\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 283}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=283}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0283}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6993, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.821,11.203) -- (3.068,11.079) -- (3.318,10.962) -- (3.57,10.851) -- (3.826,10.745) -- (4.084,10.646) -- (4.344,10.552) -- (4.606,10.465) -- (4.87,10.384) -- (5.136,10.309) -- (5.404,10.241) -- (5.673,10.178) -- (5.944,10.123) -- (6.215,10.073) -- (6.488,10.03);
\draw[line width=0.5pt] (2.821,11.203) -- (2.769,10.863) -- (2.709,10.525) -- (2.641,10.188) -- (2.565,9.853) -- (2.481,9.52) -- (2.39,9.188) -- (2.29,8.859) -- (2.183,8.532) -- (2.069,8.208) -- (1.947,7.887) -- (1.817,7.569) -- (1.68,7.254) -- (1.535,6.942) -- (1.383,6.634);
\draw[line width=0.5pt] (2.821,11.203) -- (3.073,10.773) -- (3.335,10.35) -- (3.608,9.932) -- (3.89,9.521) -- (4.182,9.117) -- (4.483,8.72) -- (4.794,8.33) -- (5.114,7.947) -- (5.442,7.572) -- (5.779,7.205) -- (6.125,6.846) -- (6.479,6.495) -- (6.841,6.153) -- (7.211,5.819);
\draw[line width=0.5pt] (11.383,10.697) -- (11.141,10.306) -- (10.89,9.92) -- (10.629,9.541) -- (10.359,9.167) -- (10.081,8.8) -- (9.794,8.44) -- (9.499,8.086) -- (9.195,7.74) -- (8.883,7.4) -- (8.564,7.068) -- (8.237,6.744) -- (7.902,6.428) -- (7.56,6.119) -- (7.211,5.819);
\draw[line width=0.5pt] (11.383,10.697) -- (11.244,10.408) -- (11.111,10.115) -- (10.986,9.819) -- (10.867,9.52) -- (10.755,9.218) -- (10.651,8.914) -- (10.554,8.607) -- (10.464,8.298) -- (10.381,7.987) -- (10.305,7.674) -- (10.237,7.36) -- (10.177,7.044) -- (10.124,6.727) -- (10.078,6.409) -- (10.141,6.134) -- (10.197,5.858) -- (10.246,5.581) -- (10.289,5.302) -- (10.326,5.022) -- (10.356,4.742) -- (10.379,4.461) -- (10.396,4.179) -- (10.406,3.898) -- (10.41,3.616) -- (10.407,3.334) -- (10.397,3.052) -- (10.38,2.771) -- (10.357,2.49);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.634) -- (1.805,6.64) -- (2.227,6.636) -- (2.649,6.622) -- (3.071,6.598) -- (3.492,6.565) -- (3.912,6.521) -- (4.331,6.467) -- (4.749,6.404) -- (5.165,6.331) -- (5.579,6.248) -- (5.991,6.155) -- (6.4,6.053) -- (6.807,5.941) -- (7.211,5.819);
\draw[line width=0.5pt] (7.211,5.819) -- (7.398,5.549) -- (7.591,5.283) -- (7.79,5.022) -- (7.995,4.765) -- (8.207,4.513) -- (8.424,4.267) -- (8.647,4.025) -- (8.876,3.789) -- (9.11,3.558) -- (9.349,3.333) -- (9.594,3.113) -- (9.843,2.899) -- (10.098,2.692) -- (10.357,2.49);
\draw[line width=0.5pt] (7.211,5.819) -- (7.146,5.549) -- (7.075,5.279) -- (6.997,5.012) -- (6.913,4.746) -- (6.823,4.482) -- (6.727,4.221) -- (6.624,3.961) -- (6.515,3.705) -- (6.401,3.45) -- (6.28,3.199) -- (6.154,2.951) -- (6.022,2.705) -- (5.884,2.463) -- (5.74,2.225);
\draw[line width=0.5pt] (10.357,2.49) -- (10.027,2.522) -- (9.696,2.546) -- (9.365,2.562) -- (9.033,2.57) -- (8.701,2.57) -- (8.369,2.563) -- (8.038,2.548) -- (7.707,2.525) -- (7.376,2.494) -- (7.046,2.456) -- (6.718,2.41) -- (6.39,2.356) -- (6.064,2.294) -- (5.74,2.225);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.981,11.203) -- (2.959,11.283) -- (2.901,11.341) -- (2.821,11.363) -- (2.741,11.341) -- (2.682,11.283) -- (2.661,11.203) -- (2.682,11.123) -- (2.741,11.064) -- (2.821,11.043) -- (2.901,11.064) -- (2.959,11.123) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.543,10.697) -- (11.522,10.777) -- (11.463,10.836) -- (11.383,10.857) -- (11.303,10.836) -- (11.245,10.777) -- (11.223,10.697) -- (11.245,10.617) -- (11.303,10.559) -- (11.383,10.537) -- (11.463,10.559) -- (11.522,10.617) