\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 250}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=250}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0250}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6969, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.331,8.499) -- (1.575,8.396) -- (1.822,8.299) -- (2.071,8.208) -- (2.323,8.122) -- (2.576,8.043) -- (2.831,7.969) -- (3.088,7.902) -- (3.346,7.84) -- (3.606,7.785) -- (3.867,7.736) -- (4.129,7.693) -- (4.392,7.656) -- (4.655,7.625) -- (4.92,7.601) -- (5.148,7.682) -- (5.379,7.757) -- (5.611,7.827) -- (5.845,7.891) -- (6.08,7.95) -- (6.317,8.004) -- (6.555,8.052) -- (6.794,8.094) -- (7.034,8.131) -- (7.275,8.162) -- (7.516,8.187) -- (7.758,8.207) -- (8.0,8.22) -- (8.242,8.229);
\draw[line width=0.5pt] (1.331,8.499) -- (1.598,8.224) -- (1.859,7.942) -- (2.113,7.655) -- (2.36,7.361) -- (2.6,7.062) -- (2.833,6.757) -- (3.059,6.446) -- (3.278,6.13) -- (3.489,5.81) -- (3.692,5.484) -- (3.888,5.154) -- (4.076,4.82) -- (4.256,4.481) -- (4.428,4.138);
\draw[line width=0.5pt] (11.331,8.274) -- (11.111,8.304) -- (10.891,8.33) -- (10.671,8.35) -- (10.449,8.365) -- (10.228,8.375) -- (10.006,8.379) -- (9.785,8.379) -- (9.563,8.373) -- (9.341,8.362) -- (9.12,8.345) -- (8.9,8.324) -- (8.68,8.297) -- (8.46,8.266) -- (8.242,8.229);
\draw[line width=0.5pt] (11.331,8.274) -- (11.316,8.028) -- (11.296,7.783) -- (11.269,7.538) -- (11.237,7.293) -- (11.2,7.05) -- (11.156,6.807) -- (11.107,6.566) -- (11.052,6.325) -- (10.992,6.086) -- (10.925,5.849) -- (10.854,5.613) -- (10.777,5.379) -- (10.694,5.147) -- (10.606,4.917);
\draw[line width=0.5pt] (8.242,8.229) -- (8.183,8.008) -- (8.129,7.785) -- (8.08,7.562) -- (8.037,7.337) -- (7.999,7.112) -- (7.966,6.885) -- (7.938,6.658) -- (7.916,6.43) -- (7.899,6.202) -- (7.888,5.973) -- (7.882,5.745) -- (7.881,5.516) -- (7.886,5.287) -- (7.896,5.059);
\draw[line width=0.5pt] (8.242,8.229) -- (8.017,7.897) -- (7.783,7.571) -- (7.542,7.25) -- (7.293,6.935) -- (7.037,6.626) -- (6.774,6.323) -- (6.504,6.026) -- (6.226,5.735) -- (5.942,5.452) -- (5.652,5.175) -- (5.355,4.905) -- (5.052,4.642) -- (4.743,4.386) -- (4.428,4.138);
\draw[line width=0.5pt] (7.896,5.059) -- (8.087,5.019) -- (8.278,4.984) -- (8.47,4.953) -- (8.663,4.927) -- (8.857,4.906) -- (9.051,4.889) -- (9.245,4.876) -- (9.44,4.868) -- (9.635,4.865) -- (9.829,4.866) -- (10.024,4.872) -- (10.218,4.883) -- (10.412,4.898) -- (10.606,4.917);
\draw[line width=0.5pt] (7.896,5.059) -- (7.661,4.956) -- (7.422,4.858) -- (7.182,4.766) -- (6.939,4.68) -- (6.695,4.599) -- (6.448,4.524) -- (6.2,4.455) -- (5.95,4.392) -- (5.699,4.335) -- (5.447,4.283) -- (5.193,4.238) -- (4.939,4.199) -- (4.684,4.165) -- (4.428,4.138);
\draw[line width=0.5pt] (7.896,5.059) -- (7.825,4.817) -- (7.759,4.573) -- (7.699,4.328) -- (7.644,4.081) -- (7.596,3.833) -- (7.553,3.584) -- (7.517,3.334) -- (7.486,3.083) -- (7.461,2.831) -- (7.442,2.58) -- (7.428,2.327) -- (7.421,2.075) -- (7.42,1.822) -- (7.425,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (4.428,4.138) -- (4.668,3.989) -- (4.905,3.834) -- (5.138,3.673) -- (5.368,3.507) -- (5.593,3.336) -- (5.815,3.159) -- (6.032,2.977) -- (6.245,2.791) -- (6.454,2.599) -- (6.658,2.402) -- (6.857,2.201