\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 287}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=287}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0287}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7039, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.293,8.892) -- (10.999,8.851) -- (10.706,8.802) -- (10.415,8.747) -- (10.124,8.685) -- (9.836,8.616) -- (9.548,8.54) -- (9.263,8.458) -- (8.98,8.368) -- (8.699,8.273) -- (8.42,8.17) -- (8.144,8.061) -- (7.87,7.946) -- (7.6,7.824) -- (7.332,7.696);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,8.892) -- (11.289,8.641) -- (11.28,8.39) -- (11.264,8.139) -- (11.243,7.888) -- (11.215,7.638) -- (11.182,7.389) -- (11.143,7.14) -- (11.098,6.893) -- (11.048,6.646) -- (10.991,6.401) -- (10.929,6.157) -- (10.861,5.915) -- (10.788,5.675) -- (10.708,5.436);
\draw[line width=0.5pt] (7.332,7.696) -- (7.155,7.572) -- (6.981,7.443) -- (6.809,7.311) -- (6.641,7.174) -- (6.476,7.033) -- (6.315,6.889) -- (6.156,6.741) -- (6.002,6.589) -- (5.851,6.433) -- (5.704,6.274) -- (5.56,6.112) -- (5.42,5.946) -- (5.285,5.777) -- (5.153,5.605);
\draw[line width=0.5pt] (7.332,7.696) -- (7.394,7.544) -- (7.452,7.39) -- (7.506,7.235) -- (7.557,7.078) -- (7.604,6.921) -- (7.648,6.762) -- (7.687,6.602) -- (7.723,6.441) -- (7.755,6.28) -- (7.783,6.118) -- (7.808,5.955) -- (7.828,5.792) -- (7.845,5.628) -- (7.858,5.464);
\draw[line width=0.5pt] (7.332,7.696) -- (7.547,7.499) -- (7.766,7.307) -- (7.99,7.12) -- (8.218,6.939) -- (8.45,6.763) -- (8.687,6.592) -- (8.927,6.427) -- (9.171,6.268) -- (9.419,6.114) -- (9.671,5.966) -- (9.925,5.825) -- (10.183,5.689) -- (10.444,5.56) -- (10.708,5.436);
\draw[line width=0.5pt] (5.153,5.605) -- (4.904,5.548) -- (4.654,5.498) -- (4.402,5.453) -- (4.149,5.414) -- (3.895,5.381) -- (3.641,5.354) -- (3.386,5.333) -- (3.131,5.317) -- (2.875,5.308) -- (2.619,5.305) -- (2.363,5.308) -- (2.108,5.317) -- (1.853,5.332) -- (1.598,5.353);
\draw[line width=0.5pt] (7.858,5.464) -- (8.06,5.431) -- (8.262,5.403) -- (8.465,5.379) -- (8.669,5.36) -- (8.873,5.346) -- (9.077,5.337) -- (9.282,5.333) -- (9.487,5.333) -- (9.691,5.338) -- (9.896,5.348) -- (10.1,5.363) -- (10.303,5.383) -- (10.506,5.407) -- (10.708,5.436);
\draw[line width=0.5pt] (7.858,5.464) -- (7.873,5.235) -- (7.883,5.004) -- (7.888,4.774) -- (7.887,4.543) -- (7.881,4.313) -- (7.869,4.083) -- (7.852,3.853) -- (7.83,3.623) -- (7.802,3.394) -- (7.768,3.166) -- (7.73,2.939) -- (7.686,2.712) -- (7.637,2.487) -- (7.582,2.264);
\draw[line width=0.5pt] (10.708,5.436) -- (10.452,5.246) -- (10.2,5.049) -- (9.953,4.846) -- (9.711,4.638) -- (9.474,4.424) -- (9.241,4.204) -- (9.014,3.979) -- (8.793,3.749) -- (8.576,3.513) -- (8.366,3.273) -- (8.161,3.027) -- (7.962,2.777) -- (7.769,2.523) -- (7.582,2.264);
\draw[line width=0.5pt] (10.708,5.436) -- (10.785,5.184) -- (10.856,4.931) -- (10.921,4.675) -- (10.979,4.418) -- (11.032,4.16) -- (11.078,3.9) -- (11.119,3.64) -- (11.153,3.378) -- (11.181,3.116) -- (11.203,2.853) -- (11.219,2.59) -- (11.229,2.327) -- (11.232,2.063) -- (11.229,1.8);
\draw[line width=0.5pt] (1.598,5.353) -- (1.532,5.068) -- (1.472,4.78) -- (1.42,4.492) -- (1.374,4.202) -- (1.335,3.911) -- (1.303,3.619) -- (1.277,3.327) -- (1.259,3.034) -- (1.247,2.741) -- (1.242,2.447) -- (1.245,2.154) -- (1.254,1.861) -- (1.27,1.568) -- (1.293,1.275);
\draw[line width=0.5pt] (7.582,2.264) -- (7.846,2.271) -- (8.109,2.271) -- (8.373,2.266) -- (8.637,2.254) -- (8.9,2.236) -- (9.163,2.212) -- (9.425,2.182) -- (9.686,2.146) -- (9.947,2.103) -- (10.206,2.055) -- (10.464,2.0) -- (10.721,1.939) -- (10.976,1.873) -- (11.229,1.8);
