\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 286}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=286}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0286}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7014, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.27,7.961) -- (7.5,7.912) -- (7.731,7.868) -- (7.964,7.829) -- (8.197,7.796) -- (8.431,7.768) -- (8.666,7.746) -- (8.901,7.73) -- (9.137,7.719) -- (9.373,7.713) -- (9.608,7.713) -- (9.844,7.719) -- (10.079,7.73) -- (10.314,7.747) -- (10.549,7.769);
\draw[line width=0.5pt] (7.27,7.961) -- (7.102,7.702) -- (6.927,7.447) -- (6.747,7.195) -- (6.561,6.948) -- (6.369,6.706) -- (6.171,6.468) -- (5.968,6.235) -- (5.759,6.006) -- (5.545,5.783) -- (5.326,5.564) -- (5.102,5.351) -- (4.873,5.143) -- (4.639,4.941) -- (4.401,4.744);
\draw[line width=0.5pt] (7.27,7.961) -- (7.292,7.71) -- (7.321,7.459) -- (7.355,7.209) -- (7.396,6.96) -- (7.442,6.712) -- (7.494,6.465) -- (7.552,6.219) -- (7.616,5.974) -- (7.685,5.732) -- (7.76,5.49) -- (7.841,5.251) -- (7.927,5.014) -- (8.019,4.779) -- (8.116,4.546);
\draw[line width=0.5pt] (7.27,7.961) -- (7.524,7.72) -- (7.773,7.473) -- (8.016,7.219) -- (8.252,6.96) -- (8.483,6.696) -- (8.708,6.426) -- (8.926,6.151) -- (9.137,5.871) -- (9.342,5.586) -- (9.54,5.296) -- (9.732,5.002) -- (9.916,4.703) -- (10.093,4.4) -- (10.263,4.094);
\draw[line width=0.5pt] (10.549,7.769) -- (10.488,7.511) -- (10.434,7.253) -- (10.386,6.993) -- (10.344,6.732) -- (10.308,6.469) -- (10.278,6.207) -- (10.254,5.943) -- (10.237,5.679) -- (10.225,5.415) -- (10.22,5.15) -- (10.222,4.885) -- (10.229,4.621) -- (10.243,4.357) -- (10.263,4.094);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,4.744) -- (4.666,4.771) -- (4.932,4.791) -- (5.199,4.805) -- (5.466,4.813) -- (5.733,4.815) -- (6.0,4.81) -- (6.267,4.799) -- (6.533,4.781) -- (6.799,4.758) -- (7.065,4.728) -- (7.329,4.692) -- (7.593,4.649) -- (7.855,4.601) -- (8.116,4.546);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,4.744) -- (4.152,4.568) -- (3.907,4.386) -- (3.666,4.198) -- (3.43,4.004) -- (3.199,3.805) -- (2.972,3.601) -- (2.75,3.391) -- (2.533,3.176) -- (2.321,2.956) -- (2.114,2.731) -- (1.913,2.501) -- (1.717,2.267) -- (1.527,2.028) -- (1.343,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,4.744) -- (4.694,4.559) -- (4.983,4.367) -- (5.267,4.167) -- (5.547,3.961) -- (5.822,3.749) -- (6.091,3.53) -- (6.356,3.305) -- (6.615,3.073) -- (6.869,2.836) -- (7.116,2.593) -- (7.359,2.344) -- (7.595,2.089) -- (7.825,1.829) -- (8.048,1.564);
\draw[line width=0.5pt] (8.116,4.546) -- (8.264,4.491) -- (8.412,4.439) -- (8.562,4.39) -- (8.712,4.345) -- (8.864,4.304) -- (9.017,4.266) -- (9.171,4.231) -- (9.325,4.201) -- (9.48,4.174) -- (9.636,4.15) -- (9.792,4.13) -- (9.949,4.114) -- (10.105,4.102) -- (10.263,4.094);
\draw[line width=0.5pt] (8.116,4.546) -- (8.144,4.334) -- (8.167,4.121) -- (8.185,3.908) -- (8.197,3.694) -- (8.205,3.48) -- (8.208,3.266) -- (8.205,3.052) -- (8.198,2.838) -- (8.186,2.624) -- (8.168,2.411) -- (8.146,2.198) -- (8.118,1.986) -- (8.086,1.774) -- (8.048,1.564);
