\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 285}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=285}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0285}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7031, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.433,8.312) -- (8.107,8.299) -- (7.781,8.279) -- (7.456,8.251) -- (7.131,8.215) -- (6.808,8.172) -- (6.485,8.121) -- (6.164,8.062) -- (5.844,7.996) -- (5.525,7.923) -- (5.209,7.842) -- (4.895,7.753) -- (4.583,7.657) -- (4.273,7.554) -- (3.966,7.444);
\draw[line width=0.5pt] (8.433,8.312) -- (8.675,8.096) -- (8.912,7.875) -- (9.143,7.647) -- (9.37,7.415) -- (9.59,7.177) -- (9.806,6.934) -- (10.015,6.686) -- (10.219,6.433) -- (10.416,6.175) -- (10.607,5.913) -- (10.793,5.646) -- (10.971,5.376) -- (11.144,5.101) -- (11.309,4.822);
\draw[line width=0.5pt] (8.433,8.312) -- (8.144,8.056) -- (7.861,7.793) -- (7.584,7.523) -- (7.314,7.246) -- (7.05,6.964) -- (6.793,6.675) -- (6.542,6.38) -- (6.299,6.079) -- (6.063,5.773) -- (5.834,5.461) -- (5.612,5.145) -- (5.399,4.823) -- (5.192,4.496) -- (4.994,4.164);
\draw[line width=0.5pt] (8.433,8.312) -- (8.387,8.003) -- (8.333,7.694) -- (8.272,7.388) -- (8.204,7.082) -- (8.128,6.778) -- (8.046,6.476) -- (7.956,6.176) -- (7.86,5.878) -- (7.756,5.583) -- (7.646,5.29) -- (7.529,5.0) -- (7.405,4.712) -- (7.274,4.428) -- (7.136,4.147) -- (7.131,3.996) -- (7.13,3.846) -- (7.132,3.695) -- (7.138,3.544) -- (7.147,3.393) -- (7.16,3.242) -- (7.176,3.092) -- (7.196,2.942) -- (7.219,2.793) -- (7.246,2.644) -- (7.276,2.496) -- (7.31,2.349) -- (7.347,2.203) -- (7.388,2.057);
\draw[line width=0.5pt] (3.966,7.444) -- (4.003,7.2) -- (4.046,6.957) -- (4.094,6.716) -- (4.148,6.475) -- (4.208,6.236) -- (4.274,5.998) -- (4.345,5.762) -- (4.421,5.527) -- (4.503,5.294) -- (4.591,5.064) -- (4.684,4.835) -- (4.782,4.609) -- (4.885,4.385) -- (4.994,4.164);
\draw[line width=0.5pt] (11.309,4.822) -- (11.342,4.575) -- (11.369,4.327) -- (11.391,4.079) -- (11.406,3.83) -- (11.416,3.581) -- (11.419,3.331) -- (11.417,3.082) -- (11.409,2.832) -- (11.395,2.583) -- (11.376,2.334) -- (11.35,2.086) -- (11.319,1.839) -- (11.281,1.592) -- (11.238,1.347);
\draw[line width=0.5pt] (1.402,4.44) -- (1.653,4.381) -- (1.906,4.329) -- (2.16,4.282) -- (2.416,4.241) -- (2.672,4.206) -- (2.929,4.177) -- (3.187,4.154) -- (3.445,4.137) -- (3.703,4.127) -- (3.962,4.122) -- (4.22,4.123) -- (4.478,4.131) -- (4.737,4.144) -- (4.994,4.164);
\draw[line width=0.5pt] (1.402,4.44) -- (1.427,4.236) -- (1.447,4.031) -- (1.462,3.826) -- (1.472,3.62) -- (1.477,3.414) -- (1.478,3.208) -- (1.474,3.002) -- (1.465,2.796) -- (1.451,2.59) -- (1.432,2.385) -- (1.409,2.18) -- (1.38,1.976) -- (1.347,1.773) -- (1.309,1.571);
\draw[line width=0.5pt] (4.994,4.164) -- (5.141,3.989) -- (5.291,3.817) -- (5.446,3.648) -- (5.605,3.483) -- (5.768,3.322) -- (5.934,3.165) -- (6.104,3.012) -- (6.278,2.863) -- (6.455,2.718) -- (6.635,2.577) -- (6.819,2.44) -- (7.005,2.308) -- (7.195,2.18) -- (7.388,2.057);
