\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 247}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=247}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0247}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6994, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.897,8.362) -- (5.106,8.269) -- (5.317,8.181) -- (5.53,8.098) -- (5.745,8.019) -- (5.962,7.946) -- (6.18,7.878) -- (6.4,7.815) -- (6.621,7.757) -- (6.844,7.705) -- (7.068,7.657) -- (7.293,7.615) -- (7.519,7.579) -- (7.745,7.547) -- (7.972,7.521);
\draw[line width=0.5pt] (4.897,8.362) -- (4.889,8.13) -- (4.875,7.898) -- (4.855,7.666) -- (4.831,7.434) -- (4.8,7.204) -- (4.765,6.974) -- (4.723,6.744) -- (4.677,6.516) -- (4.625,6.289) -- (4.568,6.064) -- (4.506,5.839) -- (4.438,5.617) -- (4.365,5.396) -- (4.287,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (11.381,7.985) -- (11.135,7.99) -- (10.888,7.988) -- (10.641,7.981) -- (10.395,7.968) -- (10.148,7.949) -- (9.903,7.924) -- (9.658,7.894) -- (9.413,7.858) -- (9.17,7.816) -- (8.928,7.768) -- (8.687,7.715) -- (8.447,7.656) -- (8.209,7.592) -- (7.972,7.521);
\draw[line width=0.5pt] (11.381,7.985) -- (11.366,7.715) -- (11.344,7.446) -- (11.315,7.177) -- (11.281,6.908) -- (11.24,6.641) -- (11.192,6.374) -- (11.139,6.109) -- (11.079,5.844) -- (11.013,5.582) -- (10.941,5.321) -- (10.863,5.062) -- (10.779,4.805) -- (10.689,4.55) -- (10.592,4.297);
\draw[line width=0.5pt] (7.972,7.521) -- (7.686,7.396) -- (7.402,7.263) -- (7.121,7.124) -- (6.844,6.978) -- (6.57,6.825) -- (6.299,6.666) -- (6.033,6.501) -- (5.77,6.33) -- (5.512,6.152) -- (5.258,5.969) -- (5.008,5.779) -- (4.763,5.584) -- (4.522,5.383) -- (4.287,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (7.972,7.521) -- (8.038,7.342) -- (8.099,7.161) -- (8.156,6.979) -- (8.208,6.796) -- (8.257,6.611) -- (8.301,6.425) -- (8.34,6.238) -- (8.375,6.05) -- (8.406,5.862) -- (8.432,5.673) -- (8.454,5.483) -- (8.471,5.293) -- (8.484,5.103) -- (8.493,4.912) -- (8.434,4.701) -- (8.381,4.489) -- (8.333,4.275) -- (8.29,4.06) -- (8.252,3.845) -- (8.219,3.628) -- (8.191,3.411) -- (8.168,3.193) -- (8.15,2.975) -- (8.138,2.756) -- (8.13,2.537) -- (8.128,2.318) -- (8.131,2.099) -- (8.139,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (1.381,5.348) -- (1.585,5.304) -- (1.79,5.265) -- (1.996,5.231) -- (2.203,5.201) -- (2.411,5.177) -- (2.619,5.157) -- (2.827,5.143) -- (3.036,5.133) -- (3.245,5.128) -- (3.453,5.128) -- (3.662,5.133) -- (3.871,5.142) -- (4.079,5.157) -- (4.287,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (4.287,5.177) -- (4.596,4.985) -- (4.9,4.787) -- (5.2,4.581) -- (5.495,4.368) -- (5.785,4.148) -- (6.07,3.921) -- (6.349,3.688) -- (6.623,3.448) -- (6.891,3.202) -- (7.153,2.949) -- (7.409,2.691) -- (7.659,2.427) -- (7.902,2.156) -- (8.139,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (4.287,5.177) -- (4.256,4.915) -- (4.231,4.653) -- (4.212,4.39) -- (4.2,4.126) -- (4.193,3.862) -- (4.193,3.598) -- (4.199,3.335) -- (4.212,3.071) -- (4.23,2.808) -- (4.255,2.545) -- (4.286,2.283) -- (4.323,2.022) -- (4.366,1.762) -- (4.415,1.503);