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.648,10.03) -- (6.627,10.11) -- (6.568,10.169) -- (6.488,10.19) -- (6.408,10.169) -- (6.349,10.11) -- (6.328,10.03) -- (6.349,9.95) -- (6.408,9.892) -- (6.488,9.87) -- (6.568,9.892) -- (6.627,9.95) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.543,6.634) -- (1.522,6.714) -- (1.463,6.773) -- (1.383,6.794) -- (1.303,6.773) -- (1.245,6.714) -- (1.223,6.634) -- (1.245,6.554) -- (1.303,6.496) -- (1.383,6.474) -- (1.463,6.496) -- (1.522,6.554) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.371,5.819) -- (7.35,5.899) -- (7.291,5.958) -- (7.211,5.979) -- (7.131,5.958) -- (7.073,5.899) -- (7.051,5.819) -- (7.073,5.739) -- (7.131,5.681) -- (7.211,5.659) -- (7.291,5.681) -- (7.35,5.739) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.517,2.49) -- (10.496,2.57) -- (10.437,2.629) -- (10.357,2.65) -- (10.277,2.629) -- (10.219,2.57) -- (10.197,2.49) -- (10.219,2.41) -- (10.277,2.352) -- (10.357,2.33) -- (10.437,2.352) -- (10.496,2.41) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.9,2.225) -- (5.879,2.305) -- (5.82,2.363) -- (5.74,2.385) -- (5.66,2.363) -- (5.601,2.305) -- (5.58,2.225) -- (5.601,2.145) -- (5.66,2.086) -- (5.74,2.065) -- (5.82,2.086) -- (5.879,2.145) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.043,10.77) -- (4.998,10.94) -- (4.873,11.064) -- (4.703,11.11) -- (4.533,11.064) -- (4.409,10.94) -- (4.363,10.77) -- (4.409,10.6) -- (4.533,10.475) -- (4.703,10.43) -- (4.873,10.475) -- (4.998,10.6) -- cycle;
\node at (4.703,10.77) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.936,8.763) -- (2.89,8.933) -- (2.766,9.058) -- (2.596,9.103) -- (2.426,9.058) -- (2.301,8.933) -- (2.256,8.763) -- (2.301,8.593) -- (2.426,8.469) -- (2.596,8.423) -- (2.766,8.469) -- (2.89,8.593) -- cycle;
\node at (2.596,8.763) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.382,8.532) -- (5.336,8.702) -- (5.212,8.827) -- (5.042,8.872) -- (4.872,8.827) -- (4.747,8.702) -- (4.702,8.532) -- (4.747,8.362) -- (4.872,8.238) -- (5.042,8.192) -- (5.212,8.238) -- (5.336,8.362) -- cycle;
\node at (5.042,8.532) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.082,7.878) -- (10.036,8.048) -- (9.912,8.173) -- (9.742,8.218) -- (9.572,8.173) -- (9.447,8.048) -- (9.402,7.878) -- (9.447,7.708) -- (9.572,7.584) -- (9.742,7.538) -- (9.912,7.584) -- (10.036,7.708) -- cycle;
\node at (9.742,7.878) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.738,6.418) -- (10.692,6.588) -- (10.568,6.712) -- (10.398,6.758) -- (10.228,6.712) -- (10.103,6.588) -- (10.058,6.418) -- (10.103,6.248) -- (10.228,6.124) -- (10.398,6.078) -- (10.568,6.124) -- (10.692,6.248) -- cycle;
\node at (10.398,6.418) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.715,6.784) -- (4.67,6.954) -- (4.545,7.079) -- (4.375,7.124) -- (4.205,7.079) -- (4.081,6.954) -- (4.035,6.784) -- (4.081,6.614) -- (4.205,6.49) -- (4.375,6.444) -- (4.545,6.49) -- (4.67,6.614) -- cycle;
\node at (4.375,6.784) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.22,4.245) -- (9.174,4.415) -- (9.05,4.539) -- (8.88,4.585) -- (8.71,4.539) -- (8.585,4.415) -- (8.54,4.245) -- (8.585,4.075) -- (8.71,3.95) -- (8.88,3.905) -- (9.05,3.95) -- (9.174,4.075) -- cycle;
\node at (8.88,4.245) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.26,3.84) -- (7.215,4.01) -- (7.09,4.135) -- (6.92,4.18) -- (6.75,4.135) -- (6.626,4.01) -- (6.58,3.84) -- (6.626,3.67) -- (6.75,3.546) -- (6.92,3.5) -- (7.09,3.546) -- (7.215,3.67) -- cycle;
