\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 254}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=254}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0254}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7019, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.108,8.201) -- (5.343,8.163) -- (5.578,8.13) -- (5.815,8.102) -- (6.052,8.081) -- (6.289,8.065) -- (6.527,8.054) -- (6.765,8.049) -- (7.003,8.05) -- (7.241,8.056) -- (7.478,8.068) -- (7.716,8.085) -- (7.952,8.108) -- (8.189,8.137) -- (8.424,8.171);
\draw[line width=0.5pt] (5.108,8.201) -- (4.903,8.113) -- (4.696,8.029) -- (4.487,7.951) -- (4.277,7.877) -- (4.064,7.809) -- (3.85,7.745) -- (3.635,7.687) -- (3.418,7.633) -- (3.2,7.585) -- (2.981,7.541) -- (2.761,7.503) -- (2.54,7.471) -- (2.318,7.443) -- (2.097,7.421);
\draw[line width=0.5pt] (5.108,8.201) -- (5.085,7.962) -- (5.068,7.722) -- (5.056,7.482) -- (5.05,7.241) -- (5.05,7.001) -- (5.056,6.76) -- (5.067,6.52) -- (5.083,6.28) -- (5.106,6.04) -- (5.134,5.801) -- (5.167,5.563) -- (5.206,5.326) -- (5.251,5.09) -- (5.301,4.855);
\draw[line width=0.5pt] (8.424,8.171) -- (8.239,7.902) -- (8.047,7.637) -- (7.85,7.377) -- (7.646,7.121) -- (7.436,6.87) -- (7.221,6.624) -- (6.999,6.384) -- (6.772,6.148) -- (6.54,5.918) -- (6.302,5.694) -- (6.059,5.475) -- (5.812,5.262) -- (5.559,5.055) -- (5.301,4.855);
\draw[line width=0.5pt] (8.424,8.171) -- (8.381,7.931) -- (8.344,7.691) -- (8.312,7.449) -- (8.286,7.207) -- (8.266,6.964) -- (8.252,6.721) -- (8.243,6.477) -- (8.24,6.234) -- (8.243,5.99) -- (8.251,5.746) -- (8.266,5.503) -- (8.286,5.261) -- (8.311,5.018) -- (8.343,4.777);
\draw[line width=0.5pt] (2.097,7.421) -- (2.084,7.222) -- (2.066,7.023) -- (2.044,6.825) -- (2.017,6.628) -- (1.985,6.431) -- (1.949,6.235) -- (1.908,6.04) -- (1.862,5.845) -- (1.812,5.652) -- (1.758,5.46) -- (1.699,5.27) -- (1.635,5.081) -- (1.567,4.894) -- (1.495,4.708) -- (1.459,4.553) -- (1.427,4.397) -- (1.399,4.24) -- (1.374,4.083) -- (1.353,3.925) -- (1.336,3.767) -- (1.322,3.608) -- (1.312,3.449) -- (1.306,3.29) -- (1.304,3.131) -- (1.305,2.972) -- (1.31,2.812) -- (1.319,2.653) -- (1.332,2.495);
\draw[line width=0.5pt] (10.877,4.898) -- (10.875,4.672) -- (10.878,4.446) -- (10.887,4.22) -- (10.901,3.995) -- (10.921,3.769) -- (10.946,3.545) -- (10.976,3.32) -- (11.011,3.097) -- (11.051,2.874) -- (11.097,2.653) -- (11.148,2.432) -- (11.204,2.213) -- (11.265,1.996) -- (11.332,1.78);
\draw[line width=0.5pt] (5.301,4.855) -- (5.046,4.644) -- (4.785,4.439) -- (4.52,4.241) -- (4.25,4.049) -- (3.976,3.863) -- (3.697,3.684) -- (3.414,3.511) -- (3.127,3.345) -- (2.836,3.186) -- (2.542,3.033) -- (2.244,2.888) -- (1.943,2.75) -- (1.639,2.619) -- (1.332,2.495);
\draw[line width=0.5pt] (5.301,4.855) -- (5.461,4.588) -- (5.628,4.326) -- (5.8,4.068) -- (5.979,3.814) -- (6.163,3.564) -- (6.354,3.318) -- (6.55,3.077) -- (6.752,2.841) -- (6.959,2.609) -- (7.172,2.382) -- (7.39,2.161) -- (7.613,1.944) -- (7.84,1.733) -- (8.073,1.528);
