\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 272}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=272}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0272}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7039, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.882,9.182) -- (7.403,9.17) -- (6.923,9.146) -- (6.444,9.112) -- (5.966,9.066) -- (5.489,9.009) -- (5.013,8.94) -- (4.539,8.861) -- (4.067,8.77) -- (3.598,8.668) -- (3.131,8.556) -- (2.667,8.432) -- (2.206,8.298) -- (1.748,8.152) -- (1.294,7.996);
\draw[line width=0.5pt] (7.882,9.182) -- (8.064,8.942) -- (8.24,8.697) -- (8.41,8.449) -- (8.574,8.196) -- (8.732,7.94) -- (8.884,7.68) -- (9.03,7.416) -- (9.169,7.149) -- (9.303,6.879) -- (9.43,6.606) -- (9.55,6.33) -- (9.664,6.051) -- (9.772,5.77) -- (9.872,5.487);
\draw[line width=0.5pt] (1.294,7.996) -- (1.278,7.623) -- (1.27,7.25) -- (1.271,6.876) -- (1.282,6.503) -- (1.3,6.13) -- (1.328,5.757) -- (1.365,5.385) -- (1.41,5.014) -- (1.463,4.644) -- (1.526,4.275) -- (1.597,3.909) -- (1.677,3.544) -- (1.765,3.181) -- (1.862,2.82);
\draw[line width=0.5pt] (1.294,7.996) -- (1.6,7.835) -- (1.902,7.666) -- (2.199,7.489) -- (2.493,7.306) -- (2.783,7.116) -- (3.067,6.92) -- (3.348,6.716) -- (3.623,6.506) -- (3.893,6.29) -- (4.158,6.067) -- (4.418,5.839) -- (4.672,5.604) -- (4.921,5.363) -- (5.164,5.117) -- (5.273,4.842) -- (5.39,4.569) -- (5.512,4.299) -- (5.642,4.032) -- (5.777,3.768) -- (5.919,3.507) -- (6.066,3.25) -- (6.22,2.996) -- (6.38,2.746) -- (6.545,2.5) -- (6.716,2.258) -- (6.893,2.019) -- (7.075,1.786) -- (7.263,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (9.872,5.487) -- (9.93,5.193) -- (9.995,4.9) -- (10.066,4.609) -- (10.145,4.32) -- (10.23,4.033) -- (10.322,3.747) -- (10.421,3.464) -- (10.526,3.184) -- (10.638,2.906) -- (10.757,2.63) -- (10.882,2.358) -- (11.013,2.088) -- (11.15,1.822) -- (11.294,1.559);
\draw[line width=0.5pt] (9.872,5.487) -- (9.73,5.18) -- (9.581,4.876) -- (9.425,4.576) -- (9.261,4.279) -- (9.091,3.987) -- (8.914,3.698) -- (8.73,3.414) -- (8.539,3.134) -- (8.342,2.859) -- (8.139,2.588) -- (7.929,2.322) -- (7.713,2.062) -- (7.491,1.806) -- (7.263,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (1.862,2.82) -- (2.231,2.672) -- (2.603,2.532) -- (2.979,2.401) -- (3.358,2.278) -- (3.74,2.165) -- (4.124,2.061) -- (4.51,1.965) -- (4.899,1.879) -- (5.29,1.802) -- (5.682,1.734) -- (6.076,1.676) -- (6.471,1.627) -- (6.866,1.587) -- (7.263,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (11.294,1.559) -- (11.008,1.515) -- (10.722,1.478) -- (10.434,1.447) -- (10.146,1.423) -- (9.857,1.406) -- (9.568,1.395) -- (9.279,1.392) -- (8.989,1.395) -- (8.7,1.405) -- (8.411,1.422) -- (8.123,1.445) -- (7.835,1.475) -- (7.549,1.512) -- (7.263,1.556);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.042,9.182) -- (8.021,9.262) -- (7.962,9.32) -- (7.882,9.342) -- (7.802,9.32) -- (7.744,9.262) -- (7.722,9.182) -- (7.744,9.102) -- (7.802,9.043) -- (7.882,9.022) -- (7.962,9.043) -- (8.021,9.102) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.454,7.996) -- (1.433,8.076) -- (1.374,8.135) -- (1.294,8.156) -- (1.214,8.135) -- (1.155,8.076) -- (1.134,7.996) -- (1.155,7.916) -- (1.214,7.858) -- (1.294,7.836) -- (1.374,7.858) -- (1.433,7.916) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.032,5.487) -- (10.011,5.567) -- (9.952,5.625) -- (9.872,5.647) -- (9.792,5.625) -- (9.734,5.567) -- (9.712,5.487) -- (9.734,5.407) -- (9.792,5.348) -- (9.872,5.327) -- (9.952,5.348) -- (10.011,5.407) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.022,2.82) -- (2.001,2.9) -- (1.942,2.959) -- (1.862,2.98) -- (1.782,2.959) -- (1.724,2.9) -- (1.702,2.82) -- (1.724,2.74) -- (1.782,2.682) -- (1.862,2.66) -- (1.942,2.682) -- (2.001,2.74) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.454,1.559) -- (11.433,1.639) -- (11.374,1.698) -- (11.294,1.719) -- (11.214,1.698) -- (11.155,1.639) -- (11.134,1.559) -- (11.155,1.479) -- (11.214,1.421) -- (11.294,1.399) -- (11.374,1.421) -- (11.433,1.479) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.423,1.556) -- (7.402,1.636) -- (7.343,1.695) -- (7.263,1.716) -- (7.183,1.695) -- (7.124,1.636) -- (7.103,1.556) -- (7.124,1.476) -- (7.183,1.418) -- (7.263,1.396) -- (7.343,1.418) -- (7.402,1.476) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.936,8.546) -- (4.89,8.716) -- (4.766,8.84) -- (4.596,8.886) -- (4.426,8.84) -- (4.302,8.716) -- (4.256,8.546) -- (4.302,8.376) -- (4.426,8.251) -- (4.596,8.206) -- (4.766,8.251) -- (4.89,8.376) -- cycle;
\node at (4.596,8.546) {\scalebox{1.421}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.651,7.568) -- (9.606,7.738) -- (9.481,7.862) -- (9.311,7.908) -- (9.141,7.862) -- (9.017,7.738) -- (8.971,7.568) -- (9.017,7.398) -- (9.141,7.273) -- (9.311,7.228) -- (9.481,7.273) -- (9.606,7.398) -- cycle;
\node at (9.311,7.568) {\scalebox{1.421}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.023,5.42) -- (1.977,5.59) -- (1.853,5.714) -- (1.683,5.76) -- (1.513,5.714) -- (1.388,5.59) -- (1.343,5.42) -- (1.388,5.25) -- (1.513,5.125) -- (1.683,5.08) -- (1.853,5.125) -- (1.977,5.25) -- cycle;
\node at (1.683,5.42) {\scalebox{1.421}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.769,5.296) -- (5.723,5.466) -- (5.599,5.59) -- (5.429,5.636) -- (5.259,5.59) -- (5.134,5.466) -- (5.089,5.296) -- (5.134,5.126) -- (5.259,5.002) -- (5.429,4.956) -- (5.599,5.002) -- (5.723,5.126) -- cycle;
\node at (5.429,5.296) {\scalebox{1.421}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.062,3.573) -- (11.016,3.743) -- (10.892,3.868) -- (10.722,3.913) -- (10.552,3.868) -- (10.428,3.743) -- (10.382,3.573) -- (10.428,3.403) -- (10.552,3.279) -- (10.722,3.233) -- (10.892,3.279) -- (11.016,3.403) -- cycle;
\node at (10.722,3.573) {\scalebox{1.421}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.336,3.237) -- (9.291,3.407) -- (9.166,3.531) -- (8.996,3.577) -- (8.826,3.531) -- (8.702,3.407) -- (8.656,3.237) -- (8.702,3.067) -- (8.826,2.942) -- (8.996,2.897) -- (9.166,2.942) -- (9.291,3.067) -- cycle;
\node at (8.996,3.237) {\scalebox{1.421}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.923,2.277) -- (4.878,2.447) -- (4.753,2.572) -- (4.583,2.617) -- (4.413,2.572) -- (4.289,2.447) -- (4.243,2.277) -- (4.289,2.107) -- (4.413,1.983) -- (4.583,1.937) -- (4.753,1.983) -- (4.878,2.107) -- cycle;
\node at (4.583,2.277) {\scalebox{1.421}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.619,1.072) -- (9.573,1.242) -- (9.449,1.366) -- (9.279,1.412) -- (9.109,1.366) -- (8.984,1.242) -- (8.939,1.072) -- (8.984,0.902) -- (9.109,0.777) -- (9.279,0.732) -- (9.449,0.777) -- (9.573,0.902) -- cycle;
\node at (9.279,1.072) {\scalebox{1.421}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.963,1.256) -- (7.563,1.256) -- (7.563,1.856) -- (6.963,1.856) -- cycle;