) -- (7.051,1.995) -- (7.24,1.785) -- (7.425,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.491,8.499) -- (1.469,8.579) -- (1.411,8.637) -- (1.331,8.659) -- (1.251,8.637) -- (1.192,8.579) -- (1.171,8.499) -- (1.192,8.419) -- (1.251,8.36) -- (1.331,8.339) -- (1.411,8.36) -- (1.469,8.419) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.491,8.274) -- (11.469,8.354) -- (11.411,8.412) -- (11.331,8.434) -- (11.251,8.412) -- (11.192,8.354) -- (11.171,8.274) -- (11.192,8.194) -- (11.251,8.135) -- (11.331,8.114) -- (11.411,8.135) -- (11.469,8.194) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.402,8.229) -- (8.381,8.309) -- (8.322,8.367) -- (8.242,8.389) -- (8.162,8.367) -- (8.104,8.309) -- (8.082,8.229) -- (8.104,8.149) -- (8.162,8.09) -- (8.242,8.069) -- (8.322,8.09) -- (8.381,8.149) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.056,5.059) -- (8.035,5.139) -- (7.976,5.197) -- (7.896,5.219) -- (7.816,5.197) -- (7.758,5.139) -- (7.736,5.059) -- (7.758,4.979) -- (7.816,4.92) -- (7.896,4.899) -- (7.976,4.92) -- (8.035,4.979) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.766,4.917) -- (10.745,4.997) -- (10.686,5.056) -- (10.606,5.077) -- (10.526,5.056) -- (10.467,4.997) -- (10.446,4.917) -- (10.467,4.837) -- (10.526,4.779) -- (10.606,4.757) -- (10.686,4.779) -- (10.745,4.837) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.588,4.138) -- (4.566,4.218) -- (4.508,4.276) -- (4.428,4.298) -- (4.348,4.276) -- (4.289,4.218) -- (4.268,4.138) -- (4.289,4.058) -- (4.348,3.999) -- (4.428,3.978) -- (4.508,3.999) -- (4.566,4.058) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.585,1.57) -- (7.563,1.65) -- (7.505,1.708) -- (7.425,1.73) -- (7.345,1.708) -- (7.286,1.65) -- (7.265,1.57) -- (7.286,1.49) -- (7.345,1.431) -- (7.425,1.41) -- (7.505,1.431) -- (7.563,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.223,7.919) -- (5.178,8.089) -- (5.053,8.213) -- (4.883,8.259) -- (4.713,8.213) -- (4.589,8.089) -- (4.543,7.919) -- (4.589,7.749) -- (4.713,7.624) -- (4.883,7.579) -- (5.053,7.624) -- (5.178,7.749) -- cycle;
\node at (4.883,7.919) {\scalebox{1.435}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.66,6.631) -- (3.614,6.801) -- (3.49,6.926) -- (3.32,6.971) -- (3.15,6.926) -- (3.026,6.801) -- (2.98,6.631) -- (3.026,6.461) -- (3.15,6.337) -- (3.32,6.291) -- (3.49,6.337) -- (3.614,6.461) -- cycle;
\node at (3.32,6.631) {\scalebox{1.435}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.129,8.059) -- (10.084,8.229) -- (9.959,8.353) -- (9.789,8.399) -- (9.619,8.353) -- (9.495,8.229) -- (9.449,8.059) -- (9.495,7.889) -- (9.619,7.764) -- (9.789,7.719) -- (9.959,7.764) -- (10.084,7.889) -- cycle;
\node at (9.789,8.059) {\scalebox{1.435}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.76,6.498) -- (11.714,6.668) -- (11.59,6.793) -- (11.42,6.838) -- (11.25,6.793) -- (11.125,6.668) -- (11.08,6.498) -- (11.125,6.328) -- (11.25,6.204) -- (11.42,6.158) -- (11.59,6.204) -- (11.714,6.328) -- cycle;
\node at (11.42,6.498) {\scalebox{1.435}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.597,6.623) -- (8.551,6.793) -- (8.427,6.918) -- (8.257,6.963) -- (8.087,6.918) -- (7.962,6.793) -- (7.917,6.623) -- (7.962,6.453) -- (8.087,6.329) -- (8.257,6.283) -- (8.427,6.329) -- (8.551,6.453) -- cycle;
