\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 274}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=274}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0274}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7028, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.941,6.255) -- (5.667,6.253) -- (5.394,6.244) -- (5.121,6.229) -- (4.848,6.208) -- (4.576,6.18) -- (4.305,6.146) -- (4.034,6.105) -- (3.764,6.058) -- (3.496,6.005) -- (3.229,5.946) -- (2.964,5.88) -- (2.7,5.808) -- (2.438,5.73) -- (2.178,5.646);
\draw[line width=0.5pt] (5.941,6.255) -- (5.995,5.931) -- (6.042,5.605) -- (6.081,5.279) -- (6.112,4.951) -- (6.135,4.623) -- (6.151,4.295) -- (6.159,3.966) -- (6.16,3.637) -- (6.152,3.308) -- (6.137,2.979) -- (6.115,2.651) -- (6.084,2.324) -- (6.046,1.997) -- (6.0,1.672);
\draw[line width=0.5pt] (5.941,6.255) -- (6.144,5.968) -- (6.353,5.685) -- (6.57,5.408) -- (6.793,5.136) -- (7.022,4.869) -- (7.258,4.607) -- (7.499,4.351) -- (7.747,4.101) -- (8.0,3.857) -- (8.259,3.619) -- (8.524,3.387) -- (8.794,3.161) -- (9.069,2.942) -- (9.349,2.729) -- (9.505,2.64) -- (9.66,2.547) -- (9.812,2.45) -- (9.962,2.35) -- (10.109,2.246) -- (10.254,2.138) -- (10.397,2.028) -- (10.537,1.913) -- (10.674,1.796) -- (10.808,1.676) -- (10.94,1.552) -- (11.068,1.425) -- (11.194,1.296) -- (11.316,1.163);
\draw[line width=0.5pt] (2.178,5.646) -- (2.3,5.578) -- (2.421,5.508) -- (2.54,5.436) -- (2.657,5.36) -- (2.772,5.282) -- (2.886,5.2) -- (2.997,5.117) -- (3.107,5.03) -- (3.215,4.941) -- (3.32,4.85) -- (3.424,4.756) -- (3.525,4.66) -- (3.623,4.561) -- (3.719,4.461);
\draw[line width=0.5pt] (2.178,5.646) -- (2.071,5.362) -- (1.972,5.075) -- (1.879,4.786) -- (1.793,4.495) -- (1.714,4.202) -- (1.641,3.907) -- (1.576,3.611) -- (1.518,3.313) -- (1.466,3.014) -- (1.422,2.714) -- (1.385,2.412) -- (1.354,2.111) -- (1.332,1.808) -- (1.316,1.505);
\draw[line width=0.5pt] (3.719,4.461) -- (3.912,4.288) -- (4.1,4.111) -- (4.283,3.929) -- (4.463,3.743) -- (4.638,3.553) -- (4.809,3.359) -- (4.975,3.16) -- (5.136,2.958) -- (5.293,2.752) -- (5.444,2.543) -- (5.591,2.33) -- (5.733,2.114) -- (5.869,1.894) -- (6.0,1.672);
\draw[line width=0.5pt] (3.719,4.461) -- (3.517,4.278) -- (3.318,4.09) -- (3.125,3.897) -- (2.935,3.7) -- (2.751,3.498) -- (2.571,3.292) -- (2.396,3.082) -- (2.226,2.868) -- (2.061,2.65) -- (1.901,2.428) -- (1.746,2.203) -- (1.597,1.973) -- (1.454,1.741) -- (1.316,1.505);
\draw[line width=0.5pt] (6.0,1.672) -- (5.67,1.609) -- (5.338,1.553) -- (5.005,1.506) -- (4.671,1.467) -- (4.336,1.435) -- (4.001,1.411) -- (3.665,1.395) -- (3.328,1.387) -- (2.992,1.387) -- (2.656,1.395) -- (2.32,1.411) -- (1.984,1.434) -- (1.65,1.466) -- (1.316,1.505);
