\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 244}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=244}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0244}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7131, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.858,11.343) -- (3.071,11.21) -- (3.287,11.082) -- (3.507,10.959) -- (3.729,10.841) -- (3.955,10.728) -- (4.182,10.621) -- (4.413,10.519) -- (4.645,10.422) -- (4.88,10.331) -- (5.117,10.246) -- (5.356,10.166) -- (5.596,10.092) -- (5.838,10.023) -- (6.082,9.961);
\draw[line width=0.5pt] (2.858,11.343) -- (3.128,11.03) -- (3.391,10.711) -- (3.646,10.386) -- (3.893,10.054) -- (4.133,9.717) -- (4.365,9.374) -- (4.588,9.026) -- (4.804,8.673) -- (5.011,8.315) -- (5.209,7.952) -- (5.399,7.585) -- (5.581,7.213) -- (5.753,6.837) -- (5.916,6.457);
\draw[line width=0.5pt] (2.858,11.343) -- (2.723,11.014) -- (2.596,10.683) -- (2.477,10.348) -- (2.366,10.01) -- (2.263,9.67) -- (2.168,9.328) -- (2.081,8.983) -- (2.003,8.637) -- (1.932,8.288) -- (1.869,7.938) -- (1.815,7.587) -- (1.769,7.235) -- (1.732,6.882) -- (1.703,6.528) -- (1.727,6.156) -- (1.742,5.783) -- (1.749,5.409) -- (1.747,5.036) -- (1.736,4.662) -- (1.716,4.289) -- (1.687,3.917) -- (1.65,3.545) -- (1.604,3.174) -- (1.55,2.804) -- (1.486,2.436) -- (1.414,2.07) -- (1.334,1.705) -- (1.245,1.343);
\draw[line width=0.5pt] (6.082,9.961) -- (6.108,9.711) -- (6.129,9.46) -- (6.144,9.209) -- (6.153,8.957) -- (6.155,8.706) -- (6.152,8.454) -- (6.143,8.202) -- (6.129,7.951) -- (6.108,7.7) -- (6.081,7.45) -- (6.049,7.2) -- (6.01,6.951) -- (5.966,6.704) -- (5.916,6.457);
\draw[line width=0.5pt] (5.916,6.457) -- (6.283,6.391) -- (6.652,6.332) -- (7.022,6.283) -- (7.394,6.242) -- (7.766,6.21) -- (8.139,6.187) -- (8.512,6.173) -- (8.886,6.167) -- (9.26,6.17) -- (9.633,6.182) -- (10.006,6.203) -- (10.379,6.232) -- (10.75,6.271) -- (11.12,6.318);
\draw[line width=0.5pt] (5.916,6.457) -- (5.971,6.119) -- (6.018,5.78) -- (6.056,5.439) -- (6.087,5.098) -- (6.109,4.755) -- (6.124,4.413) -- (6.131,4.07) -- (6.129,3.727) -- (6.119,3.384) -- (6.102,3.041) -- (6.076,2.699) -- (6.042,2.358) -- (6.001,2.018) -- (5.951,1.679);
\draw[line width=0.5pt] (5.916,6.457) -- (6.224,6.042) -- (6.541,5.635) -- (6.868,5.234) -- (7.204,4.842) -- (7.549,4.457) -- (7.904,4.081) -- (8.267,3.713) -- (8.639,3.354) -- (9.019,3.003) -- (9.407,2.662) -- (9.803,2.33) -- (10.207,2.007) -- (10.618,1.694) -- (11.036,1.391);
\draw[line width=0.5pt] (5.916,6.457) -- (5.641,6.044) -- (5.356,5.637) -- (5.062,5.237) -- (4.758,4.843) -- (4.445,4.457) -- (4.122,4.079) -- (3.791,3.708) -- (3.452,3.344) -- (3.104,2.989) -- (2.747,2.642) -- (2.383,2.304) -- (2.011,1.975) -- (1.632,1.654) -- (1.245,1.343);
\draw[line width=0.5pt] (11.12,6.318) -- (11.06,5.97) -- (11.009,5.62) -- (10.965,5.269) -- (10.93,4.917) -- (10.904,4.565) -- (10.885,4.212) -- (10.875,3.858) -- (10.873,3.504) -- (10.879,3.151) -- (10.894,2.797) -- (10.917,2.445) -- (10.948,2.092) -- (10.988,1.741) -- (11.036,1.391);