\draw[line width=0.5pt] (7.388,2.057) -- (7.221,1.974) -- (7.052,1.895) -- (6.881,1.82) -- (6.708,1.749) -- (6.534,1.682) -- (6.358,1.62) -- (6.181,1.561) -- (6.002,1.507) -- (5.822,1.456) -- (5.641,1.41) -- (5.46,1.368) -- (5.277,1.331) -- (5.093,1.298) -- (4.909,1.269) -- (4.657,1.33) -- (4.404,1.385) -- (4.149,1.434) -- (3.894,1.476) -- (3.637,1.513) -- (3.38,1.544) -- (3.121,1.568) -- (2.863,1.587) -- (2.604,1.6) -- (2.345,1.606) -- (2.086,1.607) -- (1.826,1.601) -- (1.568,1.589) -- (1.309,1.571);
\draw[line width=0.5pt] (7.388,2.057) -- (7.653,1.965) -- (7.92,1.879) -- (8.189,1.799) -- (8.461,1.725) -- (8.734,1.658) -- (9.008,1.598) -- (9.284,1.543) -- (9.561,1.496) -- (9.839,1.454) -- (10.118,1.42) -- (10.397,1.392) -- (10.677,1.37) -- (10.958,1.355) -- (11.238,1.347);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.593,8.312) -- (8.571,8.392) -- (8.513,8.451) -- (8.433,8.472) -- (8.353,8.451) -- (8.294,8.392) -- (8.273,8.312) -- (8.294,8.232) -- (8.353,8.173) -- (8.433,8.152) -- (8.513,8.173) -- (8.571,8.232) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.126,7.444) -- (4.105,7.524) -- (4.046,7.582) -- (3.966,7.604) -- (3.886,7.582) -- (3.827,7.524) -- (3.806,7.444) -- (3.827,7.364) -- (3.886,7.305) -- (3.966,7.284) -- (4.046,7.305) -- (4.105,7.364) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.469,4.822) -- (11.448,4.902) -- (11.389,4.961) -- (11.309,4.982) -- (11.229,4.961) -- (11.171,4.902) -- (11.149,4.822) -- (11.171,4.742) -- (11.229,4.683) -- (11.309,4.662) -- (11.389,4.683) -- (11.448,4.742) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.562,4.44) -- (1.54,4.52) -- (1.482,4.579) -- (1.402,4.6) -- (1.322,4.579) -- (1.263,4.52) -- (1.242,4.44) -- (1.263,4.36) -- (1.322,4.302) -- (1.402,4.28) -- (1.482,4.302) -- (1.54,4.36) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.154,4.164) -- (5.133,4.244) -- (5.074,4.303) -- (4.994,4.324) -- (4.914,4.303) -- (4.856,4.244) -- (4.834,4.164) -- (4.856,4.084) -- (4.914,4.026) -- (4.994,4.004) -- (5.074,4.026) -- (5.133,4.084) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.548,2.057) -- (7.526,2.137) -- (7.468,2.196) -- (7.388,2.217) -- (7.308,2.196) -- (7.249,2.137) -- (7.228,2.057) -- (7.249,1.977) -- (7.308,1.919) -- (7.388,1.897) -- (7.468,1.919) -- (7.526,1.977) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.469,1.571) -- (1.448,1.651) -- (1.389,1.709) -- (1.309,1.731) -- (1.229,1.709) -- (1.171,1.651) -- (1.149,1.571) -- (1.171,1.491) -- (1.229,1.432) -- (1.309,1.411) -- (1.389,1.432) -- (1.448,1.491) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.398,1.347) -- (11.377,1.427) -- (11.318,1.486) -- (11.238,1.507) -- (11.158,1.486) -- (11.1,1.427) -- (11.078,1.347) -- (11.1,1.267) -- (11.158,1.208) -- (11.238,1.187) -- (11.318,1.208) -- (11.377,1.267) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.565,7.748) -- (6.519,7.918) -- (6.395,8.042) -- (6.225,8.088) -- (6.055,8.042) -- (5.93,7.918) -- (5.885,7.748) -- (5.93,7.578) -- (6.055,7.454) -- (6.225,7.408) -- (6.395,7.454) -- (6.519,7.578) -- cycle;
\node at (6.225,7.748) {\scalebox{1.422}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.602,6.889) -- (10.556,7.059) -- (10.432,7.184) -- (10.262,7.229) -- (10.092,7.184) -- (9.968,7.059) -- (9.922,6.889) -- (9.968,6.719) -- (10.092,6.595) -- (10.262,6.549) -- (10.432,6.595) -- (10.556,6.719) -- cycle;