\node at (6.92,3.84) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.396,2.228) -- (8.351,2.398) -- (8.226,2.523) -- (8.056,2.568) -- (7.886,2.523) -- (7.762,2.398) -- (7.716,2.228) -- (7.762,2.058) -- (7.886,1.934) -- (8.056,1.888) -- (8.226,1.934) -- (8.351,2.058) -- cycle;
\node at (8.056,2.228) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.188,9.73) -- (6.788,9.73) -- (6.788,10.33) -- (6.188,10.33) -- cycle;
\node at (6.488,10.03) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.101,0.65) -- (8.701,0.65) -- (8.701,1.25) -- (8.101,1.25) -- cycle;
\node at (8.401,0.95) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.517,3.318) -- (10.117,3.318) -- (10.117,3.918) -- (9.517,3.918) -- cycle;
\node at (9.817,3.618) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.007,6.711) -- (3.607,6.711) -- (3.607,7.311) -- (3.007,7.311) -- cycle;
\node at (3.307,7.011) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (2.412,11.669) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (11.879,11.07) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (6.489,10.65) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (0.765,6.588) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (7.534,5.29) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (10.761,2.019) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (5.645,1.612) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.683,10.253) -- (12.683,11.353);
\draw[line width=0.5pt] (12.452,10.968) -- (12.683,11.353) -- (12.914,10.968);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,10.803) -- (12.986,10.803);
\node at (12.683,11.738) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse Sainte-Anne & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Rond-point du Stade & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑦ avenue de la Gare & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue Neuve & ⑧ rue Basse & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ quai aux Fleurs & ⑨ rue du Four & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
⑤ rue Pasteur &  & Ⓔ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6257, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.821,11.203) -- (3.068,11.079) -- (3.318,10.962) -- (3.57,10.851) -- (3.826,10.745) -- (4.084,10.646) -- (4.344,10.552) -- (4.606,10.465) -- (4.87,10.384) -- (5.136,10.309) -- (5.404,10.241) -- (5.673,10.178) -- (5.944,10.123) -- (6.215,10.073) -- (6.488,10.03);
\draw[line width=0.5pt] (2.821,11.203) -- (2.769,10.863) -- (2.709,10.525) -- (2.641,10.188) -- (2.565,9.853) -- (2.481,9.52) -- (2.39,9.188) -- (2.29,8.859) -- (2.183,8.532) -- (2.069,8.208) -- (1.947,7.887) -- (1.817,7.569) -- (1.68,7.254) -- (1.535,6.942) -- (1.383,6.634);
\draw[line width=0.5pt] (2.821,11.203) -- (3.073,10.773) -- (3.335,10.35) -- (3.608,9.932) -- (3.89,9.521) -- (4.182,9.117) -- (4.483,8.72) -- (4.794,8.33) -- (5.114,7.947) -- (5.442,7.572) -- (5.779,7.205) -- (6.125,6.846) -- (6.479,6.495) -- (6.841,6.153) -- (7.211,5.819);
\draw[line width=0.5pt] (11.383,10.697) -- (11.141,10.306) -- (10.89,9.92) -- (10.629,9.541) -- (10.359,9.167) -- (10.081,8.8) -- (9.794,8.44) -- (9.499,8.086) -- (9.195,7.74) -- (8.883,7.4) -- (8.564,7.068) -- (8.237,6.744) -- (7.902,6.428) -- (7.56,6.119) -- (7.211,5.819);
