\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 251}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=251}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0251}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7015, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.34,8.472) -- (1.575,8.473) -- (1.809,8.479) -- (2.044,8.491) -- (2.279,8.508) -- (2.512,8.531) -- (2.746,8.559) -- (2.979,8.593) -- (3.21,8.632) -- (3.441,8.676) -- (3.671,8.726) -- (3.899,8.782) -- (4.126,8.843) -- (4.352,8.909) -- (4.576,8.98) -- (4.769,8.957) -- (4.961,8.93) -- (5.153,8.898) -- (5.344,8.862) -- (5.535,8.821) -- (5.724,8.776) -- (5.912,8.726) -- (6.099,8.672) -- (6.285,8.614) -- (6.469,8.551) -- (6.652,8.484) -- (6.833,8.413) -- (7.012,8.337) -- (7.189,8.257);
\draw[line width=0.5pt] (1.34,8.472) -- (1.547,8.313) -- (1.75,8.149) -- (1.95,7.981) -- (2.145,7.807) -- (2.337,7.629) -- (2.524,7.446) -- (2.707,7.26) -- (2.886,7.068) -- (3.06,6.873) -- (3.229,6.674) -- (3.393,6.471) -- (3.553,6.264) -- (3.708,6.053) -- (3.857,5.839);
\draw[line width=0.5pt] (7.189,8.257) -- (7.481,8.198) -- (7.775,8.145) -- (8.069,8.1) -- (8.365,8.062) -- (8.661,8.03) -- (8.959,8.006) -- (9.256,7.988) -- (9.554,7.978) -- (9.853,7.974) -- (10.151,7.978) -- (10.449,7.988) -- (10.746,8.006) -- (11.043,8.03) -- (11.34,8.062);
\draw[line width=0.5pt] (7.189,8.257) -- (7.467,8.144) -- (7.743,8.024) -- (8.015,7.897) -- (8.285,7.764) -- (8.551,7.625) -- (8.815,7.479) -- (9.074,7.328) -- (9.33,7.17) -- (9.583,7.006) -- (9.831,6.837) -- (10.075,6.661) -- (10.315,6.48) -- (10.551,6.294) -- (10.782,6.102);
\draw[line width=0.5pt] (7.189,8.257) -- (6.927,8.122) -- (6.667,7.981) -- (6.411,7.834) -- (6.159,7.681) -- (5.91,7.521) -- (5.665,7.356) -- (5.424,7.186) -- (5.186,7.009) -- (4.954,6.827) -- (4.725,6.64) -- (4.501,6.448) -- (4.282,6.25) -- (4.067,6.047) -- (3.857,5.839);
\draw[line width=0.5pt] (7.189,8.257) -- (7.239,8.027) -- (7.284,7.795) -- (7.324,7.563) -- (7.357,7.329) -- (7.386,7.095) -- (7.408,6.86) -- (7.426,6.625) -- (7.438,6.389) -- (7.444,6.153) -- (7.444,5.917) -- (7.44,5.681) -- (7.429,5.445) -- (7.413,5.21) -- (7.392,4.975) -- (7.404,4.742) -- (7.421,4.509) -- (7.444,4.276) -- (7.473,4.044) -- (7.507,3.813) -- (7.547,3.582) -- (7.592,3.353) -- (7.642,3.124) -- (7.698,2.897) -- (7.759,2.671) -- (7.825,2.447) -- (7.896,2.224) -- (7.973,2.003) -- (8.055,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (11.34,8.062) -- (11.279,7.929) -- (11.221,7.795) -- (11.166,7.659) -- (11.115,7.522) -- (11.066,7.384) -- (11.021,7.245) -- (10.98,7.105) -- (10.941,6.964) -- (10.906,6.822) -- (10.875,6.679) -- (10.846,6.535) -- (10.821,6.391) -- (10.8,6.247) -- (10.782,6.102);
\draw[line width=0.5pt] (10.782,6.102) -- (10.84,5.875) -- (10.894,5.648) -- (10.942,5.419) -- (10.985,5.189) -- (11.022,4.957) -- (11.054,4.725) -- (11.081,4.493) -- (11.102,4.26) -- (11.117,4.026) -- (11.127,3.792) -- (11.132,3.558) -- (11.131,3.324) -- (11.124,3.09) -- (11.112,2.857);
\draw[line width=0.5pt] (10.782,6.102) -- (10.541,5.826) -- (10.307,5.544) -- (10.08,5.257) -- (9.86,4.964) -- (9.646,4.666) -- (9.44,4.363) -- (9.24,4.056) -- (9.048,3.743) -- (8.863,3.427) -- (8.686,3.106) -- (8.517,2.781) -- (8.355,2.453) -- (8.201,2.12) -- (8.055,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (3.857,5.839) -- (4.199,5.598) -- (4.535,5.348) -- (4.865,5.091) -- (5.19,4.826) -- (5.507,4.553) -- (5.819,4.273) -- (6.123,3.985) -- (6.421,3.69) -- (6.712,3.389) -- (6.996,3.081) -- (7.272,2.766) -- (7.541,2.445) -- (7.802,2.118) -- (8.055,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (11.112,2.857) -- (10.884,2.814) -- (10.656,2.766) -- (10.43,2.713) -- (10.205,2.654) -- (9.982,2.59) -- (9.76,2.521) -- (9.539,2.447) -- (9.321,2.367) -- (9.104,2.283) -- (8.89,2.193) -- (8.677,2.098) -- (8.467,1.999) -- (8.26,1.894) -- (8.055,1.785);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.5,8.472) -- (1.478,8.552) -- (1.42,8.611) -- (1.34,8.632) -- (1.26,8.611) -- (1.201,8.552) -- (1.18,8.472) -- (1.201,8.392) -- (1.26,8.334) -- (1.34,8.312) -- (1.42,8.334) -- (1.478,8.392) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.349,8.257) -- (7.328,8.337) -- (7.269,8.396) -- (7.189,8.417) -- (7.109,8.396) -- (7.051,8.337) -- (7.029,8.257) -- (7.051,8.177) -- (7.109,8.119) -- (7.189,8.097) -- (7.269,8.119) -- (7.328,8.177) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.5,8.062) -- (11.478,8.142) -- (11.42,8.2) -- (11.34,8.222) -- (11.26,8.2) -- (11.201,8.142) -- (11.18,8.062) -- (11.201,7.982) -- (11.26,7.923) -- (11.34,7.902) -- (11.42,7.923) -- (11.478,7.982) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.942,6.102) -- (10.92,6.182) -- (10.862,6.24) -- (10.782,6.262) -- (10.702,6.24) -- (10.643,6.182) -- (10.622,6.102) -- (10.643,6.022) -- (10.702,5.963) -- (10.782,5.942) -- (10.862,5.963) -- (10.92,6.022) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.017,5.839) -- (3.996,5.919) -- (3.937,5.978) -- (3.857,5.999) -- (3.777,5.978) -- (3.719,5.919) -- (3.697,5.839) -- (3.719,5.759) -- (3.777,5.701) -- (3.857,5.679) -- (3.937,5.701) -- (3.996,5.759) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.272,2.857) -- (11.251,2.937) -- (11.192,2.995) -- (11.112,3.017) -- (11.032,2.995) -- (10.973,2.937) -- (10.952,2.857) -- (10.973,2.777) -- (11.032,2.718) -- (11.112,2.697) -- (11.192,2.718) -- (11.251,2.777) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.215,1.785) -- (8.194,1.865) -- (8.135,1.923) -- (8.055,1.945) -- (7.975,1.923) -- (7.917,1.865) -- (7.895,1.785) -- (7.917,1.705) -- (7.975,1.646) -- (8.055,1.625) -- (8.135,1.646) -- (8.194,1.705) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.878,9.298) -- (4.833,9.468) -- (4.708,9.592) -- (4.538,9.638) -- (4.368,9.592) -- (4.244,9.468) -- (4.198,9.298) -- (4.244,9.128) -- (4.368,9.003) -- (4.538,8.958) -- (4.708,9.003) -- (4.833,9.128) -- cycle;
\node at (4.538,9.298) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.278,7.481) -- (3.233,7.651) -- (3.108,7.775) -- (2.938,7.821) -- (2.768,7.775) -- (2.644,7.651) -- (2.598,7.481) -- (2.644,7.311) -- (2.768,7.186) -- (2.938,7.141) -- (3.108,7.186) -- (3.233,7.311) -- cycle;
\node at (2.938,7.481) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.611,8.308) -- (9.566,8.478) -- (9.441,8.602) -- (9.271,8.648) -- (9.101,8.602) -- (8.977,8.478) -- (8.931,8.308) -- (8.977,8.138) -- (9.101,8.013) -- (9.271,7.968) -- (9.441,8.013) -- (9.566,8.138) -- cycle;
\node at (9.271,8.308) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.25,7.053) -- (9.204,7.223) -- (9.08,7.348) -- (8.91,7.393) -- (8.74,7.348) -- (8.615,7.223) -- (8.57,7.053) -- (8.615,6.883) -- (8.74,6.759) -- (8.91,6.713) -- (9.08,6.759) -- (9.204,6.883) -- cycle;
\node at (8.91,7.053) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.951,6.927) -- (5.906,7.097) -- (5.781,7.221) -- (5.611,7.267) -- (5.441,7.221) -- (5.317,7.097) -- (5.271,6.927) -- (5.317,6.757) -- (5.441,6.632) -- (5.611,6.587) -- (5.781,6.632) -- (5.906,6.757) -- cycle;