\node at (10.262,6.889) {\scalebox{1.422}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.129,6.176) -- (7.083,6.346) -- (6.959,6.47) -- (6.789,6.516) -- (6.619,6.47) -- (6.494,6.346) -- (6.449,6.176) -- (6.494,6.006) -- (6.619,5.881) -- (6.789,5.836) -- (6.959,5.881) -- (7.083,6.006) -- cycle;
\node at (6.789,6.176) {\scalebox{1.422}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.78,4.047) -- (7.735,4.217) -- (7.61,4.341) -- (7.44,4.387) -- (7.27,4.341) -- (7.146,4.217) -- (7.1,4.047) -- (7.146,3.877) -- (7.27,3.753) -- (7.44,3.707) -- (7.61,3.753) -- (7.735,3.877) -- cycle;
\node at (7.44,4.047) {\scalebox{1.422}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.99,5.857) -- (4.945,6.027) -- (4.82,6.152) -- (4.65,6.197) -- (4.48,6.152) -- (4.356,6.027) -- (4.31,5.857) -- (4.356,5.687) -- (4.48,5.563) -- (4.65,5.517) -- (4.82,5.563) -- (4.945,5.687) -- cycle;
\node at (4.65,5.857) {\scalebox{1.422}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.077,3.075) -- (12.032,3.245) -- (11.907,3.37) -- (11.737,3.415) -- (11.567,3.37) -- (11.443,3.245) -- (11.397,3.075) -- (11.443,2.905) -- (11.567,2.781) -- (11.737,2.735) -- (11.907,2.781) -- (12.032,2.905) -- cycle;
\node at (11.737,3.075) {\scalebox{1.422}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.551,4.473) -- (3.506,4.643) -- (3.381,4.768) -- (3.211,4.813) -- (3.041,4.768) -- (2.917,4.643) -- (2.871,4.473) -- (2.917,4.303) -- (3.041,4.179) -- (3.211,4.133) -- (3.381,4.179) -- (3.506,4.303) -- cycle;
\node at (3.211,4.473) {\scalebox{1.422}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.134,2.991) -- (2.088,3.161) -- (1.964,3.286) -- (1.794,3.331) -- (1.624,3.286) -- (1.499,3.161) -- (1.454,2.991) -- (1.499,2.821) -- (1.624,2.697) -- (1.794,2.651) -- (1.964,2.697) -- (2.088,2.821) -- cycle;
\node at (1.794,2.991) {\scalebox{1.422}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.655,3.252) -- (6.61,3.422) -- (6.485,3.547) -- (6.315,3.592) -- (6.145,3.547) -- (6.021,3.422) -- (5.975,3.252) -- (6.021,3.082) -- (6.145,2.958) -- (6.315,2.912) -- (6.485,2.958) -- (6.61,3.082) -- cycle;
\node at (6.315,3.252) {\scalebox{1.422}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.225,0.95) -- (5.18,1.12) -- (5.055,1.244) -- (4.885,1.29) -- (4.715,1.244) -- (4.591,1.12) -- (4.545,0.95) -- (4.591,0.78) -- (4.715,0.656) -- (4.885,0.61) -- (5.055,0.656) -- (5.18,0.78) -- cycle;
\node at (4.885,0.95) {\scalebox{1.422}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.682,1.858) -- (9.636,2.028) -- (9.512,2.153) -- (9.342,2.198) -- (9.172,2.153) -- (9.047,2.028) -- (9.002,1.858) -- (9.047,1.688) -- (9.172,1.564) -- (9.342,1.518) -- (9.512,1.564) -- (9.636,1.688) -- cycle;
\node at (9.342,1.858) {\scalebox{1.422}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.694,3.864) -- (5.294,3.864) -- (5.294,4.464) -- (4.694,4.464) -- cycle;
\node at (4.994,4.164) {\scalebox{1.422}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.057,7.342) -- (11.657,7.342) -- (11.657,7.942) -- (11.057,7.942) -- cycle;