\draw[line width=0.5pt] (6.0,1.672) -- (6.371,1.578) -- (6.744,1.492) -- (7.12,1.416) -- (7.497,1.348) -- (7.876,1.289) -- (8.256,1.239) -- (8.637,1.198) -- (9.019,1.166) -- (9.402,1.143) -- (9.785,1.129) -- (10.168,1.124) -- (10.551,1.128) -- (10.934,1.141) -- (11.316,1.163);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.101,6.255) -- (6.079,6.335) -- (6.021,6.393) -- (5.941,6.415) -- (5.861,6.393) -- (5.802,6.335) -- (5.781,6.255) -- (5.802,6.175) -- (5.861,6.116) -- (5.941,6.095) -- (6.021,6.116) -- (6.079,6.175) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.338,5.646) -- (2.316,5.726) -- (2.258,5.784) -- (2.178,5.806) -- (2.098,5.784) -- (2.039,5.726) -- (2.018,5.646) -- (2.039,5.566) -- (2.098,5.507) -- (2.178,5.486) -- (2.258,5.507) -- (2.316,5.566) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.879,4.461) -- (3.858,4.541) -- (3.799,4.599) -- (3.719,4.621) -- (3.639,4.599) -- (3.581,4.541) -- (3.559,4.461) -- (3.581,4.381) -- (3.639,4.322) -- (3.719,4.301) -- (3.799,4.322) -- (3.858,4.381) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.16,1.672) -- (6.139,1.752) -- (6.08,1.81) -- (6.0,1.832) -- (5.92,1.81) -- (5.861,1.752) -- (5.84,1.672) -- (5.861,1.592) -- (5.92,1.533) -- (6.0,1.512) -- (6.08,1.533) -- (6.139,1.592) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.476,1.505) -- (1.454,1.585) -- (1.396,1.644) -- (1.316,1.665) -- (1.236,1.644) -- (1.177,1.585) -- (1.156,1.505) -- (1.177,1.425) -- (1.236,1.367) -- (1.316,1.345) -- (1.396,1.367) -- (1.454,1.425) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.476,1.163) -- (11.454,1.243) -- (11.396,1.302) -- (11.316,1.323) -- (11.236,1.302) -- (11.177,1.243) -- (11.156,1.163) -- (11.177,1.083) -- (11.236,1.025) -- (11.316,1.003) -- (11.396,1.025) -- (11.454,1.083) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.425,5.789) -- (4.38,5.959) -- (4.255,6.084) -- (4.085,6.129) -- (3.915,6.084) -- (3.791,5.959) -- (3.745,5.789) -- (3.791,5.619) -- (3.915,5.495) -- (4.085,5.449) -- (4.255,5.495) -- (4.38,5.619) -- cycle;
\node at (4.085,5.789) {\scalebox{1.423}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.819,3.97) -- (6.774,4.14) -- (6.649,4.264) -- (6.479,4.31) -- (6.309,4.264) -- (6.185,4.14) -- (6.139,3.97) -- (6.185,3.8) -- (6.309,3.675) -- (6.479,3.63) -- (6.649,3.675) -- (6.774,3.8) -- cycle;
\node at (6.479,3.97) {\scalebox{1.423}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.871,2.993) -- (9.825,3.163) -- (9.701,3.287) -- (9.531,3.333) -- (9.361,3.287) -- (9.236,3.163) -- (9.191,2.993) -- (9.236,2.823) -- (9.361,2.698) -- (9.531,2.653) -- (9.701,2.698) -- (9.825,2.823) -- cycle;
\node at (9.531,2.993) {\scalebox{1.423}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.532,5.37) -- (3.487,5.54) -- (3.362,5.665) -- (3.192,5.71) -- (3.022,5.665) -- (2.898,5.54) -- (2.852,5.37) -- (2.898,5.2) -- (3.022,5.076) -- (3.192,5.03) -- (3.362,5.076) -- (3.487,5.2) -- cycle;
\node at (3.192,5.37) {\scalebox{1.423}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.229,3.546) -- (2.184,3.716) -- (2.059,3.84) -- (1.889,3.886) -- (1.719,3.84) -- (1.595,3.716) -- (1.549,3.546) -- (1.595,3.376) -- (1.719,3.251) -- (1.889,3.206) -- (2.059,3.251) -- (2.184,3.376) -- cycle;
