\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 284}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=284}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0284}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7378, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.547,11.414) -- (5.906,11.325) -- (6.266,11.243) -- (6.628,11.17) -- (6.992,11.106) -- (7.357,11.05) -- (7.723,11.003) -- (8.091,10.964) -- (8.459,10.934) -- (8.828,10.913) -- (9.197,10.9) -- (9.567,10.897) -- (9.936,10.901) -- (10.305,10.915) -- (10.674,10.937);
\draw[line width=0.5pt] (5.547,11.414) -- (5.661,11.138) -- (5.767,10.858) -- (5.867,10.577) -- (5.96,10.292) -- (6.047,10.006) -- (6.127,9.718) -- (6.2,9.427) -- (6.266,9.136) -- (6.325,8.842) -- (6.378,8.548) -- (6.423,8.252) -- (6.461,7.956) -- (6.493,7.658) -- (6.517,7.36);
\draw[line width=0.5pt] (10.674,10.937) -- (10.34,10.729) -- (10.011,10.513) -- (9.688,10.29) -- (9.369,10.058) -- (9.056,9.82) -- (8.749,9.573) -- (8.448,9.32) -- (8.153,9.06) -- (7.863,8.793) -- (7.581,8.519) -- (7.305,8.239) -- (7.035,7.952) -- (6.773,7.659) -- (6.517,7.36);
\draw[line width=0.5pt] (10.674,10.937) -- (10.678,10.592) -- (10.675,10.247) -- (10.663,9.902) -- (10.643,9.558) -- (10.615,9.213) -- (10.579,8.87) -- (10.535,8.527) -- (10.482,8.186) -- (10.422,7.846) -- (10.354,7.508) -- (10.278,7.171) -- (10.194,6.836) -- (10.102,6.503) -- (10.003,6.173) -- (9.943,5.837) -- (9.891,5.5) -- (9.847,5.161) -- (9.811,4.821) -- (9.783,4.481) -- (9.764,4.14) -- (9.752,3.798) -- (9.748,3.457) -- (9.752,3.115) -- (9.764,2.774) -- (9.785,2.433) -- (9.813,2.092) -- (9.849,1.753) -- (9.894,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (6.517,7.36) -- (6.142,7.286) -- (5.768,7.202) -- (5.396,7.11) -- (5.026,7.009) -- (4.659,6.899) -- (4.294,6.78) -- (3.933,6.653) -- (3.574,6.518) -- (3.219,6.374) -- (2.867,6.222) -- (2.519,6.062) -- (2.175,5.893) -- (1.835,5.717) -- (1.499,5.532);
\draw[line width=0.5pt] (6.517,7.36) -- (6.195,6.988) -- (5.864,6.623) -- (5.525,6.266) -- (5.177,5.917) -- (4.821,5.576) -- (4.457,5.244) -- (4.085,4.92) -- (3.706,4.605) -- (3.32,4.299) -- (2.926,4.002) -- (2.526,3.715) -- (2.119,3.437) -- (1.706,3.169) -- (1.287,2.911);
\draw[line width=0.5pt] (6.517,7.36) -- (6.426,6.963) -- (6.344,6.564) -- (6.272,6.163) -- (6.209,5.76) -- (6.155,5.356) -- (6.111,4.951) -- (6.077,4.544) -- (6.052,4.137) -- (6.036,3.73) -- (6.03,3.322) -- (6.034,2.914) -- (6.048,2.507) -- (6.071,2.1) -- (6.103,1.694);
\draw[line width=0.5pt] (6.517,7.36) -- (6.822,6.976) -- (7.117,6.584) -- (7.403,6.186) -- (7.679,5.78) -- (7.946,5.369) -- (8.203,4.951) -- (8.451,4.527) -- (8.688,4.097) -- (8.915,3.662) -- (9.132,3.222) -- (9.339,2.777) -- (9.534,2.327) -- (9.719,1.873) -- (9.894,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (1.499,5.532) -- (1.455,5.349) -- (1.416,5.164) -- (1.381,4.979) -- (1.35,4.793) -- (1.324,4.606) -- (1.302,4.418) -- (1.285,4.23) -- (1.272,4.042) -- (1.263,3.853) -- (1.259,3.665) -- (1.259,3.476) -- (1.264,3.287) -- (1.273,3.099) -- (1.287,2.911);