\node at (5.611,6.927) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.051,4.969) -- (8.006,5.139) -- (7.881,5.263) -- (7.711,5.309) -- (7.541,5.263) -- (7.417,5.139) -- (7.371,4.969) -- (7.417,4.799) -- (7.541,4.674) -- (7.711,4.629) -- (7.881,4.674) -- (8.006,4.799) -- cycle;
\node at (7.711,4.969) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.628,7.017) -- (11.582,7.187) -- (11.458,7.311) -- (11.288,7.357) -- (11.118,7.311) -- (10.993,7.187) -- (10.948,7.017) -- (10.993,6.847) -- (11.118,6.723) -- (11.288,6.677) -- (11.458,6.723) -- (11.582,6.847) -- cycle;
\node at (11.288,7.017) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.739,4.525) -- (11.693,4.695) -- (11.569,4.82) -- (11.399,4.865) -- (11.229,4.82) -- (11.105,4.695) -- (11.059,4.525) -- (11.105,4.355) -- (11.229,4.231) -- (11.399,4.185) -- (11.569,4.231) -- (11.693,4.355) -- cycle;
\node at (11.399,4.525) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.851,3.885) -- (9.805,4.055) -- (9.681,4.179) -- (9.511,4.225) -- (9.341,4.179) -- (9.216,4.055) -- (9.171,3.885) -- (9.216,3.715) -- (9.341,3.59) -- (9.511,3.545) -- (9.681,3.59) -- (9.805,3.715) -- cycle;
\node at (9.511,3.885) {\scalebox{1.426}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.686,4.215) -- (6.64,4.385) -- (6.516,4.51) -- (6.346,4.555) -- (6.176,4.51) -- (6.051,4.385) -- (6.006,4.215) -- (6.051,4.045) -- (6.176,3.921) -- (6.346,3.875) -- (6.516,3.921) -- (6.64,4.045) -- cycle;
\node at (6.346,4.215) {\scalebox{1.426}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.985,2.145) -- (9.94,2.315) -- (9.815,2.439) -- (9.645,2.485) -- (9.475,2.439) -- (9.351,2.315) -- (9.305,2.145) -- (9.351,1.975) -- (9.475,1.85) -- (9.645,1.805) -- (9.815,1.85) -- (9.94,1.975) -- cycle;
\node at (9.645,2.145) {\scalebox{1.426}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.755,1.485) -- (8.355,1.485) -- (8.355,2.085) -- (7.755,2.085) -- cycle;
\node at (8.055,1.785) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.925,0.65) -- (10.525,0.65) -- (10.525,1.25) -- (9.925,1.25) -- cycle;
\node at (10.225,0.95) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (5.54,3.205) -- (6.14,3.205) -- (6.14,3.805) -- (5.54,3.805) -- cycle;
\node at (5.84,3.505) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\node at (0.765,8.705) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (7.065,8.865) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (11.875,8.375) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (11.4,6.14) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (3.237,5.828) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (11.576,2.445) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\node at (8.113,1.167) {\scalebox{1.426}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.64,7.522) -- (12.64,8.622);
\draw[line width=0.5pt] (12.409,8.237) -- (12.64,8.622) -- (12.871,8.237);
\draw[line width=0.5pt] (12.337,8.072) -- (12.942,8.072);
\node at (12.64,9.007) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Stade & ⑦ rue Neuve & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin Creux & ⑧ allée des Tilleuls & Ⓑ Carrefour de la Mairie & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ rue de la Poste & ⑨ rue des Lilas & Ⓒ Place aux Herbes & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue de l'Église & ⑩ venelle du Chat & Ⓓ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
⑤ rue Pasteur & ⑪ rue Basse & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
