\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 271}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=271}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0271}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6917, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.965) -- (10.987,5.935) -- (10.646,5.897) -- (10.307,5.851) -- (9.968,5.797) -- (9.631,5.735) -- (9.295,5.665) -- (8.961,5.588) -- (8.629,5.502) -- (8.299,5.409) -- (7.972,5.308) -- (7.647,5.199) -- (7.324,5.083) -- (7.005,4.959) -- (6.688,4.827);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.965) -- (11.123,5.733) -- (10.912,5.506) -- (10.697,5.283) -- (10.475,5.066) -- (10.249,4.854) -- (10.018,4.647) -- (9.782,4.446) -- (9.542,4.25) -- (9.297,4.061) -- (9.047,3.877) -- (8.794,3.698) -- (8.536,3.526) -- (8.274,3.36) -- (8.009,3.201);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.965) -- (11.287,5.685) -- (11.254,5.404) -- (11.226,5.123) -- (11.206,4.841) -- (11.192,4.558) -- (11.185,4.275) -- (11.184,3.992) -- (11.19,3.709) -- (11.203,3.426) -- (11.222,3.143) -- (11.248,2.862) -- (11.281,2.581) -- (11.32,2.3) -- (11.366,2.021);
\draw[line width=0.5pt] (1.366,5.467) -- (1.75,5.48) -- (2.134,5.484) -- (2.519,5.479) -- (2.903,5.464) -- (3.287,5.441) -- (3.671,5.408) -- (4.053,5.367) -- (4.435,5.316) -- (4.815,5.257) -- (5.194,5.189) -- (5.571,5.112) -- (5.946,5.026) -- (6.318,4.931) -- (6.688,4.827);
\draw[line width=0.5pt] (1.366,5.467) -- (1.485,5.304) -- (1.609,5.144) -- (1.736,4.987) -- (1.867,4.833) -- (2.002,4.682) -- (2.14,4.534) -- (2.282,4.389) -- (2.427,4.248) -- (2.575,4.11) -- (2.727,3.976) -- (2.881,3.845) -- (3.039,3.718) -- (3.199,3.595) -- (3.362,3.476) -- (3.602,3.394) -- (3.839,3.306) -- (4.074,3.213) -- (4.307,3.115) -- (4.538,3.011) -- (4.766,2.901) -- (4.991,2.786) -- (5.214,2.666) -- (5.434,2.541) -- (5.651,2.411) -- (5.864,2.275) -- (6.075,2.135) -- (6.282,1.99) -- (6.485,1.84);
\draw[line width=0.5pt] (6.688,4.827) -- (6.8,4.727) -- (6.909,4.623) -- (7.015,4.517) -- (7.119,4.409) -- (7.221,4.298) -- (7.32,4.184) -- (7.416,4.069) -- (7.509,3.951) -- (7.6,3.831) -- (7.687,3.709) -- (7.772,3.585) -- (7.854,3.459) -- (7.933,3.331) -- (8.009,3.201);
\draw[line width=0.5pt] (6.688,4.827) -- (6.641,4.618) -- (6.599,4.407) -- (6.562,4.196) -- (6.53,3.983) -- (6.503,3.77) -- (6.481,3.556) -- (6.464,3.342) -- (6.451,3.127) -- (6.444,2.912) -- (6.442,2.698) -- (6.445,2.483) -- (6.454,2.268) -- (6.467,2.054) -- (6.485,1.84);
\draw[line width=0.5pt] (8.009,3.201) -- (7.916,3.088) -- (7.82,2.977) -- (7.721,2.868) -- (7.621,2.762) -- (7.517,2.658) -- (7.411,2.556) -- (7.303,2.457) -- (7.193,2.361) -- (7.08,2.267) -- (6.965,2.176) -- (6.848,2.088) -- (6.729,2.002) -- (6.608,1.919) -- (6.485,1.84);
\draw[line width=0.5pt] (11.366,2.021) -- (11.018,2.062) -- (10.669,2.094) -- (10.319,2.118) -- (9.969,2.134) -- (9.619,2.142) -- (9.268,2.141) -- (8.918,2.132) -- (8.568,2.115) -- (8.218,2.089) -- (7.869,2.056) -- (7.521,2.014) -- (7.174,1.964) -- (6.829,1.906) -- (6.485,1.84);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.488,5.965) -- (11.466,6.045) -- (11.408,6.104) -- (11.328,6.125) -- (11.248,6.104) -- (11.189,6.045) -- (11.168,5.965) -- (11.189,5.885) -- (11.248,5.827) -- (11.328,5.805) -- (11.408,5.827) -- (11.466,5.885) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.526,5.467) -- (1.504,5.547) -- (1.446,5.606) -- (1.366,5.627) -- (1.286,5.606) -- (1.227,5.547) -- (1.206,5.467) -- (1.227,5.387) -- (1.286,5.