\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 246}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=246}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0246}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6814, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.384,8.353) -- (10.233,8.367) -- (10.081,8.376) -- (9.93,8.382) -- (9.778,8.385) -- (9.626,8.384) -- (9.474,8.38) -- (9.322,8.371) -- (9.171,8.36) -- (9.019,8.344) -- (8.869,8.326) -- (8.718,8.303) -- (8.569,8.278) -- (8.42,8.248) -- (8.271,8.215);
\draw[line width=0.5pt] (10.384,8.353) -- (10.49,8.095) -- (10.59,7.834) -- (10.683,7.57) -- (10.771,7.305) -- (10.852,7.037) -- (10.927,6.768) -- (10.995,6.496) -- (11.057,6.224) -- (11.113,5.95) -- (11.162,5.674) -- (11.205,5.398) -- (11.241,5.121) -- (11.27,4.843) -- (11.293,4.565);
\draw[line width=0.5pt] (8.271,8.215) -- (8.022,8.191) -- (7.773,8.161) -- (7.525,8.126) -- (7.277,8.084) -- (7.031,8.037) -- (6.785,7.983) -- (6.541,7.924) -- (6.299,7.86) -- (6.058,7.789) -- (5.819,7.713) -- (5.582,7.632) -- (5.346,7.545) -- (5.113,7.452) -- (4.883,7.354);
\draw[line width=0.5pt] (8.271,8.215) -- (8.308,7.945) -- (8.339,7.675) -- (8.363,7.403) -- (8.38,7.131) -- (8.392,6.859) -- (8.396,6.586) -- (8.395,6.314) -- (8.387,6.041) -- (8.373,5.769) -- (8.352,5.497) -- (8.325,5.226) -- (8.291,4.956) -- (8.251,4.686) -- (8.205,4.418) -- (8.116,4.224) -- (8.032,4.029) -- (7.953,3.831) -- (7.878,3.632) -- (7.808,3.431) -- (7.743,3.228) -- (7.682,3.024) -- (7.626,2.818) -- (7.575,2.612) -- (7.529,2.404) -- (7.488,2.195) -- (7.452,1.985) -- (7.42,1.775) -- (7.394,1.563);
\draw[line width=0.5pt] (4.883,7.354) -- (4.862,7.153) -- (4.847,6.952) -- (4.836,6.75) -- (4.83,6.548) -- (4.829,6.346) -- (4.833,6.143) -- (4.841,5.941) -- (4.854,5.74) -- (4.872,5.538) -- (4.894,5.337) -- (4.921,5.137) -- (4.953,4.937) -- (4.99,4.739) -- (5.031,4.541);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,4.857) -- (1.647,4.874) -- (1.909,4.886) -- (2.172,4.891) -- (2.434,4.89) -- (2.697,4.882) -- (2.959,4.869) -- (3.221,4.849) -- (3.483,4.824) -- (3.743,4.792) -- (4.003,4.754) -- (4.262,4.71) -- (4.52,4.66) -- (4.776,4.603) -- (5.031,4.541);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,4.857) -- (1.41,4.644) -- (1.44,4.432) -- (1.475,4.221) -- (1.516,4.011) -- (1.561,3.802) -- (1.611,3.593) -- (1.666,3.386) -- (1.725,3.181) -- (1.79,2.976) -- (1.859,2.774) -- (1.933,2.573) -- (2.012,2.374) -- (2.095,2.177) -- (2.183,1.982);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,4.565) -- (11.324,4.407) -- (11.352,4.249) -- (11.375,4.09) -- (11.395,3.93) -- (11.411,3.77) -- (11.423,3.61) -- (11.432,3.45) -- (11.436,3.289) -- (11.437,3.128) -- (11.434,2.968) -- (11.428,2.807) -- (11.417,2.647) -- (11.403,2.487) -- (11.385,2.327);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,4.565) -- (10.984,4.395) -- (10.679,4.217) -- (10.378,4.033) -- (10.082,3.841) -- (9.79,3.643) -- (9.502,3.437) -- (9.22,3.225) -- (8.943,3.006) -- (8.67,2.781) -- (8.404,2.55) -- (8.143,2.312) -- (7.887,2.068) -- (7.638,1.819) -- (7.394,1.563);
\draw[line width=0.5pt] (5.031,4.541) -- (4.857,4.329) -- (4.679,4.12) -- (4.495,3.916) -- (4.306,3.716) -- (4.113,3.521) -- (3.915,3.33) -- (3.713,3.144) -- (3.506,2.963) -- (3.296,2.786) -- (3.081,2.615) -- (2.862,2.449) -- (2.64,2.288) -- (2.413,2.132) -- (2.183,1.982);