\draw[line width=0.5pt] (5.951,1.679) -- (6.314,1.714) -- (6.679,1.741) -- (7.043,1.759) -- (7.409,1.768) -- (7.774,1.769) -- (8.14,1.761) -- (8.505,1.745) -- (8.87,1.72) -- (9.234,1.687) -- (9.597,1.645) -- (9.959,1.594) -- (10.32,1.535) -- (10.679,1.467) -- (11.036,1.391);
\draw[line width=0.5pt] (5.951,1.679) -- (5.614,1.707) -- (5.276,1.727) -- (4.937,1.738) -- (4.599,1.742) -- (4.26,1.738) -- (3.922,1.725) -- (3.584,1.705) -- (3.246,1.677) -- (2.909,1.641) -- (2.574,1.597) -- (2.239,1.545) -- (1.906,1.486) -- (1.574,1.418) -- (1.245,1.343);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.018,11.343) -- (2.996,11.423) -- (2.938,11.482) -- (2.858,11.503) -- (2.778,11.482) -- (2.719,11.423) -- (2.698,11.343) -- (2.719,11.263) -- (2.778,11.204) -- (2.858,11.183) -- (2.938,11.204) -- (2.996,11.263) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.242,9.961) -- (6.22,10.041) -- (6.162,10.099) -- (6.082,10.121) -- (6.002,10.099) -- (5.943,10.041) -- (5.922,9.961) -- (5.943,9.881) -- (6.002,9.822) -- (6.082,9.801) -- (6.162,9.822) -- (6.22,9.881) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.076,6.457) -- (6.055,6.537) -- (5.996,6.596) -- (5.916,6.617) -- (5.836,6.596) -- (5.778,6.537) -- (5.756,6.457) -- (5.778,6.377) -- (5.836,6.319) -- (5.916,6.297) -- (5.996,6.319) -- (6.055,6.377) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.28,6.318) -- (11.259,6.398) -- (11.2,6.456) -- (11.12,6.478) -- (11.04,6.456) -- (10.982,6.398) -- (10.96,6.318) -- (10.982,6.238) -- (11.04,6.179) -- (11.12,6.158) -- (11.2,6.179) -- (11.259,6.238) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.111,1.679) -- (6.089,1.759) -- (6.031,1.818) -- (5.951,1.839) -- (5.871,1.818) -- (5.812,1.759) -- (5.791,1.679) -- (5.812,1.599) -- (5.871,1.541) -- (5.951,1.519) -- (6.031,1.541) -- (6.089,1.599) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.196,1.391) -- (11.174,1.471) -- (11.116,1.53) -- (11.036,1.551) -- (10.956,1.53) -- (10.897,1.471) -- (10.876,1.391) -- (10.897,1.311) -- (10.956,1.253) -- (11.036,1.231) -- (11.116,1.253) -- (11.174,1.311) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.405,1.343) -- (1.383,1.423) -- (1.325,1.482) -- (1.245,1.503) -- (1.165,1.482) -- (1.106,1.423) -- (1.085,1.343) -- (1.106,1.263) -- (1.165,1.204) -- (1.245,1.183) -- (1.325,1.204) -- (1.383,1.263) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.879,10.813) -- (4.833,10.983) -- (4.709,11.107) -- (4.539,11.153) -- (4.369,11.107) -- (4.244,10.983) -- (4.199,10.813) -- (4.244,10.643) -- (4.369,10.519) -- (4.539,10.473) -- (4.709,10.519) -- (4.833,10.643) -- cycle;
\node at (4.539,10.813) {\scalebox{1.402}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.2,9.196) -- (5.154,9.366) -- (5.03,9.491) -- (4.86,9.536) -- (4.69,9.491) -- (4.565,9.366) -- (4.52,9.196) -- (4.565,9.026) -- (4.69,8.902) -- (4.86,8.856) -- (5.03,8.902) -- (5.154,9.026) -- cycle;
