\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 282}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=282}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0282}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7294, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.065,11.366) -- (10.069,11.035) -- (10.081,10.703) -- (10.1,10.372) -- (10.127,10.042) -- (10.162,9.712) -- (10.205,9.383) -- (10.255,9.055) -- (10.314,8.728) -- (10.379,8.403) -- (10.453,8.079) -- (10.534,7.757) -- (10.622,7.438) -- (10.718,7.12) -- (10.822,6.806);
\draw[line width=0.5pt] (10.065,11.366) -- (9.817,10.922) -- (9.558,10.483) -- (9.289,10.05) -- (9.01,9.624) -- (8.72,9.204) -- (8.421,8.791) -- (8.112,8.386) -- (7.794,7.987) -- (7.467,7.597) -- (7.13,7.214) -- (6.785,6.839) -- (6.431,6.473) -- (6.068,6.115) -- (5.698,5.766);
\draw[line width=0.5pt] (6.333,10.228) -- (6.239,9.919) -- (6.152,9.607) -- (6.073,9.294) -- (6.001,8.978) -- (5.937,8.661) -- (5.88,8.343) -- (5.831,8.023) -- (5.789,7.702) -- (5.755,7.38) -- (5.728,7.058) -- (5.709,6.735) -- (5.698,6.412) -- (5.694,6.089) -- (5.698,5.766);
\draw[line width=0.5pt] (1.51,6.83) -- (1.819,6.8) -- (2.126,6.763) -- (2.433,6.719) -- (2.739,6.668) -- (3.043,6.609) -- (3.346,6.543) -- (3.648,6.47) -- (3.947,6.391) -- (4.245,6.304) -- (4.541,6.21) -- (4.834,6.109) -- (5.125,6.001) -- (5.413,5.887) -- (5.698,5.766);
\draw[line width=0.5pt] (1.51,6.83) -- (1.43,6.446) -- (1.359,6.06) -- (1.298,5.672) -- (1.245,5.283) -- (1.201,4.893) -- (1.167,4.502) -- (1.142,4.11) -- (1.126,3.717) -- (1.119,3.325) -- (1.122,2.932) -- (1.134,2.54) -- (1.155,2.148) -- (1.185,1.756) -- (1.225,1.366);
\draw[line width=0.5pt] (10.822,6.806) -- (10.47,6.676) -- (10.115,6.554) -- (9.758,6.441) -- (9.397,6.337) -- (9.035,6.241) -- (8.67,6.153) -- (8.303,6.074) -- (7.934,6.004) -- (7.564,5.942) -- (7.192,5.889) -- (6.82,5.845) -- (6.446,5.81) -- (6.072,5.783) -- (5.698,5.766);
\draw[line width=0.5pt] (5.698,5.766) -- (6.006,5.404) -- (6.323,5.049) -- (6.649,4.702) -- (6.983,4.363) -- (7.324,4.031) -- (7.674,3.708) -- (8.031,3.393) -- (8.395,3.086) -- (8.767,2.788) -- (9.145,2.499) -- (9.53,2.218) -- (9.921,1.947) -- (10.318,1.686) -- (10.722,1.434);
\draw[line width=0.5pt] (5.698,5.766) -- (5.429,5.405) -- (5.151,5.051) -- (4.866,4.703) -- (4.572,4.362) -- (4.27,4.028) -- (3.96,3.701) -- (3.643,3.381) -- (3.318,3.069) -- (2.986,2.765) -- (2.647,2.469) -- (2.301,2.18) -- (1.949,1.9) -- (1.59,1.629) -- (1.225,1.366);
\draw[line width=0.5pt] (10.722,1.434) -- (10.394,1.493) -- (10.066,1.545) -- (9.736,1.588) -- (9.405,1.624) -- (9.073,1.652) -- (8.74,1.673) -- (8.408,1.685) -- (8.074,1.69) -- (7.741,1.687) -- (7.409,1.676) -- (7.076,1.657) -- (6.744,1.631) -- (6.413,1.596) -- (6.083,1.554) -- (5.741,1.488) -- (5.397,1.429) -- (5.052,1.379) -- (4.706,1.337) -- (4.358,1.303) -- (4.01,1.277) -- (3.662,1.26) -- (3.313,1.25) -- (2.964,1.249) -- (2.615,1.256) -- (2.266,1.271) -- (1.918,1.295) -- (1.571,1.326) -- (1.225,1.366);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.225,11.366) -- (10.204,11.446) -- (10.145,11.505) -- (10.065,11.526) -- (9.985,11.505) -- (9.927,11.446) -- (9.905,11.366) -- (9.927,11