\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 245}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=245}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0245}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7059, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.255,9.47) -- (1.436,9.358) -- (1.621,9.251) -- (1.807,9.148) -- (1.997,9.049) -- (2.188,8.955) -- (2.382,8.865) -- (2.578,8.78) -- (2.776,8.7) -- (2.975,8.624) -- (3.176,8.553) -- (3.379,8.487) -- (3.583,8.425) -- (3.789,8.369) -- (3.996,8.317) -- (4.322,8.363) -- (4.65,8.4) -- (4.978,8.43) -- (5.307,8.452) -- (5.636,8.467) -- (5.966,8.473) -- (6.296,8.472) -- (6.626,8.463) -- (6.955,8.447) -- (7.284,8.423) -- (7.612,8.391) -- (7.939,8.351) -- (8.265,8.303) -- (8.59,8.248);
\draw[line width=0.5pt] (1.255,9.47) -- (1.517,9.252) -- (1.773,9.028) -- (2.025,8.798) -- (2.271,8.562) -- (2.511,8.32) -- (2.746,8.073) -- (2.975,7.82) -- (3.198,7.562) -- (3.414,7.298) -- (3.625,7.03) -- (3.829,6.757) -- (4.026,6.479) -- (4.217,6.197) -- (4.401,5.91);
\draw[line width=0.5pt] (8.59,8.248) -- (8.562,8.1) -- (8.538,7.952) -- (8.517,7.803) -- (8.5,7.653) -- (8.486,7.503) -- (8.476,7.353) -- (8.47,7.202) -- (8.466,7.051) -- (8.467,6.901) -- (8.471,6.75) -- (8.478,6.6) -- (8.489,6.45) -- (8.504,6.3) -- (8.522,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (8.59,8.248) -- (8.319,8.037) -- (8.043,7.832) -- (7.762,7.633) -- (7.476,7.441) -- (7.185,7.256) -- (6.891,7.078) -- (6.592,6.907) -- (6.289,6.742) -- (5.983,6.585) -- (5.673,6.435) -- (5.36,6.293) -- (5.043,6.158) -- (4.724,6.03) -- (4.401,5.91);
\draw[line width=0.5pt] (8.59,8.248) -- (8.718,8.047) -- (8.851,7.849) -- (8.989,7.654) -- (9.132,7.462) -- (9.278,7.274) -- (9.43,7.089) -- (9.585,6.908) -- (9.745,6.73) -- (9.909,6.556) -- (10.077,6.386) -- (10.248,6.22) -- (10.424,6.059) -- (10.603,5.901) -- (10.786,5.748);
\draw[line width=0.5pt] (8.522,6.15) -- (8.687,6.147) -- (8.852,6.139) -- (9.016,6.127) -- (9.181,6.112) -- (9.344,6.093) -- (9.508,6.07) -- (9.671,6.043) -- (9.833,6.012) -- (9.994,5.977) -- (10.155,5.939) -- (10.315,5.897) -- (10.473,5.851) -- (10.63,5.801) -- (10.786,5.748);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,5.91) -- (4.668,5.609) -- (4.942,5.314) -- (5.222,5.025) -- (5.51,4.743) -- (5.804,4.468) -- (6.105,4.199) -- (6.412,3.938) -- (6.725,3.684) -- (7.043,3.438) -- (7.368,3.199) -- (7.698,2.968) -- (8.033,2.744) -- (8.373,2.529) -- (8.718,2.322);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,5.91) -- (4.243,5.552) -- (4.076,5.197) -- (3.901,4.846) -- (3.717,4.5) -- (3.525,4.157) -- (3.326,3.82) -- (3.118,3.487) -- (2.903,3.159) -- (2.68,2.836) -- (2.449,2.518) -- (2.211,2.206) -- (1.966,1.9) -- (1.714,1.6) -- (1.455,1.306);
\draw[line width=0.5pt] (10.786,5.748) -- (10.602,5.528) -- (10.424,5.303) -- (10.25,5.075) -- (10.082,4.842) -- (9.919,4.605) -- (9.762,4.364) -- (9.611,4.12) -- (9.465,3.873) -- (9.326,3.622) -- (9.192,3.368) -- (9.064,3.11) -- (8.943,2.85) -- (8.827,2.587) -- (8.718,2.322);
