\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 273}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=273}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0273}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7026, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.158,8.738) -- (6.781,8.671) -- (6.405,8.594) -- (6.031,8.509) -- (5.659,8.415) -- (5.29,8.312) -- (4.923,8.2) -- (4.558,8.08) -- (4.197,7.951) -- (3.839,7.814) -- (3.484,7.669) -- (3.132,7.515) -- (2.785,7.353) -- (2.441,7.183) -- (2.102,7.005);
\draw[line width=0.5pt] (7.158,8.738) -- (7.406,8.523) -- (7.649,8.302) -- (7.887,8.075) -- (8.12,7.842) -- (8.347,7.604) -- (8.568,7.361) -- (8.784,7.113) -- (8.994,6.859) -- (9.197,6.601) -- (9.395,6.338) -- (9.586,6.07) -- (9.771,5.799) -- (9.95,5.523) -- (10.122,5.242) -- (10.186,5.099) -- (10.255,4.957) -- (10.326,4.817) -- (10.401,4.679) -- (10.479,4.542) -- (10.56,4.407) -- (10.645,4.274) -- (10.732,4.143) -- (10.823,4.015) -- (10.916,3.888) -- (11.013,3.764) -- (11.112,3.642) -- (11.214,3.522) -- (11.319,3.405);
\draw[line width=0.5pt] (7.158,8.738) -- (7.125,8.216) -- (7.105,7.693) -- (7.097,7.169) -- (7.101,6.646) -- (7.118,6.122) -- (7.147,5.599) -- (7.189,5.077) -- (7.242,4.555) -- (7.308,4.036) -- (7.386,3.518) -- (7.476,3.002) -- (7.578,2.488) -- (7.693,1.977) -- (7.819,1.469);
\draw[line width=0.5pt] (2.102,7.005) -- (2.342,6.855) -- (2.579,6.7) -- (2.812,6.54) -- (3.041,6.374) -- (3.266,6.202) -- (3.487,6.025) -- (3.704,5.843) -- (3.916,5.657) -- (4.124,5.465) -- (4.328,5.268) -- (4.527,5.067) -- (4.721,4.861) -- (4.91,4.65) -- (5.094,4.435);
\draw[line width=0.5pt] (2.102,7.005) -- (1.995,6.681) -- (1.896,6.355) -- (1.805,6.026) -- (1.721,5.696) -- (1.645,5.363) -- (1.577,5.029) -- (1.517,4.693) -- (1.465,4.356) -- (1.421,4.018) -- (1.384,3.678) -- (1.356,3.338) -- (1.336,2.998) -- (1.324,2.657) -- (1.319,2.317);
\draw[line width=0.5pt] (5.094,4.435) -- (4.849,4.244) -- (4.6,4.058) -- (4.347,3.879) -- (4.09,3.705) -- (3.828,3.537) -- (3.563,3.376) -- (3.294,3.22) -- (3.021,3.071) -- (2.745,2.929) -- (2.466,2.793) -- (2.183,2.664) -- (1.898,2.541) -- (1.61,2.425) -- (1.319,2.317);
\draw[line width=0.5pt] (5.094,4.435) -- (5.254,4.195) -- (5.421,3.959) -- (5.593,3.727) -- (5.77,3.499) -- (5.953,3.275) -- (6.141,3.055) -- (6.334,2.84) -- (6.532,2.629) -- (6.735,2.423) -- (6.943,2.222) -- (7.155,2.026) -- (7.372,1.835) -- (7.594,1.65) -- (7.819,1.469);
\draw[line width=0.5pt] (11.319,3.405) -- (11.093,3.229) -- (10.861,3.059) -- (10.626,2.895) -- (10.388,2.736) -- (10.145,2.582) -- (9.899,2.435) -- (9.649,2.293) -- (9.396,2.157) -- (9.14,2.027) -- (8.881,1.903) -- (8.62,1.785) -- (8.355,1.673) -- (8.088,1.568) -- (7.819,1.469);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,2.317) -- (1.771,2.185) -- (2.225,2.065) -- (2.682,1.955) -- (3.142,1.856) -- (3.604,1.768) -- (4.068,1.691) -- (4.534,1.625) -- (5.002,1.569) -- (5.47,1.525) -- (5.939,1.492) -- (6.409,1.469) -- (6.879,1.458) -- (7.349,1.458) -- (7.819,1.469);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.318,8.738) -- (7.296,8.818) -- (7.238,8.877) -- (7.158,8.898) -- (7.078,8.877) -- (7.019,8.818) -- (6.998,8.738) -- (7.019,8.658) -- (7.078,8.6) -- (7.158,8.578) -- (7.238,8.6) -- (7.296,8.