\draw[line width=0.5pt] (11.383,10.697) -- (11.244,10.408) -- (11.111,10.115) -- (10.986,9.819) -- (10.867,9.52) -- (10.755,9.218) -- (10.651,8.914) -- (10.554,8.607) -- (10.464,8.298) -- (10.381,7.987) -- (10.305,7.674) -- (10.237,7.36) -- (10.177,7.044) -- (10.124,6.727) -- (10.078,6.409) -- (10.141,6.134) -- (10.197,5.858) -- (10.246,5.581) -- (10.289,5.302) -- (10.326,5.022) -- (10.356,4.742) -- (10.379,4.461) -- (10.396,4.179) -- (10.406,3.898) -- (10.41,3.616) -- (10.407,3.334) -- (10.397,3.052) -- (10.38,2.771) -- (10.357,2.49);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.634) -- (1.805,6.64) -- (2.227,6.636) -- (2.649,6.622) -- (3.071,6.598) -- (3.492,6.565) -- (3.912,6.521) -- (4.331,6.467) -- (4.749,6.404) -- (5.165,6.331) -- (5.579,6.248) -- (5.991,6.155) -- (6.4,6.053) -- (6.807,5.941) -- (7.211,5.819);
\draw[line width=0.5pt] (7.211,5.819) -- (7.398,5.549) -- (7.591,5.283) -- (7.79,5.022) -- (7.995,4.765) -- (8.207,4.513) -- (8.424,4.267) -- (8.647,4.025) -- (8.876,3.789) -- (9.11,3.558) -- (9.349,3.333) -- (9.594,3.113) -- (9.843,2.899) -- (10.098,2.692) -- (10.357,2.49);
\draw[line width=0.5pt] (7.211,5.819) -- (7.146,5.549) -- (7.075,5.279) -- (6.997,5.012) -- (6.913,4.746) -- (6.823,4.482) -- (6.727,4.221) -- (6.624,3.961) -- (6.515,3.705) -- (6.401,3.45) -- (6.28,3.199) -- (6.154,2.951) -- (6.022,2.705) -- (5.884,2.463) -- (5.74,2.225);
\draw[line width=0.5pt] (10.357,2.49) -- (10.027,2.522) -- (9.696,2.546) -- (9.365,2.562) -- (9.033,2.57) -- (8.701,2.57) -- (8.369,2.563) -- (8.038,2.548) -- (7.707,2.525) -- (7.376,2.494) -- (7.046,2.456) -- (6.718,2.41) -- (6.39,2.356) -- (6.064,2.294) -- (5.74,2.225);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.981,11.203) -- (2.959,11.283) -- (2.901,11.341) -- (2.821,11.363) -- (2.741,11.341) -- (2.682,11.283) -- (2.661,11.203) -- (2.682,11.123) -- (2.741,11.064) -- (2.821,11.043) -- (2.901,11.064) -- (2.959,11.123) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.543,10.697) -- (11.522,10.777) -- (11.463,10.836) -- (11.383,10.857) -- (11.303,10.836) -- (11.245,10.777) -- (11.223,10.697) -- (11.245,10.617) -- (11.303,10.559) -- (11.383,10.537) -- (11.463,10.559) -- (11.522,10.617) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.648,10.03) -- (6.627,10.11) -- (6.568,10.169) -- (6.488,10.19) -- (6.408,10.169) -- (6.349,10.11) -- (6.328,10.03) -- (6.349,9.95) -- (6.408,9.892) -- (6.488,9.87) -- (6.568,9.892) -- (6.627,9.95) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.543,6.634) -- (1.522,6.714) -- (1.463,6.773) -- (1.383,6.794) -- (1.303,6.773) -- (1.245,6.714) -- (1.223,6.634) -- (1.245,6.554) -- (1.303,6.496) -- (1.383,6.474) -- (1.463,6.496) -- (1.522,6.554) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.371,5.819) -- (7.35,5.899) -- (7.291,5.958) -- (7.211,5.979) -- (7.131,5.958) -- (7.073,5.899) -- (7.051,5.819) -- (7.073,5.739) -- (7.131,5.681) -- (7.211,5.659) -- (7.291,5.681) -- (7.35,5.739) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.517,2.49) -- (10.496,2.57) -- (10.437,2.629) -- (10.357,2.65) -- (10.277,2.629) -- (10.219,2.57) -- (10.197,2.49) -- (10.219,2.41) -- (10.277,2.352) -- (10.357,2.33) -- (10.437,2.352) -- (10.496,2.41) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.9,2.225) -- (5.879,2.305) -- (5.82,2.363) -- (5.74,2.385) -- (5.66,2.363) -- (5.601,2.305) -- (5.58,2.225) -- (5.601,2.145) -- (5.66,2.086) -- (5.74,2.065) -- (5.82,2.086) -- (5.879,2.145) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.043,10.77) -- (4.998,10.94) -- (4.873,11.064) -- (4.703,11.11) -- (4.533,11.064) -- (4.409,10.94) -- (4.363,10.77) -- (4.409,10.6) -- (4.533,10.475) -- (4.703,10.43) -- (4.873,10.475) -- (4.998,10.6) -- cycle;
\node at (4.703,10.77) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.936,8.763) -- (2.89,8.933) -- (2.766,9.058) -- (2.596,9.103) -- (2.426,9.058) -- (2.301,8.933) -- (2.256,8.763) -- (2.301,8.593) -- (2.426,8.469) -- (2.596,8.423) -- (2.766,8.469) -- (2.89,8.593) -- cycle;