\draw[line width=0.5pt] (10.263,4.094) -- (10.078,3.939) -- (9.897,3.779) -- (9.72,3.615) -- (9.547,3.448) -- (9.377,3.276) -- (9.212,3.1) -- (9.051,2.92) -- (8.894,2.737) -- (8.742,2.55) -- (8.594,2.359) -- (8.45,2.165) -- (8.312,1.968) -- (8.177,1.767) -- (8.048,1.564);
\draw[line width=0.5pt] (1.343,1.785) -- (1.553,1.783) -- (1.764,1.776) -- (1.974,1.764) -- (2.184,1.746) -- (2.394,1.724) -- (2.603,1.697) -- (2.811,1.665) -- (3.018,1.629) -- (3.225,1.587) -- (3.431,1.541) -- (3.635,1.489) -- (3.838,1.433) -- (4.04,1.372) -- (4.24,1.307) -- (4.512,1.283) -- (4.786,1.266) -- (5.059,1.256) -- (5.333,1.252) -- (5.607,1.254) -- (5.881,1.263) -- (6.155,1.278) -- (6.428,1.3) -- (6.7,1.328) -- (6.972,1.362) -- (7.243,1.403) -- (7.513,1.45) -- (7.781,1.504) -- (8.048,1.564);
\draw[line width=0.5pt] (8.048,1.564) -- (8.282,1.527) -- (8.516,1.495) -- (8.751,1.469) -- (8.986,1.449) -- (9.222,1.434) -- (9.458,1.425) -- (9.695,1.421) -- (9.931,1.423) -- (10.168,1.43) -- (10.404,1.443) -- (10.639,1.461) -- (10.875,1.485) -- (11.109,1.515) -- (11.343,1.55);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.43,7.961) -- (7.408,8.041) -- (7.35,8.1) -- (7.27,8.121) -- (7.19,8.1) -- (7.131,8.041) -- (7.11,7.961) -- (7.131,7.881) -- (7.19,7.823) -- (7.27,7.801) -- (7.35,7.823) -- (7.408,7.881) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.709,7.769) -- (10.688,7.849) -- (10.629,7.907) -- (10.549,7.929) -- (10.469,7.907) -- (10.41,7.849) -- (10.389,7.769) -- (10.41,7.689) -- (10.469,7.63) -- (10.549,7.609) -- (10.629,7.63) -- (10.688,7.689) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.561,4.744) -- (4.539,4.824) -- (4.481,4.883) -- (4.401,4.904) -- (4.321,4.883) -- (4.262,4.824) -- (4.241,4.744) -- (4.262,4.664) -- (4.321,4.606) -- (4.401,4.584) -- (4.481,4.606) -- (4.539,4.664) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.276,4.546) -- (8.255,4.626) -- (8.196,4.685) -- (8.116,4.706) -- (8.036,4.685) -- (7.978,4.626) -- (7.956,4.546) -- (7.978,4.466) -- (8.036,4.408) -- (8.116,4.386) -- (8.196,4.408) -- (8.255,4.466) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.423,4.094) -- (10.401,4.174) -- (10.343,4.232) -- (10.263,4.254) -- (10.183,4.232) -- (10.124,4.174) -- (10.103,4.094) -- (10.124,4.014) -- (10.183,3.955) -- (10.263,3.934) -- (10.343,3.955) -- (10.401,4.014) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.503,1.785) -- (1.481,1.865) -- (1.423,1.924) -- (1.343,1.945) -- (1.263,1.924) -- (1.204,1.865) -- (1.183,1.785) -- (1.204,1.705) -- (1.263,1.647) -- (1.343,1.625) -- (1.423,1.647) -- (1.481,1.705) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.208,1.564) -- (8.187,1.644) -- (8.128,1.702) -- (8.048,1.724) -- (7.968,1.702) -- (7.91,1.644) -- (7.888,1.564) -- (7.91,1.484) -- (7.968,1.425) -- (8.048,1.404) -- (8.128,1.425) -- (8.187,1.484) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.503,1.55) -- (11.481,1.63) -- (11.423,1.688) -- (11.343,1.71) -- (11.263,1.688) -- (11.204,1.63) -- (11.183,1.55) -- (11.204,1.47) -- (11.263,1.411) -- (11.343,1.39) -- (11.423,1.411) -- (11.481,1.47) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.26,8.049) -- (9.215,8.219) -- (9.09,8.344) -- (8.92,8.389) -- (8.75,8.344) -- (8.626,8.219) -- (8.58,8.049) -- (8.626,7.879) -- (8.75,7.755) -- (8.92,7.709) -- (9.09,7.755) -- (9.215,7.879) -- cycle;