\draw[line width=0.5pt] (1.287,2.911) -- (1.641,2.877) -- (1.995,2.835) -- (2.348,2.785) -- (2.7,2.726) -- (3.05,2.659) -- (3.398,2.584) -- (3.745,2.501) -- (4.09,2.41) -- (4.432,2.31) -- (4.772,2.203) -- (5.11,2.087) -- (5.444,1.964) -- (5.775,1.833) -- (6.103,1.694);
\draw[line width=0.5pt] (6.103,1.694) -- (6.369,1.633) -- (6.636,1.578) -- (6.904,1.529) -- (7.174,1.487) -- (7.444,1.451) -- (7.715,1.421) -- (7.987,1.398) -- (8.259,1.381) -- (8.532,1.37) -- (8.805,1.366) -- (9.077,1.369) -- (9.35,1.378) -- (9.622,1.393) -- (9.894,1.414);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.707,11.414) -- (5.686,11.494) -- (5.627,11.553) -- (5.547,11.574) -- (5.467,11.553) -- (5.409,11.494) -- (5.387,11.414) -- (5.409,11.334) -- (5.467,11.276) -- (5.547,11.254) -- (5.627,11.276) -- (5.686,11.334) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.834,10.937) -- (10.812,11.017) -- (10.754,11.076) -- (10.674,11.097) -- (10.594,11.076) -- (10.535,11.017) -- (10.514,10.937) -- (10.535,10.857) -- (10.594,10.799) -- (10.674,10.777) -- (10.754,10.799) -- (10.812,10.857) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.677,7.36) -- (6.656,7.44) -- (6.597,7.499) -- (6.517,7.52) -- (6.437,7.499) -- (6.379,7.44) -- (6.357,7.36) -- (6.379,7.28) -- (6.437,7.222) -- (6.517,7.2) -- (6.597,7.222) -- (6.656,7.28) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.659,5.532) -- (1.638,5.612) -- (1.579,5.671) -- (1.499,5.692) -- (1.419,5.671) -- (1.36,5.612) -- (1.339,5.532) -- (1.36,5.452) -- (1.419,5.394) -- (1.499,5.372) -- (1.579,5.394) -- (1.638,5.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.447,2.911) -- (1.425,2.991) -- (1.367,3.049) -- (1.287,3.071) -- (1.207,3.049) -- (1.148,2.991) -- (1.127,2.911) -- (1.148,2.831) -- (1.207,2.772) -- (1.287,2.751) -- (1.367,2.772) -- (1.425,2.831) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.263,1.694) -- (6.242,1.774) -- (6.183,1.832) -- (6.103,1.854) -- (6.023,1.832) -- (5.965,1.774) -- (5.943,1.694) -- (5.965,1.614) -- (6.023,1.555) -- (6.103,1.534) -- (6.183,1.555) -- (6.242,1.614) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.054,1.414) -- (10.032,1.494) -- (9.974,1.553) -- (9.894,1.574) -- (9.814,1.553) -- (9.755,1.494) -- (9.734,1.414) -- (9.755,1.334) -- (9.814,1.276) -- (9.894,1.254) -- (9.974,1.276) -- (10.032,1.334) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.461,11.283) -- (8.415,11.453) -- (8.291,11.577) -- (8.121,11.623) -- (7.951,11.577) -- (7.826,11.453) -- (7.781,11.283) -- (7.826,11.113) -- (7.951,10.989) -- (8.121,10.943) -- (8.291,10.989) -- (8.415,11.113) -- cycle;
\node at (8.121,11.283) {\scalebox{1.355}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.851,9.502) -- (6.805,9.672) -- (6.681,9.796) -- (6.511,9.842) -- (6.341,9.796) -- (6.216,9.672) -- (6.171,9.502) -- (6.216,9.332) -- (6.341,9.207) -- (6.511,9.162) -- (6.681,9.207) -- (6.805,9.332) -- cycle;