\draw[line width=0.5pt] (4.287,5.177) -- (4.155,4.883) -- (4.015,4.593) -- (3.869,4.306) -- (3.717,4.022) -- (3.557,3.742) -- (3.391,3.466) -- (3.219,3.194) -- (3.04,2.926) -- (2.855,2.662) -- (2.663,2.402) -- (2.466,2.148) -- (2.263,1.898) -- (2.054,1.653) -- (1.84,1.413);
\draw[line width=0.5pt] (10.592,4.297) -- (10.392,4.153) -- (10.195,4.003) -- (10.002,3.85) -- (9.812,3.691) -- (9.626,3.529) -- (9.444,3.361) -- (9.266,3.19) -- (9.092,3.015) -- (8.922,2.835) -- (8.756,2.652) -- (8.595,2.464) -- (8.438,2.273) -- (8.286,2.079) -- (8.139,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (8.139,1.881) -- (7.879,1.813) -- (7.618,1.752) -- (7.355,1.697) -- (7.091,1.648) -- (6.826,1.605) -- (6.56,1.569) -- (6.293,1.538) -- (6.025,1.514) -- (5.757,1.497) -- (5.488,1.485) -- (5.22,1.48) -- (4.951,1.482) -- (4.683,1.489) -- (4.415,1.503);
\draw[line width=0.5pt] (4.415,1.503) -- (4.232,1.525) -- (4.048,1.542) -- (3.863,1.555) -- (3.678,1.564) -- (3.494,1.568) -- (3.309,1.568) -- (3.124,1.564) -- (2.939,1.556) -- (2.754,1.543) -- (2.57,1.525) -- (2.387,1.504) -- (2.203,1.478) -- (2.021,1.447) -- (1.84,1.413);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.057,8.362) -- (5.036,8.442) -- (4.977,8.501) -- (4.897,8.522) -- (4.817,8.501) -- (4.759,8.442) -- (4.737,8.362) -- (4.759,8.282) -- (4.817,8.224) -- (4.897,8.202) -- (4.977,8.224) -- (5.036,8.282) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.541,7.985) -- (11.52,8.065) -- (11.461,8.124) -- (11.381,8.145) -- (11.301,8.124) -- (11.243,8.065) -- (11.221,7.985) -- (11.243,7.905) -- (11.301,7.847) -- (11.381,7.825) -- (11.461,7.847) -- (11.52,7.905) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.132,7.521) -- (8.111,7.601) -- (8.052,7.66) -- (7.972,7.681) -- (7.892,7.66) -- (7.834,7.601) -- (7.812,7.521) -- (7.834,7.441) -- (7.892,7.383) -- (7.972,7.361) -- (8.052,7.383) -- (8.111,7.441) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.541,5.348) -- (1.52,5.428) -- (1.461,5.487) -- (1.381,5.508) -- (1.301,5.487) -- (1.243,5.428) -- (1.221,5.348) -- (1.243,5.268) -- (1.301,5.209) -- (1.381,5.188) -- (1.461,5.209) -- (1.52,5.268) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.447,5.177) -- (4.425,5.257) -- (4.367,5.315) -- (4.287,5.337) -- (4.207,5.315) -- (4.148,5.257) -- (4.127,5.177) -- (4.148,5.097) -- (4.207,5.038) -- (4.287,5.017) -- (4.367,5.038) -- (4.425,5.097) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.752,4.297) -- (10.731,4.377) -- (10.672,4.435) -- (10.592,4.457) -- (10.512,4.435) -- (10.454,4.377) -- (10.432,4.297) -- (10.454,4.217) -- (10.512,4.158) -- (10.592,4.137) -- (10.672,4.158) -- (10.731,4.217) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.299,1.881) -- (8.278,1.961) -- (8.219,2.019) -- (8.139,2.041) -- (8.059,2.019) -- (8.0,1.961) -- (7.979,1.881) -- (8.0,1.801) -- (8.059,1.742) -- (8.139,1.721) -- (8.219,1.742) -- (8.278,1.801) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.575,1.503) -- (4.554,1.583) -- (4.495,1.642) -- (4.415,1.663) -- (4.335,1.642) -- (4.276,1.583) -- (4.255,1.503) -- (4.276,1.423) -- (4.335,1.365) -- (4.415,1.343) -- (4.495,1.365) -- (4.554,1.423) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.0,1.413) -- (1.978,1.493) -- (1.92,1.551) -- (1.84,1.573) -- (1.76,1.551) -- (1.701,1.493) -- (1.68,1.413) -- (1.701,1.333) -- (1.76,1.274) -- (1.84,1.253) -- (1.92,1.274) -- (1.978,1.333) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.824,8.124) -- (6.779,8.294) -- (6.654,8.418) -- (6.484,8.464) -- (6.314,8.418) -- (6.19,8.294) -- (6.144,8.124) -- (6.19,7.954) -- (6.314,7.829) -- (6.484,7.784) -- (6.654,7.829) -- (6.779,7.954) -- cycle;