\draw[line width=0.5pt] (5.031,4.541) -- (5.166,4.304) -- (5.307,4.071) -- (5.453,3.84) -- (5.604,3.613) -- (5.761,3.39) -- (5.923,3.171) -- (6.09,2.955) -- (6.262,2.743) -- (6.439,2.535) -- (6.621,2.332) -- (6.807,2.133) -- (6.999,1.939) -- (7.194,1.749) -- (7.394,1.563);
\draw[line width=0.5pt] (11.385,2.327) -- (11.111,2.229) -- (10.834,2.138) -- (10.555,2.053) -- (10.274,1.975) -- (9.991,1.904) -- (9.707,1.839) -- (9.421,1.781) -- (9.134,1.729) -- (8.846,1.685) -- (8.557,1.647) -- (8.267,1.616) -- (7.976,1.591) -- (7.685,1.574) -- (7.394,1.563);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.544,8.353) -- (10.523,8.433) -- (10.464,8.492) -- (10.384,8.513) -- (10.304,8.492) -- (10.246,8.433) -- (10.224,8.353) -- (10.246,8.273) -- (10.304,8.215) -- (10.384,8.193) -- (10.464,8.215) -- (10.523,8.273) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.431,8.215) -- (8.41,8.295) -- (8.351,8.354) -- (8.271,8.375) -- (8.191,8.354) -- (8.133,8.295) -- (8.111,8.215) -- (8.133,8.135) -- (8.191,8.077) -- (8.271,8.055) -- (8.351,8.077) -- (8.41,8.135) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.043,7.354) -- (5.021,7.434) -- (4.963,7.492) -- (4.883,7.514) -- (4.803,7.492) -- (4.744,7.434) -- (4.723,7.354) -- (4.744,7.274) -- (4.803,7.215) -- (4.883,7.194) -- (4.963,7.215) -- (5.021,7.274) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,4.857) -- (1.524,4.937) -- (1.465,4.995) -- (1.385,5.017) -- (1.305,4.995) -- (1.246,4.937) -- (1.225,4.857) -- (1.246,4.777) -- (1.305,4.718) -- (1.385,4.697) -- (1.465,4.718) -- (1.524,4.777) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.453,4.565) -- (11.432,4.645) -- (11.373,4.703) -- (11.293,4.725) -- (11.213,4.703) -- (11.155,4.645) -- (11.133,4.565) -- (11.155,4.485) -- (11.213,4.426) -- (11.293,4.405) -- (11.373,4.426) -- (11.432,4.485) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.191,4.541) -- (5.17,4.621) -- (5.111,4.68) -- (5.031,4.701) -- (4.951,4.68) -- (4.893,4.621) -- (4.871,4.541) -- (4.893,4.461) -- (4.951,4.403) -- (5.031,4.381) -- (5.111,4.403) -- (5.17,4.461) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,2.327) -- (11.524,2.407) -- (11.465,2.466) -- (11.385,2.487) -- (11.305,2.466) -- (11.246,2.407) -- (11.225,2.327) -- (11.246,2.247) -- (11.305,2.189) -- (11.385,2.167) -- (11.465,2.189) -- (11.524,2.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.343,1.982) -- (2.322,2.062) -- (2.263,2.12) -- (2.183,2.142) -- (2.103,2.12) -- (2.045,2.062) -- (2.023,1.982) -- (2.045,1.902) -- (2.103,1.843) -- (2.183,1.822) -- (2.263,1.843) -- (2.322,1.902) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.554,1.563) -- (7.533,1.643) -- (7.474,1.702) -- (7.394,1.723) -- (7.314,1.702) -- (7.256,1.643) -- (7.234,1.563) -- (7.256,1.483) -- (7.314,1.425) -- (7.394,1.403) -- (7.474,1.425) -- (7.533,1.483) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.683,8.052) -- (9.637,8.222) -- (9.513,8.347) -- (9.343,8.392) -- (9.173,8.347) -- (9.048,8.222) -- (9.003,8.052) -- (9.048,7.882) -- (9.173,7.758) -- (9.343,7.712) -- (9.513,7.758) -- (9.637,7.882) -- cycle;
\node at (9.343,8.052) {\scalebox{1.468}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.646,6.571) -- (11.601,6.741) -- (11.476,6.866) -- (11.306,6.911) -- (11.136,6.866) -- (11.012,6.741) -- (10.966,6.571) -- (11.012,6.401) -- (11.136,6.277) -- (11.306,6.231) -- (11.476,6.277) -- (11.601,6.401) -- cycle;