\node at (6.511,9.502) {\scalebox{1.355}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.997,9.078) -- (8.951,9.248) -- (8.827,9.372) -- (8.657,9.418) -- (8.487,9.372) -- (8.362,9.248) -- (8.317,9.078) -- (8.362,8.908) -- (8.487,8.783) -- (8.657,8.738) -- (8.827,8.783) -- (8.951,8.908) -- cycle;
\node at (8.657,9.078) {\scalebox{1.355}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.654,6.099) -- (10.608,6.269) -- (10.484,6.393) -- (10.314,6.439) -- (10.144,6.393) -- (10.019,6.269) -- (9.974,6.099) -- (10.019,5.929) -- (10.144,5.804) -- (10.314,5.759) -- (10.484,5.804) -- (10.608,5.929) -- cycle;
\node at (10.314,6.099) {\scalebox{1.355}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.382,6.353) -- (4.337,6.523) -- (4.212,6.647) -- (4.042,6.693) -- (3.872,6.647) -- (3.748,6.523) -- (3.702,6.353) -- (3.748,6.183) -- (3.872,6.058) -- (4.042,6.013) -- (4.212,6.058) -- (4.337,6.183) -- cycle;
\node at (4.042,6.353) {\scalebox{1.355}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.633,4.676) -- (4.587,4.846) -- (4.463,4.971) -- (4.293,5.016) -- (4.123,4.971) -- (3.998,4.846) -- (3.953,4.676) -- (3.998,4.506) -- (4.123,4.382) -- (4.293,4.336) -- (4.463,4.382) -- (4.587,4.506) -- cycle;
\node at (4.293,4.676) {\scalebox{1.355}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.736,4.521) -- (6.69,4.691) -- (6.566,4.815) -- (6.396,4.861) -- (6.226,4.815) -- (6.101,4.691) -- (6.056,4.521) -- (6.101,4.351) -- (6.226,4.226) -- (6.396,4.181) -- (6.566,4.226) -- (6.69,4.351) -- cycle;
\node at (6.396,4.521) {\scalebox{1.355}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.069,4.685) -- (9.023,4.855) -- (8.899,4.979) -- (8.729,5.025) -- (8.559,4.979) -- (8.434,4.855) -- (8.389,4.685) -- (8.434,4.515) -- (8.559,4.39) -- (8.729,4.345) -- (8.899,4.39) -- (9.023,4.515) -- cycle;
\node at (8.729,4.685) {\scalebox{1.355}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.944,4.204) -- (1.898,4.374) -- (1.774,4.499) -- (1.604,4.544) -- (1.434,4.499) -- (1.309,4.374) -- (1.264,4.204) -- (1.309,4.034) -- (1.434,3.91) -- (1.604,3.864) -- (1.774,3.91) -- (1.898,4.034) -- cycle;
\node at (1.604,4.204) {\scalebox{1.355}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.164,2.811) -- (4.118,2.981) -- (3.994,3.106) -- (3.824,3.151) -- (3.654,3.106) -- (3.529,2.981) -- (3.484,2.811) -- (3.529,2.641) -- (3.654,2.517) -- (3.824,2.471) -- (3.994,2.517) -- (4.118,2.641) -- cycle;
\node at (3.824,2.811) {\scalebox{1.355}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.35,1.717) -- (8.305,1.887) -- (8.18,2.011) -- (8.01,2.057) -- (7.84,2.011) -- (7.716,1.887) -- (7.67,1.717) -- (7.716,1.547) -- (7.84,1.422) -- (8.01,1.377) -- (8.18,1.422) -- (8.305,1.547) -- cycle;
\node at (8.01,1.717) {\scalebox{1.355}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.217,7.06) -- (6.817,7.06) -- (6.817,7.66) -- (6.217,7.66) -- cycle;
