\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 252}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=252}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0252}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7059, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.667,8.507) -- (7.588,8.286) -- (7.515,8.063) -- (7.446,7.839) -- (7.383,7.613) -- (7.325,7.385) -- (7.273,7.156) -- (7.226,6.926) -- (7.184,6.695) -- (7.148,6.463) -- (7.118,6.23) -- (7.092,5.997) -- (7.073,5.763) -- (7.059,5.529) -- (7.05,5.294);
\draw[line width=0.5pt] (7.667,8.507) -- (7.966,8.261) -- (8.258,8.008) -- (8.545,7.748) -- (8.825,7.481) -- (9.099,7.207) -- (9.367,6.927) -- (9.628,6.641) -- (9.882,6.349) -- (10.129,6.051) -- (10.369,5.747) -- (10.602,5.438) -- (10.828,5.123) -- (11.046,4.804) -- (11.256,4.479);
\draw[line width=0.5pt] (1.658,8.359) -- (1.768,8.144) -- (1.884,7.933) -- (2.004,7.724) -- (2.129,7.518) -- (2.26,7.315) -- (2.394,7.115) -- (2.534,6.919) -- (2.678,6.725) -- (2.827,6.535) -- (2.98,6.349) -- (3.137,6.166) -- (3.299,5.987) -- (3.464,5.812) -- (3.634,5.642);
\draw[line width=0.5pt] (1.658,8.359) -- (1.673,8.15) -- (1.682,7.941) -- (1.687,7.731) -- (1.687,7.522) -- (1.681,7.312) -- (1.671,7.103) -- (1.656,6.894) -- (1.636,6.685) -- (1.611,6.477) -- (1.582,6.27) -- (1.547,6.063) -- (1.507,5.857) -- (1.463,5.653) -- (1.414,5.449) -- (1.364,5.199) -- (1.32,4.948) -- (1.282,4.696) -- (1.249,4.442) -- (1.223,4.188) -- (1.203,3.934) -- (1.188,3.679) -- (1.18,3.424) -- (1.178,3.169) -- (1.181,2.913) -- (1.191,2.658) -- (1.207,2.404) -- (1.228,2.149) -- (1.256,1.896);
\draw[line width=0.5pt] (4.522,8.123) -- (4.432,7.957) -- (4.346,7.788) -- (4.264,7.618) -- (4.186,7.446) -- (4.112,7.272) -- (4.042,7.096) -- (3.976,6.919) -- (3.914,6.74) -- (3.857,6.56) -- (3.803,6.378) -- (3.755,6.195) -- (3.71,6.012) -- (3.67,5.827) -- (3.634,5.642);
\draw[line width=0.5pt] (3.634,5.642) -- (3.88,5.654) -- (4.126,5.661) -- (4.372,5.662) -- (4.619,5.658) -- (4.865,5.647) -- (5.111,5.631) -- (5.356,5.609) -- (5.601,5.581) -- (5.845,5.547) -- (6.089,5.508) -- (6.331,5.463) -- (6.572,5.412) -- (6.812,5.356) -- (7.05,5.294);
\draw[line width=0.5pt] (3.634,5.642) -- (3.63,5.386) -- (3.633,5.13) -- (3.641,4.874) -- (3.656,4.619) -- (3.677,4.363) -- (3.703,4.109) -- (3.736,3.855) -- (3.774,3.602) -- (3.819,3.349) -- (3.869,3.098) -- (3.925,2.849) -- (3.987,2.6) -- (4.055,2.354) -- (4.129,2.109);
\draw[line width=0.5pt] (3.634,5.642) -- (3.506,5.35) -- (3.372,5.062) -- (3.231,4.776) -- (3.083,4.495) -- (2.928,4.216) -- (2.767,3.941) -- (2.599,3.671) -- (2.426,3.404) -- (2.246,3.141) -- (2.059,2.883) -- (1.867,2.629) -- (1.669,2.38) -- (1.465,2.135) -- (1.256,1.896);
\draw[line width=0.5pt] (3.634,5.642) -- (3.863,5.305) -- (4.1,4.973) -- (4.344,4.648) -- (4.596,4.328) -- (4.856,4.014) -- (5.123,3.706) -- (5.398,3.404) -- (5.679,3.109) -- (5.967,2.821) -- (6.262,2.54) -- (6.563,2.265) -- (6.871,1.998) -- (7.185,1.738) -- (7.504,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (7.05,5.294) -- (7.357,5.282) -- (7.664,5.263) -- (7.97,5.237) -- (8.275,5.204) -- (8.58,5.163) -- (8.884,5.115) -- (9.187,5.06) -- (9.488,4.998) -- (9.787,4.929) -- (10.085,4.853) -- (10.381,4.77) -- (10.675,4.68) -- (10.967,4.583) -- (11.256,4.479);