\node at (6.484,8.124) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.378,6.684) -- (5.332,6.854) -- (5.208,6.979) -- (5.038,7.024) -- (4.868,6.979) -- (4.743,6.854) -- (4.698,6.684) -- (4.743,6.514) -- (4.868,6.39) -- (5.038,6.344) -- (5.208,6.39) -- (5.332,6.514) -- cycle;
\node at (5.038,6.684) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.041,7.577) -- (9.995,7.747) -- (9.871,7.871) -- (9.701,7.917) -- (9.531,7.871) -- (9.406,7.747) -- (9.361,7.577) -- (9.406,7.407) -- (9.531,7.282) -- (9.701,7.237) -- (9.871,7.282) -- (9.995,7.407) -- cycle;
\node at (9.701,7.577) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.792,6.042) -- (11.746,6.212) -- (11.622,6.336) -- (11.452,6.382) -- (11.282,6.336) -- (11.157,6.212) -- (11.112,6.042) -- (11.157,5.872) -- (11.282,5.747) -- (11.452,5.702) -- (11.622,5.747) -- (11.746,5.872) -- cycle;
\node at (11.452,6.042) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.545,6.231) -- (6.499,6.401) -- (6.375,6.526) -- (6.205,6.571) -- (6.035,6.526) -- (5.91,6.401) -- (5.865,6.231) -- (5.91,6.061) -- (6.035,5.937) -- (6.205,5.891) -- (6.375,5.937) -- (6.499,6.061) -- cycle;
\node at (6.205,6.231) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.15,4.872) -- (9.105,5.042) -- (8.98,5.167) -- (8.81,5.212) -- (8.64,5.167) -- (8.516,5.042) -- (8.47,4.872) -- (8.516,4.702) -- (8.64,4.578) -- (8.81,4.532) -- (8.98,4.578) -- (9.105,4.702) -- cycle;
\node at (8.81,4.872) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.186,5.462) -- (3.14,5.632) -- (3.016,5.756) -- (2.846,5.802) -- (2.676,5.756) -- (2.551,5.632) -- (2.506,5.462) -- (2.551,5.292) -- (2.676,5.168) -- (2.846,5.122) -- (3.016,5.168) -- (3.14,5.292) -- cycle;
\node at (2.846,5.462) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.897,3.931) -- (6.851,4.101) -- (6.727,4.225) -- (6.557,4.271) -- (6.387,4.225) -- (6.262,4.101) -- (6.217,3.931) -- (6.262,3.761) -- (6.387,3.636) -- (6.557,3.591) -- (6.727,3.636) -- (6.851,3.761) -- cycle;
\node at (6.557,3.931) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.859,3.346) -- (4.814,3.516) -- (4.689,3.64) -- (4.519,3.686) -- (4.349,3.64) -- (4.225,3.516) -- (4.179,3.346) -- (4.225,3.176) -- (4.349,3.051) -- (4.519,3.006) -- (4.689,3.051) -- (4.814,3.176) -- cycle;
\node at (4.519,3.346) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.827,3.019) -- (3.781,3.189) -- (3.657,3.314) -- (3.487,3.359) -- (3.317,3.314) -- (3.192,3.189) -- (3.147,3.019) -- (3.192,2.849) -- (3.317,2.725) -- (3.487,2.679) -- (3.657,2.725) -- (3.781,2.849) -- cycle;