\node at (11.357,7.642) {\scalebox{1.422}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.985,1.154) -- (10.585,1.154) -- (10.585,1.754) -- (9.985,1.754) -- cycle;
\node at (10.285,1.454) {\scalebox{1.422}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.435,3.449) -- (9.035,3.449) -- (9.035,4.049) -- (8.435,4.049) -- cycle;
\node at (8.735,3.749) {\scalebox{1.422}{\small d}};
\node at (8.727,8.858) {\scalebox{1.422}{\small A}};
\node at (3.603,7.947) {\scalebox{1.422}{\small B}};
\node at (11.926,4.889) {\scalebox{1.422}{\small C}};
\node at (0.782,4.462) {\scalebox{1.422}{\small D}};
\node at (4.376,4.112) {\scalebox{1.422}{\small E}};
\node at (7.67,1.506) {\scalebox{1.422}{\small F}};
\node at (0.765,1.274) {\scalebox{1.422}{\small G}};
\node at (11.773,1.033) {\scalebox{1.422}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.609,7.362) -- (12.609,8.462);
\draw[line width=0.5pt] (12.378,8.077) -- (12.609,8.462) -- (12.84,8.077);
\draw[line width=0.5pt] (12.307,7.912) -- (12.912,7.912);
\node at (12.609,8.847) {\scalebox{1.422}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Basse & ⑦ rue des Jardins & Ⓐ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Puits & ⑧ rue Haute & Ⓑ Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑨ rue du Four & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ chemin Creux & ⑩ rue Verte & Ⓓ Coin du Lavoir & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ rue de la Mairie & ⑪ rue de la Poste & Ⓔ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑥ sentier des Prés &  & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6291, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.433,8.312) -- (8.107,8.299) -- (7.781,8.279) -- (7.456,8.251) -- (7.131,8.215) -- (6.808,8.172) -- (6.485,8.121) -- (6.164,8.062) -- (5.844,7.996) -- (5.525,7.923) -- (5.209,7.842) -- (4.895,7.753) -- (4.583,7.657) -- (4.273,7.554) -- (3.966,7.444);
\draw[line width=0.5pt] (8.433,8.312) -- (8.675,8.096) -- (8.912,7.875) -- (9.143,7.647) -- (9.37,7.415) -- (9.59,7.177) -- (9.806,6.934) -- (10.015,6.686) -- (10.219,6.433) -- (10.416,6.175) -- (10.607,5.913) -- (10.793,5.646) -- (10.971,5.376) -- (11.144,5.101) -- (11.309,4.822);
\draw[line width=0.5pt] (8.433,8.312) -- (8.144,8.056) -- (7.861,7.793) -- (7.584,7.523) -- (7.314,7.246) -- (7.05,6.964) -- (6.793,6.675) -- (6.542,6.38) -- (6.299,6.079) -- (6.063,5.773) -- (5.834,5.461) -- (5.612,5.145) -- (5.399,4.823) -- (5.192,4.496) -- (4.994,4.164);
\draw[line width=0.5pt] (8.433,8.312) -- (8.387,8.003) -- (8.333,7.694) -- (8.272,7.388) -- (8.204,7.082) -- (8.128,6.778) -- (8.046,6.476) -- (7.956,6.176) -- (7.86,5.878) -- (7.756,5.583) -- (7.646,5.29) -- (7.529,5.0) -- (7.405,4.712) -- (7.274,4.428) -- (7.136,4.147) -- (7.131,3.996) -- (7.13,3.846) -- (7.132,3.695) -- (7.138,3.544) -- (7.147,3.393) -- (7.16,3.242) -- (7.176,3.092) -- (7.196,2.942) -- (7.219,2.793) -- (7.246,2.644) -- (7.276,2.496) -- (7.31,2.349) -- (7.347,2.203) -- (7.388,2.057);