\node at (2.596,8.763) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.382,8.532) -- (5.336,8.702) -- (5.212,8.827) -- (5.042,8.872) -- (4.872,8.827) -- (4.747,8.702) -- (4.702,8.532) -- (4.747,8.362) -- (4.872,8.238) -- (5.042,8.192) -- (5.212,8.238) -- (5.336,8.362) -- cycle;
\node at (5.042,8.532) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.082,7.878) -- (10.036,8.048) -- (9.912,8.173) -- (9.742,8.218) -- (9.572,8.173) -- (9.447,8.048) -- (9.402,7.878) -- (9.447,7.708) -- (9.572,7.584) -- (9.742,7.538) -- (9.912,7.584) -- (10.036,7.708) -- cycle;
\node at (9.742,7.878) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.738,6.418) -- (10.692,6.588) -- (10.568,6.712) -- (10.398,6.758) -- (10.228,6.712) -- (10.103,6.588) -- (10.058,6.418) -- (10.103,6.248) -- (10.228,6.124) -- (10.398,6.078) -- (10.568,6.124) -- (10.692,6.248) -- cycle;
\node at (10.398,6.418) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.715,6.784) -- (4.67,6.954) -- (4.545,7.079) -- (4.375,7.124) -- (4.205,7.079) -- (4.081,6.954) -- (4.035,6.784) -- (4.081,6.614) -- (4.205,6.49) -- (4.375,6.444) -- (4.545,6.49) -- (4.67,6.614) -- cycle;
\node at (4.375,6.784) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.22,4.245) -- (9.174,4.415) -- (9.05,4.539) -- (8.88,4.585) -- (8.71,4.539) -- (8.585,4.415) -- (8.54,4.245) -- (8.585,4.075) -- (8.71,3.95) -- (8.88,3.905) -- (9.05,3.95) -- (9.174,4.075) -- cycle;
\node at (8.88,4.245) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.26,3.84) -- (7.215,4.01) -- (7.09,4.135) -- (6.92,4.18) -- (6.75,4.135) -- (6.626,4.01) -- (6.58,3.84) -- (6.626,3.67) -- (6.75,3.546) -- (6.92,3.5) -- (7.09,3.546) -- (7.215,3.67) -- cycle;
\node at (6.92,3.84) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.396,2.228) -- (8.351,2.398) -- (8.226,2.523) -- (8.056,2.568) -- (7.886,2.523) -- (7.762,2.398) -- (7.716,2.228) -- (7.762,2.058) -- (7.886,1.934) -- (8.056,1.888) -- (8.226,1.934) -- (8.351,2.058) -- cycle;
\node at (8.056,2.228) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.188,9.73) -- (6.788,9.73) -- (6.788,10.33) -- (6.188,10.33) -- cycle;
\node at (6.488,10.03) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.101,0.65) -- (8.701,0.65) -- (8.701,1.25) -- (8.101,1.25) -- cycle;
\node at (8.401,0.95) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.517,3.318) -- (10.117,3.318) -- (10.117,3.918) -- (9.517,3.918) -- cycle;
\node at (9.817,3.618) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.007,6.711) -- (3.607,6.711) -- (3.607,7.311) -- (3.007,7.311) -- cycle;
\node at (3.307,7.011) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (2.412,11.669) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (11.879,11.07) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (6.489,10.65) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (0.765,6.588) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (7.534,5.29) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (10.761,2.019) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (5.645,1.612) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.683,10.253) -- (12.683,11.353);
\draw[line width=0.5pt] (12.452,10.968) -- (12.683,11.353) -- (12.914,10.968);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,10.803) -- (12.986,10.803);
\node at (12.683,11.738) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 1 & 2 & 5 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{C}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, C, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