\draw[line width=0.5pt] (7.05,5.294) -- (7.04,5.019) -- (7.038,4.744) -- (7.041,4.469) -- (7.051,4.194) -- (7.068,3.919) -- (7.091,3.645) -- (7.12,3.371) -- (7.156,3.099) -- (7.198,2.827) -- (7.247,2.556) -- (7.302,2.286) -- (7.363,2.018) -- (7.43,1.751) -- (7.504,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (11.256,4.479) -- (11.023,4.226) -- (10.784,3.978) -- (10.539,3.736) -- (10.288,3.5) -- (10.032,3.27) -- (9.77,3.046) -- (9.504,2.828) -- (9.232,2.616) -- (8.955,2.411) -- (8.674,2.212) -- (8.388,2.021) -- (8.097,1.835) -- (7.803,1.657) -- (7.504,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (4.129,2.109) -- (4.362,2.028) -- (4.596,1.952) -- (4.832,1.882) -- (5.07,1.818) -- (5.309,1.759) -- (5.549,1.706) -- (5.791,1.658) -- (6.034,1.617) -- (6.278,1.58) -- (6.522,1.55) -- (6.767,1.525) -- (7.013,1.507) -- (7.258,1.493) -- (7.504,1.486);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.827,8.507) -- (7.806,8.587) -- (7.747,8.646) -- (7.667,8.667) -- (7.587,8.646) -- (7.529,8.587) -- (7.507,8.507) -- (7.529,8.427) -- (7.587,8.369) -- (7.667,8.347) -- (7.747,8.369) -- (7.806,8.427) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.818,8.359) -- (1.797,8.439) -- (1.738,8.497) -- (1.658,8.519) -- (1.578,8.497) -- (1.52,8.439) -- (1.498,8.359) -- (1.52,8.279) -- (1.578,8.22) -- (1.658,8.199) -- (1.738,8.22) -- (1.797,8.279) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.682,8.123) -- (4.661,8.203) -- (4.602,8.261) -- (4.522,8.283) -- (4.442,8.261) -- (4.384,8.203) -- (4.362,8.123) -- (4.384,8.043) -- (4.442,7.984) -- (4.522,7.963) -- (4.602,7.984) -- (4.661,8.043) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.794,5.642) -- (3.773,5.722) -- (3.714,5.78) -- (3.634,5.802) -- (3.554,5.78) -- (3.495,5.722) -- (3.474,5.642) -- (3.495,5.562) -- (3.554,5.503) -- (3.634,5.482) -- (3.714,5.503) -- (3.773,5.562) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.21,5.294) -- (7.189,5.374) -- (7.13,5.433) -- (7.05,5.454) -- (6.97,5.433) -- (6.911,5.374) -- (6.89,5.294) -- (6.911,5.214) -- (6.97,5.156) -- (7.05,5.134) -- (7.13,5.156) -- (7.189,5.214) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.416,4.479) -- (11.394,4.559) -- (11.336,4.618) -- (11.256,4.639) -- (11.176,4.618) -- (11.117,4.559) -- (11.096,4.479) -- (11.117,4.399) -- (11.176,4.341) -- (11.256,4.319) -- (11.336,4.341) -- (11.394,4.399) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.289,2.109) -- (4.268,2.189) -- (4.209,2.247) -- (4.129,2.269) -- (4.049,2.247) -- (3.991,2.189) -- (3.969,2.109) -- (3.991,2.029) -- (4.049,1.97) -- (4.129,1.949) -- (4.209,1.97) -- (4.268,2.029) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.416,1.896) -- (1.394,1.976) -- (1.336,2.034) -- (1.256,2.056) -- (1.176,2.034) -- (1.117,1.976) -- (1.096,1.896) -- (1.117,1.816) -- (1.176,1.757) -- (1.256,1.736) -- (1.336,1.757) -- (1.394,1.816) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.664,1.486) -- (7.643,1.566) -- (7.584,1.625) -- (7.504,1.646) -- (7.424,1.625) -- (7.366,1.566) -- (7.344,1.486) -- (7.366,1.406) -- (7.424,1.348) -- (7.504,1.326) -- (7.584,1.348) -- (7.643,1.406) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.88,6.866) -- (7.835,7.036) -- (7.71,7.16) -- (7.54,7.206) -- (7.37,7.16) -- (7.246,7.036) -- (7.2,6.866) -- (7.246,6.696) -- (7.37,6.571) -- (7.54,6.526) -- (7.71,6.571) -- (7.835,6.696) -- cycle;
\node at (7.54,6.866) {\scalebox{1.417}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.207,6.854) -- (10.161,7.024) -- (10.037,7.148) -- (9.867,7.194) -- (9.697,7.148) -- (9.572,7.024) -- (9.527,6.854) -- (9.572,6.684) -- (9.697,6.56) -- (9.867,6.514) -- (10.037,6.56) -- (10.161,6.684) -- cycle;
\node at (9.867,6.854) {\scalebox{1.417}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.133,7.107) -- (3.087,7.277) -- (2.963,7.401) -- (2.793,7.447) -- (2.623,7.401) -- (2.498,7.277) -- (2.453,7.107) -- (2.498,6.937) -- (2.623,6.812) -- (2.793,6.767) -- (2.963,6.812) -- (3.087,6.937) -- cycle;
\node at (2.793,7.107) {\scalebox{1.417}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.067,5.381) -- (2.021,5.551) -- (1.897,5.675) -- (1.727,5.721) -- (1.557,5.675) -- (1.432,5.551) -- (1.387,5.381) -- (1.432,5.211) -- (1.557,5.086) -- (1.727,5.041) -- (1.897,5.086) -- (2.021,5.211) -- cycle;
\node at (1.727,5.381) {\scalebox{1.417}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.617,6.811) -- (4.571,6.981) -- (4.447,7.105) -- (4.277,7.151) -- (4.107,7.105) -- (3.983,6.981) -- (3.937,6.811) -- (3.983,6.641) -- (4.107,6.516) -- (4.277,6.471) -- (4.447,6.516) -- (4.571,6.641) -- cycle;
\node at (4.277,6.811) {\scalebox{1.417}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.729,5.927) -- (5.683,6.097) -- (5.559,6.222) -- (5.389,6.267) -- (5.219,6.222) -- (5.094,6.097) -- (5.049,5.927) -- (5.094,5.757) -- (5.219,5.633) -- (5.389,5.587) -- (5.559,5.633) -- (5.683,5.757) -- cycle;
\node at (5.389,5.927) {\scalebox{1.417}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.393,3.899) -- (4.347,4.069) -- (4.223,4.194) -- (4.053,4.239) -- (3.883,4.194) -- (3.758,4.069) -- (3.713,3.899) -- (3.758,3.729) -- (3.883,3.605) -- (4.053,3.559) -- (4.223,3.605) -- (4.347,3.729) -- cycle;
\node at (4.053,3.899) {\scalebox{1.417}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.21,3.499) -- (3.164,3.669) -- (3.04,3.794) -- (2.87,3.839) -- (2.7,3.794) -- (2.575,3.669) -- (2.53,3.499) -- (2.575,3.329) -- (2.7,3.205) -- (2.87,3.159) -- (3.04,3.205) -- (3.164,3.329) -- cycle;
\node at (2.87,3.499) {\scalebox{1.417}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.972,3.622) -- (5.926,3.792) -- (5.802,3.917) -- (5.632,3.962) -- (5.462,3.917) -- (5.337,3.792) -- (5.292,3.622) -- (5.337,3.452) -- (5.462,3.328) -- (5.632,3.282) -- (5.802,3.328) -- (5.926,3.452) -- cycle;