329) -- (1.366,5.307) -- (1.446,5.329) -- (1.504,5.387) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.848,4.827) -- (6.827,4.907) -- (6.768,4.966) -- (6.688,4.987) -- (6.608,4.966) -- (6.55,4.907) -- (6.528,4.827) -- (6.55,4.747) -- (6.608,4.689) -- (6.688,4.667) -- (6.768,4.689) -- (6.827,4.747) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.169,3.201) -- (8.147,3.281) -- (8.089,3.339) -- (8.009,3.361) -- (7.929,3.339) -- (7.87,3.281) -- (7.849,3.201) -- (7.87,3.121) -- (7.929,3.062) -- (8.009,3.041) -- (8.089,3.062) -- (8.147,3.121) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.526,2.021) -- (11.504,2.101) -- (11.446,2.16) -- (11.366,2.181) -- (11.286,2.16) -- (11.227,2.101) -- (11.206,2.021) -- (11.227,1.941) -- (11.286,1.883) -- (11.366,1.861) -- (11.446,1.883) -- (11.504,1.941) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.645,1.84) -- (6.624,1.92) -- (6.565,1.978) -- (6.485,2.0) -- (6.405,1.978) -- (6.347,1.92) -- (6.325,1.84) -- (6.347,1.76) -- (6.405,1.701) -- (6.485,1.68) -- (6.565,1.701) -- (6.624,1.76) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.377,5.277) -- (9.332,5.447) -- (9.207,5.571) -- (9.037,5.617) -- (8.867,5.571) -- (8.743,5.447) -- (8.697,5.277) -- (8.743,5.107) -- (8.867,4.982) -- (9.037,4.937) -- (9.207,4.982) -- (9.332,5.107) -- cycle;
\node at (9.037,5.277) {\scalebox{1.446}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.327,4.2) -- (10.282,4.37) -- (10.157,4.495) -- (9.987,4.54) -- (9.817,4.495) -- (9.693,4.37) -- (9.647,4.2) -- (9.693,4.03) -- (9.817,3.906) -- (9.987,3.86) -- (10.157,3.906) -- (10.282,4.03) -- cycle;
\node at (9.987,4.2) {\scalebox{1.446}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.844,3.995) -- (11.798,4.165) -- (11.674,4.289) -- (11.504,4.335) -- (11.334,4.289) -- (11.21,4.165) -- (11.164,3.995) -- (11.21,3.825) -- (11.334,3.7) -- (11.504,3.655) -- (11.674,3.7) -- (11.798,3.825) -- cycle;
\node at (11.504,3.995) {\scalebox{1.446}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.432,5.685) -- (4.386,5.855) -- (4.262,5.979) -- (4.092,6.025) -- (3.922,5.979) -- (3.797,5.855) -- (3.752,5.685) -- (3.797,5.515) -- (3.922,5.39) -- (4.092,5.345) -- (4.262,5.39) -- (4.386,5.515) -- cycle;
\node at (4.092,5.685) {\scalebox{1.446}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.845,3.762) -- (3.8,3.932) -- (3.675,4.056) -- (3.505,4.102) -- (3.335,4.056) -- (3.211,3.932) -- (3.165,3.762) -- (3.211,3.592) -- (3.335,3.467) -- (3.505,3.422) -- (3.675,3.467) -- (3.8,3.592) -- cycle;
\node at (3.505,3.762) {\scalebox{1.446}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.004,4.27) -- (7.959,4.44) -- (7.834,4.565) -- (7.664,4.61) -- (7.494,4.565) -- (7.37,4.44) -- (7.324,4.27) -- (7.37,4.1) -- (7.494,3.976) -- (7.664,3.93) -- (7.834,3.976) -- (7.959,4.1) -- cycle;
\node at (7.664,4.27) {\scalebox{1.446}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.123,3.32) -- (7.077,3.49) -- (6.953,3.615) -- (6.783,3.66) -- (6.613,3.615) -- (6.488,3.49) -- (6.443,3.32) -- (6.488,3.15) -- (6.613,3.026) -- (6.783,2.98) -- (6.953,3.026) -- (7.077,3.15) -- cycle;
\node at (6.783,3.32) {\scalebox{1.446}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.856,2.219) -- (7.811,2.389) -- (7.686,2.513) -- (7.516,2.559) -- (7.346,2.513) -- (7.222,2.389) -- (7.176,2.219) -- (7.222,2.049) -- (7.346,1.924) -- (7.516,1.879) -- (7.686,1.924) -- (7.811,2.049) -- cycle;
