\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 253}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=253}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0253}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6944, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.771,8.342) -- (4.935,8.309) -- (5.1,8.28) -- (5.266,8.255) -- (5.432,8.234) -- (5.599,8.217) -- (5.766,8.204) -- (5.934,8.195) -- (6.102,8.189) -- (6.269,8.188) -- (6.437,8.19) -- (6.604,8.197) -- (6.772,8.207) -- (6.939,8.221) -- (7.105,8.239);
\draw[line width=0.5pt] (4.771,8.342) -- (4.532,8.27) -- (4.292,8.204) -- (4.05,8.144) -- (3.807,8.089) -- (3.562,8.04) -- (3.317,7.996) -- (3.07,7.959) -- (2.822,7.927) -- (2.574,7.901) -- (2.326,7.881) -- (2.077,7.867) -- (1.828,7.858) -- (1.578,7.856) -- (1.329,7.859);
\draw[line width=0.5pt] (4.771,8.342) -- (4.719,8.068) -- (4.673,7.793) -- (4.634,7.516) -- (4.601,7.239) -- (4.575,6.96) -- (4.555,6.682) -- (4.542,6.402) -- (4.535,6.123) -- (4.535,5.844) -- (4.542,5.564) -- (4.555,5.285) -- (4.575,5.006) -- (4.601,4.728) -- (4.634,4.451);
\draw[line width=0.5pt] (7.105,8.239) -- (7.196,8.05) -- (7.283,7.858) -- (7.364,7.664) -- (7.442,7.469) -- (7.514,7.271) -- (7.582,7.072) -- (7.646,6.871) -- (7.704,6.669) -- (7.758,6.466) -- (7.807,6.261) -- (7.851,6.055) -- (7.891,5.849) -- (7.925,5.641) -- (7.954,5.433);
\draw[line width=0.5pt] (7.105,8.239) -- (6.889,7.998) -- (6.678,7.752) -- (6.473,7.5) -- (6.274,7.244) -- (6.081,6.983) -- (5.894,6.717) -- (5.713,6.447) -- (5.539,6.173) -- (5.371,5.895) -- (5.21,5.614) -- (5.056,5.328) -- (4.908,5.039) -- (4.767,4.747) -- (4.634,4.451);
\draw[line width=0.5pt] (1.329,7.859) -- (1.601,7.654) -- (1.867,7.442) -- (2.129,7.224) -- (2.385,7.0) -- (2.636,6.77) -- (2.882,6.534) -- (3.122,6.292) -- (3.356,6.044) -- (3.585,5.791) -- (3.807,5.533) -- (4.024,5.27) -- (4.233,5.002) -- (4.437,4.729) -- (4.634,4.451);
\draw[line width=0.5pt] (7.954,5.433) -- (8.188,5.379) -- (8.423,5.331) -- (8.658,5.288) -- (8.895,5.251) -- (9.133,5.22) -- (9.371,5.194) -- (9.61,5.174) -- (9.85,5.159) -- (10.089,5.15) -- (10.329,5.146) -- (10.569,5.148) -- (10.808,5.156) -- (11.047,5.17) -- (11.286,5.189);
\draw[line width=0.5pt] (11.286,5.189) -- (11.288,4.944) -- (11.284,4.698) -- (11.275,4.453) -- (11.26,4.208) -- (11.239,3.963) -- (11.212,3.719) -- (11.179,3.476) -- (11.141,3.234) -- (11.097,2.992) -- (11.048,2.752) -- (10.992,2.512) -- (10.932,2.275) -- (10.865,2.038) -- (10.793,1.804);
\draw[line width=0.5pt] (4.634,4.451) -- (4.775,4.219) -- (4.922,3.99) -- (5.074,3.765) -- (5.232,3.543) -- (5.395,3.325) -- (5.562,3.111) -- (5.735,2.901) -- (5.913,2.695) -- (6.095,2.493) -- (6.283,2.296) -- (6.474,2.103) -- (6.671,1.915) -- (6.871,1.731) -- (7.076,1.552);
\draw[line width=0.5pt] (10.793,1.804) -- (10.533,1.746) -- (10.271,1.693) -- (10.007,1.647) -- (9.743,1.607) -- (9.478,1.574) -- (9.212,1.546) -- (8.945,1.525) -- (8.678,1.51) -- (8.411,1.501) -- (8.143,1.499) -- (7.876,1.503) -- (7.609,1.513) -- (7.342,1.53) -- (7.076,1.552);