\node at (4.86,9.196) {\scalebox{1.402}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.363,6.526) -- (2.317,6.696) -- (2.193,6.82) -- (2.023,6.866) -- (1.853,6.82) -- (1.728,6.696) -- (1.683,6.526) -- (1.728,6.356) -- (1.853,6.231) -- (2.023,6.186) -- (2.193,6.231) -- (2.317,6.356) -- cycle;
\node at (2.023,6.526) {\scalebox{1.402}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.803,8.187) -- (6.758,8.357) -- (6.633,8.482) -- (6.463,8.527) -- (6.293,8.482) -- (6.169,8.357) -- (6.123,8.187) -- (6.169,8.017) -- (6.293,7.893) -- (6.463,7.847) -- (6.633,7.893) -- (6.758,8.017) -- cycle;
\node at (6.463,8.187) {\scalebox{1.402}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.861,6.493) -- (8.816,6.663) -- (8.691,6.787) -- (8.521,6.833) -- (8.351,6.787) -- (8.227,6.663) -- (8.181,6.493) -- (8.227,6.323) -- (8.351,6.198) -- (8.521,6.153) -- (8.691,6.198) -- (8.816,6.323) -- cycle;
\node at (8.521,6.493) {\scalebox{1.402}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.791,4.072) -- (6.745,4.242) -- (6.621,4.366) -- (6.451,4.412) -- (6.281,4.366) -- (6.156,4.242) -- (6.111,4.072) -- (6.156,3.902) -- (6.281,3.778) -- (6.451,3.732) -- (6.621,3.778) -- (6.745,3.902) -- cycle;
\node at (6.451,4.072) {\scalebox{1.402}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.832,3.941) -- (8.787,4.111) -- (8.662,4.235) -- (8.492,4.281) -- (8.322,4.235) -- (8.198,4.111) -- (8.152,3.941) -- (8.198,3.771) -- (8.322,3.646) -- (8.492,3.601) -- (8.662,3.646) -- (8.787,3.771) -- cycle;
\node at (8.492,3.941) {\scalebox{1.402}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.368,3.492) -- (4.322,3.662) -- (4.198,3.786) -- (4.028,3.832) -- (3.858,3.786) -- (3.733,3.662) -- (3.688,3.492) -- (3.733,3.322) -- (3.858,3.197) -- (4.028,3.152) -- (4.198,3.197) -- (4.322,3.322) -- cycle;
\node at (4.028,3.492) {\scalebox{1.402}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.535,3.853) -- (11.489,4.023) -- (11.365,4.147) -- (11.195,4.193) -- (11.025,4.147) -- (10.9,4.023) -- (10.855,3.853) -- (10.9,3.683) -- (11.025,3.558) -- (11.195,3.513) -- (11.365,3.558) -- (11.489,3.683) -- cycle;
\node at (11.195,3.853) {\scalebox{1.402}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.863,2.064) -- (8.818,2.234) -- (8.693,2.359) -- (8.523,2.404) -- (8.353,2.359) -- (8.229,2.234) -- (8.183,2.064) -- (8.229,1.894) -- (8.353,1.77) -- (8.523,1.724) -- (8.693,1.77) -- (8.818,1.894) -- cycle;
\node at (8.523,2.064) {\scalebox{1.402}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.947,1.386) -- (3.901,1.556) -- (3.777,1.68) -- (3.607,1.726) -- (3.437,1.68) -- (3.312,1.556) -- (3.267,1.386) -- (3.312,1.216) -- (3.437,1.092) -- (3.607,1.046) -- (3.777,1.092) -- (3.901,1.216) -- cycle;
\node at (3.607,1.386) {\scalebox{1.402}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.945,1.043) -- (1.545,1.043) -- (1.545,1.643) -- (0.945,1.643) -- cycle;
\node at (1.245,1.343) {\scalebox{1.402}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.128,2.251) -- (3.728,2.251) -- (3.728,2.851) -- (3.128,2.851) -- cycle;
