -- (8.092,4.411) -- (8.262,4.366) -- (8.432,4.411) -- (8.556,4.536) -- cycle;
\node at (8.262,4.706) {\scalebox{1.583}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.454,3.712) -- (6.408,3.882) -- (6.284,4.007) -- (6.114,4.052) -- (5.944,4.007) -- (5.819,3.882) -- (5.774,3.712) -- (5.819,3.542) -- (5.944,3.418) -- (6.114,3.372) -- (6.284,3.418) -- (6.408,3.542) -- cycle;
\node at (6.114,3.712) {\scalebox{1.583}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.067,2.25) -- (8.021,2.42) -- (7.897,2.544) -- (7.727,2.59) -- (7.557,2.544) -- (7.433,2.42) -- (7.387,2.25) -- (7.433,2.08) -- (7.557,1.955) -- (7.727,1.91) -- (7.897,1.955) -- (8.021,2.08) -- cycle;
\node at (7.727,2.25) {\scalebox{1.583}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.814,5.797) -- (6.414,5.797) -- (6.414,6.397) -- (5.814,6.397) -- cycle;
\node at (6.114,6.097) {\scalebox{1.583}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.785,0.669) -- (8.385,0.669) -- (8.385,1.269) -- (7.785,1.269) -- cycle;
\node at (8.085,0.969) {\scalebox{1.583}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.456,8.685) -- (10.056,8.685) -- (10.056,9.285) -- (9.456,9.285) -- cycle;
\node at (9.756,8.985) {\scalebox{1.583}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.475,7.947) -- (3.075,7.947) -- (3.075,8.547) -- (2.475,8.547) -- cycle;
\node at (2.775,8.247) {\scalebox{1.583}{\small d}};
\node at (11.71,11.387) {\scalebox{1.583}{\small A}};
\node at (0.765,11.235) {\scalebox{1.583}{\small B}};
\node at (1.428,7.867) {\scalebox{1.583}{\small C}};
\node at (10.218,6.374) {\scalebox{1.583}{\small D}};
\node at (5.758,5.589) {\scalebox{1.583}{\small E}};
\node at (10.735,2.711) {\scalebox{1.583}{\small F}};
\node at (4.949,0.95) {\scalebox{1.583}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.551,10.021) -- (12.551,11.121);
\draw[line width=0.5pt] (12.32,10.736) -- (12.551,11.121) -- (12.782,10.736);
\draw[line width=0.5pt] (12.249,10.571) -- (12.854,10.571);
\node at (12.551,11.506) {\scalebox{1.583}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 2 & 1 & 5 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, D, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