\node at (6.517,7.36) {\scalebox{1.355}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.662,4.12) -- (10.262,4.12) -- (10.262,4.72) -- (9.662,4.72) -- cycle;
\node at (9.962,4.42) {\scalebox{1.355}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.731,5.982) -- (3.331,5.982) -- (3.331,6.582) -- (2.731,6.582) -- cycle;
\node at (3.031,6.282) {\scalebox{1.355}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.67,10.33) -- (7.27,10.33) -- (7.27,10.93) -- (6.67,10.93) -- cycle;
\node at (6.97,10.63) {\scalebox{1.355}{\small d}};
\node at (5.504,12.033) {\scalebox{1.355}{\small A}};
\node at (11.098,11.389) {\scalebox{1.355}{\small B}};
\node at (6.747,7.936) {\scalebox{1.355}{\small C}};
\node at (0.881,5.482) {\scalebox{1.355}{\small D}};
\node at (0.765,2.576) {\scalebox{1.355}{\small E}};
\node at (6.129,1.074) {\scalebox{1.355}{\small F}};
\node at (10.304,0.95) {\scalebox{1.355}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.974,10.464) -- (11.974,11.564);
\draw[line width=0.5pt] (11.743,11.179) -- (11.974,11.564) -- (12.205,11.179);
\draw[line width=0.5pt] (11.671,11.014) -- (12.276,11.014);
\node at (11.974,11.949) {\scalebox{1.355}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Pont & ⑦ rue de la Poste & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑧ rue Neuve & Ⓑ Rond-point de la Gare & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ venelle du Chat & ⑨ rue du Stade & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ quai aux Fleurs & ⑩ chemin de Ronde & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ chemin Creux & ⑪ chemin du Lavoir & Ⓔ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑥ rue du Puits &  & Ⓕ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6601, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.547,11.414) -- (5.906,11.325) -- (6.266,11.243) -- (6.628,11.17) -- (6.992,11.106) -- (7.357,11.05) -- (7.723,11.003) -- (8.091,10.964) -- (8.459,10.934) -- (8.828,10.913) -- (9.197,10.9) -- (9.567,10.897) -- (9.936,10.901) -- (10.305,10.915) -- (10.674,10.937);
\draw[line width=0.5pt] (5.547,11.414) -- (5.661,11.138) -- (5.767,10.858) -- (5.867,10.577) -- (5.96,10.292) -- (6.047,10.006) -- (6.127,9.718) -- (6.2,9.427) -- (6.266,9.136) -- (6.325,8.842) -- (6.378,8.548) -- (6.423,8.252) -- (6.461,7.956) -- (6.493,7.658) -- (6.517,7.36);
\draw[line width=0.5pt] (10.674,10.937) -- (10.34,10.729) -- (10.011,10.513) -- (9.688,10.29) -- (9.369,10.058) -- (9.056,9.82) -- (8.749,9.573) -- (8.448,9.32) -- (8.153,9.06) -- (7.863,8.793) -- (7.581,8.519) -- (7.305,8.239) -- (7.035,7.952) -- (6.773,7.659) -- (6.517,7.36);