\draw[line width=0.5pt] (10.786,5.748) -- (10.864,5.466) -- (10.935,5.183) -- (10.999,4.898) -- (11.056,4.611) -- (11.107,4.323) -- (11.15,4.034) -- (11.188,3.744) -- (11.218,3.453) -- (11.241,3.161) -- (11.258,2.869) -- (11.267,2.577) -- (11.27,2.285) -- (11.266,1.993) -- (11.255,1.701);
\draw[line width=0.5pt] (8.718,2.322) -- (8.891,2.25) -- (9.066,2.183) -- (9.242,2.119) -- (9.42,2.06) -- (9.599,2.004) -- (9.779,1.953) -- (9.961,1.907) -- (10.143,1.864) -- (10.327,1.826) -- (10.511,1.792) -- (10.696,1.763) -- (10.882,1.738) -- (11.068,1.717) -- (11.255,1.701);
\draw[line width=0.5pt] (8.718,2.322) -- (8.449,2.306) -- (8.18,2.296) -- (7.911,2.292) -- (7.641,2.295) -- (7.372,2.304) -- (7.103,2.32) -- (6.834,2.341) -- (6.566,2.369) -- (6.299,2.404) -- (6.032,2.444) -- (5.767,2.491) -- (5.502,2.544) -- (5.24,2.603) -- (4.978,2.669) -- (4.714,2.611) -- (4.451,2.547) -- (4.189,2.476) -- (3.929,2.399) -- (3.671,2.317) -- (3.415,2.228) -- (3.16,2.133) -- (2.909,2.032) -- (2.659,1.925) -- (2.413,1.813) -- (2.169,1.695) -- (1.928,1.571) -- (1.69,1.441) -- (1.455,1.306);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.415,9.47) -- (1.393,9.55) -- (1.335,9.608) -- (1.255,9.63) -- (1.175,9.608) -- (1.116,9.55) -- (1.095,9.47) -- (1.116,9.39) -- (1.175,9.331) -- (1.255,9.31) -- (1.335,9.331) -- (1.393,9.39) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.75,8.248) -- (8.729,8.328) -- (8.67,8.387) -- (8.59,8.408) -- (8.51,8.387) -- (8.452,8.328) -- (8.43,8.248) -- (8.452,8.168) -- (8.51,8.11) -- (8.59,8.088) -- (8.67,8.11) -- (8.729,8.168) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.682,6.15) -- (8.661,6.23) -- (8.602,6.289) -- (8.522,6.31) -- (8.442,6.289) -- (8.383,6.23) -- (8.362,6.15) -- (8.383,6.07) -- (8.442,6.012) -- (8.522,5.99) -- (8.602,6.012) -- (8.661,6.07) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.561,5.91) -- (4.54,5.99) -- (4.481,6.049) -- (4.401,6.07) -- (4.321,6.049) -- (4.263,5.99) -- (4.241,5.91) -- (4.263,5.83) -- (4.321,5.772) -- (4.401,5.75) -- (4.481,5.772) -- (4.54,5.83) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.946,5.748) -- (10.925,5.828) -- (10.866,5.887) -- (10.786,5.908) -- (10.706,5.887) -- (10.648,5.828) -- (10.626,5.748) -- (10.648,5.668) -- (10.706,5.609) -- (10.786,5.588) -- (10.866,5.609) -- (10.925,5.668) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.878,2.322) -- (8.857,2.402) -- (8.798,2.461) -- (8.718,2.482) -- (8.638,2.461) -- (8.58,2.402) -- (8.558,2.322) -- (8.58,2.242) -- (8.638,2.184) -- (8.718,2.162) -- (8.798,2.184) -- (8.857,2.242) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.415,1.701) -- (11.393,1.781) -- (11.335,1.839) -- (11.255,1.861) -- (11.175,1.839) -- (11.116,1.781) -- (11.095,1.701) -- (11.116,1.621) -- (11.175,1.562) -- (11.255,1.541) -- (11.335,1.562) -- (11.393,1.621) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.615,1.306) -- (1.593,1.386) -- (1.535,1.445) -- (1.455,1.466) -- (1.375,1.445) -- (1.316,1.386) -- (1.295,1.306) -- (1.316,1.226) -- (1.375,1.168) -- (1.455,1.146) -- (1.535,1.168) -- (1.593,1.226) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.34,8.637) -- (4.294,8.807) -- (4.17,8.932) -- (4.0,8.977) -- (3.83,8.932) -- (3.705,8.807) -- (3.66,8.637) -- (3.705,8.467) -- (3.83,8.343) -- (4.0,8.297) -- (4.17,8.343) -- (4.294,8.467) -- cycle;
\node at (4.0,8.637) {\scalebox{1.417}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.555,8.032) -- (3.509,8.202) -- (3.385,8.326) -- (3.215,8.372) -- (3.045,8.326) -- (2.92,8.202) -- (2.875,8.032) -- (2.92,7.862) -- (3.045,7.737) -- (3.215,7.692) -- (3.385,7.737) -- (3.509,7.862) -- cycle;
\node at (3.215,8.032) {\scalebox{1.417}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.129,7.192) -- (9.084,7.362) -- (8.959,7.486) -- (8.789,7.532) -- (8.619,7.486) -- (8.495,7.362) -- (8.449,7.192) -- (8.495,7.022) -- (8.619,6.897) -- (8.789,6.852) -- (8.959,6.897) -- (9.084,7.022) -- cycle;
\node at (8.789,7.192) {\scalebox{1.417}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.088,6.627) -- (7.043,6.797) -- (6.918,6.922) -- (6.748,6.967) -- (6.578,6.922) -- (6.454,6.797) -- (6.408,6.627) -- (6.454,6.457) -- (6.578,6.333) -- (6.748,6.287) -- (6.918,6.333) -- (7.043,6.457) -- cycle;
\node at (6.748,6.627) {\scalebox{1.417}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.166,7.119) -- (10.12,7.289) -- (9.996,7.413) -- (9.826,7.459) -- (9.656,7.413) -- (9.531,7.289) -- (9.486,7.119) -- (9.531,6.949) -- (9.656,6.824) -- (9.826,6.779) -- (9.996,6.824) -- (10.12,6.949) -- cycle;
\node at (9.826,7.119) {\scalebox{1.417}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.067,6.358) -- (10.021,6.528) -- (9.897,6.652) -- (9.727,6.698) -- (9.557,6.652) -- (9.432,6.528) -- (9.387,6.358) -- (9.432,6.188) -- (9.557,6.063) -- (9.727,6.018) -- (9.897,6.063) -- (10.021,6.188) -- cycle;
\node at (9.727,6.358) {\scalebox{1.417}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.956,4.184) -- (6.911,4.354) -- (6.786,4.479) -- (6.616,4.524) -- (6.446,4.479) -- (6.322,4.354) -- (6.276,4.184) -- (6.322,4.014) -- (6.446,3.89) -- (6.616,3.844) -- (6.786,3.89) -- (6.911,4.014) -- cycle;
\node at (6.616,4.184) {\scalebox{1.417}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.728,3.314) -- (3.682,3.484) -- (3.558,3.609) -- (3.388,3.654) -- (3.218,3.609) -- (3.093,3.484) -- (3.048,3.314) -- (3.093,3.144) -- (3.218,3.02) -- (3.388,2.974) -- (3.558,3.02) -- (3.682,3.144) -- cycle;
\node at (3.388,3.314) {\scalebox{1.417}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.225,3.955) -- (10.179,4.125) -- (10.055,4.249) -- (9.885,4.295) -- (9.715,4.249) -- (9.591,4.125) -- (9.545,3.955) -- (9.591,3.785) -- (9.715,3.66) -- (9.885,3.615) -- (10.055,3.66) -- (10.179,3.785) -- cycle;