\node at (8.92,8.049) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.547,6.022) -- (6.501,6.192) -- (6.377,6.316) -- (6.207,6.362) -- (6.037,6.316) -- (5.912,6.192) -- (5.867,6.022) -- (5.912,5.852) -- (6.037,5.727) -- (6.207,5.682) -- (6.377,5.727) -- (6.501,5.852) -- cycle;
\node at (6.207,6.022) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.203,6.296) -- (8.157,6.466) -- (8.033,6.59) -- (7.863,6.636) -- (7.693,6.59) -- (7.568,6.466) -- (7.523,6.296) -- (7.568,6.126) -- (7.693,6.001) -- (7.863,5.956) -- (8.033,6.001) -- (8.157,6.126) -- cycle;
\node at (7.863,6.296) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.519,6.347) -- (9.473,6.517) -- (9.349,6.641) -- (9.179,6.687) -- (9.009,6.641) -- (8.884,6.517) -- (8.839,6.347) -- (8.884,6.177) -- (9.009,6.052) -- (9.179,6.007) -- (9.349,6.052) -- (9.473,6.177) -- cycle;
\node at (9.179,6.347) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.913,5.918) -- (10.868,6.088) -- (10.743,6.213) -- (10.573,6.258) -- (10.403,6.213) -- (10.279,6.088) -- (10.233,5.918) -- (10.279,5.748) -- (10.403,5.624) -- (10.573,5.578) -- (10.743,5.624) -- (10.868,5.748) -- cycle;
\node at (10.573,5.918) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.624,5.118) -- (6.578,5.288) -- (6.454,5.413) -- (6.284,5.458) -- (6.114,5.413) -- (5.989,5.288) -- (5.944,5.118) -- (5.989,4.948) -- (6.114,4.824) -- (6.284,4.778) -- (6.454,4.824) -- (6.578,4.948) -- cycle;
\node at (6.284,5.118) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.312,3.161) -- (3.267,3.331) -- (3.142,3.455) -- (2.972,3.501) -- (2.802,3.455) -- (2.678,3.331) -- (2.632,3.161) -- (2.678,2.991) -- (2.802,2.867) -- (2.972,2.821) -- (3.142,2.867) -- (3.267,2.991) -- cycle;
\node at (2.972,3.161) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.906,3.546) -- (6.861,3.716) -- (6.736,3.84) -- (6.566,3.886) -- (6.396,3.84) -- (6.272,3.716) -- (6.226,3.546) -- (6.272,3.376) -- (6.396,3.251) -- (6.566,3.206) -- (6.736,3.251) -- (6.861,3.376) -- cycle;
\node at (6.566,3.546) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.577,4.544) -- (9.531,4.714) -- (9.407,4.839) -- (9.237,4.884) -- (9.067,4.839) -- (8.942,4.714) -- (8.897,4.544) -- (8.942,4.374) -- (9.067,4.25) -- (9.237,4.204) -- (9.407,4.25) -- (9.531,4.374) -- cycle;
\node at (9.237,4.544) {\scalebox{1.426}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.865,3.045) -- (8.82,3.215) -- (8.695,3.339) -- (8.525,3.385) -- (8.355,3.339) -- (8.231,3.215) -- (8.185,3.045) -- (8.231,2.875) -- (8.355,2.75) -- (8.525,2.705) -- (8.695,2.75) -- (8.82,2.875) -- cycle;