\draw[line width=0.5pt] (1.286,1.759) -- (1.567,1.709) -- (1.848,1.665) -- (2.131,1.629) -- (2.415,1.599) -- (2.699,1.575) -- (2.984,1.558) -- (3.269,1.548) -- (3.555,1.545) -- (3.84,1.548) -- (4.125,1.558) -- (4.41,1.575) -- (4.694,1.598) -- (4.978,1.629) -- (5.26,1.665) -- (5.39,1.677) -- (5.52,1.686) -- (5.651,1.692) -- (5.781,1.694) -- (5.912,1.694) -- (6.042,1.69) -- (6.173,1.684) -- (6.303,1.674) -- (6.433,1.661) -- (6.562,1.646) -- (6.692,1.627) -- (6.82,1.605) -- (6.948,1.58) -- (7.076,1.552);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.931,8.342) -- (4.909,8.422) -- (4.851,8.481) -- (4.771,8.502) -- (4.691,8.481) -- (4.632,8.422) -- (4.611,8.342) -- (4.632,8.262) -- (4.691,8.204) -- (4.771,8.182) -- (4.851,8.204) -- (4.909,8.262) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.265,8.239) -- (7.244,8.319) -- (7.185,8.378) -- (7.105,8.399) -- (7.025,8.378) -- (6.967,8.319) -- (6.945,8.239) -- (6.967,8.159) -- (7.025,8.101) -- (7.105,8.079) -- (7.185,8.101) -- (7.244,8.159) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.489,7.859) -- (1.468,7.939) -- (1.409,7.998) -- (1.329,8.019) -- (1.249,7.998) -- (1.191,7.939) -- (1.169,7.859) -- (1.191,7.779) -- (1.249,7.721) -- (1.329,7.699) -- (1.409,7.721) -- (1.468,7.779) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.114,5.433) -- (8.093,5.513) -- (8.034,5.572) -- (7.954,5.593) -- (7.874,5.572) -- (7.816,5.513) -- (7.794,5.433) -- (7.816,5.353) -- (7.874,5.295) -- (7.954,5.273) -- (8.034,5.295) -- (8.093,5.353) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.446,5.189) -- (11.425,5.269) -- (11.366,5.327) -- (11.286,5.349) -- (11.206,5.327) -- (11.147,5.269) -- (11.126,5.189) -- (11.147,5.109) -- (11.206,5.05) -- (11.286,5.029) -- (11.366,5.05) -- (11.425,5.109) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.794,4.451) -- (4.772,4.531) -- (4.714,4.59) -- (4.634,4.611) -- (4.554,4.59) -- (4.495,4.531) -- (4.474,4.451) -- (4.495,4.371) -- (4.554,4.313) -- (4.634,4.291) -- (4.714,4.313) -- (4.772,4.371) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.953,1.804) -- (10.932,1.884) -- (10.873,1.943) -- (10.793,1.964) -- (10.713,1.943) -- (10.655,1.884) -- (10.633,1.804) -- (10.655,1.724) -- (10.713,1.665) -- (10.793,1.644) -- (10.873,1.665) -- (10.932,1.724) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.446,1.759) -- (1.425,1.839) -- (1.366,1.898) -- (1.286,1.919) -- (1.206,1.898) -- (1.147,1.839) -- (1.126,1.759) -- (1.147,1.679) -- (1.206,1.62) -- (1.286,1.599) -- (1.366,1.62) -- (1.425,1.679) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.236,1.552) -- (7.214,1.632) -- (7.156,1.691) -- (7.076,1.712) -- (6.996,1.691) -- (6.937,1.632) -- (6.916,1.552) -- (6.937,1.472) -- (6.996,1.414) -- (7.076,1.392) -- (7.156,1.414) -- (7.214,1.472) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.288,8.514) -- (6.242,8.684) -- (6.118,8.809) -- (5.948,8.854) -- (5.778,8.809) -- (5.653,8.684) -- (5.608,8.514) -- (5.653,8.344) -- (5.778,8.22) -- (5.948,8.174) -- (6.118,8.22) -- (6.242,8.344) -- cycle;
\node at (5.948,8.514) {\scalebox{1.44}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.454,7.642) -- (3.409,7.812) -- (3.284,7.936) -- (3.114,7.982) -- (2.944,7.936) -- (2.82,7.812) -- (2.774,7.642) -- (2.82,7.472) -- (2.944,7.348) -- (3.114,7.302) -- (3.284,7.348) -- (3.409,7.472) -- cycle;