\node at (11.306,6.571) {\scalebox{1.468}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.96,7.614) -- (6.915,7.784) -- (6.79,7.909) -- (6.62,7.954) -- (6.45,7.909) -- (6.326,7.784) -- (6.28,7.614) -- (6.326,7.444) -- (6.45,7.32) -- (6.62,7.274) -- (6.79,7.32) -- (6.915,7.444) -- cycle;
\node at (6.62,7.614) {\scalebox{1.468}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.852,4.328) -- (8.807,4.498) -- (8.682,4.622) -- (8.512,4.668) -- (8.342,4.622) -- (8.218,4.498) -- (8.172,4.328) -- (8.218,4.158) -- (8.342,4.033) -- (8.512,3.988) -- (8.682,4.033) -- (8.807,4.158) -- cycle;
\node at (8.512,4.328) {\scalebox{1.468}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.5,5.958) -- (5.455,6.128) -- (5.33,6.253) -- (5.16,6.298) -- (4.99,6.253) -- (4.866,6.128) -- (4.82,5.958) -- (4.866,5.788) -- (4.99,5.664) -- (5.16,5.618) -- (5.33,5.664) -- (5.455,5.788) -- cycle;
\node at (5.16,5.958) {\scalebox{1.468}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.589,5.168) -- (3.543,5.338) -- (3.419,5.463) -- (3.249,5.508) -- (3.079,5.463) -- (2.954,5.338) -- (2.909,5.168) -- (2.954,4.998) -- (3.079,4.874) -- (3.249,4.828) -- (3.419,4.874) -- (3.543,4.998) -- cycle;
\node at (3.249,5.168) {\scalebox{1.468}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.314,3.472) -- (2.268,3.642) -- (2.144,3.766) -- (1.974,3.812) -- (1.804,3.766) -- (1.68,3.642) -- (1.634,3.472) -- (1.68,3.302) -- (1.804,3.178) -- (1.974,3.132) -- (2.144,3.178) -- (2.268,3.302) -- cycle;
\node at (1.974,3.472) {\scalebox{1.468}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.091,3.463) -- (12.046,3.633) -- (11.921,3.757) -- (11.751,3.803) -- (11.581,3.757) -- (11.457,3.633) -- (11.411,3.463) -- (11.457,3.293) -- (11.581,3.168) -- (11.751,3.123) -- (11.921,3.168) -- (12.046,3.293) -- cycle;
\node at (11.751,3.463) {\scalebox{1.468}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.755,2.971) -- (9.71,3.141) -- (9.585,3.266) -- (9.415,3.311) -- (9.245,3.266) -- (9.121,3.141) -- (9.075,2.971) -- (9.121,2.801) -- (9.245,2.677) -- (9.415,2.631) -- (9.585,2.677) -- (9.71,2.801) -- cycle;
\node at (9.415,2.971) {\scalebox{1.468}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.267,2.906) -- (4.221,3.076) -- (4.097,3.2) -- (3.927,3.246) -- (3.757,3.2) -- (3.632,3.076) -- (3.587,2.906) -- (3.632,2.736) -- (3.757,2.612) -- (3.927,2.566) -- (4.097,2.612) -- (4.221,2.736) -- cycle;
\node at (3.927,2.906) {\scalebox{1.468}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.681,3.154) -- (6.635,3.324) -- (6.511,3.448) -- (6.341,3.494) -- (6.171,3.448) -- (6.046,3.324) -- (6.001,3.154) -- (6.046,2.984) -- (6.171,2.859) -- (6.341,2.814) -- (6.511,2.859) -- (6.635,2.984) -- cycle;
\node at (6.341,3.154) {\scalebox{1.468}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.821,1.466) -- (9.776,1.636) -- (9.651,1.761) -- (9.481,1.806) -- (9.311,1.761) -- (9.187,1.636) -- (9.141,1.466) -- (9.187,1.296) -- (9.311,1.172) -- (9.481,1.126) -- (9.651,1.172) -- (9.776,1.296) -- cycle;
\node at (9.481,1.466) {\scalebox{1.468}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.731,4.241) -- (5.331,4.241) -- (5.331,4.841) -- (4.731,4.841) -- cycle;
\node at (5.031,4.541) {\scalebox{1.468}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.121,1.81) -- (10.721,1.81) -- (10.721,2.41) -- (10.121,2.41) -- cycle;