\draw[line width=0.5pt] (10.674,10.937) -- (10.678,10.592) -- (10.675,10.247) -- (10.663,9.902) -- (10.643,9.558) -- (10.615,9.213) -- (10.579,8.87) -- (10.535,8.527) -- (10.482,8.186) -- (10.422,7.846) -- (10.354,7.508) -- (10.278,7.171) -- (10.194,6.836) -- (10.102,6.503) -- (10.003,6.173) -- (9.943,5.837) -- (9.891,5.5) -- (9.847,5.161) -- (9.811,4.821) -- (9.783,4.481) -- (9.764,4.14) -- (9.752,3.798) -- (9.748,3.457) -- (9.752,3.115) -- (9.764,2.774) -- (9.785,2.433) -- (9.813,2.092) -- (9.849,1.753) -- (9.894,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (6.517,7.36) -- (6.142,7.286) -- (5.768,7.202) -- (5.396,7.11) -- (5.026,7.009) -- (4.659,6.899) -- (4.294,6.78) -- (3.933,6.653) -- (3.574,6.518) -- (3.219,6.374) -- (2.867,6.222) -- (2.519,6.062) -- (2.175,5.893) -- (1.835,5.717) -- (1.499,5.532);
\draw[line width=0.5pt] (6.517,7.36) -- (6.195,6.988) -- (5.864,6.623) -- (5.525,6.266) -- (5.177,5.917) -- (4.821,5.576) -- (4.457,5.244) -- (4.085,4.92) -- (3.706,4.605) -- (3.32,4.299) -- (2.926,4.002) -- (2.526,3.715) -- (2.119,3.437) -- (1.706,3.169) -- (1.287,2.911);
\draw[line width=0.5pt] (6.517,7.36) -- (6.426,6.963) -- (6.344,6.564) -- (6.272,6.163) -- (6.209,5.76) -- (6.155,5.356) -- (6.111,4.951) -- (6.077,4.544) -- (6.052,4.137) -- (6.036,3.73) -- (6.03,3.322) -- (6.034,2.914) -- (6.048,2.507) -- (6.071,2.1) -- (6.103,1.694);
\draw[line width=0.5pt] (6.517,7.36) -- (6.822,6.976) -- (7.117,6.584) -- (7.403,6.186) -- (7.679,5.78) -- (7.946,5.369) -- (8.203,4.951) -- (8.451,4.527) -- (8.688,4.097) -- (8.915,3.662) -- (9.132,3.222) -- (9.339,2.777) -- (9.534,2.327) -- (9.719,1.873) -- (9.894,1.414);
\draw[line width=0.5pt] (1.499,5.532) -- (1.455,5.349) -- (1.416,5.164) -- (1.381,4.979) -- (1.35,4.793) -- (1.324,4.606) -- (1.302,4.418) -- (1.285,4.23) -- (1.272,4.042) -- (1.263,3.853) -- (1.259,3.665) -- (1.259,3.476) -- (1.264,3.287) -- (1.273,3.099) -- (1.287,2.911);
\draw[line width=0.5pt] (1.287,2.911) -- (1.641,2.877) -- (1.995,2.835) -- (2.348,2.785) -- (2.7,2.726) -- (3.05,2.659) -- (3.398,2.584) -- (3.745,2.501) -- (4.09,2.41) -- (4.432,2.31) -- (4.772,2.203) -- (5.11,2.087) -- (5.444,1.964) -- (5.775,1.833) -- (6.103,1.694);
\draw[line width=0.5pt] (6.103,1.694) -- (6.369,1.633) -- (6.636,1.578) -- (6.904,1.529) -- (7.174,1.487) -- (7.444,1.451) -- (7.715,1.421) -- (7.987,1.398) -- (8.259,1.381) -- (8.532,1.37) -- (8.805,1.366) -- (9.077,1.369) -- (9.35,1.378) -- (9.622,1.393) -- (9.894,1.414);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.707,11.414) -- (5.686,11.494) -- (5.627,11.553) -- (5.547,11.574) -- (5.467,11.553) -- (5.409,11.494) -- (5.387,11.414) -- (5.409,11.334) -- (5.467,11.276) -- (5.547,11.254) -- (5.627,11.276) -- (5.686,11.334) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.834,10.937) -- (10.812,11.017) -- (10.754,11.076) -- (10.674,11.097) -- (10.594,11.076) -- (10.535,11.017) -- (10.514,10.937) -- (10.535,10.857) -- (10.594,10.799) -- (10.674,10.777) -- (10.754,10.799) -- (10.812,10.857) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.677,7.36) -- (6.656,7.44) -- (6.597,7.499) -- (6.517,7.52) -- (6.437,7.499) -- (6.379,7.44) -- (6.357,7.36) -- (6.379,7.28) -- (6.437,7.222) -- (6.517,7.2) -- (6.597,7.222) -- (6.656,7.28) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.659,5.532) -- (1.638,5.612) -- (1.579,5.671) -- (1.499,5.692) -- (1.419,5.671) -- (1.36,5.612) -- (1.339,5.532) -- (1.36,5.452) -- (1.419,5.394) -- (1.499,5.372) -- (1.579,5.394) -- (1.638,5.