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.262,7.005) -- (2.241,7.085) -- (2.182,7.143) -- (2.102,7.165) -- (2.022,7.143) -- (1.964,7.085) -- (1.942,7.005) -- (1.964,6.925) -- (2.022,6.866) -- (2.102,6.845) -- (2.182,6.866) -- (2.241,6.925) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.254,4.435) -- (5.232,4.515) -- (5.174,4.574) -- (5.094,4.595) -- (5.014,4.574) -- (4.955,4.515) -- (4.934,4.435) -- (4.955,4.355) -- (5.014,4.297) -- (5.094,4.275) -- (5.174,4.297) -- (5.232,4.355) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.479,3.405) -- (11.458,3.485) -- (11.399,3.543) -- (11.319,3.565) -- (11.239,3.543) -- (11.181,3.485) -- (11.159,3.405) -- (11.181,3.325) -- (11.239,3.266) -- (11.319,3.245) -- (11.399,3.266) -- (11.458,3.325) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.479,2.317) -- (1.458,2.397) -- (1.399,2.455) -- (1.319,2.477) -- (1.239,2.455) -- (1.181,2.397) -- (1.159,2.317) -- (1.181,2.237) -- (1.239,2.178) -- (1.319,2.157) -- (1.399,2.178) -- (1.458,2.237) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.979,1.469) -- (7.958,1.549) -- (7.899,1.608) -- (7.819,1.629) -- (7.739,1.608) -- (7.681,1.549) -- (7.659,1.469) -- (7.681,1.389) -- (7.739,1.331) -- (7.819,1.309) -- (7.899,1.331) -- (7.958,1.389) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.002,7.777) -- (4.957,7.947) -- (4.832,8.072) -- (4.662,8.117) -- (4.492,8.072) -- (4.368,7.947) -- (4.322,7.777) -- (4.368,7.607) -- (4.492,7.483) -- (4.662,7.437) -- (4.832,7.483) -- (4.957,7.607) -- cycle;
\node at (4.662,7.777) {\scalebox{1.423}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.741,5.398) -- (10.695,5.568) -- (10.571,5.693) -- (10.401,5.738) -- (10.231,5.693) -- (10.107,5.568) -- (10.061,5.398) -- (10.107,5.228) -- (10.231,5.104) -- (10.401,5.058) -- (10.571,5.104) -- (10.695,5.228) -- cycle;
\node at (10.401,5.398) {\scalebox{1.423}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.847,5.106) -- (7.802,5.276) -- (7.677,5.4) -- (7.507,5.446) -- (7.337,5.4) -- (7.213,5.276) -- (7.167,5.106) -- (7.213,4.936) -- (7.337,4.811) -- (7.507,4.766) -- (7.677,4.811) -- (7.802,4.936) -- cycle;
\node at (7.507,5.106) {\scalebox{1.423}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.252,6.086) -- (4.207,6.256) -- (4.082,6.381) -- (3.912,6.426) -- (3.742,6.381) -- (3.618,6.256) -- (3.572,6.086) -- (3.618,5.916) -- (3.742,5.792) -- (3.912,5.746) -- (4.082,5.792) -- (4.207,5.916) -- cycle;
\node at (3.912,6.086) {\scalebox{1.423}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.173,4.64) -- (2.127,4.81) -- (2.003,4.935) -- (1.833,4.98) -- (1.663,4.935) -- (1.539,4.81) -- (1.493,4.64) -- (1.539,4.47) -- (1.663,4.346) -- (1.833,4.3) -- (2.003,4.346) -- (2.127,4.47) -- cycle;
\node at (1.833,4.64) {\scalebox{1.423}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.791,2.941) -- (3.745,3.111) -- (3.621,3.236) -- (3.451,3.281) -- (3.281,3.236) -- (3.156,3.111) -- (3.111,2.941) -- (3.156,2.771) -- (3.281,2.647) -- (3.451,2.601) -- (3.621,2.647) -- (3.745,2.771) -- cycle;
\node at (3.451,2.941) {\scalebox{1.423}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.91,3.056) -- (6.864,3.226) -- (6.74,3.351) -- (6.57,3.396) -- (6.4,3.351) -- (6.275,3.226) -- (6.23,3.056) -- (6.275,2.886) -- (6.4,2.762) -- (6.57,2.716) -- (6.74,2.762) -- (6.864,2.886) -- cycle;
\node at (6.57,3.056) {\scalebox{1.423}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.144,2.013) -- (10.098,2.183) -- (9.974,2.307) -- (9.804,2.353) -- (9.634,2.307) -- (9.51,2.183) -- (9.464,2.013) -- (9.51,1.843) -- (9.634,1.718) -- (9.804,1.673) -- (9.974,1.718) -- (10.098,1.843) -- cycle;