\node at (7.516,2.219) {\scalebox{1.446}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.27,1.812) -- (9.224,1.982) -- (9.1,2.107) -- (8.93,2.152) -- (8.76,2.107) -- (8.635,1.982) -- (8.59,1.812) -- (8.635,1.642) -- (8.76,1.518) -- (8.93,1.472) -- (9.1,1.518) -- (9.224,1.642) -- cycle;
\node at (8.93,1.812) {\scalebox{1.446}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.028,5.665) -- (11.628,5.665) -- (11.628,6.265) -- (11.028,6.265) -- cycle;
\node at (11.328,5.965) {\scalebox{1.446}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.447,0.65) -- (8.047,0.65) -- (8.047,1.25) -- (7.447,1.25) -- cycle;
\node at (7.747,0.95) {\scalebox{1.446}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.534,3.726) -- (13.134,3.726) -- (13.134,4.326) -- (12.534,4.326) -- cycle;
\node at (12.834,4.026) {\scalebox{1.446}{\small c}};
\node at (11.871,6.263) {\scalebox{1.446}{\small A}};
\node at (0.765,5.621) {\scalebox{1.446}{\small B}};
\node at (6.272,5.287) {\scalebox{1.446}{\small C}};
\node at (8.358,2.689) {\scalebox{1.446}{\small D}};
\node at (11.923,1.75) {\scalebox{1.446}{\small E}};
\node at (6.201,1.289) {\scalebox{1.446}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.666,5.015) -- (12.666,6.115);
\draw[line width=0.5pt] (12.435,5.73) -- (12.666,6.115) -- (12.897,5.73);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,5.565) -- (12.968,5.565);
\node at (12.666,6.5) {\scalebox{1.446}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑥ avenue de la Gare & Ⓐ Carrefour des Tilleuls & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑦ rue Verte & Ⓑ Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ rue Haute & ⑧ rue de la Poste & Ⓒ Carrefour du Lavoir & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue des Jardins & ⑨ rue Basse & Ⓓ Rond-point du Pont &  \\ \hline
⑤ chemin des Vignes &  & Ⓔ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6189, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.965) -- (10.987,5.935) -- (10.646,5.897) -- (10.307,5.851) -- (9.968,5.797) -- (9.631,5.735) -- (9.295,5.665) -- (8.961,5.588) -- (8.629,5.502) -- (8.299,5.409) -- (7.972,5.308) -- (7.647,5.199) -- (7.324,5.083) -- (7.005,4.959) -- (6.688,4.827);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.965) -- (11.123,5.733) -- (10.912,5.506) -- (10.697,5.283) -- (10.475,5.066) -- (10.249,4.854) -- (10.018,4.647) -- (9.782,4.446) -- (9.542,4.25) -- (9.297,4.061) -- (9.047,3.877) -- (8.794,3.698) -- (8.536,3.526) -- (8.274,3.36) -- (8.009,3.201);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.965) -- (11.287,5.685) -- (11.254,5.404) -- (11.226,5.123) -- (11.206,4.841) -- (11.192,4.558) -- (11.185,4.275) -- (11.184,3.992) -- (11.19,3.709) -- (11.203,3.426) -- (11.222,3.143) -- (11.248,2.862) -- (11.281,2.581) -- (11.32,2.3) -- (11.366,2.021);
\draw[line width=0.5pt] (1.366,5.467) -- (1.75,5.48) -- (2.134,5.484) -- (2.519,5.479) -- (2.903,5.464) -- (3.287,5.441) -- (3.671,5.408) -- (4.053,5.367) -- (4.435,5.316) -- (4.815,5.257) -- (5.194,5.189) -- (5.571,5.112) -- (5.946,5.026) -- (6.318,4.931) -- (6.688,4.827);
\draw[line width=0.5pt] (1.366,5.467) -- (1.485,5.304) -- (1.609,5.144) -- (1.736,4.987) -- (1.867,4.833) -- (2.002,4.682) -- (2.14,4.534) -- (2.282,4.389) -- (2.427,4.248) -- (2.575,4.11) -- (2.727,3.976) -- (2.881,3.845) -- (3.039,3.718) -- (3.199,3.595) -- (3.362,3.476) -- (3.602,3.394) -- (3.839,3.306) -- (4.074,3.213) -- (4.307,3.115) -- (4.538,3.011) -- (4.766,2.901) -- (4.991,2.786) -- (5.214,2.666) -- (5.434,2.541) -- (5.651,2.411) -- (5.864,2.275) -- (6.075,2.135) -- (6.282,1.99) -- (6.485,1.84);