\node at (8.525,3.045) {\scalebox{1.426}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.632,2.709) -- (9.586,2.879) -- (9.462,3.004) -- (9.292,3.049) -- (9.122,3.004) -- (8.997,2.879) -- (8.952,2.709) -- (8.997,2.539) -- (9.122,2.415) -- (9.292,2.369) -- (9.462,2.415) -- (9.586,2.539) -- cycle;
\node at (9.292,2.709) {\scalebox{1.426}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.639,1.621) -- (4.593,1.791) -- (4.469,1.916) -- (4.299,1.961) -- (4.129,1.916) -- (4.005,1.791) -- (3.959,1.621) -- (4.005,1.451) -- (4.129,1.327) -- (4.299,1.281) -- (4.469,1.327) -- (4.593,1.451) -- cycle;
\node at (4.299,1.621) {\scalebox{1.426}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.036,1.741) -- (9.991,1.911) -- (9.866,2.035) -- (9.696,2.081) -- (9.526,2.035) -- (9.402,1.911) -- (9.356,1.741) -- (9.402,1.571) -- (9.526,1.446) -- (9.696,1.401) -- (9.866,1.446) -- (9.991,1.571) -- cycle;
\node at (9.696,1.741) {\scalebox{1.426}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.101,4.444) -- (4.701,4.444) -- (4.701,5.044) -- (4.101,5.044) -- cycle;
\node at (4.401,4.744) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.772,2.402) -- (2.372,2.402) -- (2.372,3.002) -- (1.772,3.002) -- cycle;
\node at (2.072,2.702) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.393,6.429) -- (5.993,6.429) -- (5.993,7.029) -- (5.393,7.029) -- cycle;
\node at (5.693,6.729) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.725,7.064) -- (10.325,7.064) -- (10.325,7.664) -- (9.725,7.664) -- cycle;
\node at (10.025,7.364) {\scalebox{1.426}{\small d}};
\node at (7.204,8.578) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (10.942,8.248) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (3.788,4.837) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (8.635,4.886) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (10.881,4.056) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (0.765,1.56) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\node at (8.135,0.95) {\scalebox{1.426}{\small G}};
\node at (11.842,1.183) {\scalebox{1.426}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.643,7.011) -- (12.643,8.111);
\draw[line width=0.5pt] (12.412,7.726) -- (12.643,8.111) -- (12.874,7.726);
\draw[line width=0.5pt] (12.34,7.561) -- (12.945,7.561);
\node at (12.643,8.496) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① sentier des Prés & ⑧ rue Basse & Ⓐ Rond-point du Pont & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑨ rue des Jardins & Ⓑ Coin du Lavoir & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ avenue de la Gare & ⑩ rue Neuve & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ rue du Moulin & ⑪ quai aux Fleurs & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue du Four & ⑫ rue Pasteur & Ⓔ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑥ boulevard du Parc & ⑬ impasse des Cerisiers & Ⓕ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