\node at (9.885,3.955) {\scalebox{1.417}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.845,3.78) -- (11.8,3.95) -- (11.675,4.075) -- (11.505,4.12) -- (11.335,4.075) -- (11.211,3.95) -- (11.165,3.78) -- (11.211,3.61) -- (11.335,3.486) -- (11.505,3.44) -- (11.675,3.486) -- (11.8,3.61) -- cycle;
\node at (11.505,3.78) {\scalebox{1.417}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.377,2.218) -- (10.331,2.388) -- (10.207,2.512) -- (10.037,2.558) -- (9.867,2.512) -- (9.743,2.388) -- (9.697,2.218) -- (9.743,2.048) -- (9.867,1.923) -- (10.037,1.878) -- (10.207,1.923) -- (10.331,2.048) -- cycle;
\node at (10.037,2.218) {\scalebox{1.417}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.314,2.349) -- (5.268,2.519) -- (5.144,2.643) -- (4.974,2.689) -- (4.804,2.643) -- (4.679,2.519) -- (4.634,2.349) -- (4.679,2.179) -- (4.804,2.055) -- (4.974,2.009) -- (5.144,2.055) -- (5.268,2.179) -- cycle;
\node at (4.974,2.349) {\scalebox{1.417}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.101,5.61) -- (4.701,5.61) -- (4.701,6.21) -- (4.101,6.21) -- cycle;
\node at (4.401,5.91) {\scalebox{1.417}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.262,8.612) -- (2.862,8.612) -- (2.862,9.212) -- (2.262,9.212) -- cycle;
\node at (2.562,8.912) {\scalebox{1.417}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.782,3.536) -- (10.382,3.536) -- (10.382,4.136) -- (9.782,4.136) -- cycle;
\node at (10.082,3.836) {\scalebox{1.417}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.447,6.784) -- (11.047,6.784) -- (11.047,7.384) -- (10.447,7.384) -- cycle;
\node at (10.747,7.084) {\scalebox{1.417}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.331,2.337) -- (2.931,2.337) -- (2.931,2.937) -- (2.331,2.937) -- cycle;
\node at (2.631,2.637) {\scalebox{1.417}{\small e}};
\node at (0.765,9.85) {\scalebox{1.417}{\small A}};
\node at (8.888,8.792) {\scalebox{1.417}{\small B}};
\node at (9.046,6.482) {\scalebox{1.417}{\small C}};
\node at (3.812,6.102) {\scalebox{1.417}{\small D}};
\node at (11.398,5.848) {\scalebox{1.417}{\small E}};
\node at (9.061,1.805) {\scalebox{1.417}{\small F}};
\node at (11.744,1.32) {\scalebox{1.417}{\small G}};
\node at (0.947,0.95) {\scalebox{1.417}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.555,8.52) -- (12.555,9.62);
\draw[line width=0.5pt] (12.324,9.235) -- (12.555,9.62) -- (12.786,9.235);
\draw[line width=0.5pt] (12.252,9.07) -- (12.857,9.07);
\node at (12.555,10.005) {\scalebox{1.417}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① sentier des Prés & ⑦ rue du Stade & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑧ avenue de la Gare & Ⓑ Rond-point du Stade & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ rue de la Mairie & ⑨ rue de l'Église & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ chemin du Lavoir & ⑩ rue du Four & Ⓓ Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
