\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 249}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=249}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0249}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7048, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.277,9.302) -- (1.509,9.201) -- (1.744,9.106) -- (1.98,9.016) -- (2.219,8.932) -- (2.46,8.853) -- (2.702,8.78) -- (2.947,8.713) -- (3.192,8.651) -- (3.439,8.596) -- (3.688,8.546) -- (3.937,8.502) -- (4.187,8.464) -- (4.438,8.432) -- (4.69,8.405);
\draw[line width=0.5pt] (1.277,9.302) -- (1.514,9.041) -- (1.745,8.775) -- (1.97,8.504) -- (2.188,8.227) -- (2.4,7.945) -- (2.605,7.658) -- (2.803,7.366) -- (2.995,7.07) -- (3.179,6.769) -- (3.356,6.464) -- (3.526,6.155) -- (3.689,5.843) -- (3.844,5.526) -- (3.992,5.206);
\draw[line width=0.5pt] (7.339,8.557) -- (7.547,8.516) -- (7.756,8.479) -- (7.967,8.448) -- (8.177,8.421) -- (8.389,8.4) -- (8.601,8.383) -- (8.813,8.371) -- (9.025,8.365) -- (9.238,8.363) -- (9.451,8.366) -- (9.663,8.375) -- (9.875,8.388) -- (10.087,8.406) -- (10.298,8.43);
\draw[line width=0.5pt] (7.339,8.557) -- (7.153,8.517) -- (6.966,8.482) -- (6.778,8.451) -- (6.59,8.425) -- (6.4,8.403) -- (6.211,8.385) -- (6.021,8.372) -- (5.831,8.363) -- (5.64,8.359) -- (5.45,8.359) -- (5.259,8.364) -- (5.069,8.373) -- (4.879,8.387) -- (4.69,8.405);
\draw[line width=0.5pt] (7.339,8.557) -- (7.524,8.283) -- (7.715,8.014) -- (7.913,7.749) -- (8.117,7.489) -- (8.328,7.234) -- (8.544,6.984) -- (8.766,6.738) -- (8.994,6.498) -- (9.227,6.264) -- (9.466,6.035) -- (9.709,5.812) -- (9.959,5.595) -- (10.213,5.383) -- (10.472,5.178);
\draw[line width=0.5pt] (10.298,8.43) -- (10.346,8.201) -- (10.388,7.971) -- (10.425,7.741) -- (10.457,7.509) -- (10.483,7.277) -- (10.504,7.044) -- (10.519,6.811) -- (10.528,6.577) -- (10.533,6.344) -- (10.532,6.11) -- (10.525,5.877) -- (10.513,5.643) -- (10.495,5.41) -- (10.472,5.178);
\draw[line width=0.5pt] (4.69,8.405) -- (4.606,8.186) -- (4.526,7.965) -- (4.452,7.742) -- (4.383,7.518) -- (4.32,7.291) -- (4.262,7.064) -- (4.209,6.835) -- (4.162,6.604) -- (4.12,6.373) -- (4.083,6.141) -- (4.052,5.908) -- (4.026,5.675) -- (4.006,5.441) -- (3.992,5.206);
\draw[line width=0.5pt] (3.992,5.206) -- (4.284,5.252) -- (4.578,5.29) -- (4.872,5.322) -- (5.167,5.347) -- (5.463,5.365) -- (5.759,5.376) -- (6.055,5.379) -- (6.351,5.376) -- (6.647,5.366) -- (6.943,5.349) -- (7.238,5.326) -- (7.533,5.295) -- (7.826,5.257) -- (8.119,5.212) -- (8.285,5.184) -- (8.452,5.16) -- (8.62,5.14) -- (8.788,5.123) -- (8.956,5.111) -- (9.125,5.103) -- (9.294,5.098) -- (9.463,5.098) -- (9.632,5.101) -- (9.8,5.109) -- (9.969,5.12) -- (10.137,5.135) -- (10.305,5.155) -- (10.472,5.178);
\draw[line width=0.5pt] (3.992,5.206) -- (3.79,5.041) -- (3.592,4.871) -- (3.398,4.696) -- (3.208,4.517) -- (3.023,4.333) -- (2.842,4.145) -- (2.665,3.953) -- (2.493,3.757) -- (2.325,3.557) -- (2.162,3.352) -- (2.004,3.145) -- (1.851,2.933) -- (1.704,2.718) -- (1.561,2.5);
\draw[line width=0.5pt] (3.992,5.206) -- (4.3,4.988) -- (4.602,4.763) -- (4.9,4.53) -- (5.192,4.29) -- (5.478,4.044) -- (5.758,3.791) -- (6.033,3.531) -- (6.301,3.265) -- (6.563,2.993) -- (6.818,2.714) -- (7.067,2.43) -- (7.309,2.14) -- (7.544,1.845) -- (7.771,1.544);