\node at (10.421,2.11) {\scalebox{1.468}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.742,2.881) -- (13.342,2.881) -- (13.342,3.481) -- (12.742,3.481) -- cycle;
\node at (13.042,3.181) {\scalebox{1.468}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.954,1.93) -- (6.554,1.93) -- (6.554,2.53) -- (5.954,2.53) -- cycle;
\node at (6.254,2.23) {\scalebox{1.468}{\small d}};
\node at (10.821,8.793) {\scalebox{1.468}{\small A}};
\node at (8.504,8.79) {\scalebox{1.468}{\small B}};
\node at (4.491,7.835) {\scalebox{1.468}{\small C}};
\node at (0.765,4.856) {\scalebox{1.468}{\small D}};
\node at (11.912,4.523) {\scalebox{1.468}{\small E}};
\node at (4.42,4.437) {\scalebox{1.468}{\small F}};
\node at (11.924,2.021) {\scalebox{1.468}{\small G}};
\node at (1.654,1.659) {\scalebox{1.468}{\small H}};
\node at (7.484,0.95) {\scalebox{1.468}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,7.403) -- (12.685,8.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,8.118) -- (12.685,8.503) -- (12.916,8.118);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,7.953) -- (12.987,7.953);
\node at (12.685,8.888) {\scalebox{1.468}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin Creux & ⑦ rue du Moulin & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑧ rue Neuve & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ rue de la Mairie & ⑨ chemin des Vignes & Ⓒ Place de la Fontaine & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ venelle du Chat & ⑩ quai aux Fleurs & Ⓓ Fontaine Notre-Dame & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ passage du Marché & ⑪ rue Verte & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑥ rue Pasteur & ⑫ rue du Pont & Ⓕ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6097, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.384,8.353) -- (10.233,8.367) -- (10.081,8.376) -- (9.93,8.382) -- (9.778,8.385) -- (9.626,8.384) -- (9.474,8.38) -- (9.322,8.371) -- (9.171,8.36) -- (9.019,8.344) -- (8.869,8.326) -- (8.718,8.303) -- (8.569,8.278) -- (8.42,8.248) -- (8.271,8.215);
\draw[line width=0.5pt] (10.384,8.353) -- (10.49,8.095) -- (10.59,7.834) -- (10.683,7.57) -- (10.771,7.305) -- (10.852,7.037) -- (10.927,6.768) -- (10.995,6.496) -- (11.057,6.224) -- (11.113,5.95) -- (11.162,5.674) -- (11.205,5.398) -- (11.241,5.121) -- (11.27,4.843) -- (11.293,4.565);
\draw[line width=0.5pt] (8.271,8.215) -- (8.022,8.191) -- (7.773,8.161) -- (7.525,8.126) -- (7.277,8.084) -- (7.031,8.037) -- (6.785,7.983) -- (6.541,7.924) -- (6.299,7.86) -- (6.058,7.789) -- (5.819,7.713) -- (5.582,7.632) -- (5.346,7.545) -- (5.113,7.452) -- (4.883,7.354);
\draw[line width=0.5pt] (8.271,8.215) -- (8.308,7.945) -- (8.339,7.675) -- (8.363,7.403) -- (8.38,7.131) -- (8.392,6.859) -- (8.396,6.586) -- (8.395,6.314) -- (8.387,6.041) -- (8.373,5.769) -- (8.352,5.497) -- (8.325,5.226) -- (8.291,4.956) -- (8.251,4.686) -- (8.205,4.418) -- (8.116,4.224) -- (8.032,4.029) -- (7.953,3.831) -- (7.878,3.632) -- (7.808,3.431) -- (7.743,3.228) -- (7.682,3.024) -- (7.626,2.818) -- (7.575,2.612) -- (7.529,2.404) -- (7.488,2.195) -- (7.452,1.985) -- (7.42,1.775) -- (7.394,1.563);