⑤ allée des Peupliers & ⑪ rue du Pont & Ⓔ Rond-point du Pont & \textbf{e} la boulangerie \\ \hline
⑥ rue des Écoles & ⑫ quai aux Fleurs & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6316, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.255,9.47) -- (1.436,9.358) -- (1.621,9.251) -- (1.807,9.148) -- (1.997,9.049) -- (2.188,8.955) -- (2.382,8.865) -- (2.578,8.78) -- (2.776,8.7) -- (2.975,8.624) -- (3.176,8.553) -- (3.379,8.487) -- (3.583,8.425) -- (3.789,8.369) -- (3.996,8.317) -- (4.322,8.363) -- (4.65,8.4) -- (4.978,8.43) -- (5.307,8.452) -- (5.636,8.467) -- (5.966,8.473) -- (6.296,8.472) -- (6.626,8.463) -- (6.955,8.447) -- (7.284,8.423) -- (7.612,8.391) -- (7.939,8.351) -- (8.265,8.303) -- (8.59,8.248);
\draw[line width=0.5pt] (1.255,9.47) -- (1.517,9.252) -- (1.773,9.028) -- (2.025,8.798) -- (2.271,8.562) -- (2.511,8.32) -- (2.746,8.073) -- (2.975,7.82) -- (3.198,7.562) -- (3.414,7.298) -- (3.625,7.03) -- (3.829,6.757) -- (4.026,6.479) -- (4.217,6.197) -- (4.401,5.91);
\draw[line width=0.5pt] (8.59,8.248) -- (8.562,8.1) -- (8.538,7.952) -- (8.517,7.803) -- (8.5,7.653) -- (8.486,7.503) -- (8.476,7.353) -- (8.47,7.202) -- (8.466,7.051) -- (8.467,6.901) -- (8.471,6.75) -- (8.478,6.6) -- (8.489,6.45) -- (8.504,6.3) -- (8.522,6.15);
\draw[line width=0.5pt] (8.59,8.248) -- (8.319,8.037) -- (8.043,7.832) -- (7.762,7.633) -- (7.476,7.441) -- (7.185,7.256) -- (6.891,7.078) -- (6.592,6.907) -- (6.289,6.742) -- (5.983,6.585) -- (5.673,6.435) -- (5.36,6.293) -- (5.043,6.158) -- (4.724,6.03) -- (4.401,5.91);
\draw[line width=0.5pt] (8.59,8.248) -- (8.718,8.047) -- (8.851,7.849) -- (8.989,7.654) -- (9.132,7.462) -- (9.278,7.274) -- (9.43,7.089) -- (9.585,6.908) -- (9.745,6.73) -- (9.909,6.556) -- (10.077,6.386) -- (10.248,6.22) -- (10.424,6.059) -- (10.603,5.901) -- (10.786,5.748);
\draw[line width=0.5pt] (8.522,6.15) -- (8.687,6.147) -- (8.852,6.139) -- (9.016,6.127) -- (9.181,6.112) -- (9.344,6.093) -- (9.508,6.07) -- (9.671,6.043) -- (9.833,6.012) -- (9.994,5.977) -- (10.155,5.939) -- (10.315,5.897) -- (10.473,5.851) -- (10.63,5.801) -- (10.786,5.748);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,5.91) -- (4.668,5.609) -- (4.942,5.314) -- (5.222,5.025) -- (5.51,4.743) -- (5.804,4.468) -- (6.105,4.199) -- (6.412,3.938) -- (6.725,3.684) -- (7.043,3.438) -- (7.368,3.199) -- (7.698,2.968) -- (8.033,2.744) -- (8.373,2.529) -- (8.718,2.322);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,5.91) -- (4.243,5.552) -- (4.076,5.197) -- (3.901,4.846) -- (3.717,4.5) -- (3.525,4.157) -- (3.326,3.82) -- (3.118,3.487) -- (2.903,3.159) -- (2.68,2.836) -- (2.449,2.518) -- (2.211,2.206) -- (1.966,1.9) -- (1.714,1.6) -- (1.455,1.306);
\draw[line width=0.5pt] (10.786,5.748) -- (10.602,5.528) -- (10.424,5.303) -- (10.25,5.075) -- (10.082,4.842) -- (9.919,4.605) -- (9.762,4.364) -- (9.611,4.12) -- (9.465,3.873) -- (9.326,3.622) -- (9.192,3.368) -- (9.064,3.11) -- (8.943,2.85) -- (8.827,2.587) -- (8.718,2.322);