\node at (1.889,3.546) {\scalebox{1.423}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.563,3.363) -- (5.517,3.533) -- (5.393,3.657) -- (5.223,3.703) -- (5.053,3.657) -- (4.928,3.533) -- (4.883,3.363) -- (4.928,3.193) -- (5.053,3.068) -- (5.223,3.023) -- (5.393,3.068) -- (5.517,3.193) -- cycle;
\node at (5.223,3.363) {\scalebox{1.423}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.984,2.88) -- (2.938,3.05) -- (2.814,3.175) -- (2.644,3.22) -- (2.474,3.175) -- (2.35,3.05) -- (2.304,2.88) -- (2.35,2.71) -- (2.474,2.586) -- (2.644,2.54) -- (2.814,2.586) -- (2.938,2.71) -- cycle;
\node at (2.644,2.88) {\scalebox{1.423}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.016,1.076) -- (3.971,1.246) -- (3.846,1.37) -- (3.676,1.416) -- (3.506,1.37) -- (3.382,1.246) -- (3.336,1.076) -- (3.382,0.906) -- (3.506,0.781) -- (3.676,0.736) -- (3.846,0.781) -- (3.971,0.906) -- cycle;
\node at (3.676,1.076) {\scalebox{1.423}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.007,1.517) -- (8.962,1.687) -- (8.837,1.811) -- (8.667,1.857) -- (8.497,1.811) -- (8.373,1.687) -- (8.327,1.517) -- (8.373,1.347) -- (8.497,1.222) -- (8.667,1.177) -- (8.837,1.222) -- (8.962,1.347) -- cycle;
\node at (8.667,1.517) {\scalebox{1.423}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.419,4.161) -- (4.019,4.161) -- (4.019,4.761) -- (3.419,4.761) -- cycle;
\node at (3.719,4.461) {\scalebox{1.423}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.715,3.217) -- (1.315,3.217) -- (1.315,3.817) -- (0.715,3.817) -- cycle;
\node at (1.015,3.517) {\scalebox{1.423}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.33,6.099) -- (2.93,6.099) -- (2.93,6.699) -- (2.33,6.699) -- cycle;
\node at (2.63,6.399) {\scalebox{1.423}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.384,0.976) -- (9.984,0.976) -- (9.984,1.576) -- (9.384,1.576) -- cycle;
\node at (9.684,1.276) {\scalebox{1.423}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.457,4.008) -- (8.057,4.008) -- (8.057,4.608) -- (7.457,4.608) -- cycle;
\node at (7.757,4.308) {\scalebox{1.423}{\small e}};
\node at (6.123,6.847) {\scalebox{1.423}{\small A}};
\node at (1.683,6.02) {\scalebox{1.423}{\small B}};
\node at (3.222,4.831) {\scalebox{1.423}{\small C}};
\node at (6.285,1.121) {\scalebox{1.423}{\small D}};
\node at (0.765,1.221) {\scalebox{1.423}{\small E}};
\node at (11.898,0.95) {\scalebox{1.423}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.616,5.305) -- (12.616,6.405);
\draw[line width=0.5pt] (12.385,6.02) -- (12.616,6.405) -- (12.847,6.02);
\draw[line width=0.5pt] (12.313,5.855) -- (12.918,5.855);