\node at (5.632,3.622) {\scalebox{1.417}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.587,5.374) -- (9.542,5.544) -- (9.417,5.669) -- (9.247,5.714) -- (9.077,5.669) -- (8.953,5.544) -- (8.907,5.374) -- (8.953,5.204) -- (9.077,5.08) -- (9.247,5.034) -- (9.417,5.08) -- (9.542,5.204) -- cycle;
\node at (9.247,5.374) {\scalebox{1.417}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.778,3.409) -- (7.732,3.579) -- (7.608,3.704) -- (7.438,3.749) -- (7.268,3.704) -- (7.143,3.579) -- (7.098,3.409) -- (7.143,3.239) -- (7.268,3.115) -- (7.438,3.069) -- (7.608,3.115) -- (7.732,3.239) -- cycle;
\node at (7.438,3.409) {\scalebox{1.417}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.043,2.578) -- (9.998,2.748) -- (9.873,2.872) -- (9.703,2.918) -- (9.533,2.872) -- (9.409,2.748) -- (9.363,2.578) -- (9.409,2.408) -- (9.533,2.283) -- (9.703,2.238) -- (9.873,2.283) -- (9.998,2.408) -- cycle;
\node at (9.703,2.578) {\scalebox{1.417}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.189,1.973) -- (6.144,2.143) -- (6.019,2.268) -- (5.849,2.313) -- (5.679,2.268) -- (5.555,2.143) -- (5.509,1.973) -- (5.555,1.803) -- (5.679,1.679) -- (5.849,1.633) -- (6.019,1.679) -- (6.144,1.803) -- cycle;
\node at (5.849,1.973) {\scalebox{1.417}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.204,1.186) -- (7.804,1.186) -- (7.804,1.786) -- (7.204,1.786) -- cycle;
\node at (7.504,1.486) {\scalebox{1.417}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.116,6.956) -- (5.716,6.956) -- (5.716,7.556) -- (5.116,7.556) -- cycle;
\node at (5.416,7.256) {\scalebox{1.417}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.981,3.631) -- (4.581,3.631) -- (4.581,4.231) -- (3.981,4.231) -- cycle;
\node at (4.281,3.931) {\scalebox{1.417}{\small c}};
\node at (8.01,9.024) {\scalebox{1.417}{\small A}};
\node at (1.19,8.765) {\scalebox{1.417}{\small B}};
\node at (4.348,8.718) {\scalebox{1.417}{\small C}};
\node at (3.041,5.823) {\scalebox{1.417}{\small D}};
\node at (7.666,5.367) {\scalebox{1.417}{\small E}};
\node at (11.872,4.414) {\scalebox{1.417}{\small F}};
\node at (3.885,1.539) {\scalebox{1.417}{\small G}};
\node at (0.765,1.517) {\scalebox{1.417}{\small H}};
\node at (7.815,0.95) {\scalebox{1.417}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.556,7.557) -- (12.556,8.657);
\draw[line width=0.5pt] (12.325,8.272) -- (12.556,8.657) -- (12.787,8.272);
\draw[line width=0.5pt] (12.253,8.107) -- (12.858,8.107);
\node at (12.556,9.042) {\scalebox{1.417}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Poste & ⑧ rue du Puits & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑨ quai aux Fleurs & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue Neuve & ⑩ rue de la Mairie & Ⓒ Place aux Herbes & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ rue du Stade & ⑪ sentier des Prés & Ⓓ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑤ impasse des Roses & ⑫ rue de l'Église & Ⓔ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