\draw[line width=0.5pt] (10.472,5.178) -- (10.498,4.972) -- (10.53,4.766) -- (10.566,4.561) -- (10.607,4.357) -- (10.653,4.154) -- (10.704,3.952) -- (10.759,3.752) -- (10.82,3.552) -- (10.884,3.354) -- (10.954,3.158) -- (11.028,2.963) -- (11.106,2.771) -- (11.19,2.58) -- (11.277,2.391);
\draw[line width=0.5pt] (11.277,2.391) -- (11.038,2.293) -- (10.796,2.2) -- (10.553,2.113) -- (10.307,2.032) -- (10.059,1.956) -- (9.81,1.887) -- (9.559,1.823) -- (9.307,1.765) -- (9.053,1.713) -- (8.798,1.667) -- (8.543,1.627) -- (8.286,1.593) -- (8.029,1.566) -- (7.771,1.544);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.437,9.302) -- (1.416,9.382) -- (1.357,9.44) -- (1.277,9.462) -- (1.197,9.44) -- (1.139,9.382) -- (1.117,9.302) -- (1.139,9.222) -- (1.197,9.163) -- (1.277,9.142) -- (1.357,9.163) -- (1.416,9.222) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.499,8.557) -- (7.478,8.637) -- (7.419,8.696) -- (7.339,8.717) -- (7.259,8.696) -- (7.2,8.637) -- (7.179,8.557) -- (7.2,8.477) -- (7.259,8.419) -- (7.339,8.397) -- (7.419,8.419) -- (7.478,8.477) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.458,8.43) -- (10.436,8.51) -- (10.378,8.568) -- (10.298,8.59) -- (10.218,8.568) -- (10.159,8.51) -- (10.138,8.43) -- (10.159,8.35) -- (10.218,8.291) -- (10.298,8.27) -- (10.378,8.291) -- (10.436,8.35) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.85,8.405) -- (4.829,8.485) -- (4.77,8.544) -- (4.69,8.565) -- (4.61,8.544) -- (4.552,8.485) -- (4.53,8.405) -- (4.552,8.325) -- (4.61,8.267) -- (4.69,8.245) -- (4.77,8.267) -- (4.829,8.325) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.152,5.206) -- (4.13,5.286) -- (4.072,5.345) -- (3.992,5.366) -- (3.912,5.345) -- (3.853,5.286) -- (3.832,5.206) -- (3.853,5.126) -- (3.912,5.068) -- (3.992,5.046) -- (4.072,5.068) -- (4.13,5.126) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.632,5.178) -- (10.61,5.258) -- (10.552,5.317) -- (10.472,5.338) -- (10.392,5.317) -- (10.333,5.258) -- (10.312,5.178) -- (10.333,5.098) -- (10.392,5.04) -- (10.472,5.018) -- (10.552,5.04) -- (10.61,5.098) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.721,2.5) -- (1.7,2.58) -- (1.641,2.638) -- (1.561,2.66) -- (1.481,2.638) -- (1.422,2.58) -- (1.401,2.5) -- (1.422,2.42) -- (1.481,2.361) -- (1.561,2.34) -- (1.641,2.361) -- (1.7,2.42) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.437,2.391) -- (11.416,2.471) -- (11.357,2.53) -- (11.277,2.551) -- (11.197,2.53) -- (11.139,2.471) -- (11.117,2.391) -- (11.139,2.311) -- (11.197,2.253) -- (11.277,2.231) -- (11.357,2.253) -- (11.416,2.311) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.931,1.544) -- (7.91,1.624) -- (7.851,1.683) -- (7.771,1.704) -- (7.691,1.683) -- (7.633,1.624) -- (7.611,1.544) -- (7.633,1.464) -- (7.691,1.405) -- (7.771,1.384) -- (7.851,1.405) -- (7.91,1.464) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.368,9.022) -- (3.322,9.192) -- (3.198,9.317) -- (3.028,9.362) -- (2.858,9.317) -- (2.733,9.192) -- (2.688,9.022) -- (2.733,8.852) -- (2.858,8.728) -- (3.028,8.682) -- (3.198,8.728) -- (3.322,8.852) -- cycle;
