\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 281}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=281}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0281}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7062, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.927,10.168) -- (9.706,10.161) -- (9.485,10.148) -- (9.264,10.131) -- (9.043,10.108) -- (8.823,10.08) -- (8.604,10.047) -- (8.385,10.009) -- (8.168,9.966) -- (7.951,9.917) -- (7.736,9.864) -- (7.522,9.805) -- (7.31,9.742) -- (7.099,9.673) -- (6.89,9.6) -- (6.486,9.568) -- (6.081,9.546) -- (5.675,9.533) -- (5.269,9.53) -- (4.864,9.537) -- (4.458,9.553) -- (4.053,9.579) -- (3.648,9.614) -- (3.245,9.658) -- (2.842,9.712) -- (2.442,9.776) -- (2.042,9.849) -- (1.645,9.931) -- (1.25,10.023);
\draw[line width=0.5pt] (9.927,10.168) -- (9.702,9.848) -- (9.47,9.534) -- (9.23,9.225) -- (8.982,8.922) -- (8.728,8.625) -- (8.466,8.334) -- (8.198,8.049) -- (7.923,7.77) -- (7.642,7.498) -- (7.355,7.233) -- (7.061,6.975) -- (6.762,6.723) -- (6.456,6.479) -- (6.145,6.242);
\draw[line width=0.5pt] (1.25,10.023) -- (1.556,9.701) -- (1.869,9.387) -- (2.189,9.08) -- (2.517,8.781) -- (2.852,8.49) -- (3.194,8.206) -- (3.542,7.931) -- (3.896,7.663) -- (4.257,7.405) -- (4.624,7.154) -- (4.996,6.913) -- (5.374,6.68) -- (5.757,6.457) -- (6.145,6.242);
\draw[line width=0.5pt] (1.25,10.023) -- (1.327,9.692) -- (1.395,9.36) -- (1.456,9.026) -- (1.509,8.69) -- (1.554,8.353) -- (1.591,8.015) -- (1.62,7.677) -- (1.641,7.338) -- (1.654,6.998) -- (1.659,6.658) -- (1.656,6.319) -- (1.646,5.979) -- (1.627,5.64) -- (1.6,5.302);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,6.242) -- (6.505,6.171) -- (6.866,6.107) -- (7.228,6.053) -- (7.592,6.007) -- (7.957,5.969) -- (8.322,5.94) -- (8.689,5.92) -- (9.055,5.908) -- (9.422,5.905) -- (9.789,5.911) -- (10.155,5.925) -- (10.521,5.948) -- (10.886,5.979) -- (11.25,6.019);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,6.242) -- (5.834,6.126) -- (5.519,6.017) -- (5.202,5.915) -- (4.882,5.821) -- (4.561,5.735) -- (4.237,5.656) -- (3.911,5.585) -- (3.584,5.521) -- (3.256,5.465) -- (2.926,5.417) -- (2.596,5.376) -- (2.264,5.344) -- (1.932,5.319) -- (1.6,5.302);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,6.242) -- (6.069,5.916) -- (6.0,5.588) -- (5.939,5.258) -- (5.886,4.927) -- (5.841,4.595) -- (5.803,4.261) -- (5.774,3.927) -- (5.752,3.593) -- (5.738,3.257) -- (5.732,2.922) -- (5.733,2.587) -- (5.743,2.252) -- (5.761,1.917) -- (5.786,1.583);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,6.242) -- (6.451,5.942) -- (6.749,5.634) -- (7.041,5.319) -- (7.324,4.998) -- (7.6,4.67) -- (7.869,4.335) -- (8.129,3.994) -- (8.381,3.647) -- (8.626,3.294) -- (8.861,2.936) -- (9.089,2.572) -- (9.307,2.203) -- (9.517,1.829) -- (9.717,1.451);
\draw[line width=0.5pt] (11.25,6.019) -- (11.092,5.712) -- (10.94,5.401) -- (10.796,5.087) -- (10.66,4.769) -- (10.531,4.449) -- (10.409,4.125) -- (10.295,3.798) -- (10.189,3.469) -- (10.091,3.137) -- (10.0,2.804) -- (9.918,2.468) -- (9.843,2.13) -- (9.776,1.791) -- (9.717,1.451);