\draw[line width=0.5pt] (4.883,7.354) -- (4.862,7.153) -- (4.847,6.952) -- (4.836,6.75) -- (4.83,6.548) -- (4.829,6.346) -- (4.833,6.143) -- (4.841,5.941) -- (4.854,5.74) -- (4.872,5.538) -- (4.894,5.337) -- (4.921,5.137) -- (4.953,4.937) -- (4.99,4.739) -- (5.031,4.541);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,4.857) -- (1.647,4.874) -- (1.909,4.886) -- (2.172,4.891) -- (2.434,4.89) -- (2.697,4.882) -- (2.959,4.869) -- (3.221,4.849) -- (3.483,4.824) -- (3.743,4.792) -- (4.003,4.754) -- (4.262,4.71) -- (4.52,4.66) -- (4.776,4.603) -- (5.031,4.541);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,4.857) -- (1.41,4.644) -- (1.44,4.432) -- (1.475,4.221) -- (1.516,4.011) -- (1.561,3.802) -- (1.611,3.593) -- (1.666,3.386) -- (1.725,3.181) -- (1.79,2.976) -- (1.859,2.774) -- (1.933,2.573) -- (2.012,2.374) -- (2.095,2.177) -- (2.183,1.982);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,4.565) -- (11.324,4.407) -- (11.352,4.249) -- (11.375,4.09) -- (11.395,3.93) -- (11.411,3.77) -- (11.423,3.61) -- (11.432,3.45) -- (11.436,3.289) -- (11.437,3.128) -- (11.434,2.968) -- (11.428,2.807) -- (11.417,2.647) -- (11.403,2.487) -- (11.385,2.327);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,4.565) -- (10.984,4.395) -- (10.679,4.217) -- (10.378,4.033) -- (10.082,3.841) -- (9.79,3.643) -- (9.502,3.437) -- (9.22,3.225) -- (8.943,3.006) -- (8.67,2.781) -- (8.404,2.55) -- (8.143,2.312) -- (7.887,2.068) -- (7.638,1.819) -- (7.394,1.563);
\draw[line width=0.5pt] (5.031,4.541) -- (4.857,4.329) -- (4.679,4.12) -- (4.495,3.916) -- (4.306,3.716) -- (4.113,3.521) -- (3.915,3.33) -- (3.713,3.144) -- (3.506,2.963) -- (3.296,2.786) -- (3.081,2.615) -- (2.862,2.449) -- (2.64,2.288) -- (2.413,2.132) -- (2.183,1.982);
\draw[line width=0.5pt] (5.031,4.541) -- (5.166,4.304) -- (5.307,4.071) -- (5.453,3.84) -- (5.604,3.613) -- (5.761,3.39) -- (5.923,3.171) -- (6.09,2.955) -- (6.262,2.743) -- (6.439,2.535) -- (6.621,2.332) -- (6.807,2.133) -- (6.999,1.939) -- (7.194,1.749) -- (7.394,1.563);
\draw[line width=0.5pt] (11.385,2.327) -- (11.111,2.229) -- (10.834,2.138) -- (10.555,2.053) -- (10.274,1.975) -- (9.991,1.904) -- (9.707,1.839) -- (9.421,1.781) -- (9.134,1.729) -- (8.846,1.685) -- (8.557,1.647) -- (8.267,1.616) -- (7.976,1.591) -- (7.685,1.574) -- (7.394,1.563);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.544,8.353) -- (10.523,8.433) -- (10.464,8.492) -- (10.384,8.513) -- (10.304,8.492) -- (10.246,8.433) -- (10.224,8.353) -- (10.246,8.273) -- (10.304,8.215) -- (10.384,8.193) -- (10.464,8.215) -- (10.523,8.273) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.431,8.215) -- (8.41,8.295) -- (8.351,8.354) -- (8.271,8.375) -- (8.191,8.354) -- (8.133,8.295) -- (8.111,8.215) -- (8.133,8.135) -- (8.191,8.077) -- (8.271,8.055) -- (8.351,8.077) -- (8.41,8.135) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.043,7.354) -- (5.021,7.434) -- (4.963,7.492) -- (4.883,7.514) -- (4.803,7.492) -- (4.744,7.434) -- (4.723,7.354) -- (4.744,7.274) -- (4.803,7.215) -- (4.883,7.194) -- (4.963,7.215) -- (5.021,7.274) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,4.857) -- (1.524,4.937) -- (1.465,4.995) -- (1.385,5.017) -- (1.305,4.995) -- (1.246,4.937) -- (1.225,4.857) -- (1.246,4.777) -- (1.305,4.718) -- (1.385,4.697) -- (1.465,4.718) -- (1.524,4.777) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.453,4.565) -- (11.432,4.645) -- (11.373,4.703) -- (11.293,4.725) -- (11.213,4.703) -- (11.155,4.645) -- (11.133,4.565) -- (11.155,4.485) -- (11.213,4.426) -- (11.293,4.405) -- (11.373,4.426) -- (11.432,4.485) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.191,4.541) -- (5.17,4.621) -- (5.111,4.68) -- (5.031,4.701) -- (4.951,4.68) -- (4.893,4.621) -- (4.871,4.541) -- (4.893,4.461) -- (4.951,4.403) -- (5.031,4.381) -- (5.111,4.403) -- (5.17,4.461) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,2.327) -- (11.524,2.407) -- (11.465,2.466) -- (11.385,2.487) -- (11.305,2.466) -- (11.246,2.407) -- (11.225,2.327) -- (11.246,2.247) -- (11.305,2.189) -- (11.385,2.167) -- (11.465,2.189) -- (11.524,2.