\node at (3.428,2.551) {\scalebox{1.402}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.008,11.776) -- (4.608,11.776) -- (4.608,12.376) -- (4.008,12.376) -- cycle;
\node at (4.308,12.076) {\scalebox{1.402}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.547,8.965) -- (7.147,8.965) -- (7.147,9.565) -- (6.547,9.565) -- cycle;
\node at (6.847,9.265) {\scalebox{1.402}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.299,3.241) -- (9.899,3.241) -- (9.899,3.841) -- (9.299,3.841) -- cycle;
\node at (9.599,3.541) {\scalebox{1.402}{\small e}};
\node at (2.542,11.877) {\scalebox{1.402}{\small A}};
\node at (6.049,10.58) {\scalebox{1.402}{\small B}};
\node at (5.678,7.03) {\scalebox{1.402}{\small C}};
\node at (11.732,6.422) {\scalebox{1.402}{\small D}};
\node at (5.892,1.062) {\scalebox{1.402}{\small E}};
\node at (11.504,0.984) {\scalebox{1.402}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.402}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.42,10.393) -- (12.42,11.493);
\draw[line width=0.5pt] (12.189,11.108) -- (12.42,11.493) -- (12.651,11.108);
\draw[line width=0.5pt] (12.118,10.943) -- (12.723,10.943);
\node at (12.42,11.878) {\scalebox{1.402}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Puits & ⑦ boulevard du Parc & Ⓐ Carrefour du Moulin & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑧ rue Verte & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ quai aux Fleurs & ⑨ rue Neuve & Ⓒ Carrefour du Lavoir & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑩ rue du Four & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ allée des Peupliers & ⑪ rue de l'Église & Ⓔ Rond-point de la Gare & \textbf{e} l'école \\ \hline
⑥ venelle du Chat &  & Ⓕ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.638, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.858,11.343) -- (3.071,11.21) -- (3.287,11.082) -- (3.507,10.959) -- (3.729,10.841) -- (3.955,10.728) -- (4.182,10.621) -- (4.413,10.519) -- (4.645,10.422) -- (4.88,10.331) -- (5.117,10.246) -- (5.356,10.166) -- (5.596,10.092) -- (5.838,10.023) -- (6.082,9.961);
\draw[line width=0.5pt] (2.858,11.343) -- (3.128,11.03) -- (3.391,10.711) -- (3.646,10.386) -- (3.893,10.054) -- (4.133,9.717) -- (4.365,9.374) -- (4.588,9.026) -- (4.804,8.673) -- (5.011,8.315) -- (5.209,7.952) -- (5.399,7.585) -- (5.581,7.213) -- (5.753,6.837) -- (5.916,6.457);
\draw[line width=0.5pt] (2.858,11.343) -- (2.723,11.014) -- (2.596,10.683) -- (2.477,10.348) -- (2.366,10.01) -- (2.263,9.67) -- (2.168,9.328) -- (2.081,8.983) -- (2.003,8.637) -- (1.932,8.288) -- (1.869,7.938) -- (1.815,7.587) -- (1.769,7.235) -- (1.732,6.882) -- (1.703,6.528) -- (1.727,6.156) -- (1.742,5.783) -- (1.749,5.409) -- (1.747,5.036) -- (1.736,4.662) -- (1.716,4.289) -- (1.687,3.917) -- (1.65,3.545) -- (1.604,3.174) -- (1.55,2.804) -- (1.486,2.436) -- (1.414,2.07) -- (1.334,1.705) -- (1.245,1.343);