.286) -- (9.985,11.228) -- (10.065,11.206) -- (10.145,11.228) -- (10.204,11.286) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.493,10.228) -- (6.471,10.308) -- (6.413,10.366) -- (6.333,10.388) -- (6.253,10.366) -- (6.194,10.308) -- (6.173,10.228) -- (6.194,10.148) -- (6.253,10.089) -- (6.333,10.068) -- (6.413,10.089) -- (6.471,10.148) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.67,6.83) -- (1.649,6.91) -- (1.59,6.968) -- (1.51,6.99) -- (1.43,6.968) -- (1.372,6.91) -- (1.35,6.83) -- (1.372,6.75) -- (1.43,6.691) -- (1.51,6.67) -- (1.59,6.691) -- (1.649,6.75) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.982,6.806) -- (10.961,6.886) -- (10.902,6.944) -- (10.822,6.966) -- (10.742,6.944) -- (10.683,6.886) -- (10.662,6.806) -- (10.683,6.726) -- (10.742,6.667) -- (10.822,6.646) -- (10.902,6.667) -- (10.961,6.726) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.858,5.766) -- (5.836,5.846) -- (5.778,5.904) -- (5.698,5.926) -- (5.618,5.904) -- (5.559,5.846) -- (5.538,5.766) -- (5.559,5.686) -- (5.618,5.627) -- (5.698,5.606) -- (5.778,5.627) -- (5.836,5.686) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.882,1.434) -- (10.86,1.514) -- (10.802,1.572) -- (10.722,1.594) -- (10.642,1.572) -- (10.583,1.514) -- (10.562,1.434) -- (10.583,1.354) -- (10.642,1.295) -- (10.722,1.274) -- (10.802,1.295) -- (10.86,1.354) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.385,1.366) -- (1.363,1.446) -- (1.305,1.505) -- (1.225,1.526) -- (1.145,1.505) -- (1.086,1.446) -- (1.065,1.366) -- (1.086,1.286) -- (1.145,1.228) -- (1.225,1.206) -- (1.305,1.228) -- (1.363,1.286) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.911,9.107) -- (10.866,9.277) -- (10.741,9.401) -- (10.571,9.447) -- (10.401,9.401) -- (10.277,9.277) -- (10.231,9.107) -- (10.277,8.937) -- (10.401,8.813) -- (10.571,8.767) -- (10.741,8.813) -- (10.866,8.937) -- cycle;
\node at (10.571,9.107) {\scalebox{1.371}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.705,8.189) -- (8.659,8.359) -- (8.535,8.483) -- (8.365,8.529) -- (8.195,8.483) -- (8.07,8.359) -- (8.025,8.189) -- (8.07,8.019) -- (8.195,7.895) -- (8.365,7.849) -- (8.535,7.895) -- (8.659,8.019) -- cycle;
\node at (8.365,8.189) {\scalebox{1.371}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.488,7.978) -- (6.442,8.148) -- (6.318,8.272) -- (6.148,8.318) -- (5.978,8.272) -- (5.853,8.148) -- (5.808,7.978) -- (5.853,7.808) -- (5.978,7.683) -- (6.148,7.638) -- (6.318,7.683) -- (6.442,7.808) -- cycle;
\node at (6.148,7.978) {\scalebox{1.371}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.067,6.781) -- (4.021,6.951) -- (3.897,7.075) -- (3.727,7.121) -- (3.557,7.075) -- (3.432,6.951) -- (3.387,6.781) -- (3.432,6.611) -- (3.557,6.486) -- (3.727,6.441) -- (3.897,6.486) -- (4.021,6.611) -- cycle;
\node at (3.727,6.781) {\scalebox{1.371}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.802,4.093) -- (1.756,4.263) -- (1.632,4.387) -- (1.462,4.433) -- (1.292,4.387) -- (1.167,4.263) -- (1.122,4.093) -- (1.167,3.923) -- (1.292,3.799) -- (1.462,3.753) -- (1.632,3.799) -- (1.756,3.923) -- cycle;