⑥ rue des Lilas & ⑬ rue Haute & Ⓕ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑦ rue du Moulin &  & Ⓖ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6316, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.667,8.507) -- (7.588,8.286) -- (7.515,8.063) -- (7.446,7.839) -- (7.383,7.613) -- (7.325,7.385) -- (7.273,7.156) -- (7.226,6.926) -- (7.184,6.695) -- (7.148,6.463) -- (7.118,6.23) -- (7.092,5.997) -- (7.073,5.763) -- (7.059,5.529) -- (7.05,5.294);
\draw[line width=0.5pt] (7.667,8.507) -- (7.966,8.261) -- (8.258,8.008) -- (8.545,7.748) -- (8.825,7.481) -- (9.099,7.207) -- (9.367,6.927) -- (9.628,6.641) -- (9.882,6.349) -- (10.129,6.051) -- (10.369,5.747) -- (10.602,5.438) -- (10.828,5.123) -- (11.046,4.804) -- (11.256,4.479);
\draw[line width=0.5pt] (1.658,8.359) -- (1.768,8.144) -- (1.884,7.933) -- (2.004,7.724) -- (2.129,7.518) -- (2.26,7.315) -- (2.394,7.115) -- (2.534,6.919) -- (2.678,6.725) -- (2.827,6.535) -- (2.98,6.349) -- (3.137,6.166) -- (3.299,5.987) -- (3.464,5.812) -- (3.634,5.642);
\draw[line width=0.5pt] (1.658,8.359) -- (1.673,8.15) -- (1.682,7.941) -- (1.687,7.731) -- (1.687,7.522) -- (1.681,7.312) -- (1.671,7.103) -- (1.656,6.894) -- (1.636,6.685) -- (1.611,6.477) -- (1.582,6.27) -- (1.547,6.063) -- (1.507,5.857) -- (1.463,5.653) -- (1.414,5.449) -- (1.364,5.199) -- (1.32,4.948) -- (1.282,4.696) -- (1.249,4.442) -- (1.223,4.188) -- (1.203,3.934) -- (1.188,3.679) -- (1.18,3.424) -- (1.178,3.169) -- (1.181,2.913) -- (1.191,2.658) -- (1.207,2.404) -- (1.228,2.149) -- (1.256,1.896);
\draw[line width=0.5pt] (4.522,8.123) -- (4.432,7.957) -- (4.346,7.788) -- (4.264,7.618) -- (4.186,7.446) -- (4.112,7.272) -- (4.042,7.096) -- (3.976,6.919) -- (3.914,6.74) -- (3.857,6.56) -- (3.803,6.378) -- (3.755,6.195) -- (3.71,6.012) -- (3.67,5.827) -- (3.634,5.642);
\draw[line width=0.5pt] (3.634,5.642) -- (3.88,5.654) -- (4.126,5.661) -- (4.372,5.662) -- (4.619,5.658) -- (4.865,5.647) -- (5.111,5.631) -- (5.356,5.609) -- (5.601,5.581) -- (5.845,5.547) -- (6.089,5.508) -- (6.331,5.463) -- (6.572,5.412) -- (6.812,5.356) -- (7.05,5.294);
\draw[line width=0.5pt] (3.634,5.642) -- (3.63,5.386) -- (3.633,5.13) -- (3.641,4.874) -- (3.656,4.619) -- (3.677,4.363) -- (3.703,4.109) -- (3.736,3.855) -- (3.774,3.602) -- (3.819,3.349) -- (3.869,3.098) -- (3.925,2.849) -- (3.987,2.6) -- (4.055,2.354) -- (4.129,2.109);
\draw[line width=0.5pt] (3.634,5.642) -- (3.506,5.35) -- (3.372,5.062) -- (3.231,4.776) -- (3.083,4.495) -- (2.928,4.216) -- (2.767,3.941) -- (2.599,3.671) -- (2.426,3.404) -- (2.246,3.141) -- (2.059,2.883) -- (1.867,2.629) -- (1.669,2.38) -- (1.465,2.135) -- (1.256,1.896);
\draw[line width=0.5pt] (3.634,5.642) -- (3.863,5.305) -- (4.1,4.973) -- (4.344,4.648) -- (4.596,4.328) -- (4.856,4.014) -- (5.123,3.706) -- (5.398,3.404) -- (5.679,3.109) -- (5.967,2.821) -- (6.262,2.54) -- (6.563,2.265) -- (6.871,1.998) -- (7.185,1.738) -- (7.504,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (7.05,5.294) -- (7.357,5.282) -- (7.664,5.263) -- (7.97,5.237) -- (8.275,5.204) -- (8.58,5.163) -- (8.884,5.115) -- (9.187,5.06) -- (9.488,4.998) -- (9.787,4.929) -- (10.085,4.853) -- (10.381,4.77) -- (10.675,4.68) -- (10.967,4.583) -- (11.256,4.479);