\node at (3.114,7.642) {\scalebox{1.44}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.202,6.391) -- (5.156,6.561) -- (5.032,6.686) -- (4.862,6.731) -- (4.692,6.686) -- (4.567,6.561) -- (4.522,6.391) -- (4.567,6.221) -- (4.692,6.097) -- (4.862,6.051) -- (5.032,6.097) -- (5.156,6.221) -- cycle;
\node at (4.862,6.391) {\scalebox{1.44}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.292,6.964) -- (8.246,7.134) -- (8.122,7.258) -- (7.952,7.304) -- (7.782,7.258) -- (7.657,7.134) -- (7.612,6.964) -- (7.657,6.794) -- (7.782,6.67) -- (7.952,6.624) -- (8.122,6.67) -- (8.246,6.794) -- cycle;
\node at (7.952,6.964) {\scalebox{1.44}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.321,6.272) -- (6.276,6.442) -- (6.151,6.567) -- (5.981,6.612) -- (5.811,6.567) -- (5.687,6.442) -- (5.641,6.272) -- (5.687,6.102) -- (5.811,5.978) -- (5.981,5.932) -- (6.151,5.978) -- (6.276,6.102) -- cycle;
\node at (5.981,6.272) {\scalebox{1.44}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.692,6.514) -- (3.646,6.684) -- (3.522,6.809) -- (3.352,6.854) -- (3.182,6.809) -- (3.057,6.684) -- (3.012,6.514) -- (3.057,6.344) -- (3.182,6.22) -- (3.352,6.174) -- (3.522,6.22) -- (3.646,6.344) -- cycle;
\node at (3.352,6.514) {\scalebox{1.44}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.974,5.493) -- (9.928,5.663) -- (9.804,5.787) -- (9.634,5.833) -- (9.464,5.787) -- (9.339,5.663) -- (9.294,5.493) -- (9.339,5.323) -- (9.464,5.198) -- (9.634,5.153) -- (9.804,5.198) -- (9.928,5.323) -- cycle;
\node at (9.634,5.493) {\scalebox{1.44}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.836,3.43) -- (11.79,3.6) -- (11.666,3.724) -- (11.496,3.77) -- (11.326,3.724) -- (11.201,3.6) -- (11.156,3.43) -- (11.201,3.26) -- (11.326,3.136) -- (11.496,3.09) -- (11.666,3.136) -- (11.79,3.26) -- cycle;
\node at (11.496,3.43) {\scalebox{1.44}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.32,3.107) -- (6.274,3.277) -- (6.15,3.402) -- (5.98,3.447) -- (5.81,3.402) -- (5.686,3.277) -- (5.64,3.107) -- (5.686,2.937) -- (5.81,2.813) -- (5.98,2.767) -- (6.15,2.813) -- (6.274,2.937) -- cycle;
\node at (5.98,3.107) {\scalebox{1.44}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.307,1.206) -- (9.261,1.376) -- (9.137,1.5) -- (8.967,1.546) -- (8.797,1.5) -- (8.672,1.376) -- (8.627,1.206) -- (8.672,1.036) -- (8.797,0.911) -- (8.967,0.866) -- (9.137,0.911) -- (9.261,1.036) -- cycle;
\node at (8.967,1.206) {\scalebox{1.44}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.563,1.983) -- (5.517,2.153) -- (5.393,2.278) -- (5.223,2.323) -- (5.053,2.278) -- (4.928,2.153) -- (4.883,1.983) -- (4.928,1.813) -- (5.053,1.689) -- (5.223,1.643) -- (5.393,1.689) -- (5.517,1.813) -- cycle;
\node at (5.223,1.983) {\scalebox{1.44}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.805,7.939) -- (7.405,7.939) -- (7.405,8.539) -- (6.805,8.539) -- cycle;
\node at (7.105,8.239) {\scalebox{1.44}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.481,2.795) -- (13.081,2.795) -- (13.081,3.395) -- (12.481,3.395) -- cycle;