\draw[line width=0.5pt] (3.966,7.444) -- (4.003,7.2) -- (4.046,6.957) -- (4.094,6.716) -- (4.148,6.475) -- (4.208,6.236) -- (4.274,5.998) -- (4.345,5.762) -- (4.421,5.527) -- (4.503,5.294) -- (4.591,5.064) -- (4.684,4.835) -- (4.782,4.609) -- (4.885,4.385) -- (4.994,4.164);
\draw[line width=0.5pt] (11.309,4.822) -- (11.342,4.575) -- (11.369,4.327) -- (11.391,4.079) -- (11.406,3.83) -- (11.416,3.581) -- (11.419,3.331) -- (11.417,3.082) -- (11.409,2.832) -- (11.395,2.583) -- (11.376,2.334) -- (11.35,2.086) -- (11.319,1.839) -- (11.281,1.592) -- (11.238,1.347);
\draw[line width=0.5pt] (1.402,4.44) -- (1.653,4.381) -- (1.906,4.329) -- (2.16,4.282) -- (2.416,4.241) -- (2.672,4.206) -- (2.929,4.177) -- (3.187,4.154) -- (3.445,4.137) -- (3.703,4.127) -- (3.962,4.122) -- (4.22,4.123) -- (4.478,4.131) -- (4.737,4.144) -- (4.994,4.164);
\draw[line width=0.5pt] (1.402,4.44) -- (1.427,4.236) -- (1.447,4.031) -- (1.462,3.826) -- (1.472,3.62) -- (1.477,3.414) -- (1.478,3.208) -- (1.474,3.002) -- (1.465,2.796) -- (1.451,2.59) -- (1.432,2.385) -- (1.409,2.18) -- (1.38,1.976) -- (1.347,1.773) -- (1.309,1.571);
\draw[line width=0.5pt] (4.994,4.164) -- (5.141,3.989) -- (5.291,3.817) -- (5.446,3.648) -- (5.605,3.483) -- (5.768,3.322) -- (5.934,3.165) -- (6.104,3.012) -- (6.278,2.863) -- (6.455,2.718) -- (6.635,2.577) -- (6.819,2.44) -- (7.005,2.308) -- (7.195,2.18) -- (7.388,2.057);
\draw[line width=0.5pt] (7.388,2.057) -- (7.221,1.974) -- (7.052,1.895) -- (6.881,1.82) -- (6.708,1.749) -- (6.534,1.682) -- (6.358,1.62) -- (6.181,1.561) -- (6.002,1.507) -- (5.822,1.456) -- (5.641,1.41) -- (5.46,1.368) -- (5.277,1.331) -- (5.093,1.298) -- (4.909,1.269) -- (4.657,1.33) -- (4.404,1.385) -- (4.149,1.434) -- (3.894,1.476) -- (3.637,1.513) -- (3.38,1.544) -- (3.121,1.568) -- (2.863,1.587) -- (2.604,1.6) -- (2.345,1.606) -- (2.086,1.607) -- (1.826,1.601) -- (1.568,1.589) -- (1.309,1.571);
\draw[line width=0.5pt] (7.388,2.057) -- (7.653,1.965) -- (7.92,1.879) -- (8.189,1.799) -- (8.461,1.725) -- (8.734,1.658) -- (9.008,1.598) -- (9.284,1.543) -- (9.561,1.496) -- (9.839,1.454) -- (10.118,1.42) -- (10.397,1.392) -- (10.677,1.37) -- (10.958,1.355) -- (11.238,1.347);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.593,8.312) -- (8.571,8.392) -- (8.513,8.451) -- (8.433,8.472) -- (8.353,8.451) -- (8.294,8.392) -- (8.273,8.312) -- (8.294,8.232) -- (8.353,8.173) -- (8.433,8.152) -- (8.513,8.173) -- (8.571,8.232) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.126,7.444) -- (4.105,7.524) -- (4.046,7.582) -- (3.966,7.604) -- (3.886,7.582) -- (3.827,7.524) -- (3.806,7.444) -- (3.827,7.364) -- (3.886,7.305) -- (3.966,7.284) -- (4.046,7.305) -- (4.105,7.364) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.469,4.822) -- (11.448,4.902) -- (11.389,4.961) -- (11.309,4.982) -- (11.229,4.961) -- (11.171,4.902) -- (11.149,4.822) -- (11.171,4.742) -- (11.229,4.683) -- (11.309,4.662) -- (11.389,4.683) -- (11.448,4.742) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.562,4.44) -- (1.54,4.52) -- (1.482,4.579) -- (1.402,4.6) -- (1.322,4.579) -- (1.263,4.52) -- (1.242,4.44) -- (1.263,4.36) -- (1.322,4.302) -- (1.402,4