\node at (9.804,2.013) {\scalebox{1.423}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.916,1.942) -- (4.87,2.112) -- (4.746,2.237) -- (4.576,2.282) -- (4.406,2.237) -- (4.281,2.112) -- (4.236,1.942) -- (4.281,1.772) -- (4.406,1.648) -- (4.576,1.602) -- (4.746,1.648) -- (4.87,1.772) -- cycle;
\node at (4.576,1.942) {\scalebox{1.423}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.519,1.169) -- (8.119,1.169) -- (8.119,1.769) -- (7.519,1.769) -- cycle;
\node at (7.819,1.469) {\scalebox{1.423}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (0.66,4.314) -- (1.26,4.314) -- (1.26,4.914) -- (0.66,4.914) -- cycle;
\node at (0.96,4.614) {\scalebox{1.423}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.975,6.729) -- (3.575,6.729) -- (3.575,7.329) -- (2.975,7.329) -- cycle;
\node at (3.275,7.029) {\scalebox{1.423}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.41,1.747) -- (3.01,1.747) -- (3.01,2.347) -- (2.41,2.347) -- cycle;
\node at (2.71,2.047) {\scalebox{1.423}{\small d}};
\node at (7.349,9.328) {\scalebox{1.423}{\small A}};
\node at (1.585,7.346) {\scalebox{1.423}{\small B}};
\node at (4.483,4.327) {\scalebox{1.423}{\small C}};
\node at (11.926,3.278) {\scalebox{1.423}{\small D}};
\node at (0.765,2.039) {\scalebox{1.423}{\small E}};
\node at (8.158,0.95) {\scalebox{1.423}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.619,7.788) -- (12.619,8.888);
\draw[line width=0.5pt] (12.388,8.503) -- (12.619,8.888) -- (12.85,8.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.317,8.338) -- (12.922,8.338);
\node at (12.619,9.273) {\scalebox{1.423}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Lilas & ⑥ rue Pasteur & Ⓐ Carrefour du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑦ chemin du Lavoir & Ⓑ Carrefour du Moulin & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ rue Neuve & ⑧ allée des Tilleuls & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ rue du Moulin & ⑨ rue Haute & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ chemin Creux &  & Ⓔ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6286, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.158,8.738) -- (6.781,8.671) -- (6.405,8.594) -- (6.031,8.509) -- (5.659,8.415) -- (5.29,8.312) -- (4.923,8.2) -- (4.558,8.08) -- (4.197,7.951) -- (3.839,7.814) -- (3.484,7.669) -- (3.132,7.515) -- (2.785,7.353) -- (2.441,7.183) -- (2.102,7.005);
\draw[line width=0.5pt] (7.158,8.738) -- (7.406,8.523) -- (7.649,8.302) -- (7.887,8.075) -- (8.12,7.842) -- (8.347,7.604) -- (8.568,7.361) -- (8.784,7.113) -- (8.994,6.859) -- (9.197,6.601) -- (9.395,6.338) -- (9.586,6.07) -- (9.771,5.799) -- (9.95,5.523) -- (10.122,5.242) -- (10.186,5.099) -- (10.255,4.957) -- (10.326,4.817) -- (10.401,4.679) -- (10.479,4.542) -- (10.56,4.407) -- (10.645,4.274) -- (10.732,4.143) -- (10.823,4.015) -- (10.916,3.888) -- (11.013,3.764) -- (11.112,3.642) -- (11.214,3.522) -- (11.319,3.405);
\draw[line width=0.5pt] (7.158,8.738) -- (7.125,8.216) -- (7.105,7.693) -- (7.097,7.169) -- (7.101,6.646) -- (7.118,6.122) -- (7.147,5.599) -- (7.189,5.077) -- (7.242,4.555) -- (7.308,4.036) -- (7.386,3.518) -- (7.476,3.002) -- (7.578,2.488) -- (7.693,1.977) -- (7.819,1.469);
\draw[line width=0.5pt] (2.102,7.005) -- (2.342,6.855) -- (2.579,6.7) -- (2.812,6.54) -- (3.041,6.374) -- (3.266,6.202) -- (3.487,6.025) -- (3.704,5.843) -- (3.916,5.657) -- (4.124,5.465) -- (4.328,5.268) -- (4.527,5.067) -- (4.721,4.861) -- (4.91,4.65) -- (5.094,4.435);