\node at (12.781,3.095) {\scalebox{1.44}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (5.796,1.857) -- (6.396,1.857) -- (6.396,2.457) -- (5.796,2.457) -- cycle;
\node at (6.096,2.157) {\scalebox{1.44}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.805,6.945) -- (6.405,6.945) -- (6.405,7.545) -- (5.805,7.545) -- cycle;
\node at (6.105,7.245) {\scalebox{1.44}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.574,9.541) -- (6.174,9.541) -- (6.174,10.141) -- (5.574,10.141) -- cycle;
\node at (5.874,9.841) {\scalebox{1.44}{\small e}};
\node at (4.523,8.91) {\scalebox{1.44}{\small A}};
\node at (7.262,8.839) {\scalebox{1.44}{\small B}};
\node at (0.795,8.174) {\scalebox{1.44}{\small C}};
\node at (8.552,5.599) {\scalebox{1.44}{\small D}};
\node at (11.905,5.217) {\scalebox{1.44}{\small E}};
\node at (4.042,4.265) {\scalebox{1.44}{\small F}};
\node at (11.303,1.45) {\scalebox{1.44}{\small G}};
\node at (0.765,1.423) {\scalebox{1.44}{\small H}};
\node at (7.222,0.95) {\scalebox{1.44}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.586,7.392) -- (12.586,8.492);
\draw[line width=0.5pt] (12.355,8.107) -- (12.586,8.492) -- (12.817,8.107);
\draw[line width=0.5pt] (12.284,7.942) -- (12.889,7.942);
\node at (12.586,8.877) {\scalebox{1.44}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① sentier des Prés & ⑦ venelle du Chat & Ⓐ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑧ allée des Tilleuls & Ⓑ Rond-point de la Gare & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ rue Neuve & ⑨ chemin du Lavoir & Ⓒ Place de la Fontaine & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue de l'Église & ⑩ rue Pasteur & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
⑤ chemin Creux & ⑪ impasse Sainte-Anne & Ⓔ Place de l'Église & \textbf{e} la gendarmerie \\ \hline
⑥ rue des Jardins &  & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6213, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.771,8.342) -- (4.935,8.309) -- (5.1,8.28) -- (5.266,8.255) -- (5.432,8.234) -- (5.599,8.217) -- (5.766,8.204) -- (5.934,8.195) -- (6.102,8.189) -- (6.269,8.188) -- (6.437,8.19) -- (6.604,8.197) -- (6.772,8.207) -- (6.939,8.221) -- (7.105,8.239);
\draw[line width=0.5pt] (4.771,8.342) -- (4.532,8.27) -- (4.292,8.204) -- (4.05,8.144) -- (3.807,8.089) -- (3.562,8.04) -- (3.317,7.996) -- (3.07,7.959) -- (2.822,7.927) -- (2.574,7.901) -- (2.326,7.881) -- (2.077,7.867) -- (1.828,7.858) -- (1.578,7.856) -- (1.329,7.859);
\draw[line width=0.5pt] (4.771,8.342) -- (4.719,8.068) -- (4.673,7.793) -- (4.634,7.516) -- (4.601,7.239) -- (4.575,6.96) -- (4.555,6.682) -- (4.542,6.402) -- (4.535,6.123) -- (4.535,5.844) -- (4.542,5.564) -- (4.555,5.285) -- (4.575,5.006) -- (4.601,4.728) -- (4.634,4.451);
\draw[line width=0.5pt] (7.105,8.239) -- (7.196,8.05) -- (7.283,7.858) -- (7.364,7.664) -- (7.442,7.469) -- (7.514,7.271) -- (7.582,7.072) -- (7.646,6.871) -- (7.704,6.669) -- (7.758,6.466) -- (7.807,6.261) -- (7.851,6.055) -- (7.891,5.849) -- (7.925,5.641) -- (7.954,5.433);
\draw[line width=0.5pt] (7.105,8.239) -- (6.889,7.998) -- (6.678,7.752) -- (6.473,7.5) -- (6.274,7.244) -- (6.081,6.983) -- (5.894,6.717) -- (5.713,6.447) -- (5.539,6.173) -- (5.371,5.895) -- (5.21,5.614) -- (5.056,5.328) -- (4.908,5.039) -- (4.767,4.747) -- (4.634,4.451);