\draw[line width=0.5pt] (6.082,9.961) -- (6.108,9.711) -- (6.129,9.46) -- (6.144,9.209) -- (6.153,8.957) -- (6.155,8.706) -- (6.152,8.454) -- (6.143,8.202) -- (6.129,7.951) -- (6.108,7.7) -- (6.081,7.45) -- (6.049,7.2) -- (6.01,6.951) -- (5.966,6.704) -- (5.916,6.457);
\draw[line width=0.5pt] (5.916,6.457) -- (6.283,6.391) -- (6.652,6.332) -- (7.022,6.283) -- (7.394,6.242) -- (7.766,6.21) -- (8.139,6.187) -- (8.512,6.173) -- (8.886,6.167) -- (9.26,6.17) -- (9.633,6.182) -- (10.006,6.203) -- (10.379,6.232) -- (10.75,6.271) -- (11.12,6.318);
\draw[line width=0.5pt] (5.916,6.457) -- (5.971,6.119) -- (6.018,5.78) -- (6.056,5.439) -- (6.087,5.098) -- (6.109,4.755) -- (6.124,4.413) -- (6.131,4.07) -- (6.129,3.727) -- (6.119,3.384) -- (6.102,3.041) -- (6.076,2.699) -- (6.042,2.358) -- (6.001,2.018) -- (5.951,1.679);
\draw[line width=0.5pt] (5.916,6.457) -- (6.224,6.042) -- (6.541,5.635) -- (6.868,5.234) -- (7.204,4.842) -- (7.549,4.457) -- (7.904,4.081) -- (8.267,3.713) -- (8.639,3.354) -- (9.019,3.003) -- (9.407,2.662) -- (9.803,2.33) -- (10.207,2.007) -- (10.618,1.694) -- (11.036,1.391);
\draw[line width=0.5pt] (5.916,6.457) -- (5.641,6.044) -- (5.356,5.637) -- (5.062,5.237) -- (4.758,4.843) -- (4.445,4.457) -- (4.122,4.079) -- (3.791,3.708) -- (3.452,3.344) -- (3.104,2.989) -- (2.747,2.642) -- (2.383,2.304) -- (2.011,1.975) -- (1.632,1.654) -- (1.245,1.343);
\draw[line width=0.5pt] (11.12,6.318) -- (11.06,5.97) -- (11.009,5.62) -- (10.965,5.269) -- (10.93,4.917) -- (10.904,4.565) -- (10.885,4.212) -- (10.875,3.858) -- (10.873,3.504) -- (10.879,3.151) -- (10.894,2.797) -- (10.917,2.445) -- (10.948,2.092) -- (10.988,1.741) -- (11.036,1.391);
\draw[line width=0.5pt] (5.951,1.679) -- (6.314,1.714) -- (6.679,1.741) -- (7.043,1.759) -- (7.409,1.768) -- (7.774,1.769) -- (8.14,1.761) -- (8.505,1.745) -- (8.87,1.72) -- (9.234,1.687) -- (9.597,1.645) -- (9.959,1.594) -- (10.32,1.535) -- (10.679,1.467) -- (11.036,1.391);
\draw[line width=0.5pt] (5.951,1.679) -- (5.614,1.707) -- (5.276,1.727) -- (4.937,1.738) -- (4.599,1.742) -- (4.26,1.738) -- (3.922,1.725) -- (3.584,1.705) -- (3.246,1.677) -- (2.909,1.641) -- (2.574,1.597) -- (2.239,1.545) -- (1.906,1.486) -- (1.574,1.418) -- (1.245,1.343);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.018,11.343) -- (2.996,11.423) -- (2.938,11.482) -- (2.858,11.503) -- (2.778,11.482) -- (2.719,11.423) -- (2.698,11.343) -- (2.719,11.263) -- (2.778,11.204) -- (2.858,11.183) -- (2.938,11.204) -- (2.996,11.263) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.242,9.961) -- (6.22,10.041) -- (6.162,10.099) -- (6.082,10.121) -- (6.002,10.099) -- (5.943,10.041) -- (5.922,9.961) -- (5.943,9.881) -- (6.002,9.822) -- (6.082,9.801) -- (6.162,9.822) -- (6.22,9.881) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.076,6.457) -- (6.055,6.537) -- (5.996,6.596) -- (5.916,6.617) -- (5.836,6.596) -- (5.778,6.537) -- (5.756,6.457) -- (5.778,6.377) -- (5.836,6.319) -- (5.916,6.297) -- (5.996,6.319) -- (6.055,6.377) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.28,6.318) -- (11.259,6.398) -- (11.2,6.456) -- (11.12,6.478) -- (11.04,6.456) -- (10.982,6.398) -- (10.96,6.318) -- (10.982,6.238) -- (11.04,6.179) -- (11.12,6.158) -- (11.2,6.179) -- (11.259,6.238) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.111,1.679) -- (6.089,1.759) -- (6.031,1.818) -- (5.951,1.839) -- (5.871,1.818) -- (5.812,1.759) -- (5.791,1.679) -- (5.812,1.599) -- (5.871,1.541) -- (5.951,1.519) -- (6.031,1.541) -- (6.089,1.599) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.196,1.391) -- (11.174,1.471) -- (11.116,1.53) -- (11.036,1.551) -- (10.956,1.53) -- (10.897,1.471) -- (10.876,1.391) -- (10.897,1.311) -- (10.956,1.253) -- (11.036,1.231) -- (11.116,1.253) -- (11.174,1.311) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.405,1.343) -- (1.383,1.423) -- (1.325,1.482) -- (1.245,1.503) -- (1.165,1.482) -- (1.106,1.423) -- (1.085,1.343) -- (1.106,1.263) -- (1.165,1.204) -- (1.245,1.183) -- (1.325,1.204) -- (1.383,1.263) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.879,10.813) -- (4.833,10.983) -- (4.709,11.107) -- (4.539,11.153) -- (4.369,11.107) -- (4.244,10.983) -- (4.199,10.813) -- (4.244,10.643) -- (4.369,10.519) -- (4.539,10.473) -- (4.709,10.519) -- (4.833,10.643) -- cycle;
\node at (4.539,10.813) {\scalebox{1.567}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.2,9.196) -- (5.154,9.366) -- (5.03,9.491) -- (4.86,9.536) -- (4.69,9.491) -- (4.565,9.366) -- (4.52,9.196) -- (4.565,9.026) -- (4.69,8.902) -- (4.86,8.856) -- (5.03,8.902) -- (5.154,9.026) -- cycle;
\node at (4.86,9.196) {\scalebox{1.567}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.363,6.526) -- (2.317,6.696) -- (2.193,6.82) -- (2.023,6.866) -- (1.853,6.82) -- (1.728,6.696) -- (1.683,6.526) -- (1.728,6.356) -- (1.853,6.231) -- (2.023,6.186) -- (2.193,6.231) -- (2.317,6.356) -- cycle;
\node at (2.023,6.526) {\scalebox{1.567}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.803,8.187) -- (6.758,8.357) -- (6.633,8.482) -- (6.463,8.527) -- (6.293,8.482) -- (6.169,8.357) -- (6.123,8.187) -- (6.169,8.017) -- (6.293,7.893) -- (6.463,7.847) -- (6.633,7.893) -- (6.758,8.017) -- cycle;
\node at (6.463,8.187) {\scalebox{1.567}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.861,6.493) -- (8.816,6.663) -- (8.691,6.787) -- (8.521,6.833) -- (8.351,6.787) -- (8.227,6.663) -- (8.181,6.493) -- (8.227,6.323) -- (8.351,6.198) -- (8.521,6.153) -- (8.691,6.198) -- (8.816,6.323) -- cycle;
\node at (8.521,6.493) {\scalebox{1.567}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.791,4.072) -- (6.745,4.242) -- (6.621,4.366) -- (6.451,4.412) -- (6.281,4.366) -- (6.156,4.242) -- (6.111,4.072) -- (6.156,3.902) -- (6.281,3.778) -- (6.451,3.732) -- (6.621,3.778) -- (6.745,3.902) -- cycle;
\node at (6.451,4.072) {\scalebox{1.567}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.832,3.941) -- (8.787,4.111) -- (8.662,4.235) -- (8.492,4.281) -- (8.322,4.235) -- (8.198,4.111) -- (8.152,3.941) -- (8.198,3.771) -- (8.322,3.646) -- (8.492,3.601) -- (8.662,3.646) -- (8.787,3.771) -- cycle;