.28) -- (1.482,4.302) -- (1.54,4.36) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.154,4.164) -- (5.133,4.244) -- (5.074,4.303) -- (4.994,4.324) -- (4.914,4.303) -- (4.856,4.244) -- (4.834,4.164) -- (4.856,4.084) -- (4.914,4.026) -- (4.994,4.004) -- (5.074,4.026) -- (5.133,4.084) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.548,2.057) -- (7.526,2.137) -- (7.468,2.196) -- (7.388,2.217) -- (7.308,2.196) -- (7.249,2.137) -- (7.228,2.057) -- (7.249,1.977) -- (7.308,1.919) -- (7.388,1.897) -- (7.468,1.919) -- (7.526,1.977) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.469,1.571) -- (1.448,1.651) -- (1.389,1.709) -- (1.309,1.731) -- (1.229,1.709) -- (1.171,1.651) -- (1.149,1.571) -- (1.171,1.491) -- (1.229,1.432) -- (1.309,1.411) -- (1.389,1.432) -- (1.448,1.491) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.398,1.347) -- (11.377,1.427) -- (11.318,1.486) -- (11.238,1.507) -- (11.158,1.486) -- (11.1,1.427) -- (11.078,1.347) -- (11.1,1.267) -- (11.158,1.208) -- (11.238,1.187) -- (11.318,1.208) -- (11.377,1.267) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.565,7.748) -- (6.519,7.918) -- (6.395,8.042) -- (6.225,8.088) -- (6.055,8.042) -- (5.93,7.918) -- (5.885,7.748) -- (5.93,7.578) -- (6.055,7.454) -- (6.225,7.408) -- (6.395,7.454) -- (6.519,7.578) -- cycle;
\node at (6.225,7.748) {\scalebox{1.59}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.602,6.889) -- (10.556,7.059) -- (10.432,7.184) -- (10.262,7.229) -- (10.092,7.184) -- (9.968,7.059) -- (9.922,6.889) -- (9.968,6.719) -- (10.092,6.595) -- (10.262,6.549) -- (10.432,6.595) -- (10.556,6.719) -- cycle;
\node at (10.262,6.889) {\scalebox{1.59}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.129,6.176) -- (7.083,6.346) -- (6.959,6.47) -- (6.789,6.516) -- (6.619,6.47) -- (6.494,6.346) -- (6.449,6.176) -- (6.494,6.006) -- (6.619,5.881) -- (6.789,5.836) -- (6.959,5.881) -- (7.083,6.006) -- cycle;
\node at (6.789,6.176) {\scalebox{1.59}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.78,4.047) -- (7.735,4.217) -- (7.61,4.341) -- (7.44,4.387) -- (7.27,4.341) -- (7.146,4.217) -- (7.1,4.047) -- (7.146,3.877) -- (7.27,3.753) -- (7.44,3.707) -- (7.61,3.753) -- (7.735,3.877) -- cycle;
\node at (7.44,4.047) {\scalebox{1.59}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.99,5.857) -- (4.945,6.027) -- (4.82,6.152) -- (4.65,6.197) -- (4.48,6.152) -- (4.356,6.027) -- (4.31,5.857) -- (4.356,5.687) -- (4.48,5.563) -- (4.65,5.517) -- (4.82,5.563) -- (4.945,5.687) -- cycle;
\node at (4.65,5.857) {\scalebox{1.59}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.077,3.075) -- (12.032,3.245) -- (11.907,3.37) -- (11.737,3.415) -- (11.567,3.37) -- (11.443,3.245) -- (11.397,3.075) -- (11.443,2.905) -- (11.567,2.781) -- (11.737,2.735) -- (11.907,2.781) -- (12.032,2.905) -- cycle;
\node at (11.737,3.075) {\scalebox{1.59}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.551,4.473) -- (3.506,4.643) -- (3.381,4.768) -- (3.211,4.813) -- (3.041,4.768) -- (2.917,4.643) -- (2.871,4.473) -- (2.917,4.303) -- (3.041,4.179) -- (3.211,4.133) -- (3.381,4.179) -- (3.506,4.303) -- cycle;