\draw[line width=0.5pt] (2.102,7.005) -- (1.995,6.681) -- (1.896,6.355) -- (1.805,6.026) -- (1.721,5.696) -- (1.645,5.363) -- (1.577,5.029) -- (1.517,4.693) -- (1.465,4.356) -- (1.421,4.018) -- (1.384,3.678) -- (1.356,3.338) -- (1.336,2.998) -- (1.324,2.657) -- (1.319,2.317);
\draw[line width=0.5pt] (5.094,4.435) -- (4.849,4.244) -- (4.6,4.058) -- (4.347,3.879) -- (4.09,3.705) -- (3.828,3.537) -- (3.563,3.376) -- (3.294,3.22) -- (3.021,3.071) -- (2.745,2.929) -- (2.466,2.793) -- (2.183,2.664) -- (1.898,2.541) -- (1.61,2.425) -- (1.319,2.317);
\draw[line width=0.5pt] (5.094,4.435) -- (5.254,4.195) -- (5.421,3.959) -- (5.593,3.727) -- (5.77,3.499) -- (5.953,3.275) -- (6.141,3.055) -- (6.334,2.84) -- (6.532,2.629) -- (6.735,2.423) -- (6.943,2.222) -- (7.155,2.026) -- (7.372,1.835) -- (7.594,1.65) -- (7.819,1.469);
\draw[line width=0.5pt] (11.319,3.405) -- (11.093,3.229) -- (10.861,3.059) -- (10.626,2.895) -- (10.388,2.736) -- (10.145,2.582) -- (9.899,2.435) -- (9.649,2.293) -- (9.396,2.157) -- (9.14,2.027) -- (8.881,1.903) -- (8.62,1.785) -- (8.355,1.673) -- (8.088,1.568) -- (7.819,1.469);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,2.317) -- (1.771,2.185) -- (2.225,2.065) -- (2.682,1.955) -- (3.142,1.856) -- (3.604,1.768) -- (4.068,1.691) -- (4.534,1.625) -- (5.002,1.569) -- (5.47,1.525) -- (5.939,1.492) -- (6.409,1.469) -- (6.879,1.458) -- (7.349,1.458) -- (7.819,1.469);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.318,8.738) -- (7.296,8.818) -- (7.238,8.877) -- (7.158,8.898) -- (7.078,8.877) -- (7.019,8.818) -- (6.998,8.738) -- (7.019,8.658) -- (7.078,8.6) -- (7.158,8.578) -- (7.238,8.6) -- (7.296,8.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.262,7.005) -- (2.241,7.085) -- (2.182,7.143) -- (2.102,7.165) -- (2.022,7.143) -- (1.964,7.085) -- (1.942,7.005) -- (1.964,6.925) -- (2.022,6.866) -- (2.102,6.845) -- (2.182,6.866) -- (2.241,6.925) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.254,4.435) -- (5.232,4.515) -- (5.174,4.574) -- (5.094,4.595) -- (5.014,4.574) -- (4.955,4.515) -- (4.934,4.435) -- (4.955,4.355) -- (5.014,4.297) -- (5.094,4.275) -- (5.174,4.297) -- (5.232,4.355) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.479,3.405) -- (11.458,3.485) -- (11.399,3.543) -- (11.319,3.565) -- (11.239,3.543) -- (11.181,3.485) -- (11.159,3.405) -- (11.181,3.325) -- (11.239,3.266) -- (11.319,3.245) -- (11.399,3.266) -- (11.458,3.325) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.479,2.317) -- (1.458,2.397) -- (1.399,2.455) -- (1.319,2.477) -- (1.239,2.455) -- (1.181,2.397) -- (1.159,2.317) -- (1.181,2.237) -- (1.239,2.178) -- (1.319,2.157) -- (1.399,2.178) -- (1.458,2.237) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.979,1.469) -- (7.958,1.549) -- (7.899,1.608) -- (7.819,1.629) -- (7.739,1.608) -- (7.681,1.549) -- (7.659,1.469) -- (7.681,1.389) -- (7.739,1.331) -- (7.819,1.309) -- (7.899,1.331) -- (7.958,1.389) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.002,7.777) -- (4.957,7.947) -- (4.832,8.072) -- (4.662,8.117) -- (4.492,8.072) -- (4.368,7.947) -- (4.322,7.777) -- (4.368,7.607) -- (4.492,7.483) -- (4.662,7.437) -- (4.832,7.483) -- (4.957,7.607) -- cycle;
\node at (4.662,7.777) {\scalebox{1.591}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.741,5.398) -- (10.695,5.568) -- (10.571,5.693) -- (10.401,5.738) -- (10.231,5.693) -- (10.107,5.568) -- (10.061,5.398) -- (10.107,5.228) -- (10.231,5.104) -- (10.401,5.058) -- (10.571,5.104) -- (10.695,5.228) -- cycle;