\draw[line width=0.5pt] (11.332,1.78) -- (11.104,1.726) -- (10.874,1.678) -- (10.644,1.636) -- (10.412,1.598) -- (10.18,1.567) -- (9.947,1.54) -- (9.713,1.52) -- (9.479,1.504) -- (9.244,1.494) -- (9.01,1.49) -- (8.775,1.491) -- (8.541,1.498) -- (8.307,1.51) -- (8.073,1.528);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.268,8.201) -- (5.247,8.281) -- (5.188,8.34) -- (5.108,8.361) -- (5.028,8.34) -- (4.97,8.281) -- (4.948,8.201) -- (4.97,8.121) -- (5.028,8.062) -- (5.108,8.041) -- (5.188,8.062) -- (5.247,8.121) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.584,8.171) -- (8.562,8.251) -- (8.504,8.309) -- (8.424,8.331) -- (8.344,8.309) -- (8.285,8.251) -- (8.264,8.171) -- (8.285,8.091) -- (8.344,8.032) -- (8.424,8.011) -- (8.504,8.032) -- (8.562,8.091) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.257,7.421) -- (2.235,7.501) -- (2.177,7.559) -- (2.097,7.581) -- (2.017,7.559) -- (1.958,7.501) -- (1.937,7.421) -- (1.958,7.341) -- (2.017,7.282) -- (2.097,7.261) -- (2.177,7.282) -- (2.235,7.341) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.037,4.898) -- (11.015,4.978) -- (10.957,5.037) -- (10.877,5.058) -- (10.797,5.037) -- (10.738,4.978) -- (10.717,4.898) -- (10.738,4.818) -- (10.797,4.76) -- (10.877,4.738) -- (10.957,4.76) -- (11.015,4.818) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.461,4.855) -- (5.44,4.935) -- (5.381,4.993) -- (5.301,5.015) -- (5.221,4.993) -- (5.163,4.935) -- (5.141,4.855) -- (5.163,4.775) -- (5.221,4.716) -- (5.301,4.695) -- (5.381,4.716) -- (5.44,4.775) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.503,4.777) -- (8.481,4.857) -- (8.423,4.916) -- (8.343,4.937) -- (8.263,4.916) -- (8.204,4.857) -- (8.183,4.777) -- (8.204,4.697) -- (8.263,4.638) -- (8.343,4.617) -- (8.423,4.638) -- (8.481,4.697) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.492,2.495) -- (1.47,2.575) -- (1.412,2.633) -- (1.332,2.655) -- (1.252,2.633) -- (1.193,2.575) -- (1.172,2.495) -- (1.193,2.415) -- (1.252,2.356) -- (1.332,2.335) -- (1.412,2.356) -- (1.47,2.415) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.492,1.78) -- (11.47,1.86) -- (11.412,1.918) -- (11.332,1.94) -- (11.252,1.918) -- (11.193,1.86) -- (11.172,1.78) -- (11.193,1.7) -- (11.252,1.641) -- (11.332,1.62) -- (11.412,1.641) -- (11.47,1.7) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.233,1.528) -- (8.212,1.608) -- (8.153,1.667) -- (8.073,1.688) -- (7.993,1.667) -- (7.935,1.608) -- (7.913,1.528) -- (7.935,1.448) -- (7.993,1.39) -- (8.073,1.368) -- (8.153,1.39) -- (8.212,1.448) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.108,8.369) -- (7.062,8.539) -- (6.938,8.664) -- (6.768,8.709) -- (6.598,8.664) -- (6.473,8.539) -- (6.428,8.369) -- (6.473,8.199) -- (6.598,8.075) -- (6.768,8.029) -- (6.938,8.075) -- (7.062,8.199) -- cycle;
\node at (6.768,8.369) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.055,7.377) -- (4.009,7.547) -- (3.885,7.671) -- (3.715,7.717) -- (3.545,7.671) -- (3.42,7.547) -- (3.375,7.377) -- (3.42,7.207) -- (3.545,7.082) -- (3.715,7.037) -- (3.885,7.082) -- (4.009,7.207) -- cycle;
\node at (3.715,7.377) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.726,6.538) -- (5.681,6.708) -- (5.556,6.833) -- (5.386,6.878) -- (5.216,6.833) -- (5.092,6.708) -- (5.046,6.538) -- (5.092,6.368) -- (5.216,6.244) -- (5.386,6.198) -- (5.556,6.244) -- (5.681,6.368) -- cycle;
\node at (5.386,6.538) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.572,6.164) -- (7.527,6.334) -- (7.402,6.459) -- (7.232,6.504) -- (7.062,6.459) -- (6.938,6.334) -- (6.892,6.164) -- (6.938,5.994) -- (7.062,5.87) -- (7.232,5.824) -- (7.402,5.87) -- (7.527,5.994) -- cycle;