\node at (7.263,1.556) {\scalebox{1.421}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.809,8.985) -- (4.409,8.985) -- (4.409,9.585) -- (3.809,9.585) -- cycle;
\node at (4.109,9.285) {\scalebox{1.421}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.704,3.079) -- (12.304,3.079) -- (12.304,3.679) -- (11.704,3.679) -- cycle;
\node at (12.004,3.379) {\scalebox{1.421}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.995,8.151) -- (10.595,8.151) -- (10.595,8.751) -- (9.995,8.751) -- cycle;
\node at (10.295,8.451) {\scalebox{1.421}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.62,1.366) -- (4.22,1.366) -- (4.22,1.966) -- (3.62,1.966) -- cycle;
\node at (3.92,1.666) {\scalebox{1.421}{\small e}};
\node at (8.058,9.776) {\scalebox{1.421}{\small A}};
\node at (0.765,8.32) {\scalebox{1.421}{\small B}};
\node at (10.478,5.619) {\scalebox{1.421}{\small C}};
\node at (1.289,2.584) {\scalebox{1.421}{\small D}};
\node at (11.807,1.211) {\scalebox{1.421}{\small E}};
\node at (7.392,0.95) {\scalebox{1.421}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.594,8.232) -- (12.594,9.332);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,8.947) -- (12.594,9.332) -- (12.825,8.947);
\draw[line width=0.5pt] (12.292,8.782) -- (12.897,8.782);
\node at (12.594,9.717) {\scalebox{1.421}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin de Ronde & ⑤ chemin des Vignes & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑥ rue du Moulin & Ⓑ Rond-point du Stade & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ boulevard du Parc & ⑦ venelle du Chat & Ⓒ Carrefour des Tilleuls & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue des Jardins & ⑧ rue Pasteur & Ⓓ Placette des Ormes & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
 &  & Ⓔ Place des Tanneurs & \textbf{e} le stade \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6298, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.882,9.182) -- (7.403,9.17) -- (6.923,9.146) -- (6.444,9.112) -- (5.966,9.066) -- (5.489,9.009) -- (5.013,8.94) -- (4.539,8.861) -- (4.067,8.77) -- (3.598,8.668) -- (3.131,8.556) -- (2.667,8.432) -- (2.206,8.298) -- (1.748,8.152) -- (1.294,7.996);
\draw[line width=0.5pt] (7.882,9.182) -- (8.064,8.942) -- (8.24,8.697) -- (8.41,8.449) -- (8.574,8.196) -- (8.732,7.94) -- (8.884,7.68) -- (9.03,7.416) -- (9.169,7.149) -- (9.303,6.879) -- (9.43,6.606) -- (9.55,6.33) -- (9.664,6.051) -- (9.772,5.77) -- (9.872,5.487);
\draw[line width=0.5pt] (1.294,7.996) -- (1.278,7.623) -- (1.27,7.25) -- (1.271,6.876) -- (1.282,6.503) -- (1.3,6.13) -- (1.328,5.757) -- (1.365,5.385) -- (1.41,5.014) -- (1.463,4.644) -- (1.526,4.275) -- (1.597,3.909) -- (1.677,3.544) -- (1.765,3.181) -- (1.862,2.82);
\draw[line width=0.5pt] (1.294,7.996) -- (1.6,7.835) -- (1.902,7.666) -- (2.199,7.489) -- (2.493,7.306) -- (2.783,7.116) -- (3.067,6.92) -- (3.348,6.716) -- (3.623,6.506) -- (3.893,6.29) -- (4.158,6.067) -- (4.418,5.839) -- (4.672,5.604) -- (4.921,5.363) -- (5.164,5.117) -- (5.273,4.842) -- (5.39,4.569) -- (5.512,4.299) -- (5.642,4.032) -- (5.777,3.768) -- (5.919,3.507) -- (6.066,3.25) -- (6.22,2.996) -- (6.38,2.746) -- (6.545,2.5) -- (6.716,2.258) -- (6.893,2.019) -- (7.075,1.786) -- (7.263,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (9.872,5.487) -- (9.93,5.193) -- (9.995,4.9) -- (10.066,4.609) -- (10.145,4.32) -- (10.23,4.033) -- (10.322,3.747) -- (10.421,3.464) -- (10.526,3.184) -- (10.638,2.906) -- (10.757,2.63) -- (10.882,2.358) -- (11.013,2.088) -- (11.15,1.822) -- (11.294,1.559);