\node at (1.462,4.093) {\scalebox{1.371}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.706,5.761) -- (8.661,5.931) -- (8.536,6.055) -- (8.366,6.101) -- (8.196,6.055) -- (8.072,5.931) -- (8.026,5.761) -- (8.072,5.591) -- (8.196,5.466) -- (8.366,5.421) -- (8.536,5.466) -- (8.661,5.591) -- cycle;
\node at (8.366,5.761) {\scalebox{1.371}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.58,3.635) -- (8.534,3.805) -- (8.41,3.929) -- (8.24,3.975) -- (8.07,3.929) -- (7.945,3.805) -- (7.9,3.635) -- (7.945,3.465) -- (8.07,3.34) -- (8.24,3.295) -- (8.41,3.34) -- (8.534,3.465) -- cycle;
\node at (8.24,3.635) {\scalebox{1.371}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.207,3.153) -- (4.161,3.323) -- (4.037,3.448) -- (3.867,3.493) -- (3.697,3.448) -- (3.572,3.323) -- (3.527,3.153) -- (3.572,2.983) -- (3.697,2.859) -- (3.867,2.813) -- (4.037,2.859) -- (4.161,2.983) -- cycle;
\node at (3.867,3.153) {\scalebox{1.371}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.475,1.238) -- (6.429,1.408) -- (6.305,1.533) -- (6.135,1.578) -- (5.965,1.533) -- (5.84,1.408) -- (5.795,1.238) -- (5.84,1.068) -- (5.965,0.944) -- (6.135,0.898) -- (6.305,0.944) -- (6.429,1.068) -- cycle;
\node at (6.135,1.238) {\scalebox{1.371}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.925,1.066) -- (1.525,1.066) -- (1.525,1.666) -- (0.925,1.666) -- cycle;
\node at (1.225,1.366) {\scalebox{1.371}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.044,1.828) -- (3.644,1.828) -- (3.644,2.428) -- (3.044,2.428) -- cycle;
\node at (3.344,2.128) {\scalebox{1.371}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.419,6.983) -- (3.019,6.983) -- (3.019,7.583) -- (2.419,7.583) -- cycle;
\node at (2.719,7.283) {\scalebox{1.371}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.051,8.498) -- (9.651,8.498) -- (9.651,9.098) -- (9.051,9.098) -- cycle;
\node at (9.351,8.798) {\scalebox{1.371}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.734,2.617) -- (9.334,2.617) -- (9.334,3.217) -- (8.734,3.217) -- cycle;
\node at (9.034,2.917) {\scalebox{1.371}{\small e}};
\node at (10.411,11.88) {\scalebox{1.371}{\small A}};
\node at (6.287,10.846) {\scalebox{1.371}{\small B}};
\node at (0.894,6.899) {\scalebox{1.371}{\small C}};
\node at (11.437,6.886) {\scalebox{1.371}{\small D}};
\node at (5.15,5.476) {\scalebox{1.371}{\small E}};
\node at (11.123,0.961) {\scalebox{1.371}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.371}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.122,10.416) -- (12.122,11.516);
\draw[line width=0.5pt] (11.891,11.131) -- (12.122,11.516) -- (12.353,11.131);
\draw[line width=0.5pt] (11.82,10.966) -- (12.425,10.966);
\node at (12.122,11.901) {\scalebox{1.371}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① avenue de la Gare & ⑥ rue des Jardins & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑦ quai aux Fleurs & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ impasse Sainte-Anne & ⑧ boulevard du Parc & Ⓒ Place du Marché & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue Basse & ⑨ allée des Tilleuls & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ chemin du Lavoir &  & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{e} la mairie \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6526, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.065,11.366) -- (10.069,11.035) -- (10.081,10.703) -- (10.1,10.372) -- (10.127,10.042) -- (10.162,9.712) -- (10.205,9.383) -- (10.255,9.055) -- (10.314,8.728) -- (10.379,8.403) -- (10.453,8.079) -- (10.534,7.757) -- (10.622,7.438) -- (10.718,7.12) -- (10.822,6.806);