\draw[line width=0.5pt] (5.786,1.583) -- (6.066,1.616) -- (6.347,1.643) -- (6.628,1.664) -- (6.91,1.678) -- (7.193,1.685) -- (7.475,1.685) -- (7.757,1.679) -- (8.039,1.666) -- (8.321,1.647) -- (8.602,1.621) -- (8.883,1.588) -- (9.162,1.549) -- (9.44,1.503) -- (9.717,1.451);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.087,10.168) -- (10.066,10.248) -- (10.007,10.306) -- (9.927,10.328) -- (9.847,10.306) -- (9.789,10.248) -- (9.767,10.168) -- (9.789,10.088) -- (9.847,10.029) -- (9.927,10.008) -- (10.007,10.029) -- (10.066,10.088) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.41,10.023) -- (1.389,10.103) -- (1.33,10.161) -- (1.25,10.183) -- (1.17,10.161) -- (1.112,10.103) -- (1.09,10.023) -- (1.112,9.943) -- (1.17,9.884) -- (1.25,9.863) -- (1.33,9.884) -- (1.389,9.943) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.305,6.242) -- (6.284,6.322) -- (6.225,6.381) -- (6.145,6.402) -- (6.065,6.381) -- (6.007,6.322) -- (5.985,6.242) -- (6.007,6.162) -- (6.065,6.104) -- (6.145,6.082) -- (6.225,6.104) -- (6.284,6.162) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.41,6.019) -- (11.389,6.099) -- (11.33,6.158) -- (11.25,6.179) -- (11.17,6.158) -- (11.112,6.099) -- (11.09,6.019) -- (11.112,5.939) -- (11.17,5.88) -- (11.25,5.859) -- (11.33,5.88) -- (11.389,5.939) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.76,5.302) -- (1.738,5.382) -- (1.68,5.44) -- (1.6,5.462) -- (1.52,5.44) -- (1.461,5.382) -- (1.44,5.302) -- (1.461,5.222) -- (1.52,5.163) -- (1.6,5.142) -- (1.68,5.163) -- (1.738,5.222) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.946,1.583) -- (5.925,1.663) -- (5.866,1.721) -- (5.786,1.743) -- (5.706,1.721) -- (5.648,1.663) -- (5.626,1.583) -- (5.648,1.503) -- (5.706,1.444) -- (5.786,1.423) -- (5.866,1.444) -- (5.925,1.503) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.877,1.451) -- (9.856,1.531) -- (9.797,1.589) -- (9.717,1.611) -- (9.637,1.589) -- (9.579,1.531) -- (9.557,1.451) -- (9.579,1.371) -- (9.637,1.312) -- (9.717,1.291) -- (9.797,1.312) -- (9.856,1.371) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.284,9.284) -- (7.239,9.454) -- (7.114,9.579) -- (6.944,9.624) -- (6.774,9.579) -- (6.65,9.454) -- (6.604,9.284) -- (6.65,9.114) -- (6.774,8.99) -- (6.944,8.944) -- (7.114,8.99) -- (7.239,9.114) -- cycle;
\node at (6.944,9.284) {\scalebox{1.416}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.769,7.827) -- (8.723,7.997) -- (8.599,8.121) -- (8.429,8.167) -- (8.259,8.121) -- (8.134,7.997) -- (8.089,7.827) -- (8.134,7.657) -- (8.259,7.533) -- (8.429,7.487) -- (8.599,7.533) -- (8.723,7.657) -- cycle;
\node at (8.429,7.827) {\scalebox{1.416}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.077,8.184) -- (4.032,8.354) -- (3.907,8.478) -- (3.737,8.524) -- (3.567,8.478) -- (3.443,8.354) -- (3.397,8.184) -- (3.443,8.014) -- (3.567,7.889) -- (3.737,7.844) -- (3.907,7.889) -- (4.032,8.014) -- cycle;
\node at (3.737,8.184) {\scalebox{1.416}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.279,7.7) -- (2.233,7.87) -- (2.109,7.995) -- (1.939,8.04) -- (1.769,7.995) -- (1.644,7.87) -- (1.599,7.7) -- (1.644,7.53) -- (1.769,7.406) -- (1.939,7.36) -- (2.109,7.406) -- (2.233,7.53) -- cycle;
\node at (1.939,7.7) {\scalebox{1.416}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.043,6.24) -- (8.997,6.41) -- (8.873,6.534) -- (8.703,6.58) -- (8.533,6.534) -- (8.408,6.41) -- (8.363,6.24) -- (8.408,6.07) -- (8.533,5.945) -- (8.703,5.9) -- (8.873,5.945) -- (8.997,6.07) -- cycle;