⑦ rue du Pont &  & Ⓖ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6275, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.27,7.961) -- (7.5,7.912) -- (7.731,7.868) -- (7.964,7.829) -- (8.197,7.796) -- (8.431,7.768) -- (8.666,7.746) -- (8.901,7.73) -- (9.137,7.719) -- (9.373,7.713) -- (9.608,7.713) -- (9.844,7.719) -- (10.079,7.73) -- (10.314,7.747) -- (10.549,7.769);
\draw[line width=0.5pt] (7.27,7.961) -- (7.102,7.702) -- (6.927,7.447) -- (6.747,7.195) -- (6.561,6.948) -- (6.369,6.706) -- (6.171,6.468) -- (5.968,6.235) -- (5.759,6.006) -- (5.545,5.783) -- (5.326,5.564) -- (5.102,5.351) -- (4.873,5.143) -- (4.639,4.941) -- (4.401,4.744);
\draw[line width=0.5pt] (7.27,7.961) -- (7.292,7.71) -- (7.321,7.459) -- (7.355,7.209) -- (7.396,6.96) -- (7.442,6.712) -- (7.494,6.465) -- (7.552,6.219) -- (7.616,5.974) -- (7.685,5.732) -- (7.76,5.49) -- (7.841,5.251) -- (7.927,5.014) -- (8.019,4.779) -- (8.116,4.546);
\draw[line width=0.5pt] (7.27,7.961) -- (7.524,7.72) -- (7.773,7.473) -- (8.016,7.219) -- (8.252,6.96) -- (8.483,6.696) -- (8.708,6.426) -- (8.926,6.151) -- (9.137,5.871) -- (9.342,5.586) -- (9.54,5.296) -- (9.732,5.002) -- (9.916,4.703) -- (10.093,4.4) -- (10.263,4.094);
\draw[line width=0.5pt] (10.549,7.769) -- (10.488,7.511) -- (10.434,7.253) -- (10.386,6.993) -- (10.344,6.732) -- (10.308,6.469) -- (10.278,6.207) -- (10.254,5.943) -- (10.237,5.679) -- (10.225,5.415) -- (10.22,5.15) -- (10.222,4.885) -- (10.229,4.621) -- (10.243,4.357) -- (10.263,4.094);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,4.744) -- (4.666,4.771) -- (4.932,4.791) -- (5.199,4.805) -- (5.466,4.813) -- (5.733,4.815) -- (6.0,4.81) -- (6.267,4.799) -- (6.533,4.781) -- (6.799,4.758) -- (7.065,4.728) -- (7.329,4.692) -- (7.593,4.649) -- (7.855,4.601) -- (8.116,4.546);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,4.744) -- (4.152,4.568) -- (3.907,4.386) -- (3.666,4.198) -- (3.43,4.004) -- (3.199,3.805) -- (2.972,3.601) -- (2.75,3.391) -- (2.533,3.176) -- (2.321,2.956) -- (2.114,2.731) -- (1.913,2.501) -- (1.717,2.267) -- (1.527,2.028) -- (1.343,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (4.401,4.744) -- (4.694,4.559) -- (4.983,4.367) -- (5.267,4.167) -- (5.547,3.961) -- (5.822,3.749) -- (6.091,3.53) -- (6.356,3.305) -- (6.615,3.073) -- (6.869,2.836) -- (7.116,2.593) -- (7.359,2.344) -- (7.595,2.089) -- (7.825,1.829) -- (8.048,1.564);
\draw[line width=0.5pt] (8.116,4.546) -- (8.264,4.491) -- (8.412,4.439) -- (8.562,4.39) -- (8.712,4.345) -- (8.864,4.304) -- (9.017,4.266) -- (9.171,4.231) -- (9.325,4.201) -- (9.48,4.174) -- (9.636,4.15) -- (9.792,4.13) -- (9.949,4.114) -- (10.105,4.102) -- (10.263,4.094);
\draw[line width=0.5pt] (8.116,4.546) -- (8.144,4.334) -- (8.167,4.121) -- (8.185,3.908) -- (8.197,3.694) -- (8.205,3.48) -- (8.208,3.266) -- (8.205,3.052) -- (8.198,2.838) -- (8.186,2.624) -- (8.168,2.411) -- (8.146,2.198) -- (8.118,1.986) -- (8.086,1.774) -- (8.048,1.564);
\draw[line width=0.5pt] (10.263,4.094) -- (10.078,3.939) -- (9.897,3.779) -- (9.72,3.615) -- (9.547,3.448) -- (9.377,3.276) -- (9.212,3.1) -- (9.051,2.92) -- (8.894,2.737) -- (8.742,2.55) -- (8.594,2.359) -- (8.45,2.165) -- (8.312,1.968) -- (8.177,1.767) -- (8.048,1.564);