\node at (12.616,6.79) {\scalebox{1.423}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin du Lavoir & ⑥ rue de l'Église & Ⓐ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑦ rue Neuve & Ⓑ Carrefour de la Mairie & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue Haute & ⑧ rue du Four & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ venelle du Chat & ⑨ allée des Peupliers & Ⓓ Carrefour du Moulin & \textbf{d} le lavoir \\ \hline
⑤ chemin de Ronde &  & Ⓔ Rond-point de la Poste & \textbf{e} le gymnase \\ \hline
 &  & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6288, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.941,6.255) -- (5.667,6.253) -- (5.394,6.244) -- (5.121,6.229) -- (4.848,6.208) -- (4.576,6.18) -- (4.305,6.146) -- (4.034,6.105) -- (3.764,6.058) -- (3.496,6.005) -- (3.229,5.946) -- (2.964,5.88) -- (2.7,5.808) -- (2.438,5.73) -- (2.178,5.646);
\draw[line width=0.5pt] (5.941,6.255) -- (5.995,5.931) -- (6.042,5.605) -- (6.081,5.279) -- (6.112,4.951) -- (6.135,4.623) -- (6.151,4.295) -- (6.159,3.966) -- (6.16,3.637) -- (6.152,3.308) -- (6.137,2.979) -- (6.115,2.651) -- (6.084,2.324) -- (6.046,1.997) -- (6.0,1.672);
\draw[line width=0.5pt] (5.941,6.255) -- (6.144,5.968) -- (6.353,5.685) -- (6.57,5.408) -- (6.793,5.136) -- (7.022,4.869) -- (7.258,4.607) -- (7.499,4.351) -- (7.747,4.101) -- (8.0,3.857) -- (8.259,3.619) -- (8.524,3.387) -- (8.794,3.161) -- (9.069,2.942) -- (9.349,2.729) -- (9.505,2.64) -- (9.66,2.547) -- (9.812,2.45) -- (9.962,2.35) -- (10.109,2.246) -- (10.254,2.138) -- (10.397,2.028) -- (10.537,1.913) -- (10.674,1.796) -- (10.808,1.676) -- (10.94,1.552) -- (11.068,1.425) -- (11.194,1.296) -- (11.316,1.163);
\draw[line width=0.5pt] (2.178,5.646) -- (2.3,5.578) -- (2.421,5.508) -- (2.54,5.436) -- (2.657,5.36) -- (2.772,5.282) -- (2.886,5.2) -- (2.997,5.117) -- (3.107,5.03) -- (3.215,4.941) -- (3.32,4.85) -- (3.424,4.756) -- (3.525,4.66) -- (3.623,4.561) -- (3.719,4.461);
\draw[line width=0.5pt] (2.178,5.646) -- (2.071,5.362) -- (1.972,5.075) -- (1.879,4.786) -- (1.793,4.495) -- (1.714,4.202) -- (1.641,3.907) -- (1.576,3.611) -- (1.518,3.313) -- (1.466,3.014) -- (1.422,2.714) -- (1.385,2.412) -- (1.354,2.111) -- (1.332,1.808) -- (1.316,1.505);
\draw[line width=0.5pt] (3.719,4.461) -- (3.912,4.288) -- (4.1,4.111) -- (4.283,3.929) -- (4.463,3.743) -- (4.638,3.553) -- (4.809,3.359) -- (4.975,3.16) -- (5.136,2.958) -- (5.293,2.752) -- (5.444,2.543) -- (5.591,2.33) -- (5.733,2.114) -- (5.869,1.894) -- (6.0,1.672);
\draw[line width=0.5pt] (3.719,4.461) -- (3.517,4.278) -- (3.318,4.09) -- (3.125,3.897) -- (2.935,3.7) -- (2.751,3.498) -- (2.571,3.292) -- (2.396,3.082) -- (2.226,2.868) -- (2.061,2.65) -- (1.901,2.428) -- (1.746,2.203) -- (1.597,1.973) -- (1.454,1.741) -- (1.316,1.505);
\draw[line width=0.5pt] (6.0,1.672) -- (5.67,1.609) -- (5.338,1.553) -- (5.005,1.506) -- (4.671,1.467) -- (4.336,1.435) -- (4.001,1.411) -- (3.665,1.395) -- (3.328,1.387) -- (2.992,1.387) -- (2.656,1.395) -- (2.32,1.411) -- (1.984,1.434) -- (1.65,1.466) -- (1.316,1.505);