\node at (10.401,5.398) {\scalebox{1.591}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.847,5.106) -- (7.802,5.276) -- (7.677,5.4) -- (7.507,5.446) -- (7.337,5.4) -- (7.213,5.276) -- (7.167,5.106) -- (7.213,4.936) -- (7.337,4.811) -- (7.507,4.766) -- (7.677,4.811) -- (7.802,4.936) -- cycle;
\node at (7.507,5.106) {\scalebox{1.591}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.252,6.086) -- (4.207,6.256) -- (4.082,6.381) -- (3.912,6.426) -- (3.742,6.381) -- (3.618,6.256) -- (3.572,6.086) -- (3.618,5.916) -- (3.742,5.792) -- (3.912,5.746) -- (4.082,5.792) -- (4.207,5.916) -- cycle;
\node at (3.912,6.086) {\scalebox{1.591}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.173,4.64) -- (2.127,4.81) -- (2.003,4.935) -- (1.833,4.98) -- (1.663,4.935) -- (1.539,4.81) -- (1.493,4.64) -- (1.539,4.47) -- (1.663,4.346) -- (1.833,4.3) -- (2.003,4.346) -- (2.127,4.47) -- cycle;
\node at (1.833,4.64) {\scalebox{1.591}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.791,2.941) -- (3.745,3.111) -- (3.621,3.236) -- (3.451,3.281) -- (3.281,3.236) -- (3.156,3.111) -- (3.111,2.941) -- (3.156,2.771) -- (3.281,2.647) -- (3.451,2.601) -- (3.621,2.647) -- (3.745,2.771) -- cycle;
\node at (3.451,2.941) {\scalebox{1.591}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.91,3.056) -- (6.864,3.226) -- (6.74,3.351) -- (6.57,3.396) -- (6.4,3.351) -- (6.275,3.226) -- (6.23,3.056) -- (6.275,2.886) -- (6.4,2.762) -- (6.57,2.716) -- (6.74,2.762) -- (6.864,2.886) -- cycle;
\node at (6.57,3.056) {\scalebox{1.591}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.144,2.013) -- (10.098,2.183) -- (9.974,2.307) -- (9.804,2.353) -- (9.634,2.307) -- (9.51,2.183) -- (9.464,2.013) -- (9.51,1.843) -- (9.634,1.718) -- (9.804,1.673) -- (9.974,1.718) -- (10.098,1.843) -- cycle;
\node at (9.804,2.013) {\scalebox{1.591}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.916,1.942) -- (4.87,2.112) -- (4.746,2.237) -- (4.576,2.282) -- (4.406,2.237) -- (4.281,2.112) -- (4.236,1.942) -- (4.281,1.772) -- (4.406,1.648) -- (4.576,1.602) -- (4.746,1.648) -- (4.87,1.772) -- cycle;
\node at (4.576,1.942) {\scalebox{1.591}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.519,1.169) -- (8.119,1.169) -- (8.119,1.769) -- (7.519,1.769) -- cycle;
\node at (7.819,1.469) {\scalebox{1.591}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (0.66,4.314) -- (1.26,4.314) -- (1.26,4.914) -- (0.66,4.914) -- cycle;
\node at (0.96,4.614) {\scalebox{1.591}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.975,6.729) -- (3.575,6.729) -- (3.575,7.329) -- (2.975,7.329) -- cycle;
\node at (3.275,7.029) {\scalebox{1.591}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.41,1.747) -- (3.01,1.747) -- (3.01,2.347) -- (2.41,2.347) -- cycle;
\node at (2.71,2.047) {\scalebox{1.591}{\small d}};
\node at (7.349,9.328) {\scalebox{1.591}{\small A}};
\node at (1.585,7.346) {\scalebox{1.591}{\small B}};
\node at (4.483,4.327) {\scalebox{1.591}{\small C}};
\node at (11.926,3.278) {\scalebox{1.591}{\small D}};
\node at (0.765,2.039) {\scalebox{1.591}{\small E}};
\node at (8.158,0.95) {\scalebox{1.591}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.619,7.788) -- (12.619,8.888);
\draw[line width=0.5pt] (12.388,8.503) -- (12.619,8.888) -- (12.85,8.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.317,8.338) -- (12.922,8.338);
\node at (12.619,9.273) {\scalebox{1.591}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 3 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