\node at (3.487,3.019) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.83,2.962) -- (9.785,3.132) -- (9.66,3.256) -- (9.49,3.302) -- (9.32,3.256) -- (9.196,3.132) -- (9.15,2.962) -- (9.196,2.792) -- (9.32,2.668) -- (9.49,2.622) -- (9.66,2.668) -- (9.785,2.792) -- cycle;
\node at (9.49,2.962) {\scalebox{1.43}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.665,1.22) -- (6.619,1.39) -- (6.495,1.514) -- (6.325,1.56) -- (6.155,1.514) -- (6.03,1.39) -- (5.985,1.22) -- (6.03,1.05) -- (6.155,0.925) -- (6.325,0.88) -- (6.495,0.925) -- (6.619,1.05) -- cycle;
\node at (6.325,1.22) {\scalebox{1.43}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.475,1.244) -- (3.429,1.414) -- (3.305,1.539) -- (3.135,1.584) -- (2.965,1.539) -- (2.84,1.414) -- (2.795,1.244) -- (2.84,1.074) -- (2.965,0.95) -- (3.135,0.904) -- (3.305,0.95) -- (3.429,1.074) -- cycle;
\node at (3.135,1.244) {\scalebox{1.43}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.672,7.221) -- (8.272,7.221) -- (8.272,7.821) -- (7.672,7.821) -- cycle;
\node at (7.972,7.521) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.306,1.951) -- (10.906,1.951) -- (10.906,2.551) -- (10.306,2.551) -- cycle;
\node at (10.606,2.251) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.302,1.799) -- (3.902,1.799) -- (3.902,2.399) -- (3.302,2.399) -- cycle;
\node at (3.602,2.099) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.111,2.961) -- (7.711,2.961) -- (7.711,3.561) -- (7.111,3.561) -- cycle;
\node at (7.411,3.261) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.336,7.676) -- (10.936,7.676) -- (10.936,8.276) -- (10.336,8.276) -- cycle;
\node at (10.636,7.976) {\scalebox{1.43}{\small e}};
\node at (4.697,8.949) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (11.914,8.303) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (8.326,8.03) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (0.765,5.415) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (3.678,5.293) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (11.208,4.224) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (8.491,1.371) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (4.135,0.95) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\node at (1.356,1.025) {\scalebox{1.43}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.681,7.412) -- (12.681,8.512);
\draw[line width=0.5pt] (12.45,8.127) -- (12.681,8.512) -- (12.912,8.127);
\draw[line width=0.5pt] (12.379,7.962) -- (12.984,7.962);
\node at (12.681,8.897) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Pont & ⑧ rue du Stade & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑨ rue des Écoles & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue du Four & ⑩ sentier des Prés & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue du Moulin & ⑪ chemin du Lavoir & Ⓓ Place du Marché & \textbf{d} le stade \\ \hline
⑤ rue du Puits & ⑫ allée des Peupliers & Ⓔ Carrefour du Lavoir & \textbf{e} la mairie \\ \hline
⑥ quai aux Fleurs & ⑬ rue Pasteur & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
⑦ impasse du Vieux-Four &  & Ⓖ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6257, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.897,8.362) -- (5.106,8.269) -- (5.317,8.181) -- (5.53,8.098) -- (5.745,8.019) -- (5.962,7.946) -- (6.18,7.878) -- (6.4,7.815) -- (6.621,7.757) -- (6.844,7.705) -- (7.068,7.657) -- (7.293,7.615) -- (7.519,7.579) -- (7.745,7.547) -- (7.972,7.521);