\draw[line width=0.5pt] (6.0,1.672) -- (6.371,1.578) -- (6.744,1.492) -- (7.12,1.416) -- (7.497,1.348) -- (7.876,1.289) -- (8.256,1.239) -- (8.637,1.198) -- (9.019,1.166) -- (9.402,1.143) -- (9.785,1.129) -- (10.168,1.124) -- (10.551,1.128) -- (10.934,1.141) -- (11.316,1.163);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.101,6.255) -- (6.079,6.335) -- (6.021,6.393) -- (5.941,6.415) -- (5.861,6.393) -- (5.802,6.335) -- (5.781,6.255) -- (5.802,6.175) -- (5.861,6.116) -- (5.941,6.095) -- (6.021,6.116) -- (6.079,6.175) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.338,5.646) -- (2.316,5.726) -- (2.258,5.784) -- (2.178,5.806) -- (2.098,5.784) -- (2.039,5.726) -- (2.018,5.646) -- (2.039,5.566) -- (2.098,5.507) -- (2.178,5.486) -- (2.258,5.507) -- (2.316,5.566) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.879,4.461) -- (3.858,4.541) -- (3.799,4.599) -- (3.719,4.621) -- (3.639,4.599) -- (3.581,4.541) -- (3.559,4.461) -- (3.581,4.381) -- (3.639,4.322) -- (3.719,4.301) -- (3.799,4.322) -- (3.858,4.381) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.16,1.672) -- (6.139,1.752) -- (6.08,1.81) -- (6.0,1.832) -- (5.92,1.81) -- (5.861,1.752) -- (5.84,1.672) -- (5.861,1.592) -- (5.92,1.533) -- (6.0,1.512) -- (6.08,1.533) -- (6.139,1.592) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.476,1.505) -- (1.454,1.585) -- (1.396,1.644) -- (1.316,1.665) -- (1.236,1.644) -- (1.177,1.585) -- (1.156,1.505) -- (1.177,1.425) -- (1.236,1.367) -- (1.316,1.345) -- (1.396,1.367) -- (1.454,1.425) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.476,1.163) -- (11.454,1.243) -- (11.396,1.302) -- (11.316,1.323) -- (11.236,1.302) -- (11.177,1.243) -- (11.156,1.163) -- (11.177,1.083) -- (11.236,1.025) -- (11.316,1.003) -- (11.396,1.025) -- (11.454,1.083) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.425,5.789) -- (4.38,5.959) -- (4.255,6.084) -- (4.085,6.129) -- (3.915,6.084) -- (3.791,5.959) -- (3.745,5.789) -- (3.791,5.619) -- (3.915,5.495) -- (4.085,5.449) -- (4.255,5.495) -- (4.38,5.619) -- cycle;
\node at (4.085,5.789) {\scalebox{1.59}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.819,3.97) -- (6.774,4.14) -- (6.649,4.264) -- (6.479,4.31) -- (6.309,4.264) -- (6.185,4.14) -- (6.139,3.97) -- (6.185,3.8) -- (6.309,3.675) -- (6.479,3.63) -- (6.649,3.675) -- (6.774,3.8) -- cycle;
\node at (6.479,3.97) {\scalebox{1.59}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.871,2.993) -- (9.825,3.163) -- (9.701,3.287) -- (9.531,3.333) -- (9.361,3.287) -- (9.236,3.163) -- (9.191,2.993) -- (9.236,2.823) -- (9.361,2.698) -- (9.531,2.653) -- (9.701,2.698) -- (9.825,2.823) -- cycle;
\node at (9.531,2.993) {\scalebox{1.59}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.532,5.37) -- (3.487,5.54) -- (3.362,5.665) -- (3.192,5.71) -- (3.022,5.665) -- (2.898,5.54) -- (2.852,5.37) -- (2.898,5.2) -- (3.022,5.076) -- (3.192,5.03) -- (3.362,5.076) -- (3.487,5.2) -- cycle;