\draw[line width=0.5pt] (6.688,4.827) -- (6.8,4.727) -- (6.909,4.623) -- (7.015,4.517) -- (7.119,4.409) -- (7.221,4.298) -- (7.32,4.184) -- (7.416,4.069) -- (7.509,3.951) -- (7.6,3.831) -- (7.687,3.709) -- (7.772,3.585) -- (7.854,3.459) -- (7.933,3.331) -- (8.009,3.201);
\draw[line width=0.5pt] (6.688,4.827) -- (6.641,4.618) -- (6.599,4.407) -- (6.562,4.196) -- (6.53,3.983) -- (6.503,3.77) -- (6.481,3.556) -- (6.464,3.342) -- (6.451,3.127) -- (6.444,2.912) -- (6.442,2.698) -- (6.445,2.483) -- (6.454,2.268) -- (6.467,2.054) -- (6.485,1.84);
\draw[line width=0.5pt] (8.009,3.201) -- (7.916,3.088) -- (7.82,2.977) -- (7.721,2.868) -- (7.621,2.762) -- (7.517,2.658) -- (7.411,2.556) -- (7.303,2.457) -- (7.193,2.361) -- (7.08,2.267) -- (6.965,2.176) -- (6.848,2.088) -- (6.729,2.002) -- (6.608,1.919) -- (6.485,1.84);
\draw[line width=0.5pt] (11.366,2.021) -- (11.018,2.062) -- (10.669,2.094) -- (10.319,2.118) -- (9.969,2.134) -- (9.619,2.142) -- (9.268,2.141) -- (8.918,2.132) -- (8.568,2.115) -- (8.218,2.089) -- (7.869,2.056) -- (7.521,2.014) -- (7.174,1.964) -- (6.829,1.906) -- (6.485,1.84);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.488,5.965) -- (11.466,6.045) -- (11.408,6.104) -- (11.328,6.125) -- (11.248,6.104) -- (11.189,6.045) -- (11.168,5.965) -- (11.189,5.885) -- (11.248,5.827) -- (11.328,5.805) -- (11.408,5.827) -- (11.466,5.885) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.526,5.467) -- (1.504,5.547) -- (1.446,5.606) -- (1.366,5.627) -- (1.286,5.606) -- (1.227,5.547) -- (1.206,5.467) -- (1.227,5.387) -- (1.286,5.329) -- (1.366,5.307) -- (1.446,5.329) -- (1.504,5.387) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.848,4.827) -- (6.827,4.907) -- (6.768,4.966) -- (6.688,4.987) -- (6.608,4.966) -- (6.55,4.907) -- (6.528,4.827) -- (6.55,4.747) -- (6.608,4.689) -- (6.688,4.667) -- (6.768,4.689) -- (6.827,4.747) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.169,3.201) -- (8.147,3.281) -- (8.089,3.339) -- (8.009,3.361) -- (7.929,3.339) -- (7.87,3.281) -- (7.849,3.201) -- (7.87,3.121) -- (7.929,3.062) -- (8.009,3.041) -- (8.089,3.062) -- (8.147,3.121) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.526,2.021) -- (11.504,2.101) -- (11.446,2.16) -- (11.366,2.181) -- (11.286,2.16) -- (11.227,2.101) -- (11.206,2.021) -- (11.227,1.941) -- (11.286,1.883) -- (11.366,1.861) -- (11.446,1.883) -- (11.504,1.941) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.645,1.84) -- (6.624,1.92) -- (6.565,1.978) -- (6.485,2.0) -- (6.405,1.978) -- (6.347,1.92) -- (6.325,1.84) -- (6.347,1.76) -- (6.405,1.701) -- (6.485,1.68) -- (6.565,1.701) -- (6.624,1.76) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.377,5.277) -- (9.332,5.447) -- (9.207,5.571) -- (9.037,5.617) -- (8.867,5.571) -- (8.743,5.447) -- (8.697,5.277) -- (8.743,5.107) -- (8.867,4.982) -- (9.037,4.937) -- (9.207,4.982) -- (9.332,5.107) -- cycle;
\node at (9.037,5.277) {\scalebox{1.616}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.327,4.2) -- (10.282,4.37) -- (10.157,4.495) -- (9.987,4.54) -- (9.817,4.495) -- (9.693,4.37) -- (9.647,4.2) -- (9.693,4.03) -- (9.817,3.906) -- (9.987,3.86) -- (10.157,3.906) -- (10.282,4.03) -- cycle;
\node at (9.987,4.2) {\scalebox{1.616}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.844,3.995) -- (11.798,4.165) -- (11.674,4.289) -- (11.504,4.335) -- (11.334,4.289) -- (11.21,4.165) -- (11.164,3.995) -- (11.21,3.825) -- (11.334,3.7) -- (11.504,3.655) -- (11.674,3.7) -- (11.798,3.825) -- cycle;