\node at (8.257,6.623) {\scalebox{1.435}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.078,5.808) -- (7.032,5.978) -- (6.908,6.102) -- (6.738,6.148) -- (6.568,6.102) -- (6.443,5.978) -- (6.398,5.808) -- (6.443,5.638) -- (6.568,5.513) -- (6.738,5.468) -- (6.908,5.513) -- (7.032,5.638) -- cycle;
\node at (6.738,5.808) {\scalebox{1.435}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.602,5.196) -- (9.556,5.366) -- (9.432,5.49) -- (9.262,5.536) -- (9.092,5.49) -- (8.968,5.366) -- (8.922,5.196) -- (8.968,5.026) -- (9.092,4.901) -- (9.262,4.856) -- (9.432,4.901) -- (9.556,5.026) -- cycle;
\node at (9.262,5.196) {\scalebox{1.435}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.622,4.146) -- (6.577,4.316) -- (6.452,4.44) -- (6.282,4.486) -- (6.112,4.44) -- (5.988,4.316) -- (5.942,4.146) -- (5.988,3.976) -- (6.112,3.852) -- (6.282,3.806) -- (6.452,3.852) -- (6.577,3.976) -- cycle;
\node at (6.282,4.146) {\scalebox{1.435}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.174,3.291) -- (8.128,3.461) -- (8.004,3.585) -- (7.834,3.631) -- (7.664,3.585) -- (7.539,3.461) -- (7.494,3.291) -- (7.539,3.121) -- (7.664,2.996) -- (7.834,2.951) -- (8.004,2.996) -- (8.128,3.121) -- cycle;
\node at (7.834,3.291) {\scalebox{1.435}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.58,3.22) -- (6.535,3.39) -- (6.41,3.515) -- (6.24,3.56) -- (6.07,3.515) -- (5.946,3.39) -- (5.9,3.22) -- (5.946,3.05) -- (6.07,2.926) -- (6.24,2.88) -- (6.41,2.926) -- (6.535,3.05) -- cycle;
\node at (6.24,3.22) {\scalebox{1.435}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.942,7.929) -- (8.542,7.929) -- (8.542,8.529) -- (7.942,8.529) -- cycle;
\node at (8.242,8.229) {\scalebox{1.435}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.433,6.31) -- (13.033,6.31) -- (13.033,6.91) -- (12.433,6.91) -- cycle;
\node at (12.733,6.61) {\scalebox{1.435}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.096,6.914) -- (9.696,6.914) -- (9.696,7.514) -- (9.096,7.514) -- cycle;
\node at (9.396,7.214) {\scalebox{1.435}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.068,1.904) -- (8.668,1.904) -- (8.668,2.504) -- (8.068,2.504) -- cycle;
\node at (8.368,2.204) {\scalebox{1.435}{\small d}};
\node at (0.765,8.752) {\scalebox{1.435}{\small A}};
\node at (11.859,8.598) {\scalebox{1.435}{\small B}};
\node at (8.463,8.808) {\scalebox{1.435}{\small C}};
\node at (8.272,4.566) {\scalebox{1.435}{\small D}};
\node at (11.204,4.754) {\scalebox{1.435}{\small E}};
\node at (3.891,3.828) {\scalebox{1.435}{\small F}};
\node at (7.44,0.95) {\scalebox{1.435}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.631,7.549) -- (12.631,8.649);
\draw[line width=0.5pt] (12.4,8.264) -- (12.631,8.649) -- (12.862,8.264);
\draw[line width=0.5pt] (12.328,8.099) -- (12.933,8.099);
\node at (12.631,9.034) {\scalebox{1.435}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Four & ⑥ rue des Jardins & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Basse & ⑦ rue des Lilas & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ chemin Creux & ⑧ rue du Stade & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑨ rue de la Poste & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