\draw[line width=0.5pt] (9.872,5.487) -- (9.73,5.18) -- (9.581,4.876) -- (9.425,4.576) -- (9.261,4.279) -- (9.091,3.987) -- (8.914,3.698) -- (8.73,3.414) -- (8.539,3.134) -- (8.342,2.859) -- (8.139,2.588) -- (7.929,2.322) -- (7.713,2.062) -- (7.491,1.806) -- (7.263,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (1.862,2.82) -- (2.231,2.672) -- (2.603,2.532) -- (2.979,2.401) -- (3.358,2.278) -- (3.74,2.165) -- (4.124,2.061) -- (4.51,1.965) -- (4.899,1.879) -- (5.29,1.802) -- (5.682,1.734) -- (6.076,1.676) -- (6.471,1.627) -- (6.866,1.587) -- (7.263,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (11.294,1.559) -- (11.008,1.515) -- (10.722,1.478) -- (10.434,1.447) -- (10.146,1.423) -- (9.857,1.406) -- (9.568,1.395) -- (9.279,1.392) -- (8.989,1.395) -- (8.7,1.405) -- (8.411,1.422) -- (8.123,1.445) -- (7.835,1.475) -- (7.549,1.512) -- (7.263,1.556);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.042,9.182) -- (8.021,9.262) -- (7.962,9.32) -- (7.882,9.342) -- (7.802,9.32) -- (7.744,9.262) -- (7.722,9.182) -- (7.744,9.102) -- (7.802,9.043) -- (7.882,9.022) -- (7.962,9.043) -- (8.021,9.102) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.454,7.996) -- (1.433,8.076) -- (1.374,8.135) -- (1.294,8.156) -- (1.214,8.135) -- (1.155,8.076) -- (1.134,7.996) -- (1.155,7.916) -- (1.214,7.858) -- (1.294,7.836) -- (1.374,7.858) -- (1.433,7.916) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.032,5.487) -- (10.011,5.567) -- (9.952,5.625) -- (9.872,5.647) -- (9.792,5.625) -- (9.734,5.567) -- (9.712,5.487) -- (9.734,5.407) -- (9.792,5.348) -- (9.872,5.327) -- (9.952,5.348) -- (10.011,5.407) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.022,2.82) -- (2.001,2.9) -- (1.942,2.959) -- (1.862,2.98) -- (1.782,2.959) -- (1.724,2.9) -- (1.702,2.82) -- (1.724,2.74) -- (1.782,2.682) -- (1.862,2.66) -- (1.942,2.682) -- (2.001,2.74) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.454,1.559) -- (11.433,1.639) -- (11.374,1.698) -- (11.294,1.719) -- (11.214,1.698) -- (11.155,1.639) -- (11.134,1.559) -- (11.155,1.479) -- (11.214,1.421) -- (11.294,1.399) -- (11.374,1.421) -- (11.433,1.479) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.423,1.556) -- (7.402,1.636) -- (7.343,1.695) -- (7.263,1.716) -- (7.183,1.695) -- (7.124,1.636) -- (7.103,1.556) -- (7.124,1.476) -- (7.183,1.418) -- (7.263,1.396) -- (7.343,1.418) -- (7.402,1.476) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.936,8.546) -- (4.89,8.716) -- (4.766,8.84) -- (4.596,8.886) -- (4.426,8.84) -- (4.302,8.716) -- (4.256,8.546) -- (4.302,8.376) -- (4.426,8.251) -- (4.596,8.206) -- (4.766,8.251) -- (4.89,8.376) -- cycle;
\node at (4.596,8.546) {\scalebox{1.588}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.651,7.568) -- (9.606,7.738) -- (9.481,7.862) -- (9.311,7.908) -- (9.141,7.862) -- (9.017,7.738) -- (8.971,7.568) -- (9.017,7.398) -- (9.141,7.273) -- (9.311,7.228) -- (9.481,7.273) -- (9.606,7.398) -- cycle;
\node at (9.311,7.568) {\scalebox{1.588}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.023,5.42) -- (1.977,5.59) -- (1.853,5.714) -- (1.683,5.76) -- (1.513,5.714) -- (1.388,5.59) -- (1.343,5.42) -- (1.388,5.25) -- (1.513,5.125) -- (1.683,5.08) -- (1.853,5.125) -- (1.977,5.25) -- cycle;
\node at (1.683,5.42) {\scalebox{1.588}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.769,5.296) -- (5.723,5.466) -- (5.599,5.59) -- (5.429,5.636) -- (5.259,5.59) -- (5.134,5.466) -- (5.089,5.296) -- (5.134,5.126) -- (5.259,5.002) -- (5.429,4.956) -- (5.599,5.002) -- (5.723,5.126) -- cycle;