\node at (8.703,6.24) {\scalebox{1.416}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.316,5.271) -- (4.271,5.441) -- (4.146,5.566) -- (3.976,5.611) -- (3.806,5.566) -- (3.682,5.441) -- (3.636,5.271) -- (3.682,5.101) -- (3.806,4.977) -- (3.976,4.931) -- (4.146,4.977) -- (4.271,5.101) -- cycle;
\node at (3.976,5.271) {\scalebox{1.416}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.433,3.903) -- (6.387,4.073) -- (6.263,4.197) -- (6.093,4.243) -- (5.923,4.197) -- (5.798,4.073) -- (5.753,3.903) -- (5.798,3.733) -- (5.923,3.608) -- (6.093,3.563) -- (6.263,3.608) -- (6.387,3.733) -- cycle;
\node at (6.093,3.903) {\scalebox{1.416}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.726,4.185) -- (8.68,4.355) -- (8.556,4.48) -- (8.386,4.525) -- (8.216,4.48) -- (8.091,4.355) -- (8.046,4.185) -- (8.091,4.015) -- (8.216,3.891) -- (8.386,3.845) -- (8.556,3.891) -- (8.68,4.015) -- cycle;
\node at (8.386,4.185) {\scalebox{1.416}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.939,3.696) -- (10.893,3.866) -- (10.769,3.991) -- (10.599,4.036) -- (10.429,3.991) -- (10.304,3.866) -- (10.259,3.696) -- (10.304,3.526) -- (10.429,3.402) -- (10.599,3.356) -- (10.769,3.402) -- (10.893,3.526) -- cycle;
\node at (10.599,3.696) {\scalebox{1.416}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.108,1.999) -- (8.062,2.169) -- (7.938,2.293) -- (7.768,2.339) -- (7.598,2.293) -- (7.474,2.169) -- (7.428,1.999) -- (7.474,1.829) -- (7.598,1.704) -- (7.768,1.659) -- (7.938,1.704) -- (8.062,1.829) -- cycle;
\node at (7.768,1.999) {\scalebox{1.416}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.845,5.942) -- (6.445,5.942) -- (6.445,6.542) -- (5.845,6.542) -- cycle;
\node at (6.145,6.242) {\scalebox{1.416}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.673,4.418) -- (3.273,4.418) -- (3.273,5.018) -- (2.673,5.018) -- cycle;
\node at (2.973,4.718) {\scalebox{1.416}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.116,8.099) -- (9.716,8.099) -- (9.716,8.699) -- (9.116,8.699) -- cycle;
\node at (9.416,8.399) {\scalebox{1.416}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.156,3.371) -- (9.756,3.371) -- (9.756,3.971) -- (9.156,3.971) -- cycle;
\node at (9.456,3.671) {\scalebox{1.416}{\small d}};
\node at (10.31,10.656) {\scalebox{1.416}{\small A}};
\node at (0.765,10.409) {\scalebox{1.416}{\small B}};
\node at (5.727,6.7) {\scalebox{1.416}{\small C}};
\node at (11.87,6.044) {\scalebox{1.416}{\small D}};
\node at (0.983,5.236) {\scalebox{1.416}{\small E}};
\node at (5.68,0.972) {\scalebox{1.416}{\small F}};
\node at (10.083,0.95) {\scalebox{1.416}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.55,9.218) -- (12.55,10.318);
\draw[line width=0.5pt] (12.319,9.933) -- (12.55,10.318) -- (12.781,9.933);
\draw[line width=0.5pt] (12.248,9.768) -- (12.853,9.768);
\node at (12.55,10.703) {\scalebox{1.416}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① quai aux Fleurs & ⑥ rue des Jardins & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Poste & ⑦ rue de la Mairie & Ⓑ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ chemin Creux & ⑧ rue Pasteur & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ venelle du Chat & ⑨ rue des Écoles & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