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.343,1.982) -- (2.322,2.062) -- (2.263,2.12) -- (2.183,2.142) -- (2.103,2.12) -- (2.045,2.062) -- (2.023,1.982) -- (2.045,1.902) -- (2.103,1.843) -- (2.183,1.822) -- (2.263,1.843) -- (2.322,1.902) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.554,1.563) -- (7.533,1.643) -- (7.474,1.702) -- (7.394,1.723) -- (7.314,1.702) -- (7.256,1.643) -- (7.234,1.563) -- (7.256,1.483) -- (7.314,1.425) -- (7.394,1.403) -- (7.474,1.425) -- (7.533,1.483) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.683,8.052) -- (9.637,8.222) -- (9.513,8.347) -- (9.343,8.392) -- (9.173,8.347) -- (9.048,8.222) -- (9.003,8.052) -- (9.048,7.882) -- (9.173,7.758) -- (9.343,7.712) -- (9.513,7.758) -- (9.637,7.882) -- cycle;
\node at (9.343,8.052) {\scalebox{1.64}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.646,6.571) -- (11.601,6.741) -- (11.476,6.866) -- (11.306,6.911) -- (11.136,6.866) -- (11.012,6.741) -- (10.966,6.571) -- (11.012,6.401) -- (11.136,6.277) -- (11.306,6.231) -- (11.476,6.277) -- (11.601,6.401) -- cycle;
\node at (11.306,6.571) {\scalebox{1.64}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.96,7.614) -- (6.915,7.784) -- (6.79,7.909) -- (6.62,7.954) -- (6.45,7.909) -- (6.326,7.784) -- (6.28,7.614) -- (6.326,7.444) -- (6.45,7.32) -- (6.62,7.274) -- (6.79,7.32) -- (6.915,7.444) -- cycle;
\node at (6.62,7.614) {\scalebox{1.64}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.852,4.328) -- (8.807,4.498) -- (8.682,4.622) -- (8.512,4.668) -- (8.342,4.622) -- (8.218,4.498) -- (8.172,4.328) -- (8.218,4.158) -- (8.342,4.033) -- (8.512,3.988) -- (8.682,4.033) -- (8.807,4.158) -- cycle;
\node at (8.512,4.328) {\scalebox{1.64}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.5,5.958) -- (5.455,6.128) -- (5.33,6.253) -- (5.16,6.298) -- (4.99,6.253) -- (4.866,6.128) -- (4.82,5.958) -- (4.866,5.788) -- (4.99,5.664) -- (5.16,5.618) -- (5.33,5.664) -- (5.455,5.788) -- cycle;
\node at (5.16,5.958) {\scalebox{1.64}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.589,5.168) -- (3.543,5.338) -- (3.419,5.463) -- (3.249,5.508) -- (3.079,5.463) -- (2.954,5.338) -- (2.909,5.168) -- (2.954,4.998) -- (3.079,4.874) -- (3.249,4.828) -- (3.419,4.874) -- (3.543,4.998) -- cycle;
\node at (3.249,5.168) {\scalebox{1.64}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.314,3.472) -- (2.268,3.642) -- (2.144,3.766) -- (1.974,3.812) -- (1.804,3.766) -- (1.68,3.642) -- (1.634,3.472) -- (1.68,3.302) -- (1.804,3.178) -- (1.974,3.132) -- (2.144,3.178) -- (2.268,3.302) -- cycle;
\node at (1.974,3.472) {\scalebox{1.64}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.091,3.463) -- (12.046,3.633) -- (11.921,3.757) -- (11.751,3.803) -- (11.581,3.757) -- (11.457,3.633) -- (11.411,3.463) -- (11.457,3.293) -- (11.581,3.168) -- (11.751,3.123) -- (11.921,3.168) -- (12.046,3.293) -- cycle;