⑤ rue du Pont & ⑩ allée des Tilleuls & Ⓔ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6235, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.331,8.499) -- (1.575,8.396) -- (1.822,8.299) -- (2.071,8.208) -- (2.323,8.122) -- (2.576,8.043) -- (2.831,7.969) -- (3.088,7.902) -- (3.346,7.84) -- (3.606,7.785) -- (3.867,7.736) -- (4.129,7.693) -- (4.392,7.656) -- (4.655,7.625) -- (4.92,7.601) -- (5.148,7.682) -- (5.379,7.757) -- (5.611,7.827) -- (5.845,7.891) -- (6.08,7.95) -- (6.317,8.004) -- (6.555,8.052) -- (6.794,8.094) -- (7.034,8.131) -- (7.275,8.162) -- (7.516,8.187) -- (7.758,8.207) -- (8.0,8.22) -- (8.242,8.229);
\draw[line width=0.5pt] (1.331,8.499) -- (1.598,8.224) -- (1.859,7.942) -- (2.113,7.655) -- (2.36,7.361) -- (2.6,7.062) -- (2.833,6.757) -- (3.059,6.446) -- (3.278,6.13) -- (3.489,5.81) -- (3.692,5.484) -- (3.888,5.154) -- (4.076,4.82) -- (4.256,4.481) -- (4.428,4.138);
\draw[line width=0.5pt] (11.331,8.274) -- (11.111,8.304) -- (10.891,8.33) -- (10.671,8.35) -- (10.449,8.365) -- (10.228,8.375) -- (10.006,8.379) -- (9.785,8.379) -- (9.563,8.373) -- (9.341,8.362) -- (9.12,8.345) -- (8.9,8.324) -- (8.68,8.297) -- (8.46,8.266) -- (8.242,8.229);
\draw[line width=0.5pt] (11.331,8.274) -- (11.316,8.028) -- (11.296,7.783) -- (11.269,7.538) -- (11.237,7.293) -- (11.2,7.05) -- (11.156,6.807) -- (11.107,6.566) -- (11.052,6.325) -- (10.992,6.086) -- (10.925,5.849) -- (10.854,5.613) -- (10.777,5.379) -- (10.694,5.147) -- (10.606,4.917);
\draw[line width=0.5pt] (8.242,8.229) -- (8.183,8.008) -- (8.129,7.785) -- (8.08,7.562) -- (8.037,7.337) -- (7.999,7.112) -- (7.966,6.885) -- (7.938,6.658) -- (7.916,6.43) -- (7.899,6.202) -- (7.888,5.973) -- (7.882,5.745) -- (7.881,5.516) -- (7.886,5.287) -- (7.896,5.059);
\draw[line width=0.5pt] (8.242,8.229) -- (8.017,7.897) -- (7.783,7.571) -- (7.542,7.25) -- (7.293,6.935) -- (7.037,6.626) -- (6.774,6.323) -- (6.504,6.026) -- (6.226,5.735) -- (5.942,5.452) -- (5.652,5.175) -- (5.355,4.905) -- (5.052,4.642) -- (4.743,4.386) -- (4.428,4.138);
\draw[line width=0.5pt] (7.896,5.059) -- (8.087,5.019) -- (8.278,4.984) -- (8.47,4.953) -- (8.663,4.927) -- (8.857,4.906) -- (9.051,4.889) -- (9.245,4.876) -- (9.44,4.868) -- (9.635,4.865) -- (9.829,4.866) -- (10.024,4.872) -- (10.218,4.883) -- (10.412,4.898) -- (10.606,4.917);
\draw[line width=0.5pt] (7.896,5.059) -- (7.661,4.956) -- (7.422,4.858) -- (7.182,4.766) -- (6.939,4.68) -- (6.695,4.599) -- (6.448,4.524) -- (6.2,4.455) -- (5.95,4.392) -- (5.699,4.335) -- (5.447,4.283) -- (5.193,4.238) -- (4.939,4.199) -- (4.684,4.165) -- (4.428,4.138);
\draw[line width=0.5pt] (7.896,5.059) -- (7.825,4.817) -- (7.759,4.573) -- (7.699,4.328) -- (7.644,4.081) -- (7.596,3.833) -- (7.553,3.584) -- (7.517,3.334) -- (7.486,3.083) -- (7.461,2.831) -- (7.442,2.58) -- (7.428,2.327) -- (7.421,2.075) -- (7.42,1.822) -- (7.425,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (4.428,4.138) -- (4.668,3.989) -- (4.905,3.834) -- (5.138,3.673) -- (5.368,3.507) -- (5.593,3.336) -- (5.815,3.159) -- (6.032,2.977) -- (6.245,2.791) -- (6.454,2.599) -- (6.658,2.402) -- (6.857,2.201) -- (7.051,1.995) -- (7.24,1.785) -- (7.425,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.491,8.499) -- (1.469,8.579) -- (1