\draw[line width=0.5pt] (4.897,8.362) -- (4.889,8.13) -- (4.875,7.898) -- (4.855,7.666) -- (4.831,7.434) -- (4.8,7.204) -- (4.765,6.974) -- (4.723,6.744) -- (4.677,6.516) -- (4.625,6.289) -- (4.568,6.064) -- (4.506,5.839) -- (4.438,5.617) -- (4.365,5.396) -- (4.287,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (11.381,7.985) -- (11.135,7.99) -- (10.888,7.988) -- (10.641,7.981) -- (10.395,7.968) -- (10.148,7.949) -- (9.903,7.924) -- (9.658,7.894) -- (9.413,7.858) -- (9.17,7.816) -- (8.928,7.768) -- (8.687,7.715) -- (8.447,7.656) -- (8.209,7.592) -- (7.972,7.521);
\draw[line width=0.5pt] (11.381,7.985) -- (11.366,7.715) -- (11.344,7.446) -- (11.315,7.177) -- (11.281,6.908) -- (11.24,6.641) -- (11.192,6.374) -- (11.139,6.109) -- (11.079,5.844) -- (11.013,5.582) -- (10.941,5.321) -- (10.863,5.062) -- (10.779,4.805) -- (10.689,4.55) -- (10.592,4.297);
\draw[line width=0.5pt] (7.972,7.521) -- (7.686,7.396) -- (7.402,7.263) -- (7.121,7.124) -- (6.844,6.978) -- (6.57,6.825) -- (6.299,6.666) -- (6.033,6.501) -- (5.77,6.33) -- (5.512,6.152) -- (5.258,5.969) -- (5.008,5.779) -- (4.763,5.584) -- (4.522,5.383) -- (4.287,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (7.972,7.521) -- (8.038,7.342) -- (8.099,7.161) -- (8.156,6.979) -- (8.208,6.796) -- (8.257,6.611) -- (8.301,6.425) -- (8.34,6.238) -- (8.375,6.05) -- (8.406,5.862) -- (8.432,5.673) -- (8.454,5.483) -- (8.471,5.293) -- (8.484,5.103) -- (8.493,4.912) -- (8.434,4.701) -- (8.381,4.489) -- (8.333,4.275) -- (8.29,4.06) -- (8.252,3.845) -- (8.219,3.628) -- (8.191,3.411) -- (8.168,3.193) -- (8.15,2.975) -- (8.138,2.756) -- (8.13,2.537) -- (8.128,2.318) -- (8.131,2.099) -- (8.139,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (1.381,5.348) -- (1.585,5.304) -- (1.79,5.265) -- (1.996,5.231) -- (2.203,5.201) -- (2.411,5.177) -- (2.619,5.157) -- (2.827,5.143) -- (3.036,5.133) -- (3.245,5.128) -- (3.453,5.128) -- (3.662,5.133) -- (3.871,5.142) -- (4.079,5.157) -- (4.287,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (4.287,5.177) -- (4.596,4.985) -- (4.9,4.787) -- (5.2,4.581) -- (5.495,4.368) -- (5.785,4.148) -- (6.07,3.921) -- (6.349,3.688) -- (6.623,3.448) -- (6.891,3.202) -- (7.153,2.949) -- (7.409,2.691) -- (7.659,2.427) -- (7.902,2.156) -- (8.139,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (4.287,5.177) -- (4.256,4.915) -- (4.231,4.653) -- (4.212,4.39) -- (4.2,4.126) -- (4.193,3.862) -- (4.193,3.598) -- (4.199,3.335) -- (4.212,3.071) -- (4.23,2.808) -- (4.255,2.545) -- (4.286,2.283) -- (4.323,2.022) -- (4.366,1.762) -- (4.415,1.503);
\draw[line width=0.5pt] (4.287,5.177) -- (4.155,4.883) -- (4.015,4.593) -- (3.869,4.306) -- (3.717,4.022) -- (3.557,3.742) -- (3.391,3.466) -- (3.219,3.194) -- (3.04,2.926) -- (2.855,2.662) -- (2.663,2.402) -- (2.466,2.148) -- (2.263,1.898) -- (2.054,1.653) -- (1.84,1.413);