⑤ rue de l'Église & ⑩ avenue de la Gare & Ⓔ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6318, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.927,10.168) -- (9.706,10.161) -- (9.485,10.148) -- (9.264,10.131) -- (9.043,10.108) -- (8.823,10.08) -- (8.604,10.047) -- (8.385,10.009) -- (8.168,9.966) -- (7.951,9.917) -- (7.736,9.864) -- (7.522,9.805) -- (7.31,9.742) -- (7.099,9.673) -- (6.89,9.6) -- (6.486,9.568) -- (6.081,9.546) -- (5.675,9.533) -- (5.269,9.53) -- (4.864,9.537) -- (4.458,9.553) -- (4.053,9.579) -- (3.648,9.614) -- (3.245,9.658) -- (2.842,9.712) -- (2.442,9.776) -- (2.042,9.849) -- (1.645,9.931) -- (1.25,10.023);
\draw[line width=0.5pt] (9.927,10.168) -- (9.702,9.848) -- (9.47,9.534) -- (9.23,9.225) -- (8.982,8.922) -- (8.728,8.625) -- (8.466,8.334) -- (8.198,8.049) -- (7.923,7.77) -- (7.642,7.498) -- (7.355,7.233) -- (7.061,6.975) -- (6.762,6.723) -- (6.456,6.479) -- (6.145,6.242);
\draw[line width=0.5pt] (1.25,10.023) -- (1.556,9.701) -- (1.869,9.387) -- (2.189,9.08) -- (2.517,8.781) -- (2.852,8.49) -- (3.194,8.206) -- (3.542,7.931) -- (3.896,7.663) -- (4.257,7.405) -- (4.624,7.154) -- (4.996,6.913) -- (5.374,6.68) -- (5.757,6.457) -- (6.145,6.242);
\draw[line width=0.5pt] (1.25,10.023) -- (1.327,9.692) -- (1.395,9.36) -- (1.456,9.026) -- (1.509,8.69) -- (1.554,8.353) -- (1.591,8.015) -- (1.62,7.677) -- (1.641,7.338) -- (1.654,6.998) -- (1.659,6.658) -- (1.656,6.319) -- (1.646,5.979) -- (1.627,5.64) -- (1.6,5.302);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,6.242) -- (6.505,6.171) -- (6.866,6.107) -- (7.228,6.053) -- (7.592,6.007) -- (7.957,5.969) -- (8.322,5.94) -- (8.689,5.92) -- (9.055,5.908) -- (9.422,5.905) -- (9.789,5.911) -- (10.155,5.925) -- (10.521,5.948) -- (10.886,5.979) -- (11.25,6.019);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,6.242) -- (5.834,6.126) -- (5.519,6.017) -- (5.202,5.915) -- (4.882,5.821) -- (4.561,5.735) -- (4.237,5.656) -- (3.911,5.585) -- (3.584,5.521) -- (3.256,5.465) -- (2.926,5.417) -- (2.596,5.376) -- (2.264,5.344) -- (1.932,5.319) -- (1.6,5.302);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,6.242) -- (6.069,5.916) -- (6.0,5.588) -- (5.939,5.258) -- (5.886,4.927) -- (5.841,4.595) -- (5.803,4.261) -- (5.774,3.927) -- (5.752,3.593) -- (5.738,3.257) -- (5.732,2.922) -- (5.733,2.587) -- (5.743,2.252) -- (5.761,1.917) -- (5.786,1.583);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,6.242) -- (6.451,5.942) -- (6.749,5.634) -- (7.041,5.319) -- (7.324,4.998) -- (7.6,4.67) -- (7.869,4.335) -- (8.129,3.994) -- (8.381,3.647) -- (8.626,3.294) -- (8.861,2.936) -- (9.089,2.572) -- (9.307,2.203) -- (9.517,1.829) -- (9.717,1.451);
\draw[line width=0.5pt] (11.25,6.019) -- (11.092,5.712) -- (10.94,5.401) -- (10.796,5.087) -- (10.66,4.769) -- (10.531,4.449) -- (10.409,4.125) -- (10.295,3.798) -- (10.189,3.469) -- (10.091,3.137) -- (10.0,2.804) -- (9.918,2.468) -- (9.843,2.13) -- (9.776,1.791) -- (9.717,1.451);