\node at (3.211,4.473) {\scalebox{1.59}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.134,2.991) -- (2.088,3.161) -- (1.964,3.286) -- (1.794,3.331) -- (1.624,3.286) -- (1.499,3.161) -- (1.454,2.991) -- (1.499,2.821) -- (1.624,2.697) -- (1.794,2.651) -- (1.964,2.697) -- (2.088,2.821) -- cycle;
\node at (1.794,2.991) {\scalebox{1.59}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.655,3.252) -- (6.61,3.422) -- (6.485,3.547) -- (6.315,3.592) -- (6.145,3.547) -- (6.021,3.422) -- (5.975,3.252) -- (6.021,3.082) -- (6.145,2.958) -- (6.315,2.912) -- (6.485,2.958) -- (6.61,3.082) -- cycle;
\node at (6.315,3.252) {\scalebox{1.59}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.225,0.95) -- (5.18,1.12) -- (5.055,1.244) -- (4.885,1.29) -- (4.715,1.244) -- (4.591,1.12) -- (4.545,0.95) -- (4.591,0.78) -- (4.715,0.656) -- (4.885,0.61) -- (5.055,0.656) -- (5.18,0.78) -- cycle;
\node at (4.885,0.95) {\scalebox{1.59}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.682,1.858) -- (9.636,2.028) -- (9.512,2.153) -- (9.342,2.198) -- (9.172,2.153) -- (9.047,2.028) -- (9.002,1.858) -- (9.047,1.688) -- (9.172,1.564) -- (9.342,1.518) -- (9.512,1.564) -- (9.636,1.688) -- cycle;
\node at (9.342,1.858) {\scalebox{1.59}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.694,3.864) -- (5.294,3.864) -- (5.294,4.464) -- (4.694,4.464) -- cycle;
\node at (4.994,4.164) {\scalebox{1.59}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.057,7.342) -- (11.657,7.342) -- (11.657,7.942) -- (11.057,7.942) -- cycle;
\node at (11.357,7.642) {\scalebox{1.59}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.985,1.154) -- (10.585,1.154) -- (10.585,1.754) -- (9.985,1.754) -- cycle;
\node at (10.285,1.454) {\scalebox{1.59}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.435,3.449) -- (9.035,3.449) -- (9.035,4.049) -- (8.435,4.049) -- cycle;
\node at (8.735,3.749) {\scalebox{1.59}{\small d}};
\node at (8.727,8.858) {\scalebox{1.59}{\small A}};
\node at (3.603,7.947) {\scalebox{1.59}{\small B}};
\node at (11.926,4.889) {\scalebox{1.59}{\small C}};
\node at (0.782,4.462) {\scalebox{1.59}{\small D}};
\node at (4.376,4.112) {\scalebox{1.59}{\small E}};
\node at (7.67,1.506) {\scalebox{1.59}{\small F}};
\node at (0.765,1.274) {\scalebox{1.59}{\small G}};
\node at (11.773,1.033) {\scalebox{1.59}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.609,7.362) -- (12.609,8.462);
\draw[line width=0.5pt] (12.378,8.077) -- (12.609,8.462) -- (12.84,8.077);
\draw[line width=0.5pt] (12.307,7.912) -- (12.912,7.912);
\node at (12.609,8.847) {\scalebox{1.59}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}, prend la \textbf{rue des Écoles ③} vers le nord-est et atteint Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ①}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑧}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑩}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ④}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ②}, vers le sud-est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Four ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