\node at (3.028,9.022) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.41,7.543) -- (3.365,7.713) -- (3.24,7.837) -- (3.07,7.883) -- (2.9,7.837) -- (2.776,7.713) -- (2.73,7.543) -- (2.776,7.373) -- (2.9,7.248) -- (3.07,7.203) -- (3.24,7.248) -- (3.365,7.373) -- cycle;
\node at (3.07,7.543) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.167,8.691) -- (9.121,8.861) -- (8.997,8.985) -- (8.827,9.031) -- (8.657,8.985) -- (8.532,8.861) -- (8.487,8.691) -- (8.532,8.521) -- (8.657,8.397) -- (8.827,8.351) -- (8.997,8.397) -- (9.121,8.521) -- cycle;
\node at (8.827,8.691) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.379,8.053) -- (6.334,8.223) -- (6.209,8.347) -- (6.039,8.393) -- (5.869,8.347) -- (5.745,8.223) -- (5.699,8.053) -- (5.745,7.883) -- (5.869,7.758) -- (6.039,7.713) -- (6.209,7.758) -- (6.334,7.883) -- cycle;
\node at (6.039,8.053) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.341,6.956) -- (9.295,7.126) -- (9.171,7.25) -- (9.001,7.296) -- (8.831,7.25) -- (8.706,7.126) -- (8.661,6.956) -- (8.706,6.786) -- (8.831,6.661) -- (9.001,6.616) -- (9.171,6.661) -- (9.295,6.786) -- cycle;
\node at (9.001,6.956) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.178,6.828) -- (11.133,6.998) -- (11.008,7.123) -- (10.838,7.168) -- (10.668,7.123) -- (10.544,6.998) -- (10.498,6.828) -- (10.544,6.658) -- (10.668,6.534) -- (10.838,6.488) -- (11.008,6.534) -- (11.133,6.658) -- cycle;
\node at (10.838,6.828) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.862,6.766) -- (4.816,6.936) -- (4.692,7.061) -- (4.522,7.106) -- (4.352,7.061) -- (4.227,6.936) -- (4.182,6.766) -- (4.227,6.596) -- (4.352,6.472) -- (4.522,6.426) -- (4.692,6.472) -- (4.816,6.596) -- cycle;
\node at (4.522,6.766) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.509,5.528) -- (8.463,5.698) -- (8.339,5.823) -- (8.169,5.868) -- (7.999,5.823) -- (7.875,5.698) -- (7.829,5.528) -- (7.875,5.358) -- (7.999,5.234) -- (8.169,5.188) -- (8.339,5.234) -- (8.463,5.358) -- cycle;
\node at (8.169,5.528) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.243,3.739) -- (3.197,3.909) -- (3.073,4.034) -- (2.903,4.079) -- (2.733,4.034) -- (2.608,3.909) -- (2.563,3.739) -- (2.608,3.569) -- (2.733,3.445) -- (2.903,3.399) -- (3.073,3.445) -- (3.197,3.569) -- cycle;
\node at (2.903,3.739) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.595,3.761) -- (6.55,3.931) -- (6.425,4.055) -- (6.255,4.101) -- (6.085,4.055) -- (5.961,3.931) -- (5.915,3.761) -- (5.961,3.591) -- (6.085,3.466) -- (6.255,3.421) -- (6.425,3.466) -- (6.55,3.591) -- cycle;
\node at (6.255,3.761) {\scalebox{1.419}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.407,3.84) -- (11.361,4.01) -- (11.237,4.135) -- (11.067,4.18) -- (10.897,4.135) -- (10.772,4.01) -- (10.727,3.84) -- (10.772,3.67) -- (10.897,3.546) -- (11.067,3.5) -- (11.237,3.546) -- (11.361,3.67) -- cycle;
\node at (11.067,3.84) {\scalebox{1.419}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.974,1.512) -- (9.929,1.682) -- (9.804,1.806) -- (9.634,1.852) -- (9.464,1.806) -- (9.34,1.682) -- (9.294,1.512) -- (9.34,1.342) -- (9.464,1.218) -- (9.634,1.172) -- (9.804,1.218) -- (9.929,1.342) -- cycle;
\node at (9.634,1.512) {\scalebox{1.419}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.39,8.105) -- (4.99,8.105) -- (4.99,8.705) -- (4.39,8.705) -- cycle;