\draw[line width=0.5pt] (5.786,1.583) -- (6.066,1.616) -- (6.347,1.643) -- (6.628,1.664) -- (6.91,1.678) -- (7.193,1.685) -- (7.475,1.685) -- (7.757,1.679) -- (8.039,1.666) -- (8.321,1.647) -- (8.602,1.621) -- (8.883,1.588) -- (9.162,1.549) -- (9.44,1.503) -- (9.717,1.451);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.087,10.168) -- (10.066,10.248) -- (10.007,10.306) -- (9.927,10.328) -- (9.847,10.306) -- (9.789,10.248) -- (9.767,10.168) -- (9.789,10.088) -- (9.847,10.029) -- (9.927,10.008) -- (10.007,10.029) -- (10.066,10.088) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.41,10.023) -- (1.389,10.103) -- (1.33,10.161) -- (1.25,10.183) -- (1.17,10.161) -- (1.112,10.103) -- (1.09,10.023) -- (1.112,9.943) -- (1.17,9.884) -- (1.25,9.863) -- (1.33,9.884) -- (1.389,9.943) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.305,6.242) -- (6.284,6.322) -- (6.225,6.381) -- (6.145,6.402) -- (6.065,6.381) -- (6.007,6.322) -- (5.985,6.242) -- (6.007,6.162) -- (6.065,6.104) -- (6.145,6.082) -- (6.225,6.104) -- (6.284,6.162) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.41,6.019) -- (11.389,6.099) -- (11.33,6.158) -- (11.25,6.179) -- (11.17,6.158) -- (11.112,6.099) -- (11.09,6.019) -- (11.112,5.939) -- (11.17,5.88) -- (11.25,5.859) -- (11.33,5.88) -- (11.389,5.939) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.76,5.302) -- (1.738,5.382) -- (1.68,5.44) -- (1.6,5.462) -- (1.52,5.44) -- (1.461,5.382) -- (1.44,5.302) -- (1.461,5.222) -- (1.52,5.163) -- (1.6,5.142) -- (1.68,5.163) -- (1.738,5.222) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.946,1.583) -- (5.925,1.663) -- (5.866,1.721) -- (5.786,1.743) -- (5.706,1.721) -- (5.648,1.663) -- (5.626,1.583) -- (5.648,1.503) -- (5.706,1.444) -- (5.786,1.423) -- (5.866,1.444) -- (5.925,1.503) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.877,1.451) -- (9.856,1.531) -- (9.797,1.589) -- (9.717,1.611) -- (9.637,1.589) -- (9.579,1.531) -- (9.557,1.451) -- (9.579,1.371) -- (9.637,1.312) -- (9.717,1.291) -- (9.797,1.312) -- (9.856,1.371) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.284,9.284) -- (7.239,9.454) -- (7.114,9.579) -- (6.944,9.624) -- (6.774,9.579) -- (6.65,9.454) -- (6.604,9.284) -- (6.65,9.114) -- (6.774,8.99) -- (6.944,8.944) -- (7.114,8.99) -- (7.239,9.114) -- cycle;
\node at (6.944,9.284) {\scalebox{1.583}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.769,7.827) -- (8.723,7.997) -- (8.599,8.121) -- (8.429,8.167) -- (8.259,8.121) -- (8.134,7.997) -- (8.089,7.827) -- (8.134,7.657) -- (8.259,7.533) -- (8.429,7.487) -- (8.599,7.533) -- (8.723,7.657) -- cycle;
\node at (8.429,7.827) {\scalebox{1.583}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.077,8.184) -- (4.032,8.354) -- (3.907,8.478) -- (3.737,8.524) -- (3.567,8.478) -- (3.443,8.354) -- (3.397,8.184) -- (3.443,8.014) -- (3.567,7.889) -- (3.737,7.844) -- (3.907,7.889) -- (4.032,8.014) -- cycle;
\node at (3.737,8.184) {\scalebox{1.583}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.279,7.7) -- (2.233,7.87) -- (2.109,7.995) -- (1.939,8.04) -- (1.769,7.995) -- (1.644,7.87) -- (1.599,7.7) -- (1.644,7.53) -- (1.769,7.406) -- (1.939,7.36) -- (2.109,7.406) -- (2.233,7.53) -- cycle;
\node at (1.939,7.7) {\scalebox{1.583}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.043,6.24) -- (8.997,6.41) -- (8.873,6.534) -- (8.703,6.58) -- (8.533,6.534) -- (8.408,6.41) -- (8.363,6.24) -- (8.408,6.07) -- (8.533,5.945) -- (8.703,5.9) -- (8.873,5.945) -- (8.997,6.07) -- cycle;