\draw[line width=0.5pt] (10.592,4.297) -- (10.392,4.153) -- (10.195,4.003) -- (10.002,3.85) -- (9.812,3.691) -- (9.626,3.529) -- (9.444,3.361) -- (9.266,3.19) -- (9.092,3.015) -- (8.922,2.835) -- (8.756,2.652) -- (8.595,2.464) -- (8.438,2.273) -- (8.286,2.079) -- (8.139,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (8.139,1.881) -- (7.879,1.813) -- (7.618,1.752) -- (7.355,1.697) -- (7.091,1.648) -- (6.826,1.605) -- (6.56,1.569) -- (6.293,1.538) -- (6.025,1.514) -- (5.757,1.497) -- (5.488,1.485) -- (5.22,1.48) -- (4.951,1.482) -- (4.683,1.489) -- (4.415,1.503);
\draw[line width=0.5pt] (4.415,1.503) -- (4.232,1.525) -- (4.048,1.542) -- (3.863,1.555) -- (3.678,1.564) -- (3.494,1.568) -- (3.309,1.568) -- (3.124,1.564) -- (2.939,1.556) -- (2.754,1.543) -- (2.57,1.525) -- (2.387,1.504) -- (2.203,1.478) -- (2.021,1.447) -- (1.84,1.413);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.057,8.362) -- (5.036,8.442) -- (4.977,8.501) -- (4.897,8.522) -- (4.817,8.501) -- (4.759,8.442) -- (4.737,8.362) -- (4.759,8.282) -- (4.817,8.224) -- (4.897,8.202) -- (4.977,8.224) -- (5.036,8.282) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.541,7.985) -- (11.52,8.065) -- (11.461,8.124) -- (11.381,8.145) -- (11.301,8.124) -- (11.243,8.065) -- (11.221,7.985) -- (11.243,7.905) -- (11.301,7.847) -- (11.381,7.825) -- (11.461,7.847) -- (11.52,7.905) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.132,7.521) -- (8.111,7.601) -- (8.052,7.66) -- (7.972,7.681) -- (7.892,7.66) -- (7.834,7.601) -- (7.812,7.521) -- (7.834,7.441) -- (7.892,7.383) -- (7.972,7.361) -- (8.052,7.383) -- (8.111,7.441) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.541,5.348) -- (1.52,5.428) -- (1.461,5.487) -- (1.381,5.508) -- (1.301,5.487) -- (1.243,5.428) -- (1.221,5.348) -- (1.243,5.268) -- (1.301,5.209) -- (1.381,5.188) -- (1.461,5.209) -- (1.52,5.268) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.447,5.177) -- (4.425,5.257) -- (4.367,5.315) -- (4.287,5.337) -- (4.207,5.315) -- (4.148,5.257) -- (4.127,5.177) -- (4.148,5.097) -- (4.207,5.038) -- (4.287,5.017) -- (4.367,5.038) -- (4.425,5.097) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.752,4.297) -- (10.731,4.377) -- (10.672,4.435) -- (10.592,4.457) -- (10.512,4.435) -- (10.454,4.377) -- (10.432,4.297) -- (10.454,4.217) -- (10.512,4.158) -- (10.592,4.137) -- (10.672,4.158) -- (10.731,4.217) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.299,1.881) -- (8.278,1.961) -- (8.219,2.019) -- (8.139,2.041) -- (8.059,2.019) -- (8.0,1.961) -- (7.979,1.881) -- (8.0,1.801) -- (8.059,1.742) -- (8.139,1.721) -- (8.219,1.742) -- (8.278,1.801) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.575,1.503) -- (4.554,1.583) -- (4.495,1.642) -- (4.415,1.663) -- (4.335,1.642) -- (4.276,1.583) -- (4.255,1.503) -- (4.276,1.423) -- (4.335,1.365) -- (4.415,1.343) -- (4.495,1.365) -- (4.554,1.423) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.0,1.413) -- (1.978,1.493) -- (1.92,1.551) -- (1.84,1.573) -- (1.76,1.551) -- (1.701,1.493) -- (1.68,1.413) -- (1.701,1.333) -- (1.76,1.274) -- (1.84,1.253) -- (1.92,1.274) -- (1.978,1.333) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.824,8.124) -- (6.779,8.294) -- (6.654,8.418) -- (6.484,8.464) -- (6.314,8.418) -- (6.19,8.294) -- (6.144,8.124) -- (6.19,7.954) -- (6.314,7.829) -- (6.484,7.784) -- (6.654,7.829) -- (6.779,7.954) -- cycle;