\draw[line width=0.5pt] (7.05,5.294) -- (7.04,5.019) -- (7.038,4.744) -- (7.041,4.469) -- (7.051,4.194) -- (7.068,3.919) -- (7.091,3.645) -- (7.12,3.371) -- (7.156,3.099) -- (7.198,2.827) -- (7.247,2.556) -- (7.302,2.286) -- (7.363,2.018) -- (7.43,1.751) -- (7.504,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (11.256,4.479) -- (11.023,4.226) -- (10.784,3.978) -- (10.539,3.736) -- (10.288,3.5) -- (10.032,3.27) -- (9.77,3.046) -- (9.504,2.828) -- (9.232,2.616) -- (8.955,2.411) -- (8.674,2.212) -- (8.388,2.021) -- (8.097,1.835) -- (7.803,1.657) -- (7.504,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (4.129,2.109) -- (4.362,2.028) -- (4.596,1.952) -- (4.832,1.882) -- (5.07,1.818) -- (5.309,1.759) -- (5.549,1.706) -- (5.791,1.658) -- (6.034,1.617) -- (6.278,1.58) -- (6.522,1.55) -- (6.767,1.525) -- (7.013,1.507) -- (7.258,1.493) -- (7.504,1.486);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.827,8.507) -- (7.806,8.587) -- (7.747,8.646) -- (7.667,8.667) -- (7.587,8.646) -- (7.529,8.587) -- (7.507,8.507) -- (7.529,8.427) -- (7.587,8.369) -- (7.667,8.347) -- (7.747,8.369) -- (7.806,8.427) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.818,8.359) -- (1.797,8.439) -- (1.738,8.497) -- (1.658,8.519) -- (1.578,8.497) -- (1.52,8.439) -- (1.498,8.359) -- (1.52,8.279) -- (1.578,8.22) -- (1.658,8.199) -- (1.738,8.22) -- (1.797,8.279) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.682,8.123) -- (4.661,8.203) -- (4.602,8.261) -- (4.522,8.283) -- (4.442,8.261) -- (4.384,8.203) -- (4.362,8.123) -- (4.384,8.043) -- (4.442,7.984) -- (4.522,7.963) -- (4.602,7.984) -- (4.661,8.043) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.794,5.642) -- (3.773,5.722) -- (3.714,5.78) -- (3.634,5.802) -- (3.554,5.78) -- (3.495,5.722) -- (3.474,5.642) -- (3.495,5.562) -- (3.554,5.503) -- (3.634,5.482) -- (3.714,5.503) -- (3.773,5.562) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.21,5.294) -- (7.189,5.374) -- (7.13,5.433) -- (7.05,5.454) -- (6.97,5.433) -- (6.911,5.374) -- (6.89,5.294) -- (6.911,5.214) -- (6.97,5.156) -- (7.05,5.134) -- (7.13,5.156) -- (7.189,5.214) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.416,4.479) -- (11.394,4.559) -- (11.336,4.618) -- (11.256,4.639) -- (11.176,4.618) -- (11.117,4.559) -- (11.096,4.479) -- (11.117,4.399) -- (11.176,4.341) -- (11.256,4.319) -- (11.336,4.341) -- (11.394,4.399) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.289,2.109) -- (4.268,2.189) -- (4.209,2.247) -- (4.129,2.269) -- (4.049,2.247) -- (3.991,2.189) -- (3.969,2.109) -- (3.991,2.029) -- (4.049,1.97) -- (4.129,1.949) -- (4.209,1.97) -- (4.268,2.029) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.416,1.896) -- (1.394,1.976) -- (1.336,2.034) -- (1.256,2.056) -- (1.176,2.034) -- (1.117,1.976) -- (1.096,1.896) -- (1.117,1.816) -- (1.176,1.757) -- (1.256,1.736) -- (1.336,1.757) -- (1.394,1.816) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.664,1.486) -- (7.643,1.566) -- (7.584,1.625) -- (7.504,1.646) -- (7.424,1.625) -- (7.366,1.566) -- (7.344,1.486) -- (7.366,1.406) -- (7.424,1.348) -- (7.504,1.326) -- (7.584,1.348) -- (7.643,1.406) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.88,6.866) -- (7.835,7.036) -- (7.71,7.16) -- (7.54,7.206) -- (7.37,7.16) -- (7.246,7.036) -- (7.2,6.866) -- (7.246,6.696) -- (7.37,6.571) -- (7.54,6.526) -- (7.71,6.571) -- (7.835,6.696) -- cycle;