\draw[line width=0.5pt] (10.065,11.366) -- (9.817,10.922) -- (9.558,10.483) -- (9.289,10.05) -- (9.01,9.624) -- (8.72,9.204) -- (8.421,8.791) -- (8.112,8.386) -- (7.794,7.987) -- (7.467,7.597) -- (7.13,7.214) -- (6.785,6.839) -- (6.431,6.473) -- (6.068,6.115) -- (5.698,5.766);
\draw[line width=0.5pt] (6.333,10.228) -- (6.239,9.919) -- (6.152,9.607) -- (6.073,9.294) -- (6.001,8.978) -- (5.937,8.661) -- (5.88,8.343) -- (5.831,8.023) -- (5.789,7.702) -- (5.755,7.38) -- (5.728,7.058) -- (5.709,6.735) -- (5.698,6.412) -- (5.694,6.089) -- (5.698,5.766);
\draw[line width=0.5pt] (1.51,6.83) -- (1.819,6.8) -- (2.126,6.763) -- (2.433,6.719) -- (2.739,6.668) -- (3.043,6.609) -- (3.346,6.543) -- (3.648,6.47) -- (3.947,6.391) -- (4.245,6.304) -- (4.541,6.21) -- (4.834,6.109) -- (5.125,6.001) -- (5.413,5.887) -- (5.698,5.766);
\draw[line width=0.5pt] (1.51,6.83) -- (1.43,6.446) -- (1.359,6.06) -- (1.298,5.672) -- (1.245,5.283) -- (1.201,4.893) -- (1.167,4.502) -- (1.142,4.11) -- (1.126,3.717) -- (1.119,3.325) -- (1.122,2.932) -- (1.134,2.54) -- (1.155,2.148) -- (1.185,1.756) -- (1.225,1.366);
\draw[line width=0.5pt] (10.822,6.806) -- (10.47,6.676) -- (10.115,6.554) -- (9.758,6.441) -- (9.397,6.337) -- (9.035,6.241) -- (8.67,6.153) -- (8.303,6.074) -- (7.934,6.004) -- (7.564,5.942) -- (7.192,5.889) -- (6.82,5.845) -- (6.446,5.81) -- (6.072,5.783) -- (5.698,5.766);
\draw[line width=0.5pt] (5.698,5.766) -- (6.006,5.404) -- (6.323,5.049) -- (6.649,4.702) -- (6.983,4.363) -- (7.324,4.031) -- (7.674,3.708) -- (8.031,3.393) -- (8.395,3.086) -- (8.767,2.788) -- (9.145,2.499) -- (9.53,2.218) -- (9.921,1.947) -- (10.318,1.686) -- (10.722,1.434);
\draw[line width=0.5pt] (5.698,5.766) -- (5.429,5.405) -- (5.151,5.051) -- (4.866,4.703) -- (4.572,4.362) -- (4.27,4.028) -- (3.96,3.701) -- (3.643,3.381) -- (3.318,3.069) -- (2.986,2.765) -- (2.647,2.469) -- (2.301,2.18) -- (1.949,1.9) -- (1.59,1.629) -- (1.225,1.366);
\draw[line width=0.5pt] (10.722,1.434) -- (10.394,1.493) -- (10.066,1.545) -- (9.736,1.588) -- (9.405,1.624) -- (9.073,1.652) -- (8.74,1.673) -- (8.408,1.685) -- (8.074,1.69) -- (7.741,1.687) -- (7.409,1.676) -- (7.076,1.657) -- (6.744,1.631) -- (6.413,1.596) -- (6.083,1.554) -- (5.741,1.488) -- (5.397,1.429) -- (5.052,1.379) -- (4.706,1.337) -- (4.358,1.303) -- (4.01,1.277) -- (3.662,1.26) -- (3.313,1.25) -- (2.964,1.249) -- (2.615,1.256) -- (2.266,1.271) -- (1.918,1.295) -- (1.571,1.326) -- (1.225,1.366);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.225,11.366) -- (10.204,11.446) -- (10.145,11.505) -- (10.065,11.526) -- (9.985,11.505) -- (9.927,11.446) -- (9.905,11.366) -- (9.927,11.286) -- (9.985,11.228) -- (10.065,11.206) -- (10.145,11.228) -- (10.204,11.286) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.493,10.228) -- (6.471,10.308) -- (6.413,10.366) -- (6.333,10.388) -- (6.253,10.366) -- (6.194,10.308) -- (6.173,10.228) -- (6.194,10.148) -- (6.253,10.089) -- (6.333,10.068) -- (6.413,10.089) -- (6.471,10.148) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.67,6.83) -- (1.649,6.91) -- (1.59,6.968) -- (1.51,6.99) -- (1.43,6.968) -- (1.372,6.91) -- (1.35,6.83) -- (1.372,6.75) -- (1.43,6.691) -- (1.51,6.67) -- (1.59,6.691) -- (1.649,6.75) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.982,6.806) -- (10.961,6.886) -- (10.902,6.944) -- (10.822,6.966) -- (10.742,6.944) -- (10.683,6.886) -- (10.662,6.806) -- (10.683,6.726) -- (10.742,6.667) -- (10.822,6.646) -- (10.902,6.667) -- (10.961,6.726) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.858,5.766) -- (5.836,5.846) -- (5.778,5.904) -- (5.698,5.926) -- (5.618,5.904) -- (5.559,5.846) -- (5.538,5.766) -- (5.559,5.686) -- (5.618,5.627) -- (5.698,5.606) -- (5.778,5.627) -- (5.836,5.686) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.882,1.434) -- (10.86,1.514) -- (10.802,1.572) -- (10.722,1.594) -- (10.642,1.572) -- (10.583,1.514) -- (10.562,1.434) -- (10.583,1.354) -- (10.642,1.295) -- (10.722,1.274) -- (10.802,1.295) -- (10.86,1.354) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.385,1.366) -- (1.363,1.446) -- (1.305,1.505) -- (1.225,1.526) -- (1.145,1.505) -- (1.086,1.446) -- (1.065,1.366) -- (1.086,1.286) -- (1.145,1.228) -- (1.225,1.206) -- (1.305,1.228) -- (1.363,1.286) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.911,9.107) -- (10.866,9.277) -- (10.741,9.401) -- (10.571,9.447) -- (10.401,9.401) -- (10.277,9.277) -- (10.231,9.107) -- (10.277,8.937) -- (10.401,8.813) -- (10.571,8.767) -- (10.741,8.813) -- (10.866,8.937) -- cycle;
\node at (10.571,9.107) {\scalebox{1.532}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.705,8.189) -- (8.659,8.359) -- (8.535,8.483) -- (8.365,8.529) -- (8.195,8.483) -- (8.07,8.359) -- (8.025,8.189) -- (8.07,8.019) -- (8.195,7.895) -- (8.365,7.849) -- (8.535,7.895) -- (8.659,8.019) -- cycle;
\node at (8.365,8.189) {\scalebox{1.532}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.488,7.978) -- (6.442,8.148) -- (6.318,8.272) -- (6.148,8.318) -- (5.978,8.272) -- (5.853,8.148) -- (5.808,7.978) -- (5.853,7.808) -- (5.978,7.683) -- (6.148,7.638) -- (6.318,7.683) -- (6.442,7.808) -- cycle;
\node at (6.148,7.978) {\scalebox{1.532}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.067,6.781) -- (4.021,6.951) -- (3.897,7.075) -- (3.727,7.121) -- (3.557,7.075) -- (3.432,6.951) -- (3.387,6.781) -- (3.432,6.611) -- (3.557,6.486) -- (3.727,6.441) -- (3.897,6.486) -- (4.021,6.611) -- cycle;
\node at (3.727,6.781) {\scalebox{1.532}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.802,4.093) -- (1.756,4.263) -- (1.632,4.387) -- (1.462,4.433) -- (1.292,4.387) -- (1.167,4.263) -- (1.122,4.093) -- (1.167,3.923) -- (1.292,3.799) -- (1.462,3.753) -- (1.632,3.799) -- (1.756,3.923) -- cycle;
\node at (1.462,4.093) {\scalebox{1.532}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.706,5.761) -- (8.661,5.931) -- (8.536,6.055) -- (8.366,6.101) -- (8.196,6.055) -- (8.072,5.931) -- (8.026,5.761) -- (8.072,5.591) -- (8.196,5.466) -- (8.366,5.421) -- (8.536,5.466) -- (8.661,5.591) -- cycle;