\node at (7.232,6.164) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.903,6.47) -- (8.858,6.64) -- (8.733,6.764) -- (8.563,6.81) -- (8.393,6.764) -- (8.269,6.64) -- (8.223,6.47) -- (8.269,6.3) -- (8.393,6.175) -- (8.563,6.13) -- (8.733,6.175) -- (8.858,6.3) -- cycle;
\node at (8.563,6.47) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.14,4.611) -- (2.095,4.781) -- (1.97,4.906) -- (1.8,4.951) -- (1.63,4.906) -- (1.506,4.781) -- (1.46,4.611) -- (1.506,4.441) -- (1.63,4.317) -- (1.8,4.271) -- (1.97,4.317) -- (2.095,4.441) -- cycle;
\node at (1.8,4.611) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.632,3.367) -- (11.587,3.537) -- (11.462,3.661) -- (11.292,3.707) -- (11.122,3.661) -- (10.998,3.537) -- (10.952,3.367) -- (10.998,3.197) -- (11.122,3.072) -- (11.292,3.027) -- (11.462,3.072) -- (11.587,3.197) -- cycle;
\node at (11.292,3.367) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.917,3.236) -- (3.872,3.406) -- (3.747,3.53) -- (3.577,3.576) -- (3.407,3.53) -- (3.283,3.406) -- (3.237,3.236) -- (3.283,3.066) -- (3.407,2.941) -- (3.577,2.896) -- (3.747,2.941) -- (3.872,3.066) -- cycle;
\node at (3.577,3.236) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.136,3.282) -- (7.09,3.452) -- (6.966,3.576) -- (6.796,3.622) -- (6.626,3.576) -- (6.501,3.452) -- (6.456,3.282) -- (6.501,3.112) -- (6.626,2.987) -- (6.796,2.942) -- (6.966,2.987) -- (7.09,3.112) -- cycle;
\node at (6.796,3.282) {\scalebox{1.425}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.078,1.201) -- (10.032,1.371) -- (9.908,1.495) -- (9.738,1.541) -- (9.568,1.495) -- (9.443,1.371) -- (9.398,1.201) -- (9.443,1.031) -- (9.568,0.906) -- (9.738,0.861) -- (9.908,0.906) -- (10.032,1.031) -- cycle;
\node at (9.738,1.201) {\scalebox{1.425}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.001,4.555) -- (5.601,4.555) -- (5.601,5.155) -- (5.001,5.155) -- cycle;
\node at (5.301,4.855) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.593,7.515) -- (3.193,7.515) -- (3.193,8.115) -- (2.593,8.115) -- cycle;
\node at (2.893,7.815) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.365,6.835) -- (9.965,6.835) -- (9.965,7.435) -- (9.365,7.435) -- cycle;
\node at (9.665,7.135) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\node at (4.83,8.755) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (8.704,8.724) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (1.551,7.715) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (11.497,4.898) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (4.682,4.834) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (8.961,4.728) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\node at (0.765,2.244) {\scalebox{1.425}{\small G}};
\node at (11.844,1.43) {\scalebox{1.425}{\small H}};
\node at (8.297,0.95) {\scalebox{1.425}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.632,7.251) -- (12.632,8.351);
\draw[line width=0.5pt] (12.401,7.966) -- (12.632,8.351) -- (12.863,7.966);
\draw[line width=0.5pt] (12.329,7.801) -- (12.934,7.801);
\node at (12.632,8.736) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Puits & ⑥ rue des Lilas & Ⓐ Carrefour du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑦ impasse des Roses & Ⓑ Carrefour Saint-Roch & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ rue Haute & ⑧ rue Neuve & Ⓒ Place du Vieux-Puits & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ allée des Tilleuls & ⑨ rue Verte & Ⓓ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