⑥ rue de la Mairie &  & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Stade &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6277, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.34,8.472) -- (1.575,8.473) -- (1.809,8.479) -- (2.044,8.491) -- (2.279,8.508) -- (2.512,8.531) -- (2.746,8.559) -- (2.979,8.593) -- (3.21,8.632) -- (3.441,8.676) -- (3.671,8.726) -- (3.899,8.782) -- (4.126,8.843) -- (4.352,8.909) -- (4.576,8.98) -- (4.769,8.957) -- (4.961,8.93) -- (5.153,8.898) -- (5.344,8.862) -- (5.535,8.821) -- (5.724,8.776) -- (5.912,8.726) -- (6.099,8.672) -- (6.285,8.614) -- (6.469,8.551) -- (6.652,8.484) -- (6.833,8.413) -- (7.012,8.337) -- (7.189,8.257);
\draw[line width=0.5pt] (1.34,8.472) -- (1.547,8.313) -- (1.75,8.149) -- (1.95,7.981) -- (2.145,7.807) -- (2.337,7.629) -- (2.524,7.446) -- (2.707,7.26) -- (2.886,7.068) -- (3.06,6.873) -- (3.229,6.674) -- (3.393,6.471) -- (3.553,6.264) -- (3.708,6.053) -- (3.857,5.839);
\draw[line width=0.5pt] (7.189,8.257) -- (7.481,8.198) -- (7.775,8.145) -- (8.069,8.1) -- (8.365,8.062) -- (8.661,8.03) -- (8.959,8.006) -- (9.256,7.988) -- (9.554,7.978) -- (9.853,7.974) -- (10.151,7.978) -- (10.449,7.988) -- (10.746,8.006) -- (11.043,8.03) -- (11.34,8.062);
\draw[line width=0.5pt] (7.189,8.257) -- (7.467,8.144) -- (7.743,8.024) -- (8.015,7.897) -- (8.285,7.764) -- (8.551,7.625) -- (8.815,7.479) -- (9.074,7.328) -- (9.33,7.17) -- (9.583,7.006) -- (9.831,6.837) -- (10.075,6.661) -- (10.315,6.48) -- (10.551,6.294) -- (10.782,6.102);
\draw[line width=0.5pt] (7.189,8.257) -- (6.927,8.122) -- (6.667,7.981) -- (6.411,7.834) -- (6.159,7.681) -- (5.91,7.521) -- (5.665,7.356) -- (5.424,7.186) -- (5.186,7.009) -- (4.954,6.827) -- (4.725,6.64) -- (4.501,6.448) -- (4.282,6.25) -- (4.067,6.047) -- (3.857,5.839);
\draw[line width=0.5pt] (7.189,8.257) -- (7.239,8.027) -- (7.284,7.795) -- (7.324,7.563) -- (7.357,7.329) -- (7.386,7.095) -- (7.408,6.86) -- (7.426,6.625) -- (7.438,6.389) -- (7.444,6.153) -- (7.444,5.917) -- (7.44,5.681) -- (7.429,5.445) -- (7.413,5.21) -- (7.392,4.975) -- (7.404,4.742) -- (7.421,4.509) -- (7.444,4.276) -- (7.473,4.044) -- (7.507,3.813) -- (7.547,3.582) -- (7.592,3.353) -- (7.642,3.124) -- (7.698,2.897) -- (7.759,2.671) -- (7.825,2.447) -- (7.896,2.224) -- (7.973,2.003) -- (8.055,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (11.34,8.062) -- (11.279,7.929) -- (11.221,7.795) -- (11.166,7.659) -- (11.115,7.522) -- (11.066,7.384) -- (11.021,7.245) -- (10.98,7.105) -- (10.941,6.964) -- (10.906,6.822) -- (10.875,6.679) -- (10.846,6.535) -- (10.821,6.391) -- (10.8,6.247) -- (10.782,6.102);
\draw[line width=0.5pt] (10.782,6.102) -- (10.84,5.875) -- (10.894,5.648) -- (10.942,5.419) -- (10.985,5.189) -- (11.022,4.957) -- (11.054,4.725) -- (11.081,4.493) -- (11.102,4.26) -- (11.117,4.026) -- (11.127,3.792) -- (11.132,3.558) -- (11.131,3.324) -- (11.124,3.09) -- (11.112,2.857);
\draw[line width=0.5pt] (10.782,6.102) -- (10.541,5.826) -- (10.307,5.544) -- (10.08,5.257) -- (9.86,4.964) -- (9.646,4.666) -- (9.44,4.363) -- (9.24,4.056) -- (9.048,3.743) -- (8.863,3.427) -- (8.686,3.106) -- (8.517,2.781) -- (8.355,2.453) -- (8.201,2.12) -- (8.055,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (3.857,5.839) -- (4.199,5.598) -- (4.535,5.348) -- (4.865,5.091) -- (5.19,4.826) -- (5.507,4.553) -- (5.819,4.273) -- (6.123,3.985) -- (6.421,3.69) -- (6.712,3.389) -- (6.996,3.081) -- (7.272,2.766) -- (7.541,2.445) -- (7.802,2.118) -- (8.055,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (11.112,2.857) -- (10.884,2.814) -- (10.656,2.766) -- (10.43,2.713) -- (10.205,2.654) -- (9.982,2.59) -- (9.76,2.521) -- (9.539,2.447) -- (9.321,2.367) -- (9.104,2.283) -- (8.89,2.193) -- (8.677,2.098) -- (8.467,1.999) -- (8.26,1.894) -- (8.055,1.785);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.5,8.472) -- (1.478,8.552) -- (1.42,8.611) -- (1.34,8.632) -- (1.26,8.611) -- (1.201,8.552) -- (1.18,8.472) -- (1.201,8.392) -- (1.26,8.334) -- (1.34,8.312) -- (1.42,8.334) -- (1.478,8.392) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.349,8.257) -- (7.328,8.337) -- (7.269,8.396) -- (7.189,8.417) -- (7.109,8.396) -- (7.051,8.337) -- (7.029,8.257) -- (7.051,8.177) -- (7.109,8.119) -- (7.189,8.097) -- (7.269,8.119) -- (7.328,8.177) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.5,8.062) -- (11.478,8.142) -- (11.42,8.2) -- (11.34,8.222) -- (11.26,8.2) -- (11.201,8.142) -- (11.18,8.062) -- (11.201,7.982) -- (11.26,7.923) -- (11.34,7.902) -- (11.42,7.923) -- (11.478,7.982) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.942,6.102) -- (10.92,6.182) -- (10.862,6.24) -- (10.782,6.262) -- (10.702,6.24) -- (10.643,6.182) -- (10.622,6.102) -- (10.643,6.022) -- (10.702,5.963) -- (10.782,5.942) -- (10.862,5.963) -- (10.92,6.022) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.017,5.839) -- (3.996,5.919) -- (3.937,5.978) -- (3.857,5.999) -- (3.777,5.978) -- (3.719,5.919) -- (3.697,5.839) -- (3.719,5.759) -- (3.777,5.701) -- (3.857,5.679) -- (3.937,5.701) -- (3.996,5.759) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.272,2.857) -- (11.251,2.937) -- (11.192,2.995) -- (11.112,3.017) -- (11.032,2.995) -- (10.973,2.937) -- (10.952,2.857) -- (10.973,2.777) -- (11.032,2.718) -- (11.112,2.697) -- (11.192,2.718) -- (11.251,2.777) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.215,1.785) -- (8.194,1.865) -- (8.135,1.923) -- (8.055,1.945) -- (7.975,1.923) -- (7.917,1.865) -- (7.895,1.785) -- (7.917,1.705) -- (7.975,1.646) -- (8.055,1.625) -- (8.135,1.646) -- (8.194,1.705) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.878,9.298) -- (4.833,9.468) -- (4.708,9.592) -- (4.538,9.638) -- (4.368,9.592) -- (4.244,9.468) -- (4.198,9.298) -- (4.244,9.128) -- (4.368,9.003) -- (4.538,8.958) -- (4.708,9.003) -- (4.833,9.128) -- cycle;
\node at (4.538,9.298) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.278,7.481) -- (3.233,7.651) -- (3.108,7.775) -- (2.938,7.821) -- (2.768,7.775) -- (2.644,7.651) -- (2.598,7.481) -- (2.644,7.311) -- (2.768,7.186) -- (2.938,7.141) -- (3.108,7.186) -- (3.233,7.311) -- cycle;
\node at (2.938,7.481) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.611,8.308) -- (9.566,8.478) -- (9.441,8.602) -- (9.271,8.648) -- (9.101,8.602) -- (8.977,8.478) -- (8.931,8.308) -- (8.977,8.138) -- (9.101,8.013) -- (9.271,7.968) -- (9.441,8.013) -- (9.566,8.138) -- cycle;
\node at (9.271,8.308) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.25,7.053) -- (9.204,7.223) -- (9.08,7.348) -- (8.91,7.393) -- (8.74,7.348) -- (8.615,7.223) -- (8.57,7.053) -- (8.615,6.883) -- (8.74,6.759) -- (8.91,6.713) -- (9.08,6.759) -- (9.204,6.883) -- cycle;
\node at (8.91,7.053) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.951,6.927) -- (5.906,7.097) -- (5.781,7.221) -- (5.611,7.267) -- (5.441,7.221) -- (5.317,7.097) -- (5.271,6.927) -- (5.317,6.757) -- (5.441,6.632) -- (5.611,6.587) -- (5.781,6.632) -- (5.906,6.757) -- cycle;
\node at (5.611,6.927) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.051,4.969) -- (8.006,5.139) -- (7.881,5.263) -- (7.711,5.309) -- (7.541,5.263) -- (7.417,5.139) -- (7.371,4.969) -- (7.417,4.799) -- (7.541,4.674) -- (7.711,4.629) -- (7.881,4.674) -- (8.006,4.799) -- cycle;