\node at (8.366,5.761) {\scalebox{1.532}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.58,3.635) -- (8.534,3.805) -- (8.41,3.929) -- (8.24,3.975) -- (8.07,3.929) -- (7.945,3.805) -- (7.9,3.635) -- (7.945,3.465) -- (8.07,3.34) -- (8.24,3.295) -- (8.41,3.34) -- (8.534,3.465) -- cycle;
\node at (8.24,3.635) {\scalebox{1.532}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.207,3.153) -- (4.161,3.323) -- (4.037,3.448) -- (3.867,3.493) -- (3.697,3.448) -- (3.572,3.323) -- (3.527,3.153) -- (3.572,2.983) -- (3.697,2.859) -- (3.867,2.813) -- (4.037,2.859) -- (4.161,2.983) -- cycle;
\node at (3.867,3.153) {\scalebox{1.532}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.475,1.238) -- (6.429,1.408) -- (6.305,1.533) -- (6.135,1.578) -- (5.965,1.533) -- (5.84,1.408) -- (5.795,1.238) -- (5.84,1.068) -- (5.965,0.944) -- (6.135,0.898) -- (6.305,0.944) -- (6.429,1.068) -- cycle;
\node at (6.135,1.238) {\scalebox{1.532}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.925,1.066) -- (1.525,1.066) -- (1.525,1.666) -- (0.925,1.666) -- cycle;
\node at (1.225,1.366) {\scalebox{1.532}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.044,1.828) -- (3.644,1.828) -- (3.644,2.428) -- (3.044,2.428) -- cycle;
\node at (3.344,2.128) {\scalebox{1.532}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.419,6.983) -- (3.019,6.983) -- (3.019,7.583) -- (2.419,7.583) -- cycle;
\node at (2.719,7.283) {\scalebox{1.532}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.051,8.498) -- (9.651,8.498) -- (9.651,9.098) -- (9.051,9.098) -- cycle;
\node at (9.351,8.798) {\scalebox{1.532}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.734,2.617) -- (9.334,2.617) -- (9.334,3.217) -- (8.734,3.217) -- cycle;
\node at (9.034,2.917) {\scalebox{1.532}{\small e}};
\node at (10.411,11.88) {\scalebox{1.532}{\small A}};
\node at (6.287,10.846) {\scalebox{1.532}{\small B}};
\node at (0.894,6.899) {\scalebox{1.532}{\small C}};
\node at (11.437,6.886) {\scalebox{1.532}{\small D}};
\node at (5.15,5.476) {\scalebox{1.532}{\small E}};
\node at (11.123,0.961) {\scalebox{1.532}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.532}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.122,10.416) -- (12.122,11.516);
\draw[line width=0.5pt] (11.891,11.131) -- (12.122,11.516) -- (12.353,11.131);
\draw[line width=0.5pt] (11.82,10.966) -- (12.425,10.966);
\node at (12.122,11.901) {\scalebox{1.532}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 2 & 2 & 6 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{G}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{G}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en B}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Tilleuls \textbf{(G)}, prend le \textbf{chemin du Lavoir ⑤} vers le nord et atteint Place du Marché \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ④}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le nord-est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{avenue de la Gare ①}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse Sainte-Anne ③}, vers le nord, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{G} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