\node at (7.54,6.866) {\scalebox{1.583}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.207,6.854) -- (10.161,7.024) -- (10.037,7.148) -- (9.867,7.194) -- (9.697,7.148) -- (9.572,7.024) -- (9.527,6.854) -- (9.572,6.684) -- (9.697,6.56) -- (9.867,6.514) -- (10.037,6.56) -- (10.161,6.684) -- cycle;
\node at (9.867,6.854) {\scalebox{1.583}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.133,7.107) -- (3.087,7.277) -- (2.963,7.401) -- (2.793,7.447) -- (2.623,7.401) -- (2.498,7.277) -- (2.453,7.107) -- (2.498,6.937) -- (2.623,6.812) -- (2.793,6.767) -- (2.963,6.812) -- (3.087,6.937) -- cycle;
\node at (2.793,7.107) {\scalebox{1.583}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.067,5.381) -- (2.021,5.551) -- (1.897,5.675) -- (1.727,5.721) -- (1.557,5.675) -- (1.432,5.551) -- (1.387,5.381) -- (1.432,5.211) -- (1.557,5.086) -- (1.727,5.041) -- (1.897,5.086) -- (2.021,5.211) -- cycle;
\node at (1.727,5.381) {\scalebox{1.583}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.617,6.811) -- (4.571,6.981) -- (4.447,7.105) -- (4.277,7.151) -- (4.107,7.105) -- (3.983,6.981) -- (3.937,6.811) -- (3.983,6.641) -- (4.107,6.516) -- (4.277,6.471) -- (4.447,6.516) -- (4.571,6.641) -- cycle;
\node at (4.277,6.811) {\scalebox{1.583}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.729,5.927) -- (5.683,6.097) -- (5.559,6.222) -- (5.389,6.267) -- (5.219,6.222) -- (5.094,6.097) -- (5.049,5.927) -- (5.094,5.757) -- (5.219,5.633) -- (5.389,5.587) -- (5.559,5.633) -- (5.683,5.757) -- cycle;
\node at (5.389,5.927) {\scalebox{1.583}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.393,3.899) -- (4.347,4.069) -- (4.223,4.194) -- (4.053,4.239) -- (3.883,4.194) -- (3.758,4.069) -- (3.713,3.899) -- (3.758,3.729) -- (3.883,3.605) -- (4.053,3.559) -- (4.223,3.605) -- (4.347,3.729) -- cycle;
\node at (4.053,3.899) {\scalebox{1.583}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.21,3.499) -- (3.164,3.669) -- (3.04,3.794) -- (2.87,3.839) -- (2.7,3.794) -- (2.575,3.669) -- (2.53,3.499) -- (2.575,3.329) -- (2.7,3.205) -- (2.87,3.159) -- (3.04,3.205) -- (3.164,3.329) -- cycle;
\node at (2.87,3.499) {\scalebox{1.583}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.972,3.622) -- (5.926,3.792) -- (5.802,3.917) -- (5.632,3.962) -- (5.462,3.917) -- (5.337,3.792) -- (5.292,3.622) -- (5.337,3.452) -- (5.462,3.328) -- (5.632,3.282) -- (5.802,3.328) -- (5.926,3.452) -- cycle;
\node at (5.632,3.622) {\scalebox{1.583}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.587,5.374) -- (9.542,5.544) -- (9.417,5.669) -- (9.247,5.714) -- (9.077,5.669) -- (8.953,5.544) -- (8.907,5.374) -- (8.953,5.204) -- (9.077,5.08) -- (9.247,5.034) -- (9.417,5.08) -- (9.542,5.204) -- cycle;