\node at (4.69,8.405) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.018,9.732) -- (2.618,9.732) -- (2.618,10.332) -- (2.018,10.332) -- cycle;
\node at (2.318,10.032) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.839,2.706) -- (2.439,2.706) -- (2.439,3.306) -- (1.839,3.306) -- cycle;
\node at (2.139,3.006) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\node at (0.765,9.651) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (7.511,9.153) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (10.802,8.791) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (4.341,8.918) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (3.384,5.082) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (11.086,5.093) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\node at (1.041,2.162) {\scalebox{1.419}{\small G}};
\node at (11.785,2.036) {\scalebox{1.419}{\small H}};
\node at (7.949,0.95) {\scalebox{1.419}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.577,8.352) -- (12.577,9.452);
\draw[line width=0.5pt] (12.346,9.067) -- (12.577,9.452) -- (12.808,9.067);
\draw[line width=0.5pt] (12.275,8.902) -- (12.88,8.902);
\node at (12.577,9.837) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Écoles & ⑦ rue des Lilas & Ⓐ Place du Marché & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Mairie & ⑧ quai aux Fleurs & Ⓑ Carrefour de la Mairie & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue Haute & ⑨ impasse des Cerisiers & Ⓒ Place aux Herbes & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ rue de l'Église & ⑩ rue du Moulin & Ⓓ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑤ rue du Four & ⑪ rue Basse & Ⓔ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑥ rue du Pont & ⑫ rue Verte & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6306, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.277,9.302) -- (1.509,9.201) -- (1.744,9.106) -- (1.98,9.016) -- (2.219,8.932) -- (2.46,8.853) -- (2.702,8.78) -- (2.947,8.713) -- (3.192,8.651) -- (3.439,8.596) -- (3.688,8.546) -- (3.937,8.502) -- (4.187,8.464) -- (4.438,8.432) -- (4.69,8.405);
\draw[line width=0.5pt] (1.277,9.302) -- (1.514,9.041) -- (1.745,8.775) -- (1.97,8.504) -- (2.188,8.227) -- (2.4,7.945) -- (2.605,7.658) -- (2.803,7.366) -- (2.995,7.07) -- (3.179,6.769) -- (3.356,6.464) -- (3.526,6.155) -- (3.689,5.843) -- (3.844,5.526) -- (3.992,5.206);
\draw[line width=0.5pt] (7.339,8.557) -- (7.547,8.516) -- (7.756,8.479) -- (7.967,8.448) -- (8.177,8.421) -- (8.389,8.4) -- (8.601,8.383) -- (8.813,8.371) -- (9.025,8.365) -- (9.238,8.363) -- (9.451,8.366) -- (9.663,8.375) -- (9.875,8.388) -- (10.087,8.406) -- (10.298,8.43);
\draw[line width=0.5pt] (7.339,8.557) -- (7.153,8.517) -- (6.966,8.482) -- (6.778,8.451) -- (6.59,8.425) -- (6.4,8.403) -- (6.211,8.385) -- (6.021,8.372) -- (5.831,8.363) -- (5.64,8.359) -- (5.45,8.359) -- (5.259,8.364) -- (5.069,8.373) -- (4.879,8.387) -- (4.69,8.405);
\draw[line width=0.5pt] (7.339,8.557) -- (7.524,8.283) -- (7.715,8.014) -- (7.913,7.749) -- (8.117,7.489) -- (8.328,7.234) -- (8.544,6.984) -- (8.766,6.738) -- (8.994,6.498) -- (9.227,6.264) -- (9.466,6.035) -- (9.709,5.812) -- (9.959,5.595) -- (10.213,5.383) -- (10.472,5.178);