\draw[line width=0.5pt] (1.329,7.859) -- (1.601,7.654) -- (1.867,7.442) -- (2.129,7.224) -- (2.385,7.0) -- (2.636,6.77) -- (2.882,6.534) -- (3.122,6.292) -- (3.356,6.044) -- (3.585,5.791) -- (3.807,5.533) -- (4.024,5.27) -- (4.233,5.002) -- (4.437,4.729) -- (4.634,4.451);
\draw[line width=0.5pt] (7.954,5.433) -- (8.188,5.379) -- (8.423,5.331) -- (8.658,5.288) -- (8.895,5.251) -- (9.133,5.22) -- (9.371,5.194) -- (9.61,5.174) -- (9.85,5.159) -- (10.089,5.15) -- (10.329,5.146) -- (10.569,5.148) -- (10.808,5.156) -- (11.047,5.17) -- (11.286,5.189);
\draw[line width=0.5pt] (11.286,5.189) -- (11.288,4.944) -- (11.284,4.698) -- (11.275,4.453) -- (11.26,4.208) -- (11.239,3.963) -- (11.212,3.719) -- (11.179,3.476) -- (11.141,3.234) -- (11.097,2.992) -- (11.048,2.752) -- (10.992,2.512) -- (10.932,2.275) -- (10.865,2.038) -- (10.793,1.804);
\draw[line width=0.5pt] (4.634,4.451) -- (4.775,4.219) -- (4.922,3.99) -- (5.074,3.765) -- (5.232,3.543) -- (5.395,3.325) -- (5.562,3.111) -- (5.735,2.901) -- (5.913,2.695) -- (6.095,2.493) -- (6.283,2.296) -- (6.474,2.103) -- (6.671,1.915) -- (6.871,1.731) -- (7.076,1.552);
\draw[line width=0.5pt] (10.793,1.804) -- (10.533,1.746) -- (10.271,1.693) -- (10.007,1.647) -- (9.743,1.607) -- (9.478,1.574) -- (9.212,1.546) -- (8.945,1.525) -- (8.678,1.51) -- (8.411,1.501) -- (8.143,1.499) -- (7.876,1.503) -- (7.609,1.513) -- (7.342,1.53) -- (7.076,1.552);
\draw[line width=0.5pt] (1.286,1.759) -- (1.567,1.709) -- (1.848,1.665) -- (2.131,1.629) -- (2.415,1.599) -- (2.699,1.575) -- (2.984,1.558) -- (3.269,1.548) -- (3.555,1.545) -- (3.84,1.548) -- (4.125,1.558) -- (4.41,1.575) -- (4.694,1.598) -- (4.978,1.629) -- (5.26,1.665) -- (5.39,1.677) -- (5.52,1.686) -- (5.651,1.692) -- (5.781,1.694) -- (5.912,1.694) -- (6.042,1.69) -- (6.173,1.684) -- (6.303,1.674) -- (6.433,1.661) -- (6.562,1.646) -- (6.692,1.627) -- (6.82,1.605) -- (6.948,1.58) -- (7.076,1.552);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.931,8.342) -- (4.909,8.422) -- (4.851,8.481) -- (4.771,8.502) -- (4.691,8.481) -- (4.632,8.422) -- (4.611,8.342) -- (4.632,8.262) -- (4.691,8.204) -- (4.771,8.182) -- (4.851,8.204) -- (4.909,8.262) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.265,8.239) -- (7.244,8.319) -- (7.185,8.378) -- (7.105,8.399) -- (7.025,8.378) -- (6.967,8.319) -- (6.945,8.239) -- (6.967,8.159) -- (7.025,8.101) -- (7.105,8.079) -- (7.185,8.101) -- (7.244,8.159) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.489,7.859) -- (1.468,7.939) -- (1.409,7.998) -- (1.329,8.019) -- (1.249,7.998) -- (1.191,7.939) -- (1.169,7.859) -- (1.191,7.779) -- (1.249,7.721) -- (1.329,7.699) -- (1.409,7.721) -- (1.468,7.779) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.114,5.433) -- (8.093,5.513) -- (8.034,5.572) -- (7.954,5.593) -- (7.874,5.572) -- (7.816,5.513) -- (7.794,5.433) -- (7.816,5.353) -- (7.874,5.295) -- (7.954,5.273) -- (8.034,5.295) -- (8.093,5.353) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.446,5.189) -- (11.425,5.269) -- (11.366,5.327) -- (11.286,5.349) -- (11.206,5.327) -- (11.147,5.269) -- (11.126,5.189) -- (11.147,5.109) -- (11.206,5.05) -- (11.286,5.029) -- (11.366,5.05) -- (11.425,5.109) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.794,4.451) -- (4.772,4.531) -- (4.714,4.59) -- (4.634,4.611) -- (4.554,4.59) -- (4.495,4.531) -- (4.474,4.451) -- (4.495,4.371) -- (4.554,4.313) -- (4.634,4.291) -- (4.714,4.313) -- (4.772,4.371) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.953,1.804) -- (10.932,1.884) -- (10.873,1.943) -- (10.793,1.964) -- (10.713,1.943) -- (10.655,1.884) -- (10.633,1.804) -- (10.655,1.724) -- (10.713,1.665) -- (10.793,1.644) -- (10.873,1.665) -- (10.932,1.724) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.446,1.759) -- (1.425,1.839) -- (1.366,1.898) -- (1.286,1.919) -- (1.206,1.898) -- (1.147,1.839) -- (1.126,1.759) -- (1.147,1.679) -- (1.206,1.62) -- (1.286,1.599) -- (1.366,1.62) -- (1.425,1.679) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.236,1.552) -- (7.214,1.632) -- (7.156,1.691) -- (7.076,1.712) -- (6.996,1.691) -- (6.937,1.632) -- (6.916,1.552) -- (6.937,1.472) -- (6.996,1.414) -- (7.076,1.392) -- (7.156,1.414) -- (7.214,1.472) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.288,8.514) -- (6.242,8.684) -- (6.118,8.809) -- (5.948,8.854) -- (5.778,8.809) -- (5.653,8.684) -- (5.608,8.514) -- (5.653,8.344) -- (5.778,8.22) -- (5.948,8.174) -- (6.118,8.22) -- (6.242,8.344) -- cycle;
\node at (5.948,8.514) {\scalebox{1.61}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.454,7.642) -- (3.409,7.812) -- (3.284,7.936) -- (3.114,7.982) -- (2.944,7.936) -- (2.82,7.812) -- (2.774,7.642) -- (2.82,7.472) -- (2.944,7.348) -- (3.114,7.302) -- (3.284,7.348) -- (3.409,7.472) -- cycle;
\node at (3.114,7.642) {\scalebox{1.61}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.202,6.391) -- (5.156,6.561) -- (5.032,6.686) -- (4.862,6.731) -- (4.692,6.686) -- (4.567,6.561) -- (4.522,6.391) -- (4.567,6.221) -- (4.692,6.097) -- (4.862,6.051) -- (5.032,6.097) -- (5.156,6.221) -- cycle;
\node at (4.862,6.391) {\scalebox{1.61}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.292,6.964) -- (8.246,7.134) -- (8.122,7.258) -- (7.952,7.304) -- (7.782,7.258) -- (7.657,7.134) -- (7.612,6.964) -- (7.657,6.794) -- (7.782,6.67) -- (7.952,6.624) -- (8.122,6.67) -- (8.246,6.794) -- cycle;
\node at (7.952,6.964) {\scalebox{1.61}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.321,6.272) -- (6.276,6.442) -- (6.151,6.567) -- (5.981,6.612) -- (5.811,6.567) -- (5.687,6.442) -- (5.641,6.272) -- (5.687,6.102) -- (5.811,5.978) -- (5.981,5.932) -- (6.151,5.978) -- (6.276,6.102) -- cycle;
\node at (5.981,6.272) {\scalebox{1.61}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.692,6.514) -- (3.646,6.684) -- (3.522,6.809) -- (3.352,6.854) -- (3.182,6.809) -- (3.057,6.684) -- (3.012,6.514) -- (3.057,6.344) -- (3.182,6.22) -- (3.352,6.174) -- (3.522,6.22) -- (3.646,6.344) -- cycle;
\node at (3.352,6.514) {\scalebox{1.61}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.974,5.493) -- (9.928,5.663) -- (9.804,5.787) -- (9.634,5.833) -- (9.464,5.787) -- (9.339,5.663) -- (9.294,5.493) -- (9.339,5.323) -- (9.464,5.198) -- (9.634,5.153) -- (9.804,5.198) -- (9.928,5.323) -- cycle;