\node at (6.484,8.124) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.378,6.684) -- (5.332,6.854) -- (5.208,6.979) -- (5.038,7.024) -- (4.868,6.979) -- (4.743,6.854) -- (4.698,6.684) -- (4.743,6.514) -- (4.868,6.39) -- (5.038,6.344) -- (5.208,6.39) -- (5.332,6.514) -- cycle;
\node at (5.038,6.684) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.041,7.577) -- (9.995,7.747) -- (9.871,7.871) -- (9.701,7.917) -- (9.531,7.871) -- (9.406,7.747) -- (9.361,7.577) -- (9.406,7.407) -- (9.531,7.282) -- (9.701,7.237) -- (9.871,7.282) -- (9.995,7.407) -- cycle;
\node at (9.701,7.577) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.792,6.042) -- (11.746,6.212) -- (11.622,6.336) -- (11.452,6.382) -- (11.282,6.336) -- (11.157,6.212) -- (11.112,6.042) -- (11.157,5.872) -- (11.282,5.747) -- (11.452,5.702) -- (11.622,5.747) -- (11.746,5.872) -- cycle;
\node at (11.452,6.042) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.545,6.231) -- (6.499,6.401) -- (6.375,6.526) -- (6.205,6.571) -- (6.035,6.526) -- (5.91,6.401) -- (5.865,6.231) -- (5.91,6.061) -- (6.035,5.937) -- (6.205,5.891) -- (6.375,5.937) -- (6.499,6.061) -- cycle;
\node at (6.205,6.231) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.15,4.872) -- (9.105,5.042) -- (8.98,5.167) -- (8.81,5.212) -- (8.64,5.167) -- (8.516,5.042) -- (8.47,4.872) -- (8.516,4.702) -- (8.64,4.578) -- (8.81,4.532) -- (8.98,4.578) -- (9.105,4.702) -- cycle;
\node at (8.81,4.872) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.186,5.462) -- (3.14,5.632) -- (3.016,5.756) -- (2.846,5.802) -- (2.676,5.756) -- (2.551,5.632) -- (2.506,5.462) -- (2.551,5.292) -- (2.676,5.168) -- (2.846,5.122) -- (3.016,5.168) -- (3.14,5.292) -- cycle;
\node at (2.846,5.462) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.897,3.931) -- (6.851,4.101) -- (6.727,4.225) -- (6.557,4.271) -- (6.387,4.225) -- (6.262,4.101) -- (6.217,3.931) -- (6.262,3.761) -- (6.387,3.636) -- (6.557,3.591) -- (6.727,3.636) -- (6.851,3.761) -- cycle;
\node at (6.557,3.931) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.859,3.346) -- (4.814,3.516) -- (4.689,3.64) -- (4.519,3.686) -- (4.349,3.64) -- (4.225,3.516) -- (4.179,3.346) -- (4.225,3.176) -- (4.349,3.051) -- (4.519,3.006) -- (4.689,3.051) -- (4.814,3.176) -- cycle;
\node at (4.519,3.346) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.827,3.019) -- (3.781,3.189) -- (3.657,3.314) -- (3.487,3.359) -- (3.317,3.314) -- (3.192,3.189) -- (3.147,3.019) -- (3.192,2.849) -- (3.317,2.725) -- (3.487,2.679) -- (3.657,2.725) -- (3.781,2.849) -- cycle;
\node at (3.487,3.019) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.83,2.962) -- (9.785,3.132) -- (9.66,3.256) -- (9.49,3.302) -- (9.32,3.256) -- (9.196,3.132) -- (9.15,2.962) -- (9.196,2.792) -- (9.32,2.668) -- (9.49,2.622) -- (9.66,2.668) -- (9.785,2.792) -- cycle;
\node at (9.49,2.962) {\scalebox{1.598}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.665,1.22) -- (6.619,1.39) -- (6.495,1.514) -- (6.325,1.56) -- (6.155,1.514) -- (6.03,1.39) -- (5.985,1.22) -- (6.03,1.05) -- (6.155,0.925) -- (6.325,0.88) -- (6.495,0.925) -- (6.619,1.05) -- cycle;