\draw[line width=0.5pt] (1.343,1.785) -- (1.553,1.783) -- (1.764,1.776) -- (1.974,1.764) -- (2.184,1.746) -- (2.394,1.724) -- (2.603,1.697) -- (2.811,1.665) -- (3.018,1.629) -- (3.225,1.587) -- (3.431,1.541) -- (3.635,1.489) -- (3.838,1.433) -- (4.04,1.372) -- (4.24,1.307) -- (4.512,1.283) -- (4.786,1.266) -- (5.059,1.256) -- (5.333,1.252) -- (5.607,1.254) -- (5.881,1.263) -- (6.155,1.278) -- (6.428,1.3) -- (6.7,1.328) -- (6.972,1.362) -- (7.243,1.403) -- (7.513,1.45) -- (7.781,1.504) -- (8.048,1.564);
\draw[line width=0.5pt] (8.048,1.564) -- (8.282,1.527) -- (8.516,1.495) -- (8.751,1.469) -- (8.986,1.449) -- (9.222,1.434) -- (9.458,1.425) -- (9.695,1.421) -- (9.931,1.423) -- (10.168,1.43) -- (10.404,1.443) -- (10.639,1.461) -- (10.875,1.485) -- (11.109,1.515) -- (11.343,1.55);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.43,7.961) -- (7.408,8.041) -- (7.35,8.1) -- (7.27,8.121) -- (7.19,8.1) -- (7.131,8.041) -- (7.11,7.961) -- (7.131,7.881) -- (7.19,7.823) -- (7.27,7.801) -- (7.35,7.823) -- (7.408,7.881) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.709,7.769) -- (10.688,7.849) -- (10.629,7.907) -- (10.549,7.929) -- (10.469,7.907) -- (10.41,7.849) -- (10.389,7.769) -- (10.41,7.689) -- (10.469,7.63) -- (10.549,7.609) -- (10.629,7.63) -- (10.688,7.689) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.561,4.744) -- (4.539,4.824) -- (4.481,4.883) -- (4.401,4.904) -- (4.321,4.883) -- (4.262,4.824) -- (4.241,4.744) -- (4.262,4.664) -- (4.321,4.606) -- (4.401,4.584) -- (4.481,4.606) -- (4.539,4.664) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.276,4.546) -- (8.255,4.626) -- (8.196,4.685) -- (8.116,4.706) -- (8.036,4.685) -- (7.978,4.626) -- (7.956,4.546) -- (7.978,4.466) -- (8.036,4.408) -- (8.116,4.386) -- (8.196,4.408) -- (8.255,4.466) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.423,4.094) -- (10.401,4.174) -- (10.343,4.232) -- (10.263,4.254) -- (10.183,4.232) -- (10.124,4.174) -- (10.103,4.094) -- (10.124,4.014) -- (10.183,3.955) -- (10.263,3.934) -- (10.343,3.955) -- (10.401,4.014) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.503,1.785) -- (1.481,1.865) -- (1.423,1.924) -- (1.343,1.945) -- (1.263,1.924) -- (1.204,1.865) -- (1.183,1.785) -- (1.204,1.705) -- (1.263,1.647) -- (1.343,1.625) -- (1.423,1.647) -- (1.481,1.705) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.208,1.564) -- (8.187,1.644) -- (8.128,1.702) -- (8.048,1.724) -- (7.968,1.702) -- (7.91,1.644) -- (7.888,1.564) -- (7.91,1.484) -- (7.968,1.425) -- (8.048,1.404) -- (8.128,1.425) -- (8.187,1.484) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.503,1.55) -- (11.481,1.63) -- (11.423,1.688) -- (11.343,1.71) -- (11.263,1.688) -- (11.204,1.63) -- (11.183,1.55) -- (11.204,1.47) -- (11.263,1.411) -- (11.343,1.39) -- (11.423,1.411) -- (11.481,1.47) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.26,8.049) -- (9.215,8.219) -- (9.09,8.344) -- (8.92,8.389) -- (8.75,8.344) -- (8.626,8.219) -- (8.58,8.049) -- (8.626,7.879) -- (8.75,7.755) -- (8.92,7.709) -- (9.09,7.755) -- (9.215,7.879) -- cycle;