\node at (9.247,5.374) {\scalebox{1.583}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.778,3.409) -- (7.732,3.579) -- (7.608,3.704) -- (7.438,3.749) -- (7.268,3.704) -- (7.143,3.579) -- (7.098,3.409) -- (7.143,3.239) -- (7.268,3.115) -- (7.438,3.069) -- (7.608,3.115) -- (7.732,3.239) -- cycle;
\node at (7.438,3.409) {\scalebox{1.583}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.043,2.578) -- (9.998,2.748) -- (9.873,2.872) -- (9.703,2.918) -- (9.533,2.872) -- (9.409,2.748) -- (9.363,2.578) -- (9.409,2.408) -- (9.533,2.283) -- (9.703,2.238) -- (9.873,2.283) -- (9.998,2.408) -- cycle;
\node at (9.703,2.578) {\scalebox{1.583}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.189,1.973) -- (6.144,2.143) -- (6.019,2.268) -- (5.849,2.313) -- (5.679,2.268) -- (5.555,2.143) -- (5.509,1.973) -- (5.555,1.803) -- (5.679,1.679) -- (5.849,1.633) -- (6.019,1.679) -- (6.144,1.803) -- cycle;
\node at (5.849,1.973) {\scalebox{1.583}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.204,1.186) -- (7.804,1.186) -- (7.804,1.786) -- (7.204,1.786) -- cycle;
\node at (7.504,1.486) {\scalebox{1.583}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.116,6.956) -- (5.716,6.956) -- (5.716,7.556) -- (5.116,7.556) -- cycle;
\node at (5.416,7.256) {\scalebox{1.583}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.981,3.631) -- (4.581,3.631) -- (4.581,4.231) -- (3.981,4.231) -- cycle;
\node at (4.281,3.931) {\scalebox{1.583}{\small c}};
\node at (8.01,9.024) {\scalebox{1.583}{\small A}};
\node at (1.19,8.765) {\scalebox{1.583}{\small B}};
\node at (4.348,8.718) {\scalebox{1.583}{\small C}};
\node at (3.041,5.823) {\scalebox{1.583}{\small D}};
\node at (7.666,5.367) {\scalebox{1.583}{\small E}};
\node at (11.872,4.414) {\scalebox{1.583}{\small F}};
\node at (3.885,1.539) {\scalebox{1.583}{\small G}};
\node at (0.765,1.517) {\scalebox{1.583}{\small H}};
\node at (7.815,0.95) {\scalebox{1.583}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.556,7.557) -- (12.556,8.657);
\draw[line width=0.5pt] (12.325,8.272) -- (12.556,8.657) -- (12.787,8.272);
\draw[line width=0.5pt] (12.253,8.107) -- (12.858,8.107);
\node at (12.556,9.042) {\scalebox{1.583}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 1 & 6 & 4 & 3 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{I}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{F} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{I}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{C} à \textbf{F}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de C :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place aux Herbes \textbf{(C)}, prend l'\textbf{impasse des Roses ⑤} vers le sud et atteint Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Stade ④}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑥}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ①}, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ⑪}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑦}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑬}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(I)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue de l'Église ⑫}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