\node at (11.504,3.995) {\scalebox{1.616}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.432,5.685) -- (4.386,5.855) -- (4.262,5.979) -- (4.092,6.025) -- (3.922,5.979) -- (3.797,5.855) -- (3.752,5.685) -- (3.797,5.515) -- (3.922,5.39) -- (4.092,5.345) -- (4.262,5.39) -- (4.386,5.515) -- cycle;
\node at (4.092,5.685) {\scalebox{1.616}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.845,3.762) -- (3.8,3.932) -- (3.675,4.056) -- (3.505,4.102) -- (3.335,4.056) -- (3.211,3.932) -- (3.165,3.762) -- (3.211,3.592) -- (3.335,3.467) -- (3.505,3.422) -- (3.675,3.467) -- (3.8,3.592) -- cycle;
\node at (3.505,3.762) {\scalebox{1.616}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.004,4.27) -- (7.959,4.44) -- (7.834,4.565) -- (7.664,4.61) -- (7.494,4.565) -- (7.37,4.44) -- (7.324,4.27) -- (7.37,4.1) -- (7.494,3.976) -- (7.664,3.93) -- (7.834,3.976) -- (7.959,4.1) -- cycle;
\node at (7.664,4.27) {\scalebox{1.616}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.123,3.32) -- (7.077,3.49) -- (6.953,3.615) -- (6.783,3.66) -- (6.613,3.615) -- (6.488,3.49) -- (6.443,3.32) -- (6.488,3.15) -- (6.613,3.026) -- (6.783,2.98) -- (6.953,3.026) -- (7.077,3.15) -- cycle;
\node at (6.783,3.32) {\scalebox{1.616}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.856,2.219) -- (7.811,2.389) -- (7.686,2.513) -- (7.516,2.559) -- (7.346,2.513) -- (7.222,2.389) -- (7.176,2.219) -- (7.222,2.049) -- (7.346,1.924) -- (7.516,1.879) -- (7.686,1.924) -- (7.811,2.049) -- cycle;
\node at (7.516,2.219) {\scalebox{1.616}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.27,1.812) -- (9.224,1.982) -- (9.1,2.107) -- (8.93,2.152) -- (8.76,2.107) -- (8.635,1.982) -- (8.59,1.812) -- (8.635,1.642) -- (8.76,1.518) -- (8.93,1.472) -- (9.1,1.518) -- (9.224,1.642) -- cycle;
\node at (8.93,1.812) {\scalebox{1.616}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.028,5.665) -- (11.628,5.665) -- (11.628,6.265) -- (11.028,6.265) -- cycle;
\node at (11.328,5.965) {\scalebox{1.616}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.447,0.65) -- (8.047,0.65) -- (8.047,1.25) -- (7.447,1.25) -- cycle;
\node at (7.747,0.95) {\scalebox{1.616}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.534,3.726) -- (13.134,3.726) -- (13.134,4.326) -- (12.534,4.326) -- cycle;
\node at (12.834,4.026) {\scalebox{1.616}{\small c}};
\node at (11.871,6.263) {\scalebox{1.616}{\small A}};
\node at (0.765,5.621) {\scalebox{1.616}{\small B}};
\node at (6.272,5.287) {\scalebox{1.616}{\small C}};
\node at (8.358,2.689) {\scalebox{1.616}{\small D}};
\node at (11.923,1.75) {\scalebox{1.616}{\small E}};
\node at (6.201,1.289) {\scalebox{1.616}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.666,5.015) -- (12.666,6.115);
\draw[line width=0.5pt] (12.435,5.73) -- (12.666,6.115) -- (12.897,5.73);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,5.565) -- (12.968,5.565);
\node at (12.666,6.5) {\scalebox{1.616}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 4 & 3 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{A}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue de la Mairie ①} vers l'ouest et atteint Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ④}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑦}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ②}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ③}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de la Poste ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