\node at (8.92,8.049) {\scalebox{1.594}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.547,6.022) -- (6.501,6.192) -- (6.377,6.316) -- (6.207,6.362) -- (6.037,6.316) -- (5.912,6.192) -- (5.867,6.022) -- (5.912,5.852) -- (6.037,5.727) -- (6.207,5.682) -- (6.377,5.727) -- (6.501,5.852) -- cycle;
\node at (6.207,6.022) {\scalebox{1.594}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.203,6.296) -- (8.157,6.466) -- (8.033,6.59) -- (7.863,6.636) -- (7.693,6.59) -- (7.568,6.466) -- (7.523,6.296) -- (7.568,6.126) -- (7.693,6.001) -- (7.863,5.956) -- (8.033,6.001) -- (8.157,6.126) -- cycle;
\node at (7.863,6.296) {\scalebox{1.594}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.519,6.347) -- (9.473,6.517) -- (9.349,6.641) -- (9.179,6.687) -- (9.009,6.641) -- (8.884,6.517) -- (8.839,6.347) -- (8.884,6.177) -- (9.009,6.052) -- (9.179,6.007) -- (9.349,6.052) -- (9.473,6.177) -- cycle;
\node at (9.179,6.347) {\scalebox{1.594}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.913,5.918) -- (10.868,6.088) -- (10.743,6.213) -- (10.573,6.258) -- (10.403,6.213) -- (10.279,6.088) -- (10.233,5.918) -- (10.279,5.748) -- (10.403,5.624) -- (10.573,5.578) -- (10.743,5.624) -- (10.868,5.748) -- cycle;
\node at (10.573,5.918) {\scalebox{1.594}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.624,5.118) -- (6.578,5.288) -- (6.454,5.413) -- (6.284,5.458) -- (6.114,5.413) -- (5.989,5.288) -- (5.944,5.118) -- (5.989,4.948) -- (6.114,4.824) -- (6.284,4.778) -- (6.454,4.824) -- (6.578,4.948) -- cycle;
\node at (6.284,5.118) {\scalebox{1.594}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.312,3.161) -- (3.267,3.331) -- (3.142,3.455) -- (2.972,3.501) -- (2.802,3.455) -- (2.678,3.331) -- (2.632,3.161) -- (2.678,2.991) -- (2.802,2.867) -- (2.972,2.821) -- (3.142,2.867) -- (3.267,2.991) -- cycle;
\node at (2.972,3.161) {\scalebox{1.594}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.906,3.546) -- (6.861,3.716) -- (6.736,3.84) -- (6.566,3.886) -- (6.396,3.84) -- (6.272,3.716) -- (6.226,3.546) -- (6.272,3.376) -- (6.396,3.251) -- (6.566,3.206) -- (6.736,3.251) -- (6.861,3.376) -- cycle;
\node at (6.566,3.546) {\scalebox{1.594}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.577,4.544) -- (9.531,4.714) -- (9.407,4.839) -- (9.237,4.884) -- (9.067,4.839) -- (8.942,4.714) -- (8.897,4.544) -- (8.942,4.374) -- (9.067,4.25) -- (9.237,4.204) -- (9.407,4.25) -- (9.531,4.374) -- cycle;
\node at (9.237,4.544) {\scalebox{1.594}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.865,3.045) -- (8.82,3.215) -- (8.695,3.339) -- (8.525,3.385) -- (8.355,3.339) -- (8.231,3.215) -- (8.185,3.045) -- (8.231,2.875) -- (8.355,2.75) -- (8.525,2.705) -- (8.695,2.75) -- (8.82,2.875) -- cycle;
\node at (8.525,3.045) {\scalebox{1.594}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.632,2.709) -- (9.586,2.879) -- (9.462,3.004) -- (9.292,3.049) -- (9.122,3.004) -- (8.997,2.879) -- (8.952,2.709) -- (8.997,2.539) -- (9.122,2.415) -- (9.292,2.369) -- (9.462,2.415) -- (9.586,2.539) -- cycle;