\draw[line width=0.5pt] (10.298,8.43) -- (10.346,8.201) -- (10.388,7.971) -- (10.425,7.741) -- (10.457,7.509) -- (10.483,7.277) -- (10.504,7.044) -- (10.519,6.811) -- (10.528,6.577) -- (10.533,6.344) -- (10.532,6.11) -- (10.525,5.877) -- (10.513,5.643) -- (10.495,5.41) -- (10.472,5.178);
\draw[line width=0.5pt] (4.69,8.405) -- (4.606,8.186) -- (4.526,7.965) -- (4.452,7.742) -- (4.383,7.518) -- (4.32,7.291) -- (4.262,7.064) -- (4.209,6.835) -- (4.162,6.604) -- (4.12,6.373) -- (4.083,6.141) -- (4.052,5.908) -- (4.026,5.675) -- (4.006,5.441) -- (3.992,5.206);
\draw[line width=0.5pt] (3.992,5.206) -- (4.284,5.252) -- (4.578,5.29) -- (4.872,5.322) -- (5.167,5.347) -- (5.463,5.365) -- (5.759,5.376) -- (6.055,5.379) -- (6.351,5.376) -- (6.647,5.366) -- (6.943,5.349) -- (7.238,5.326) -- (7.533,5.295) -- (7.826,5.257) -- (8.119,5.212) -- (8.285,5.184) -- (8.452,5.16) -- (8.62,5.14) -- (8.788,5.123) -- (8.956,5.111) -- (9.125,5.103) -- (9.294,5.098) -- (9.463,5.098) -- (9.632,5.101) -- (9.8,5.109) -- (9.969,5.12) -- (10.137,5.135) -- (10.305,5.155) -- (10.472,5.178);
\draw[line width=0.5pt] (3.992,5.206) -- (3.79,5.041) -- (3.592,4.871) -- (3.398,4.696) -- (3.208,4.517) -- (3.023,4.333) -- (2.842,4.145) -- (2.665,3.953) -- (2.493,3.757) -- (2.325,3.557) -- (2.162,3.352) -- (2.004,3.145) -- (1.851,2.933) -- (1.704,2.718) -- (1.561,2.5);
\draw[line width=0.5pt] (3.992,5.206) -- (4.3,4.988) -- (4.602,4.763) -- (4.9,4.53) -- (5.192,4.29) -- (5.478,4.044) -- (5.758,3.791) -- (6.033,3.531) -- (6.301,3.265) -- (6.563,2.993) -- (6.818,2.714) -- (7.067,2.43) -- (7.309,2.14) -- (7.544,1.845) -- (7.771,1.544);
\draw[line width=0.5pt] (10.472,5.178) -- (10.498,4.972) -- (10.53,4.766) -- (10.566,4.561) -- (10.607,4.357) -- (10.653,4.154) -- (10.704,3.952) -- (10.759,3.752) -- (10.82,3.552) -- (10.884,3.354) -- (10.954,3.158) -- (11.028,2.963) -- (11.106,2.771) -- (11.19,2.58) -- (11.277,2.391);
\draw[line width=0.5pt] (11.277,2.391) -- (11.038,2.293) -- (10.796,2.2) -- (10.553,2.113) -- (10.307,2.032) -- (10.059,1.956) -- (9.81,1.887) -- (9.559,1.823) -- (9.307,1.765) -- (9.053,1.713) -- (8.798,1.667) -- (8.543,1.627) -- (8.286,1.593) -- (8.029,1.566) -- (7.771,1.544);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.437,9.302) -- (1.416,9.382) -- (1.357,9.44) -- (1.277,9.462) -- (1.197,9.44) -- (1.139,9.382) -- (1.117,9.302) -- (1.139,9.222) -- (1.197,9.163) -- (1.277,9.142) -- (1.357,9.163) -- (1.416,9.222) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.499,8.557) -- (7.478,8.637) -- (7.419,8.696) -- (7.339,8.717) -- (7.259,8.696) -- (7.2,8.637) -- (7.179,8.557) -- (7.2,8.477) -- (7.259,8.419) -- (7.339,8.397) -- (7.419,8.419) -- (7.478,8.477) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.458,8.43) -- (10.436,8.51) -- (10.378,8.568) -- (10.298,8.59) -- (10.218,8.568) -- (10.159,8.51) -- (10.138,8.43) -- (10.159,8.35) -- (10.218,8.291) -- (10.298,8.27) -- (10.378,8.291) -- (10.436,8.35) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.85,8.405) -- (4.829,8.485) -- (4.77,8.544) -- (4.69,8.565) -- (4.61,8.544) -- (4.552,8.485) -- (4.53,8.405) -- (4.552,8.325) -- (4.61,8.267) -- (4.69,8.245) -- (4.77,8.267) -- (4.829,8.325) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.152,5.206) -- (4.13,5.286) -- (4.072,5.345) -- (3.992,5.366) -- (3.912,5.345) -- (3.853,5.286) -- (3.832,5.206) -- (3.853,5.126) -- (3.912,5.068) -- (3.992,5.046) -- (4.072,5.068) -- (4.13,5.126) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.632,5.178) -- (10.61,5.258) -- (10.552,5.317) -- (10.472,5.338) -- (10.392,5.317) -- (10.333,5.258) -- (10.312,5.178) -- (10.333,5.098) -- (10.392,5.04) -- (10.472,5.018) -- (10.552,5.04) -- (10.61,5.098) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.721,2.5) -- (1.7,2.58) -- (1.641,2.638) -- (1.561,2.66) -- (1.481,2.638) -- (1.422,2.58) -- (1.401,2.5) -- (1.422,2.42) -- (1.481,2.361) -- (1.561,2.34) -- (1.641,2.361) -- (1.7,2.42) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.437,2.391) -- (11.416,2.471) -- (11.357,2.53) -- (11.277,2.551) -- (11.197,2.53) -- (11.139,2.471) -- (11.117,2.391) -- (11.139,2.311) -- (11.197,2.253) -- (11.277,2.231) -- (11.357,2.253) -- (11.416,2.311) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.931,1.544) -- (7.91,1.624) -- (7.851,1.683) -- (7.771,1.704) -- (7.691,1.683) -- (7.633,1.624) -- (7.611,1.544) -- (7.633,1.464) -- (7.691,1.405) -- (7.771,1.384) -- (7.851,1.405) -- (7.91,1.464) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.368,9.022) -- (3.322,9.192) -- (3.198,9.317) -- (3.028,9.362) -- (2.858,9.317) -- (2.733,9.192) -- (2.688,9.022) -- (2.733,8.852) -- (2.858,8.728) -- (3.028,8.682) -- (3.198,8.728) -- (3.322,8.852) -- cycle;
\node at (3.028,9.022) {\scalebox{1.586}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.41,7.543) -- (3.365,7.713) -- (3.24,7.837) -- (3.07,7.883) -- (2.9,7.837) -- (2.776,7.713) -- (2.73,7.543) -- (2.776,7.373) -- (2.9,7.248) -- (3.07,7.203) -- (3.24,7.248) -- (3.365,7.373) -- cycle;
\node at (3.07,7.543) {\scalebox{1.586}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.167,8.691) -- (9.121,8.861) -- (8.997,8.985) -- (8.827,9.031) -- (8.657,8.985) -- (8.532,8.861) -- (8.487,8.691) -- (8.532,8.521) -- (8.657,8.397) -- (8.827,8.351) -- (8.997,8.397) -- (9.121,8.521) -- cycle;
\node at (8.827,8.691) {\scalebox{1.586}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.379,8.053) -- (6.334,8.223) -- (6.209,8.347) -- (6.039,8.393) -- (5.869,8.347) -- (5.745,8.223) -- (5.699,8.053) -- (5.745,7.883) -- (5.869,7.758) -- (6.039,7.713) -- (6.209,7.758) -- (6.334,7.883) -- cycle;
\node at (6.039,8.053) {\scalebox{1.586}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.341,6.956) -- (9.295,7.126) -- (9.171,7.25) -- (9.001,7.296) -- (8.831,7.25) -- (8.706,7.126) -- (8.661,6.956) -- (8.706,6.786) -- (8.831,6.661) -- (9.001,6.616) -- (9.171,6.661) -- (9.295,6.786) -- cycle;
\node at (9.001,6.956) {\scalebox{1.586}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.178,6.828) -- (11.133,6.998) -- (11.008,7.123) -- (10.838,7.168) -- (10.668,7.123) -- (10.544,6.998) -- (10.498,6.828) -- (10.544,6.658) -- (10.668,6.534) -- (10.838,6.488) -- (11.008,6.534) -- (11.133,6.658) -- cycle;