\draw[line width=0.5pt] (10.786,5.748) -- (10.864,5.466) -- (10.935,5.183) -- (10.999,4.898) -- (11.056,4.611) -- (11.107,4.323) -- (11.15,4.034) -- (11.188,3.744) -- (11.218,3.453) -- (11.241,3.161) -- (11.258,2.869) -- (11.267,2.577) -- (11.27,2.285) -- (11.266,1.993) -- (11.255,1.701);
\draw[line width=0.5pt] (8.718,2.322) -- (8.891,2.25) -- (9.066,2.183) -- (9.242,2.119) -- (9.42,2.06) -- (9.599,2.004) -- (9.779,1.953) -- (9.961,1.907) -- (10.143,1.864) -- (10.327,1.826) -- (10.511,1.792) -- (10.696,1.763) -- (10.882,1.738) -- (11.068,1.717) -- (11.255,1.701);
\draw[line width=0.5pt] (8.718,2.322) -- (8.449,2.306) -- (8.18,2.296) -- (7.911,2.292) -- (7.641,2.295) -- (7.372,2.304) -- (7.103,2.32) -- (6.834,2.341) -- (6.566,2.369) -- (6.299,2.404) -- (6.032,2.444) -- (5.767,2.491) -- (5.502,2.544) -- (5.24,2.603) -- (4.978,2.669) -- (4.714,2.611) -- (4.451,2.547) -- (4.189,2.476) -- (3.929,2.399) -- (3.671,2.317) -- (3.415,2.228) -- (3.16,2.133) -- (2.909,2.032) -- (2.659,1.925) -- (2.413,1.813) -- (2.169,1.695) -- (1.928,1.571) -- (1.69,1.441) -- (1.455,1.306);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.415,9.47) -- (1.393,9.55) -- (1.335,9.608) -- (1.255,9.63) -- (1.175,9.608) -- (1.116,9.55) -- (1.095,9.47) -- (1.116,9.39) -- (1.175,9.331) -- (1.255,9.31) -- (1.335,9.331) -- (1.393,9.39) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.75,8.248) -- (8.729,8.328) -- (8.67,8.387) -- (8.59,8.408) -- (8.51,8.387) -- (8.452,8.328) -- (8.43,8.248) -- (8.452,8.168) -- (8.51,8.11) -- (8.59,8.088) -- (8.67,8.11) -- (8.729,8.168) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.682,6.15) -- (8.661,6.23) -- (8.602,6.289) -- (8.522,6.31) -- (8.442,6.289) -- (8.383,6.23) -- (8.362,6.15) -- (8.383,6.07) -- (8.442,6.012) -- (8.522,5.99) -- (8.602,6.012) -- (8.661,6.07) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.561,5.91) -- (4.54,5.99) -- (4.481,6.049) -- (4.401,6.07) -- (4.321,6.049) -- (4.263,5.99) -- (4.241,5.91) -- (4.263,5.83) -- (4.321,5.772) -- (4.401,5.75) -- (4.481,5.772) -- (4.54,5.83) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.946,5.748) -- (10.925,5.828) -- (10.866,5.887) -- (10.786,5.908) -- (10.706,5.887) -- (10.648,5.828) -- (10.626,5.748) -- (10.648,5.668) -- (10.706,5.609) -- (10.786,5.588) -- (10.866,5.609) -- (10.925,5.668) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.878,2.322) -- (8.857,2.402) -- (8.798,2.461) -- (8.718,2.482) -- (8.638,2.461) -- (8.58,2.402) -- (8.558,2.322) -- (8.58,2.242) -- (8.638,2.184) -- (8.718,2.162) -- (8.798,2.184) -- (8.857,2.242) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.415,1.701) -- (11.393,1.781) -- (11.335,1.839) -- (11.255,1.861) -- (11.175,1.839) -- (11.116,1.781) -- (11.095,1.701) -- (11.116,1.621) -- (11.175,1.562) -- (11.255,1.541) -- (11.335,1.562) -- (11.393,1.621) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.615,1.306) -- (1.593,1.386) -- (1.535,1.445) -- (1.455,1.466) -- (1.375,1.445) -- (1.316,1.386) -- (1.295,1.306) -- (1.316,1.226) -- (1.375,1.168) -- (1.455,1.146) -- (1.535,1.168) -- (1.593,1.226) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.34,8.637) -- (4.294,8.807) -- (4.17,8.932) -- (4.0,8.977) -- (3.83,8.932) -- (3.705,8.807) -- (3.66,8.637) -- (3.705,8.467) -- (3.83,8.343) -- (4.0,8.297) -- (4.17,8.343) -- (4.294,8.467) -- cycle;