\node at (9.292,2.709) {\scalebox{1.594}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.639,1.621) -- (4.593,1.791) -- (4.469,1.916) -- (4.299,1.961) -- (4.129,1.916) -- (4.005,1.791) -- (3.959,1.621) -- (4.005,1.451) -- (4.129,1.327) -- (4.299,1.281) -- (4.469,1.327) -- (4.593,1.451) -- cycle;
\node at (4.299,1.621) {\scalebox{1.594}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.036,1.741) -- (9.991,1.911) -- (9.866,2.035) -- (9.696,2.081) -- (9.526,2.035) -- (9.402,1.911) -- (9.356,1.741) -- (9.402,1.571) -- (9.526,1.446) -- (9.696,1.401) -- (9.866,1.446) -- (9.991,1.571) -- cycle;
\node at (9.696,1.741) {\scalebox{1.594}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.101,4.444) -- (4.701,4.444) -- (4.701,5.044) -- (4.101,5.044) -- cycle;
\node at (4.401,4.744) {\scalebox{1.594}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.772,2.402) -- (2.372,2.402) -- (2.372,3.002) -- (1.772,3.002) -- cycle;
\node at (2.072,2.702) {\scalebox{1.594}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.393,6.429) -- (5.993,6.429) -- (5.993,7.029) -- (5.393,7.029) -- cycle;
\node at (5.693,6.729) {\scalebox{1.594}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.725,7.064) -- (10.325,7.064) -- (10.325,7.664) -- (9.725,7.664) -- cycle;
\node at (10.025,7.364) {\scalebox{1.594}{\small d}};
\node at (7.204,8.578) {\scalebox{1.594}{\small A}};
\node at (10.942,8.248) {\scalebox{1.594}{\small B}};
\node at (3.788,4.837) {\scalebox{1.594}{\small C}};
\node at (8.635,4.886) {\scalebox{1.594}{\small D}};
\node at (10.881,4.056) {\scalebox{1.594}{\small E}};
\node at (0.765,1.56) {\scalebox{1.594}{\small F}};
\node at (8.135,0.95) {\scalebox{1.594}{\small G}};
\node at (11.842,1.183) {\scalebox{1.594}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.643,7.011) -- (12.643,8.111);
\draw[line width=0.5pt] (12.412,7.726) -- (12.643,8.111) -- (12.874,7.726);
\draw[line width=0.5pt] (12.34,7.561) -- (12.945,7.561);
\node at (12.643,8.496) {\scalebox{1.594}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 4 & 4 & 4 & 2 & 5 & 1 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{G}, \textbf{H} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{G} et \textbf{H} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{G} à \textbf{H}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de G :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(G)}, prend la \textbf{rue Basse ⑧} vers le nord-ouest et atteint Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ①}, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Moulin ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ③}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Pont ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑫}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑩}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse des Cerisiers ⑬}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(H)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