\node at (3.192,5.37) {\scalebox{1.59}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.229,3.546) -- (2.184,3.716) -- (2.059,3.84) -- (1.889,3.886) -- (1.719,3.84) -- (1.595,3.716) -- (1.549,3.546) -- (1.595,3.376) -- (1.719,3.251) -- (1.889,3.206) -- (2.059,3.251) -- (2.184,3.376) -- cycle;
\node at (1.889,3.546) {\scalebox{1.59}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.563,3.363) -- (5.517,3.533) -- (5.393,3.657) -- (5.223,3.703) -- (5.053,3.657) -- (4.928,3.533) -- (4.883,3.363) -- (4.928,3.193) -- (5.053,3.068) -- (5.223,3.023) -- (5.393,3.068) -- (5.517,3.193) -- cycle;
\node at (5.223,3.363) {\scalebox{1.59}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.984,2.88) -- (2.938,3.05) -- (2.814,3.175) -- (2.644,3.22) -- (2.474,3.175) -- (2.35,3.05) -- (2.304,2.88) -- (2.35,2.71) -- (2.474,2.586) -- (2.644,2.54) -- (2.814,2.586) -- (2.938,2.71) -- cycle;
\node at (2.644,2.88) {\scalebox{1.59}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.016,1.076) -- (3.971,1.246) -- (3.846,1.37) -- (3.676,1.416) -- (3.506,1.37) -- (3.382,1.246) -- (3.336,1.076) -- (3.382,0.906) -- (3.506,0.781) -- (3.676,0.736) -- (3.846,0.781) -- (3.971,0.906) -- cycle;
\node at (3.676,1.076) {\scalebox{1.59}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.007,1.517) -- (8.962,1.687) -- (8.837,1.811) -- (8.667,1.857) -- (8.497,1.811) -- (8.373,1.687) -- (8.327,1.517) -- (8.373,1.347) -- (8.497,1.222) -- (8.667,1.177) -- (8.837,1.222) -- (8.962,1.347) -- cycle;
\node at (8.667,1.517) {\scalebox{1.59}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.419,4.161) -- (4.019,4.161) -- (4.019,4.761) -- (3.419,4.761) -- cycle;
\node at (3.719,4.461) {\scalebox{1.59}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.715,3.217) -- (1.315,3.217) -- (1.315,3.817) -- (0.715,3.817) -- cycle;
\node at (1.015,3.517) {\scalebox{1.59}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.33,6.099) -- (2.93,6.099) -- (2.93,6.699) -- (2.33,6.699) -- cycle;
\node at (2.63,6.399) {\scalebox{1.59}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.384,0.976) -- (9.984,0.976) -- (9.984,1.576) -- (9.384,1.576) -- cycle;
\node at (9.684,1.276) {\scalebox{1.59}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.457,4.008) -- (8.057,4.008) -- (8.057,4.608) -- (7.457,4.608) -- cycle;
\node at (7.757,4.308) {\scalebox{1.59}{\small e}};
\node at (6.123,6.847) {\scalebox{1.59}{\small A}};
\node at (1.683,6.02) {\scalebox{1.59}{\small B}};
\node at (3.222,4.831) {\scalebox{1.59}{\small C}};
\node at (6.285,1.121) {\scalebox{1.59}{\small D}};
\node at (0.765,1.221) {\scalebox{1.59}{\small E}};
\node at (11.898,0.95) {\scalebox{1.59}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.616,5.305) -- (12.616,6.405);
\draw[line width=0.5pt] (12.385,6.02) -- (12.616,6.405) -- (12.847,6.02);
\draw[line width=0.5pt] (12.313,5.855) -- (12.918,5.855);
\node at (12.616,6.79) {\scalebox{1.59}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