\node at (4.0,8.637) {\scalebox{1.583}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.555,8.032) -- (3.509,8.202) -- (3.385,8.326) -- (3.215,8.372) -- (3.045,8.326) -- (2.92,8.202) -- (2.875,8.032) -- (2.92,7.862) -- (3.045,7.737) -- (3.215,7.692) -- (3.385,7.737) -- (3.509,7.862) -- cycle;
\node at (3.215,8.032) {\scalebox{1.583}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.129,7.192) -- (9.084,7.362) -- (8.959,7.486) -- (8.789,7.532) -- (8.619,7.486) -- (8.495,7.362) -- (8.449,7.192) -- (8.495,7.022) -- (8.619,6.897) -- (8.789,6.852) -- (8.959,6.897) -- (9.084,7.022) -- cycle;
\node at (8.789,7.192) {\scalebox{1.583}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.088,6.627) -- (7.043,6.797) -- (6.918,6.922) -- (6.748,6.967) -- (6.578,6.922) -- (6.454,6.797) -- (6.408,6.627) -- (6.454,6.457) -- (6.578,6.333) -- (6.748,6.287) -- (6.918,6.333) -- (7.043,6.457) -- cycle;
\node at (6.748,6.627) {\scalebox{1.583}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.166,7.119) -- (10.12,7.289) -- (9.996,7.413) -- (9.826,7.459) -- (9.656,7.413) -- (9.531,7.289) -- (9.486,7.119) -- (9.531,6.949) -- (9.656,6.824) -- (9.826,6.779) -- (9.996,6.824) -- (10.12,6.949) -- cycle;
\node at (9.826,7.119) {\scalebox{1.583}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.067,6.358) -- (10.021,6.528) -- (9.897,6.652) -- (9.727,6.698) -- (9.557,6.652) -- (9.432,6.528) -- (9.387,6.358) -- (9.432,6.188) -- (9.557,6.063) -- (9.727,6.018) -- (9.897,6.063) -- (10.021,6.188) -- cycle;
\node at (9.727,6.358) {\scalebox{1.583}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.956,4.184) -- (6.911,4.354) -- (6.786,4.479) -- (6.616,4.524) -- (6.446,4.479) -- (6.322,4.354) -- (6.276,4.184) -- (6.322,4.014) -- (6.446,3.89) -- (6.616,3.844) -- (6.786,3.89) -- (6.911,4.014) -- cycle;
\node at (6.616,4.184) {\scalebox{1.583}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.728,3.314) -- (3.682,3.484) -- (3.558,3.609) -- (3.388,3.654) -- (3.218,3.609) -- (3.093,3.484) -- (3.048,3.314) -- (3.093,3.144) -- (3.218,3.02) -- (3.388,2.974) -- (3.558,3.02) -- (3.682,3.144) -- cycle;
\node at (3.388,3.314) {\scalebox{1.583}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.225,3.955) -- (10.179,4.125) -- (10.055,4.249) -- (9.885,4.295) -- (9.715,4.249) -- (9.591,4.125) -- (9.545,3.955) -- (9.591,3.785) -- (9.715,3.66) -- (9.885,3.615) -- (10.055,3.66) -- (10.179,3.785) -- cycle;