.411,8.637) -- (1.331,8.659) -- (1.251,8.637) -- (1.192,8.579) -- (1.171,8.499) -- (1.192,8.419) -- (1.251,8.36) -- (1.331,8.339) -- (1.411,8.36) -- (1.469,8.419) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.491,8.274) -- (11.469,8.354) -- (11.411,8.412) -- (11.331,8.434) -- (11.251,8.412) -- (11.192,8.354) -- (11.171,8.274) -- (11.192,8.194) -- (11.251,8.135) -- (11.331,8.114) -- (11.411,8.135) -- (11.469,8.194) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.402,8.229) -- (8.381,8.309) -- (8.322,8.367) -- (8.242,8.389) -- (8.162,8.367) -- (8.104,8.309) -- (8.082,8.229) -- (8.104,8.149) -- (8.162,8.09) -- (8.242,8.069) -- (8.322,8.09) -- (8.381,8.149) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.056,5.059) -- (8.035,5.139) -- (7.976,5.197) -- (7.896,5.219) -- (7.816,5.197) -- (7.758,5.139) -- (7.736,5.059) -- (7.758,4.979) -- (7.816,4.92) -- (7.896,4.899) -- (7.976,4.92) -- (8.035,4.979) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.766,4.917) -- (10.745,4.997) -- (10.686,5.056) -- (10.606,5.077) -- (10.526,5.056) -- (10.467,4.997) -- (10.446,4.917) -- (10.467,4.837) -- (10.526,4.779) -- (10.606,4.757) -- (10.686,4.779) -- (10.745,4.837) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.588,4.138) -- (4.566,4.218) -- (4.508,4.276) -- (4.428,4.298) -- (4.348,4.276) -- (4.289,4.218) -- (4.268,4.138) -- (4.289,4.058) -- (4.348,3.999) -- (4.428,3.978) -- (4.508,3.999) -- (4.566,4.058) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.585,1.57) -- (7.563,1.65) -- (7.505,1.708) -- (7.425,1.73) -- (7.345,1.708) -- (7.286,1.65) -- (7.265,1.57) -- (7.286,1.49) -- (7.345,1.431) -- (7.425,1.41) -- (7.505,1.431) -- (7.563,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.223,7.919) -- (5.178,8.089) -- (5.053,8.213) -- (4.883,8.259) -- (4.713,8.213) -- (4.589,8.089) -- (4.543,7.919) -- (4.589,7.749) -- (4.713,7.624) -- (4.883,7.579) -- (5.053,7.624) -- (5.178,7.749) -- cycle;
\node at (4.883,7.919) {\scalebox{1.604}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.66,6.631) -- (3.614,6.801) -- (3.49,6.926) -- (3.32,6.971) -- (3.15,6.926) -- (3.026,6.801) -- (2.98,6.631) -- (3.026,6.461) -- (3.15,6.337) -- (3.32,6.291) -- (3.49,6.337) -- (3.614,6.461) -- cycle;
\node at (3.32,6.631) {\scalebox{1.604}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.129,8.059) -- (10.084,8.229) -- (9.959,8.353) -- (9.789,8.399) -- (9.619,8.353) -- (9.495,8.229) -- (9.449,8.059) -- (9.495,7.889) -- (9.619,7.764) -- (9.789,7.719) -- (9.959,7.764) -- (10.084,7.889) -- cycle;
\node at (9.789,8.059) {\scalebox{1.604}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.76,6.498) -- (11.714,6.668) -- (11.59,6.793) -- (11.42,6.838) -- (11.25,6.793) -- (11.125,6.668) -- (11.08,6.498) -- (11.125,6.328) -- (11.25,6.204) -- (11.42,6.158) -- (11.59,6.204) -- (11.714,6.328) -- cycle;
\node at (11.42,6.498) {\scalebox{1.604}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.597,6.623) -- (8.551,6.793) -- (8.427,6.918) -- (8.257,6.963) -- (8.087,6.918) -- (7.962,6.793) -- (7.917,6.623) -- (7.962,6.453) -- (8.087,6.329) -- (8.257,6.283) -- (8.427,6.329) -- (8.551,6.453) -- cycle;