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.447,2.911) -- (1.425,2.991) -- (1.367,3.049) -- (1.287,3.071) -- (1.207,3.049) -- (1.148,2.991) -- (1.127,2.911) -- (1.148,2.831) -- (1.207,2.772) -- (1.287,2.751) -- (1.367,2.772) -- (1.425,2.831) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.263,1.694) -- (6.242,1.774) -- (6.183,1.832) -- (6.103,1.854) -- (6.023,1.832) -- (5.965,1.774) -- (5.943,1.694) -- (5.965,1.614) -- (6.023,1.555) -- (6.103,1.534) -- (6.183,1.555) -- (6.242,1.614) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.054,1.414) -- (10.032,1.494) -- (9.974,1.553) -- (9.894,1.574) -- (9.814,1.553) -- (9.755,1.494) -- (9.734,1.414) -- (9.755,1.334) -- (9.814,1.276) -- (9.894,1.254) -- (9.974,1.276) -- (10.032,1.334) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.461,11.283) -- (8.415,11.453) -- (8.291,11.577) -- (8.121,11.623) -- (7.951,11.577) -- (7.826,11.453) -- (7.781,11.283) -- (7.826,11.113) -- (7.951,10.989) -- (8.121,10.943) -- (8.291,10.989) -- (8.415,11.113) -- cycle;
\node at (8.121,11.283) {\scalebox{1.515}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.851,9.502) -- (6.805,9.672) -- (6.681,9.796) -- (6.511,9.842) -- (6.341,9.796) -- (6.216,9.672) -- (6.171,9.502) -- (6.216,9.332) -- (6.341,9.207) -- (6.511,9.162) -- (6.681,9.207) -- (6.805,9.332) -- cycle;
\node at (6.511,9.502) {\scalebox{1.515}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.997,9.078) -- (8.951,9.248) -- (8.827,9.372) -- (8.657,9.418) -- (8.487,9.372) -- (8.362,9.248) -- (8.317,9.078) -- (8.362,8.908) -- (8.487,8.783) -- (8.657,8.738) -- (8.827,8.783) -- (8.951,8.908) -- cycle;
\node at (8.657,9.078) {\scalebox{1.515}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.654,6.099) -- (10.608,6.269) -- (10.484,6.393) -- (10.314,6.439) -- (10.144,6.393) -- (10.019,6.269) -- (9.974,6.099) -- (10.019,5.929) -- (10.144,5.804) -- (10.314,5.759) -- (10.484,5.804) -- (10.608,5.929) -- cycle;
\node at (10.314,6.099) {\scalebox{1.515}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.382,6.353) -- (4.337,6.523) -- (4.212,6.647) -- (4.042,6.693) -- (3.872,6.647) -- (3.748,6.523) -- (3.702,6.353) -- (3.748,6.183) -- (3.872,6.058) -- (4.042,6.013) -- (4.212,6.058) -- (4.337,6.183) -- cycle;
\node at (4.042,6.353) {\scalebox{1.515}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.633,4.676) -- (4.587,4.846) -- (4.463,4.971) -- (4.293,5.016) -- (4.123,4.971) -- (3.998,4.846) -- (3.953,4.676) -- (3.998,4.506) -- (4.123,4.382) -- (4.293,4.336) -- (4.463,4.382) -- (4.587,4.506) -- cycle;