\node at (10.838,6.828) {\scalebox{1.586}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.862,6.766) -- (4.816,6.936) -- (4.692,7.061) -- (4.522,7.106) -- (4.352,7.061) -- (4.227,6.936) -- (4.182,6.766) -- (4.227,6.596) -- (4.352,6.472) -- (4.522,6.426) -- (4.692,6.472) -- (4.816,6.596) -- cycle;
\node at (4.522,6.766) {\scalebox{1.586}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.509,5.528) -- (8.463,5.698) -- (8.339,5.823) -- (8.169,5.868) -- (7.999,5.823) -- (7.875,5.698) -- (7.829,5.528) -- (7.875,5.358) -- (7.999,5.234) -- (8.169,5.188) -- (8.339,5.234) -- (8.463,5.358) -- cycle;
\node at (8.169,5.528) {\scalebox{1.586}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.243,3.739) -- (3.197,3.909) -- (3.073,4.034) -- (2.903,4.079) -- (2.733,4.034) -- (2.608,3.909) -- (2.563,3.739) -- (2.608,3.569) -- (2.733,3.445) -- (2.903,3.399) -- (3.073,3.445) -- (3.197,3.569) -- cycle;
\node at (2.903,3.739) {\scalebox{1.586}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.595,3.761) -- (6.55,3.931) -- (6.425,4.055) -- (6.255,4.101) -- (6.085,4.055) -- (5.961,3.931) -- (5.915,3.761) -- (5.961,3.591) -- (6.085,3.466) -- (6.255,3.421) -- (6.425,3.466) -- (6.55,3.591) -- cycle;
\node at (6.255,3.761) {\scalebox{1.586}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.407,3.84) -- (11.361,4.01) -- (11.237,4.135) -- (11.067,4.18) -- (10.897,4.135) -- (10.772,4.01) -- (10.727,3.84) -- (10.772,3.67) -- (10.897,3.546) -- (11.067,3.5) -- (11.237,3.546) -- (11.361,3.67) -- cycle;
\node at (11.067,3.84) {\scalebox{1.586}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.974,1.512) -- (9.929,1.682) -- (9.804,1.806) -- (9.634,1.852) -- (9.464,1.806) -- (9.34,1.682) -- (9.294,1.512) -- (9.34,1.342) -- (9.464,1.218) -- (9.634,1.172) -- (9.804,1.218) -- (9.929,1.342) -- cycle;
\node at (9.634,1.512) {\scalebox{1.586}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.39,8.105) -- (4.99,8.105) -- (4.99,8.705) -- (4.39,8.705) -- cycle;
\node at (4.69,8.405) {\scalebox{1.586}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.018,9.732) -- (2.618,9.732) -- (2.618,10.332) -- (2.018,10.332) -- cycle;
\node at (2.318,10.032) {\scalebox{1.586}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.839,2.706) -- (2.439,2.706) -- (2.439,3.306) -- (1.839,3.306) -- cycle;
\node at (2.139,3.006) {\scalebox{1.586}{\small c}};
\node at (0.765,9.651) {\scalebox{1.586}{\small A}};
\node at (7.511,9.153) {\scalebox{1.586}{\small B}};
\node at (10.802,8.791) {\scalebox{1.586}{\small C}};
\node at (4.341,8.918) {\scalebox{1.586}{\small D}};
\node at (3.384,5.082) {\scalebox{1.586}{\small E}};
\node at (11.086,5.093) {\scalebox{1.586}{\small F}};
\node at (1.041,2.162) {\scalebox{1.586}{\small G}};
\node at (11.785,2.036) {\scalebox{1.586}{\small H}};
\node at (7.949,0.95) {\scalebox{1.586}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.577,8.352) -- (12.577,9.452);
\draw[line width=0.5pt] (12.346,9.067) -- (12.577,9.452) -- (12.808,9.067);
\draw[line width=0.5pt] (12.275,8.902) -- (12.88,8.902);
\node at (12.577,9.837) {\scalebox{1.586}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 2 & 3 & 5 & 4 & 1 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, D, E, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