\node at (7.711,4.969) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.628,7.017) -- (11.582,7.187) -- (11.458,7.311) -- (11.288,7.357) -- (11.118,7.311) -- (10.993,7.187) -- (10.948,7.017) -- (10.993,6.847) -- (11.118,6.723) -- (11.288,6.677) -- (11.458,6.723) -- (11.582,6.847) -- cycle;
\node at (11.288,7.017) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.739,4.525) -- (11.693,4.695) -- (11.569,4.82) -- (11.399,4.865) -- (11.229,4.82) -- (11.105,4.695) -- (11.059,4.525) -- (11.105,4.355) -- (11.229,4.231) -- (11.399,4.185) -- (11.569,4.231) -- (11.693,4.355) -- cycle;
\node at (11.399,4.525) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.851,3.885) -- (9.805,4.055) -- (9.681,4.179) -- (9.511,4.225) -- (9.341,4.179) -- (9.216,4.055) -- (9.171,3.885) -- (9.216,3.715) -- (9.341,3.59) -- (9.511,3.545) -- (9.681,3.59) -- (9.805,3.715) -- cycle;
\node at (9.511,3.885) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.686,4.215) -- (6.64,4.385) -- (6.516,4.51) -- (6.346,4.555) -- (6.176,4.51) -- (6.051,4.385) -- (6.006,4.215) -- (6.051,4.045) -- (6.176,3.921) -- (6.346,3.875) -- (6.516,3.921) -- (6.64,4.045) -- cycle;
\node at (6.346,4.215) {\scalebox{1.593}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.985,2.145) -- (9.94,2.315) -- (9.815,2.439) -- (9.645,2.485) -- (9.475,2.439) -- (9.351,2.315) -- (9.305,2.145) -- (9.351,1.975) -- (9.475,1.85) -- (9.645,1.805) -- (9.815,1.85) -- (9.94,1.975) -- cycle;
\node at (9.645,2.145) {\scalebox{1.593}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.755,1.485) -- (8.355,1.485) -- (8.355,2.085) -- (7.755,2.085) -- cycle;
\node at (8.055,1.785) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.925,0.65) -- (10.525,0.65) -- (10.525,1.25) -- (9.925,1.25) -- cycle;
\node at (10.225,0.95) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (5.54,3.205) -- (6.14,3.205) -- (6.14,3.805) -- (5.54,3.805) -- cycle;
\node at (5.84,3.505) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\node at (0.765,8.705) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (7.065,8.865) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (11.875,8.375) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (11.4,6.14) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (3.237,5.828) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (11.576,2.445) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\node at (8.113,1.167) {\scalebox{1.593}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.64,7.522) -- (12.64,8.622);
\draw[line width=0.5pt] (12.409,8.237) -- (12.64,8.622) -- (12.871,8.237);
\draw[line width=0.5pt] (12.337,8.072) -- (12.942,8.072);
\node at (12.64,9.007) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 5 & 2 & 4 & 3 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{E} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{G}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{E}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de la Mairie \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue du Stade ①} vers l'ouest et atteint Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ②}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑤}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ③}, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑦}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑥}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑧}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑩}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\end{document}