\node at (8.492,3.941) {\scalebox{1.567}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.368,3.492) -- (4.322,3.662) -- (4.198,3.786) -- (4.028,3.832) -- (3.858,3.786) -- (3.733,3.662) -- (3.688,3.492) -- (3.733,3.322) -- (3.858,3.197) -- (4.028,3.152) -- (4.198,3.197) -- (4.322,3.322) -- cycle;
\node at (4.028,3.492) {\scalebox{1.567}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.535,3.853) -- (11.489,4.023) -- (11.365,4.147) -- (11.195,4.193) -- (11.025,4.147) -- (10.9,4.023) -- (10.855,3.853) -- (10.9,3.683) -- (11.025,3.558) -- (11.195,3.513) -- (11.365,3.558) -- (11.489,3.683) -- cycle;
\node at (11.195,3.853) {\scalebox{1.567}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.863,2.064) -- (8.818,2.234) -- (8.693,2.359) -- (8.523,2.404) -- (8.353,2.359) -- (8.229,2.234) -- (8.183,2.064) -- (8.229,1.894) -- (8.353,1.77) -- (8.523,1.724) -- (8.693,1.77) -- (8.818,1.894) -- cycle;
\node at (8.523,2.064) {\scalebox{1.567}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.947,1.386) -- (3.901,1.556) -- (3.777,1.68) -- (3.607,1.726) -- (3.437,1.68) -- (3.312,1.556) -- (3.267,1.386) -- (3.312,1.216) -- (3.437,1.092) -- (3.607,1.046) -- (3.777,1.092) -- (3.901,1.216) -- cycle;
\node at (3.607,1.386) {\scalebox{1.567}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.945,1.043) -- (1.545,1.043) -- (1.545,1.643) -- (0.945,1.643) -- cycle;
\node at (1.245,1.343) {\scalebox{1.567}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.128,2.251) -- (3.728,2.251) -- (3.728,2.851) -- (3.128,2.851) -- cycle;
\node at (3.428,2.551) {\scalebox{1.567}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.008,11.776) -- (4.608,11.776) -- (4.608,12.376) -- (4.008,12.376) -- cycle;
\node at (4.308,12.076) {\scalebox{1.567}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.547,8.965) -- (7.147,8.965) -- (7.147,9.565) -- (6.547,9.565) -- cycle;
\node at (6.847,9.265) {\scalebox{1.567}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.299,3.241) -- (9.899,3.241) -- (9.899,3.841) -- (9.299,3.841) -- cycle;
\node at (9.599,3.541) {\scalebox{1.567}{\small e}};
\node at (2.542,11.877) {\scalebox{1.567}{\small A}};
\node at (6.049,10.58) {\scalebox{1.567}{\small B}};
\node at (5.678,7.03) {\scalebox{1.567}{\small C}};
\node at (11.732,6.422) {\scalebox{1.567}{\small D}};
\node at (5.892,1.062) {\scalebox{1.567}{\small E}};
\node at (11.504,0.984) {\scalebox{1.567}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.567}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.42,10.393) -- (12.42,11.493);
\draw[line width=0.5pt] (12.189,11.108) -- (12.42,11.493) -- (12.651,11.108);
\draw[line width=0.5pt] (12.118,10.943) -- (12.723,10.943);
\node at (12.42,11.878) {\scalebox{1.567}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 6 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