\node at (11.751,3.463) {\scalebox{1.64}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.755,2.971) -- (9.71,3.141) -- (9.585,3.266) -- (9.415,3.311) -- (9.245,3.266) -- (9.121,3.141) -- (9.075,2.971) -- (9.121,2.801) -- (9.245,2.677) -- (9.415,2.631) -- (9.585,2.677) -- (9.71,2.801) -- cycle;
\node at (9.415,2.971) {\scalebox{1.64}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.267,2.906) -- (4.221,3.076) -- (4.097,3.2) -- (3.927,3.246) -- (3.757,3.2) -- (3.632,3.076) -- (3.587,2.906) -- (3.632,2.736) -- (3.757,2.612) -- (3.927,2.566) -- (4.097,2.612) -- (4.221,2.736) -- cycle;
\node at (3.927,2.906) {\scalebox{1.64}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.681,3.154) -- (6.635,3.324) -- (6.511,3.448) -- (6.341,3.494) -- (6.171,3.448) -- (6.046,3.324) -- (6.001,3.154) -- (6.046,2.984) -- (6.171,2.859) -- (6.341,2.814) -- (6.511,2.859) -- (6.635,2.984) -- cycle;
\node at (6.341,3.154) {\scalebox{1.64}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.821,1.466) -- (9.776,1.636) -- (9.651,1.761) -- (9.481,1.806) -- (9.311,1.761) -- (9.187,1.636) -- (9.141,1.466) -- (9.187,1.296) -- (9.311,1.172) -- (9.481,1.126) -- (9.651,1.172) -- (9.776,1.296) -- cycle;
\node at (9.481,1.466) {\scalebox{1.64}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.731,4.241) -- (5.331,4.241) -- (5.331,4.841) -- (4.731,4.841) -- cycle;
\node at (5.031,4.541) {\scalebox{1.64}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.121,1.81) -- (10.721,1.81) -- (10.721,2.41) -- (10.121,2.41) -- cycle;
\node at (10.421,2.11) {\scalebox{1.64}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.742,2.881) -- (13.342,2.881) -- (13.342,3.481) -- (12.742,3.481) -- cycle;
\node at (13.042,3.181) {\scalebox{1.64}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.954,1.93) -- (6.554,1.93) -- (6.554,2.53) -- (5.954,2.53) -- cycle;
\node at (6.254,2.23) {\scalebox{1.64}{\small d}};
\node at (10.821,8.793) {\scalebox{1.64}{\small A}};
\node at (8.504,8.79) {\scalebox{1.64}{\small B}};
\node at (4.491,7.835) {\scalebox{1.64}{\small C}};
\node at (0.765,4.856) {\scalebox{1.64}{\small D}};
\node at (11.912,4.523) {\scalebox{1.64}{\small E}};
\node at (4.42,4.437) {\scalebox{1.64}{\small F}};
\node at (11.924,2.021) {\scalebox{1.64}{\small G}};
\node at (1.654,1.659) {\scalebox{1.64}{\small H}};
\node at (7.484,0.95) {\scalebox{1.64}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,7.403) -- (12.685,8.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,8.118) -- (12.685,8.503) -- (12.916,8.118);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,7.953) -- (12.987,7.953);
\node at (12.685,8.888) {\scalebox{1.64}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 2 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{E} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{F}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{E}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point des Vaches \textbf{(B)}, prend le \textbf{chemin Creux ①} vers l'est et atteint Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Neuve ⑧}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑫}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ④}, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ③}, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑤}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑩}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑪}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\end{document}