⑤ impasse Verte & ⑩ chemin du Lavoir & Ⓔ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.628, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.108,8.201) -- (5.343,8.163) -- (5.578,8.13) -- (5.815,8.102) -- (6.052,8.081) -- (6.289,8.065) -- (6.527,8.054) -- (6.765,8.049) -- (7.003,8.05) -- (7.241,8.056) -- (7.478,8.068) -- (7.716,8.085) -- (7.952,8.108) -- (8.189,8.137) -- (8.424,8.171);
\draw[line width=0.5pt] (5.108,8.201) -- (4.903,8.113) -- (4.696,8.029) -- (4.487,7.951) -- (4.277,7.877) -- (4.064,7.809) -- (3.85,7.745) -- (3.635,7.687) -- (3.418,7.633) -- (3.2,7.585) -- (2.981,7.541) -- (2.761,7.503) -- (2.54,7.471) -- (2.318,7.443) -- (2.097,7.421);
\draw[line width=0.5pt] (5.108,8.201) -- (5.085,7.962) -- (5.068,7.722) -- (5.056,7.482) -- (5.05,7.241) -- (5.05,7.001) -- (5.056,6.76) -- (5.067,6.52) -- (5.083,6.28) -- (5.106,6.04) -- (5.134,5.801) -- (5.167,5.563) -- (5.206,5.326) -- (5.251,5.09) -- (5.301,4.855);
\draw[line width=0.5pt] (8.424,8.171) -- (8.239,7.902) -- (8.047,7.637) -- (7.85,7.377) -- (7.646,7.121) -- (7.436,6.87) -- (7.221,6.624) -- (6.999,6.384) -- (6.772,6.148) -- (6.54,5.918) -- (6.302,5.694) -- (6.059,5.475) -- (5.812,5.262) -- (5.559,5.055) -- (5.301,4.855);
\draw[line width=0.5pt] (8.424,8.171) -- (8.381,7.931) -- (8.344,7.691) -- (8.312,7.449) -- (8.286,7.207) -- (8.266,6.964) -- (8.252,6.721) -- (8.243,6.477) -- (8.24,6.234) -- (8.243,5.99) -- (8.251,5.746) -- (8.266,5.503) -- (8.286,5.261) -- (8.311,5.018) -- (8.343,4.777);
\draw[line width=0.5pt] (2.097,7.421) -- (2.084,7.222) -- (2.066,7.023) -- (2.044,6.825) -- (2.017,6.628) -- (1.985,6.431) -- (1.949,6.235) -- (1.908,6.04) -- (1.862,5.845) -- (1.812,5.652) -- (1.758,5.46) -- (1.699,5.27) -- (1.635,5.081) -- (1.567,4.894) -- (1.495,4.708) -- (1.459,4.553) -- (1.427,4.397) -- (1.399,4.24) -- (1.374,4.083) -- (1.353,3.925) -- (1.336,3.767) -- (1.322,3.608) -- (1.312,3.449) -- (1.306,3.29) -- (1.304,3.131) -- (1.305,2.972) -- (1.31,2.812) -- (1.319,2.653) -- (1.332,2.495);
\draw[line width=0.5pt] (10.877,4.898) -- (10.875,4.672) -- (10.878,4.446) -- (10.887,4.22) -- (10.901,3.995) -- (10.921,3.769) -- (10.946,3.545) -- (10.976,3.32) -- (11.011,3.097) -- (11.051,2.874) -- (11.097,2.653) -- (11.148,2.432) -- (11.204,2.213) -- (11.265,1.996) -- (11.332,1.78);
\draw[line width=0.5pt] (5.301,4.855) -- (5.046,4.644) -- (4.785,4.439) -- (4.52,4.241) -- (4.25,4.049) -- (3.976,3.863) -- (3.697,3.684) -- (3.414,3.511) -- (3.127,3.345) -- (2.836,3.186) -- (2.542,3.033) -- (2.244,2.888) -- (1.943,2.75) -- (1.639,2.619) -- (1.332,2.495);
\draw[line width=0.5pt] (5.301,4.855) -- (5.461,4.588) -- (5.628,4.326) -- (5.8,4.068) -- (5.979,3.814) -- (6.163,3.564) -- (6.354,3.318) -- (6.55,3.077) -- (6.752,2.841) -- (6.959,2.609) -- (7.172,2.382) -- (7.39,2.161) -- (7.613,1.944) -- (7.84,1.733) -- (8.073,1.528);