\node at (9.885,3.955) {\scalebox{1.583}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.845,3.78) -- (11.8,3.95) -- (11.675,4.075) -- (11.505,4.12) -- (11.335,4.075) -- (11.211,3.95) -- (11.165,3.78) -- (11.211,3.61) -- (11.335,3.486) -- (11.505,3.44) -- (11.675,3.486) -- (11.8,3.61) -- cycle;
\node at (11.505,3.78) {\scalebox{1.583}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.377,2.218) -- (10.331,2.388) -- (10.207,2.512) -- (10.037,2.558) -- (9.867,2.512) -- (9.743,2.388) -- (9.697,2.218) -- (9.743,2.048) -- (9.867,1.923) -- (10.037,1.878) -- (10.207,1.923) -- (10.331,2.048) -- cycle;
\node at (10.037,2.218) {\scalebox{1.583}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.314,2.349) -- (5.268,2.519) -- (5.144,2.643) -- (4.974,2.689) -- (4.804,2.643) -- (4.679,2.519) -- (4.634,2.349) -- (4.679,2.179) -- (4.804,2.055) -- (4.974,2.009) -- (5.144,2.055) -- (5.268,2.179) -- cycle;
\node at (4.974,2.349) {\scalebox{1.583}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.101,5.61) -- (4.701,5.61) -- (4.701,6.21) -- (4.101,6.21) -- cycle;
\node at (4.401,5.91) {\scalebox{1.583}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.262,8.612) -- (2.862,8.612) -- (2.862,9.212) -- (2.262,9.212) -- cycle;
\node at (2.562,8.912) {\scalebox{1.583}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.782,3.536) -- (10.382,3.536) -- (10.382,4.136) -- (9.782,4.136) -- cycle;
\node at (10.082,3.836) {\scalebox{1.583}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.447,6.784) -- (11.047,6.784) -- (11.047,7.384) -- (10.447,7.384) -- cycle;
\node at (10.747,7.084) {\scalebox{1.583}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.331,2.337) -- (2.931,2.337) -- (2.931,2.937) -- (2.331,2.937) -- cycle;
\node at (2.631,2.637) {\scalebox{1.583}{\small e}};
\node at (0.765,9.85) {\scalebox{1.583}{\small A}};
\node at (8.888,8.792) {\scalebox{1.583}{\small B}};
\node at (9.046,6.482) {\scalebox{1.583}{\small C}};
\node at (3.812,6.102) {\scalebox{1.583}{\small D}};
\node at (11.398,5.848) {\scalebox{1.583}{\small E}};
\node at (9.061,1.805) {\scalebox{1.583}{\small F}};
\node at (11.744,1.32) {\scalebox{1.583}{\small G}};
\node at (0.947,0.95) {\scalebox{1.583}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.555,8.52) -- (12.555,9.62);
\draw[line width=0.5pt] (12.324,9.235) -- (12.555,9.62) -- (12.786,9.235);
\draw[line width=0.5pt] (12.252,9.07) -- (12.857,9.07);
\node at (12.555,10.005) {\scalebox{1.583}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 4 & 4 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue Verte ②} vers le nord-ouest et atteint Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans le \textbf{sentier des Prés ①}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ③}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑥}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑩}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑫}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(H)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