\node at (8.257,6.623) {\scalebox{1.604}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.078,5.808) -- (7.032,5.978) -- (6.908,6.102) -- (6.738,6.148) -- (6.568,6.102) -- (6.443,5.978) -- (6.398,5.808) -- (6.443,5.638) -- (6.568,5.513) -- (6.738,5.468) -- (6.908,5.513) -- (7.032,5.638) -- cycle;
\node at (6.738,5.808) {\scalebox{1.604}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.602,5.196) -- (9.556,5.366) -- (9.432,5.49) -- (9.262,5.536) -- (9.092,5.49) -- (8.968,5.366) -- (8.922,5.196) -- (8.968,5.026) -- (9.092,4.901) -- (9.262,4.856) -- (9.432,4.901) -- (9.556,5.026) -- cycle;
\node at (9.262,5.196) {\scalebox{1.604}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.622,4.146) -- (6.577,4.316) -- (6.452,4.44) -- (6.282,4.486) -- (6.112,4.44) -- (5.988,4.316) -- (5.942,4.146) -- (5.988,3.976) -- (6.112,3.852) -- (6.282,3.806) -- (6.452,3.852) -- (6.577,3.976) -- cycle;
\node at (6.282,4.146) {\scalebox{1.604}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.174,3.291) -- (8.128,3.461) -- (8.004,3.585) -- (7.834,3.631) -- (7.664,3.585) -- (7.539,3.461) -- (7.494,3.291) -- (7.539,3.121) -- (7.664,2.996) -- (7.834,2.951) -- (8.004,2.996) -- (8.128,3.121) -- cycle;
\node at (7.834,3.291) {\scalebox{1.604}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.58,3.22) -- (6.535,3.39) -- (6.41,3.515) -- (6.24,3.56) -- (6.07,3.515) -- (5.946,3.39) -- (5.9,3.22) -- (5.946,3.05) -- (6.07,2.926) -- (6.24,2.88) -- (6.41,2.926) -- (6.535,3.05) -- cycle;
\node at (6.24,3.22) {\scalebox{1.604}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.942,7.929) -- (8.542,7.929) -- (8.542,8.529) -- (7.942,8.529) -- cycle;
\node at (8.242,8.229) {\scalebox{1.604}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.433,6.31) -- (13.033,6.31) -- (13.033,6.91) -- (12.433,6.91) -- cycle;
\node at (12.733,6.61) {\scalebox{1.604}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.096,6.914) -- (9.696,6.914) -- (9.696,7.514) -- (9.096,7.514) -- cycle;
\node at (9.396,7.214) {\scalebox{1.604}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.068,1.904) -- (8.668,1.904) -- (8.668,2.504) -- (8.068,2.504) -- cycle;
\node at (8.368,2.204) {\scalebox{1.604}{\small d}};
\node at (0.765,8.752) {\scalebox{1.604}{\small A}};
\node at (11.859,8.598) {\scalebox{1.604}{\small B}};
\node at (8.463,8.808) {\scalebox{1.604}{\small C}};
\node at (8.272,4.566) {\scalebox{1.604}{\small D}};
\node at (11.204,4.754) {\scalebox{1.604}{\small E}};
\node at (3.891,3.828) {\scalebox{1.604}{\small F}};
\node at (7.44,0.95) {\scalebox{1.604}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.631,7.549) -- (12.631,8.649);
\draw[line width=0.5pt] (12.4,8.264) -- (12.631,8.649) -- (12.862,8.264);
\draw[line width=0.5pt] (12.328,8.099) -- (12.933,8.099);
\node at (12.631,9.034) {\scalebox{1.604}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue du Four ①} vers l'ouest et atteint Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ②}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ③}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ④}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑩}, vers le sud-est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑨}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Pont ⑤}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