\draw[line width=0.5pt] (11.332,1.78) -- (11.104,1.726) -- (10.874,1.678) -- (10.644,1.636) -- (10.412,1.598) -- (10.18,1.567) -- (9.947,1.54) -- (9.713,1.52) -- (9.479,1.504) -- (9.244,1.494) -- (9.01,1.49) -- (8.775,1.491) -- (8.541,1.498) -- (8.307,1.51) -- (8.073,1.528);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.268,8.201) -- (5.247,8.281) -- (5.188,8.34) -- (5.108,8.361) -- (5.028,8.34) -- (4.97,8.281) -- (4.948,8.201) -- (4.97,8.121) -- (5.028,8.062) -- (5.108,8.041) -- (5.188,8.062) -- (5.247,8.121) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.584,8.171) -- (8.562,8.251) -- (8.504,8.309) -- (8.424,8.331) -- (8.344,8.309) -- (8.285,8.251) -- (8.264,8.171) -- (8.285,8.091) -- (8.344,8.032) -- (8.424,8.011) -- (8.504,8.032) -- (8.562,8.091) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.257,7.421) -- (2.235,7.501) -- (2.177,7.559) -- (2.097,7.581) -- (2.017,7.559) -- (1.958,7.501) -- (1.937,7.421) -- (1.958,7.341) -- (2.017,7.282) -- (2.097,7.261) -- (2.177,7.282) -- (2.235,7.341) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.037,4.898) -- (11.015,4.978) -- (10.957,5.037) -- (10.877,5.058) -- (10.797,5.037) -- (10.738,4.978) -- (10.717,4.898) -- (10.738,4.818) -- (10.797,4.76) -- (10.877,4.738) -- (10.957,4.76) -- (11.015,4.818) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.461,4.855) -- (5.44,4.935) -- (5.381,4.993) -- (5.301,5.015) -- (5.221,4.993) -- (5.163,4.935) -- (5.141,4.855) -- (5.163,4.775) -- (5.221,4.716) -- (5.301,4.695) -- (5.381,4.716) -- (5.44,4.775) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.503,4.777) -- (8.481,4.857) -- (8.423,4.916) -- (8.343,4.937) -- (8.263,4.916) -- (8.204,4.857) -- (8.183,4.777) -- (8.204,4.697) -- (8.263,4.638) -- (8.343,4.617) -- (8.423,4.638) -- (8.481,4.697) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.492,2.495) -- (1.47,2.575) -- (1.412,2.633) -- (1.332,2.655) -- (1.252,2.633) -- (1.193,2.575) -- (1.172,2.495) -- (1.193,2.415) -- (1.252,2.356) -- (1.332,2.335) -- (1.412,2.356) -- (1.47,2.415) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.492,1.78) -- (11.47,1.86) -- (11.412,1.918) -- (11.332,1.94) -- (11.252,1.918) -- (11.193,1.86) -- (11.172,1.78) -- (11.193,1.7) -- (11.252,1.641) -- (11.332,1.62) -- (11.412,1.641) -- (11.47,1.7) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.233,1.528) -- (8.212,1.608) -- (8.153,1.667) -- (8.073,1.688) -- (7.993,1.667) -- (7.935,1.608) -- (7.913,1.528) -- (7.935,1.448) -- (7.993,1.39) -- (8.073,1.368) -- (8.153,1.39) -- (8.212,1.448) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.108,8.369) -- (7.062,8.539) -- (6.938,8.664) -- (6.768,8.709) -- (6.598,8.664) -- (6.473,8.539) -- (6.428,8.369) -- (6.473,8.199) -- (6.598,8.075) -- (6.768,8.029) -- (6.938,8.075) -- (7.062,8.199) -- cycle;
\node at (6.768,8.369) {\scalebox{1.592}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.055,7.377) -- (4.009,7.547) -- (3.885,7.671) -- (3.715,7.717) -- (3.545,7.671) -- (3.42,7.547) -- (3.375,7.377) -- (3.42,7.207) -- (3.545,7.082) -- (3.715,7.037) -- (3.885,7.082) -- (4.009,7.207) -- cycle;
\node at (3.715,7.377) {\scalebox{1.592}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.726,6.538) -- (5.681,6.708) -- (5.556,6.833) -- (5.386,6.878) -- (5.216,6.833) -- (5.092,6.708) -- (5.046,6.538) -- (5.092,6.368) -- (5.216,6.244) -- (5.386,6.198) -- (5.556,6.244) -- (5.681,6.368) -- cycle;
\node at (5.386,6.538) {\scalebox{1.592}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.572,6.164) -- (7.527,6.334) -- (7.402,6.459) -- (7.232,6.504) -- (7.062,6.459) -- (6.938,6.334) -- (6.892,6.164) -- (6.938,5.994) -- (7.062,5.87) -- (7.232,5.824) -- (7.402,5.87) -- (7.527,5.994) -- cycle;