\node at (5.429,5.296) {\scalebox{1.588}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.062,3.573) -- (11.016,3.743) -- (10.892,3.868) -- (10.722,3.913) -- (10.552,3.868) -- (10.428,3.743) -- (10.382,3.573) -- (10.428,3.403) -- (10.552,3.279) -- (10.722,3.233) -- (10.892,3.279) -- (11.016,3.403) -- cycle;
\node at (10.722,3.573) {\scalebox{1.588}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.336,3.237) -- (9.291,3.407) -- (9.166,3.531) -- (8.996,3.577) -- (8.826,3.531) -- (8.702,3.407) -- (8.656,3.237) -- (8.702,3.067) -- (8.826,2.942) -- (8.996,2.897) -- (9.166,2.942) -- (9.291,3.067) -- cycle;
\node at (8.996,3.237) {\scalebox{1.588}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.923,2.277) -- (4.878,2.447) -- (4.753,2.572) -- (4.583,2.617) -- (4.413,2.572) -- (4.289,2.447) -- (4.243,2.277) -- (4.289,2.107) -- (4.413,1.983) -- (4.583,1.937) -- (4.753,1.983) -- (4.878,2.107) -- cycle;
\node at (4.583,2.277) {\scalebox{1.588}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.619,1.072) -- (9.573,1.242) -- (9.449,1.366) -- (9.279,1.412) -- (9.109,1.366) -- (8.984,1.242) -- (8.939,1.072) -- (8.984,0.902) -- (9.109,0.777) -- (9.279,0.732) -- (9.449,0.777) -- (9.573,0.902) -- cycle;
\node at (9.279,1.072) {\scalebox{1.588}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.963,1.256) -- (7.563,1.256) -- (7.563,1.856) -- (6.963,1.856) -- cycle;
\node at (7.263,1.556) {\scalebox{1.588}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.809,8.985) -- (4.409,8.985) -- (4.409,9.585) -- (3.809,9.585) -- cycle;
\node at (4.109,9.285) {\scalebox{1.588}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.704,3.079) -- (12.304,3.079) -- (12.304,3.679) -- (11.704,3.679) -- cycle;
\node at (12.004,3.379) {\scalebox{1.588}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.995,8.151) -- (10.595,8.151) -- (10.595,8.751) -- (9.995,8.751) -- cycle;
\node at (10.295,8.451) {\scalebox{1.588}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.62,1.366) -- (4.22,1.366) -- (4.22,1.966) -- (3.62,1.966) -- cycle;
\node at (3.92,1.666) {\scalebox{1.588}{\small e}};
\node at (8.058,9.776) {\scalebox{1.588}{\small A}};
\node at (0.765,8.32) {\scalebox{1.588}{\small B}};
\node at (10.478,5.619) {\scalebox{1.588}{\small C}};
\node at (1.289,2.584) {\scalebox{1.588}{\small D}};
\node at (11.807,1.211) {\scalebox{1.588}{\small E}};
\node at (7.392,0.95) {\scalebox{1.588}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.594,8.232) -- (12.594,9.332);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,8.947) -- (12.594,9.332) -- (12.825,8.947);
\draw[line width=0.5pt] (12.292,8.782) -- (12.897,8.782);
\node at (12.594,9.717) {\scalebox{1.588}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 3 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{C} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{F}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{C}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(B)}, prend le \textbf{chemin de Ronde ①} vers l'est et atteint Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ②}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin des Vignes ⑤}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ③}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑦}, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\end{document}