\node at (4.293,4.676) {\scalebox{1.515}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.736,4.521) -- (6.69,4.691) -- (6.566,4.815) -- (6.396,4.861) -- (6.226,4.815) -- (6.101,4.691) -- (6.056,4.521) -- (6.101,4.351) -- (6.226,4.226) -- (6.396,4.181) -- (6.566,4.226) -- (6.69,4.351) -- cycle;
\node at (6.396,4.521) {\scalebox{1.515}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.069,4.685) -- (9.023,4.855) -- (8.899,4.979) -- (8.729,5.025) -- (8.559,4.979) -- (8.434,4.855) -- (8.389,4.685) -- (8.434,4.515) -- (8.559,4.39) -- (8.729,4.345) -- (8.899,4.39) -- (9.023,4.515) -- cycle;
\node at (8.729,4.685) {\scalebox{1.515}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.944,4.204) -- (1.898,4.374) -- (1.774,4.499) -- (1.604,4.544) -- (1.434,4.499) -- (1.309,4.374) -- (1.264,4.204) -- (1.309,4.034) -- (1.434,3.91) -- (1.604,3.864) -- (1.774,3.91) -- (1.898,4.034) -- cycle;
\node at (1.604,4.204) {\scalebox{1.515}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.164,2.811) -- (4.118,2.981) -- (3.994,3.106) -- (3.824,3.151) -- (3.654,3.106) -- (3.529,2.981) -- (3.484,2.811) -- (3.529,2.641) -- (3.654,2.517) -- (3.824,2.471) -- (3.994,2.517) -- (4.118,2.641) -- cycle;
\node at (3.824,2.811) {\scalebox{1.515}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.35,1.717) -- (8.305,1.887) -- (8.18,2.011) -- (8.01,2.057) -- (7.84,2.011) -- (7.716,1.887) -- (7.67,1.717) -- (7.716,1.547) -- (7.84,1.422) -- (8.01,1.377) -- (8.18,1.422) -- (8.305,1.547) -- cycle;
\node at (8.01,1.717) {\scalebox{1.515}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.217,7.06) -- (6.817,7.06) -- (6.817,7.66) -- (6.217,7.66) -- cycle;
\node at (6.517,7.36) {\scalebox{1.515}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.662,4.12) -- (10.262,4.12) -- (10.262,4.72) -- (9.662,4.72) -- cycle;
\node at (9.962,4.42) {\scalebox{1.515}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.731,5.982) -- (3.331,5.982) -- (3.331,6.582) -- (2.731,6.582) -- cycle;
\node at (3.031,6.282) {\scalebox{1.515}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.67,10.33) -- (7.27,10.33) -- (7.27,10.93) -- (6.67,10.93) -- cycle;
\node at (6.97,10.63) {\scalebox{1.515}{\small d}};
\node at (5.504,12.033) {\scalebox{1.515}{\small A}};
\node at (11.098,11.389) {\scalebox{1.515}{\small B}};
\node at (6.747,7.936) {\scalebox{1.515}{\small C}};
\node at (0.881,5.482) {\scalebox{1.515}{\small D}};
\node at (0.765,2.576) {\scalebox{1.515}{\small E}};
\node at (6.129,1.074) {\scalebox{1.515}{\small F}};
\node at (10.304,0.95) {\scalebox{1.515}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.974,10.464) -- (11.974,11.564);
\draw[line width=0.5pt] (11.743,11.179) -- (11.974,11.564) -- (12.205,11.179);
\draw[line width=0.5pt] (11.671,11.014) -- (12.276,11.014);
\node at (11.974,11.949) {\scalebox{1.515}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 6 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