\node at (9.634,5.493) {\scalebox{1.61}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.836,3.43) -- (11.79,3.6) -- (11.666,3.724) -- (11.496,3.77) -- (11.326,3.724) -- (11.201,3.6) -- (11.156,3.43) -- (11.201,3.26) -- (11.326,3.136) -- (11.496,3.09) -- (11.666,3.136) -- (11.79,3.26) -- cycle;
\node at (11.496,3.43) {\scalebox{1.61}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.32,3.107) -- (6.274,3.277) -- (6.15,3.402) -- (5.98,3.447) -- (5.81,3.402) -- (5.686,3.277) -- (5.64,3.107) -- (5.686,2.937) -- (5.81,2.813) -- (5.98,2.767) -- (6.15,2.813) -- (6.274,2.937) -- cycle;
\node at (5.98,3.107) {\scalebox{1.61}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.307,1.206) -- (9.261,1.376) -- (9.137,1.5) -- (8.967,1.546) -- (8.797,1.5) -- (8.672,1.376) -- (8.627,1.206) -- (8.672,1.036) -- (8.797,0.911) -- (8.967,0.866) -- (9.137,0.911) -- (9.261,1.036) -- cycle;
\node at (8.967,1.206) {\scalebox{1.61}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.563,1.983) -- (5.517,2.153) -- (5.393,2.278) -- (5.223,2.323) -- (5.053,2.278) -- (4.928,2.153) -- (4.883,1.983) -- (4.928,1.813) -- (5.053,1.689) -- (5.223,1.643) -- (5.393,1.689) -- (5.517,1.813) -- cycle;
\node at (5.223,1.983) {\scalebox{1.61}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.805,7.939) -- (7.405,7.939) -- (7.405,8.539) -- (6.805,8.539) -- cycle;
\node at (7.105,8.239) {\scalebox{1.61}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.481,2.795) -- (13.081,2.795) -- (13.081,3.395) -- (12.481,3.395) -- cycle;
\node at (12.781,3.095) {\scalebox{1.61}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (5.796,1.857) -- (6.396,1.857) -- (6.396,2.457) -- (5.796,2.457) -- cycle;
\node at (6.096,2.157) {\scalebox{1.61}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.805,6.945) -- (6.405,6.945) -- (6.405,7.545) -- (5.805,7.545) -- cycle;
\node at (6.105,7.245) {\scalebox{1.61}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.574,9.541) -- (6.174,9.541) -- (6.174,10.141) -- (5.574,10.141) -- cycle;
\node at (5.874,9.841) {\scalebox{1.61}{\small e}};
\node at (4.523,8.91) {\scalebox{1.61}{\small A}};
\node at (7.262,8.839) {\scalebox{1.61}{\small B}};
\node at (0.795,8.174) {\scalebox{1.61}{\small C}};
\node at (8.552,5.599) {\scalebox{1.61}{\small D}};
\node at (11.905,5.217) {\scalebox{1.61}{\small E}};
\node at (4.042,4.265) {\scalebox{1.61}{\small F}};
\node at (11.303,1.45) {\scalebox{1.61}{\small G}};
\node at (0.765,1.423) {\scalebox{1.61}{\small H}};
\node at (7.222,0.95) {\scalebox{1.61}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.586,7.392) -- (12.586,8.492);
\draw[line width=0.5pt] (12.355,8.107) -- (12.586,8.492) -- (12.817,8.107);
\draw[line width=0.5pt] (12.284,7.942) -- (12.889,7.942);
\node at (12.586,8.877) {\scalebox{1.61}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 2 & 2 & 2 & 4 & 2 & 1 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{H}, \textbf{I} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, H, I).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