\node at (6.325,1.22) {\scalebox{1.598}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.475,1.244) -- (3.429,1.414) -- (3.305,1.539) -- (3.135,1.584) -- (2.965,1.539) -- (2.84,1.414) -- (2.795,1.244) -- (2.84,1.074) -- (2.965,0.95) -- (3.135,0.904) -- (3.305,0.95) -- (3.429,1.074) -- cycle;
\node at (3.135,1.244) {\scalebox{1.598}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.672,7.221) -- (8.272,7.221) -- (8.272,7.821) -- (7.672,7.821) -- cycle;
\node at (7.972,7.521) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.306,1.951) -- (10.906,1.951) -- (10.906,2.551) -- (10.306,2.551) -- cycle;
\node at (10.606,2.251) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.302,1.799) -- (3.902,1.799) -- (3.902,2.399) -- (3.302,2.399) -- cycle;
\node at (3.602,2.099) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.111,2.961) -- (7.711,2.961) -- (7.711,3.561) -- (7.111,3.561) -- cycle;
\node at (7.411,3.261) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.336,7.676) -- (10.936,7.676) -- (10.936,8.276) -- (10.336,8.276) -- cycle;
\node at (10.636,7.976) {\scalebox{1.598}{\small e}};
\node at (4.697,8.949) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (11.914,8.303) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (8.326,8.03) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (0.765,5.415) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (3.678,5.293) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (11.208,4.224) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (8.491,1.371) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (4.135,0.95) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\node at (1.356,1.025) {\scalebox{1.598}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.681,7.412) -- (12.681,8.512);
\draw[line width=0.5pt] (12.45,8.127) -- (12.681,8.512) -- (12.912,8.127);
\draw[line width=0.5pt] (12.379,7.962) -- (12.984,7.962);
\node at (12.681,8.897) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 1 & 6 & 2 & 4 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{H} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{H} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{D} à \textbf{H}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de D :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place du Marché \textbf{(D)}, prend l'\textbf{impasse du Vieux-Four ⑦} vers l'est et atteint Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ②}, vers le nord, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ①}, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Four ③}, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ④}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑥}, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑫}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ⑨}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans le \textbf{sentier des Prés ⑩}, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑬}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(H)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