\node at (8.703,6.24) {\scalebox{1.583}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.316,5.271) -- (4.271,5.441) -- (4.146,5.566) -- (3.976,5.611) -- (3.806,5.566) -- (3.682,5.441) -- (3.636,5.271) -- (3.682,5.101) -- (3.806,4.977) -- (3.976,4.931) -- (4.146,4.977) -- (4.271,5.101) -- cycle;
\node at (3.976,5.271) {\scalebox{1.583}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.433,3.903) -- (6.387,4.073) -- (6.263,4.197) -- (6.093,4.243) -- (5.923,4.197) -- (5.798,4.073) -- (5.753,3.903) -- (5.798,3.733) -- (5.923,3.608) -- (6.093,3.563) -- (6.263,3.608) -- (6.387,3.733) -- cycle;
\node at (6.093,3.903) {\scalebox{1.583}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.726,4.185) -- (8.68,4.355) -- (8.556,4.48) -- (8.386,4.525) -- (8.216,4.48) -- (8.091,4.355) -- (8.046,4.185) -- (8.091,4.015) -- (8.216,3.891) -- (8.386,3.845) -- (8.556,3.891) -- (8.68,4.015) -- cycle;
\node at (8.386,4.185) {\scalebox{1.583}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.939,3.696) -- (10.893,3.866) -- (10.769,3.991) -- (10.599,4.036) -- (10.429,3.991) -- (10.304,3.866) -- (10.259,3.696) -- (10.304,3.526) -- (10.429,3.402) -- (10.599,3.356) -- (10.769,3.402) -- (10.893,3.526) -- cycle;
\node at (10.599,3.696) {\scalebox{1.583}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.108,1.999) -- (8.062,2.169) -- (7.938,2.293) -- (7.768,2.339) -- (7.598,2.293) -- (7.474,2.169) -- (7.428,1.999) -- (7.474,1.829) -- (7.598,1.704) -- (7.768,1.659) -- (7.938,1.704) -- (8.062,1.829) -- cycle;
\node at (7.768,1.999) {\scalebox{1.583}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.845,5.942) -- (6.445,5.942) -- (6.445,6.542) -- (5.845,6.542) -- cycle;
\node at (6.145,6.242) {\scalebox{1.583}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.673,4.418) -- (3.273,4.418) -- (3.273,5.018) -- (2.673,5.018) -- cycle;
\node at (2.973,4.718) {\scalebox{1.583}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.116,8.099) -- (9.716,8.099) -- (9.716,8.699) -- (9.116,8.699) -- cycle;
\node at (9.416,8.399) {\scalebox{1.583}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.156,3.371) -- (9.756,3.371) -- (9.756,3.971) -- (9.156,3.971) -- cycle;
\node at (9.456,3.671) {\scalebox{1.583}{\small d}};
\node at (10.31,10.656) {\scalebox{1.583}{\small A}};
\node at (0.765,10.409) {\scalebox{1.583}{\small B}};
\node at (5.727,6.7) {\scalebox{1.583}{\small C}};
\node at (11.87,6.044) {\scalebox{1.583}{\small D}};
\node at (0.983,5.236) {\scalebox{1.583}{\small E}};
\node at (5.68,0.972) {\scalebox{1.583}{\small F}};
\node at (10.083,0.95) {\scalebox{1.583}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.55,9.218) -- (12.55,10.318);
\draw[line width=0.5pt] (12.319,9.933) -- (12.55,10.318) -- (12.781,9.933);
\draw[line width=0.5pt] (12.248,9.768) -- (12.853,9.768);
\node at (12.55,10.703) {\scalebox{1.583}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 6 & 2 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(B)}, prend le \textbf{quai aux Fleurs ①} vers l'est et atteint Place de la Fontaine \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ④}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑥}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue de l'Église ⑤}, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ⑨}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑩}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\end{document}