\node at (7.232,6.164) {\scalebox{1.592}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.903,6.47) -- (8.858,6.64) -- (8.733,6.764) -- (8.563,6.81) -- (8.393,6.764) -- (8.269,6.64) -- (8.223,6.47) -- (8.269,6.3) -- (8.393,6.175) -- (8.563,6.13) -- (8.733,6.175) -- (8.858,6.3) -- cycle;
\node at (8.563,6.47) {\scalebox{1.592}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.14,4.611) -- (2.095,4.781) -- (1.97,4.906) -- (1.8,4.951) -- (1.63,4.906) -- (1.506,4.781) -- (1.46,4.611) -- (1.506,4.441) -- (1.63,4.317) -- (1.8,4.271) -- (1.97,4.317) -- (2.095,4.441) -- cycle;
\node at (1.8,4.611) {\scalebox{1.592}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.632,3.367) -- (11.587,3.537) -- (11.462,3.661) -- (11.292,3.707) -- (11.122,3.661) -- (10.998,3.537) -- (10.952,3.367) -- (10.998,3.197) -- (11.122,3.072) -- (11.292,3.027) -- (11.462,3.072) -- (11.587,3.197) -- cycle;
\node at (11.292,3.367) {\scalebox{1.592}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.917,3.236) -- (3.872,3.406) -- (3.747,3.53) -- (3.577,3.576) -- (3.407,3.53) -- (3.283,3.406) -- (3.237,3.236) -- (3.283,3.066) -- (3.407,2.941) -- (3.577,2.896) -- (3.747,2.941) -- (3.872,3.066) -- cycle;
\node at (3.577,3.236) {\scalebox{1.592}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.136,3.282) -- (7.09,3.452) -- (6.966,3.576) -- (6.796,3.622) -- (6.626,3.576) -- (6.501,3.452) -- (6.456,3.282) -- (6.501,3.112) -- (6.626,2.987) -- (6.796,2.942) -- (6.966,2.987) -- (7.09,3.112) -- cycle;
\node at (6.796,3.282) {\scalebox{1.592}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.078,1.201) -- (10.032,1.371) -- (9.908,1.495) -- (9.738,1.541) -- (9.568,1.495) -- (9.443,1.371) -- (9.398,1.201) -- (9.443,1.031) -- (9.568,0.906) -- (9.738,0.861) -- (9.908,0.906) -- (10.032,1.031) -- cycle;
\node at (9.738,1.201) {\scalebox{1.592}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.001,4.555) -- (5.601,4.555) -- (5.601,5.155) -- (5.001,5.155) -- cycle;
\node at (5.301,4.855) {\scalebox{1.592}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.593,7.515) -- (3.193,7.515) -- (3.193,8.115) -- (2.593,8.115) -- cycle;
\node at (2.893,7.815) {\scalebox{1.592}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.365,6.835) -- (9.965,6.835) -- (9.965,7.435) -- (9.365,7.435) -- cycle;
\node at (9.665,7.135) {\scalebox{1.592}{\small c}};
\node at (4.83,8.755) {\scalebox{1.592}{\small A}};
\node at (8.704,8.724) {\scalebox{1.592}{\small B}};
\node at (1.551,7.715) {\scalebox{1.592}{\small C}};
\node at (11.497,4.898) {\scalebox{1.592}{\small D}};
\node at (4.682,4.834) {\scalebox{1.592}{\small E}};
\node at (8.961,4.728) {\scalebox{1.592}{\small F}};
\node at (0.765,2.244) {\scalebox{1.592}{\small G}};
\node at (11.844,1.43) {\scalebox{1.592}{\small H}};
\node at (8.297,0.95) {\scalebox{1.592}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.632,7.251) -- (12.632,8.351);
\draw[line width=0.5pt] (12.401,7.966) -- (12.632,8.351) -- (12.863,7.966);
\draw[line width=0.5pt] (12.329,7.801) -- (12.934,7.801);
\node at (12.632,8.736) {\scalebox{1.592}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, D, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