\draw[line width=0.5pt] (7.582,2.264) -- (7.399,2.253) -- (7.217,2.238) -- (7.035,2.219) -- (6.853,2.195) -- (6.672,2.167) -- (6.492,2.135) -- (6.313,2.099) -- (6.134,2.059) -- (5.956,2.014) -- (5.78,1.965) -- (5.605,1.912) -- (5.431,1.855) -- (5.258,1.794) -- (5.087,1.729) -- (4.823,1.655) -- (4.558,1.588) -- (4.29,1.527) -- (4.022,1.472) -- (3.752,1.423) -- (3.481,1.381) -- (3.209,1.345) -- (2.936,1.316) -- (2.663,1.293) -- (2.389,1.277) -- (2.115,1.267) -- (1.841,1.263) -- (1.567,1.266) -- (1.293,1.275);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.453,8.892) -- (11.431,8.972) -- (11.373,9.031) -- (11.293,9.052) -- (11.213,9.031) -- (11.154,8.972) -- (11.133,8.892) -- (11.154,8.812) -- (11.213,8.754) -- (11.293,8.732) -- (11.373,8.754) -- (11.431,8.812) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.492,7.696) -- (7.471,7.776) -- (7.412,7.835) -- (7.332,7.856) -- (7.252,7.835) -- (7.194,7.776) -- (7.172,7.696) -- (7.194,7.616) -- (7.252,7.558) -- (7.332,7.536) -- (7.412,7.558) -- (7.471,7.616) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.313,5.605) -- (5.292,5.685) -- (5.233,5.744) -- (5.153,5.765) -- (5.073,5.744) -- (5.015,5.685) -- (4.993,5.605) -- (5.015,5.525) -- (5.073,5.467) -- (5.153,5.445) -- (5.233,5.467) -- (5.292,5.525) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.018,5.464) -- (7.996,5.544) -- (7.938,5.603) -- (7.858,5.624) -- (7.778,5.603) -- (7.719,5.544) -- (7.698,5.464) -- (7.719,5.384) -- (7.778,5.326) -- (7.858,5.304) -- (7.938,5.326) -- (7.996,5.384) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.868,5.436) -- (10.847,5.516) -- (10.788,5.575) -- (10.708,5.596) -- (10.628,5.575) -- (10.57,5.516) -- (10.548,5.436) -- (10.57,5.356) -- (10.628,5.298) -- (10.708,5.276) -- (10.788,5.298) -- (10.847,5.356) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.758,5.353) -- (1.737,5.433) -- (1.678,5.492) -- (1.598,5.513) -- (1.518,5.492) -- (1.459,5.433) -- (1.438,5.353) -- (1.459,5.273) -- (1.518,5.215) -- (1.598,5.193) -- (1.678,5.215) -- (1.737,5.273) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.742,2.264) -- (7.721,2.344) -- (7.662,2.402) -- (7.582,2.424) -- (7.502,2.402) -- (7.444,2.344) -- (7.422,2.264) -- (7.444,2.184) -- (7.502,2.125) -- (7.582,2.104) -- (7.662,2.125) -- (7.721,2.184) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.389,1.8) -- (11.368,1.88) -- (11.309,1.938) -- (11.229,1.96) -- (11.149,1.938) -- (11.091,1.88) -- (11.069,1.8) -- (11.091,1.72) -- (11.149,1.661) -- (11.229,1.64) -- (11.309,1.661) -- (11.368,1.72) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.453,1.275) -- (1.431,1.355) -- (1.373,1.414) -- (1.293,1.435) -- (1.213,1.414) -- (1.154,1.355) -- (1.133,1.275) -- (1.154,1.195) -- (1.213,1.137) -- (1.293,1.115) -- (1.373,1.137) -- (1.431,1.195) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.696,8.151) -- (9.65,8.321) -- (9.526,8.446) -- (9.356,8.491) -- (9.186,8.446) -- (9.061,8.321) -- (9.016,8.151) -- (9.061,7.981) -- (9.186,7.857) -- (9.356,7.811) -- (9.526,7.857) -- (9.65,7.981) -- cycle;
\node at (9.356,8.151) {\scalebox{1.421}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.799,7.087) -- (11.753,7.257) -- (11.629,7.381) -- (11.459,7.427) -- (11.289,7.381) -- (11.164,7.257) -- (11.119,7.087) -- (11.164,6.917) -- (11.289,6.792) -- (11.459,6.747) -- (11.629,6.792) -- (11.753,6.917) -- cycle;
\node at (11.459,7.087) {\scalebox{1.421}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.718,6.51) -- (6.673,6.68) -- (6.548,6.804) -- (6.378,6.85) -- (6.208,6.804) -- (6.084,6.68) -- (6.038,6.51) -- (6.084,6.34) -- (6.208,6.215) -- (6.378,6.17) -- (6.548,6.215) -- (6.673,6.34) -- cycle;
\node at (6.378,6.51) {\scalebox{1.421}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.339,6.675) -- (8.293,6.845) -- (8.169,6.97) -- (7.999,7.015) -- (7.829,6.97) -- (7.704,6.845) -- (7.659,6.675) -- (7.704,6.505) -- (7.829,6.381) -- (7.999,6.335) -- (8.169,6.381) -- (8.293,6.505) -- cycle;
\node at (7.999,6.675) {\scalebox{1.421}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.445,6.693) -- (9.4,6.863) -- (9.275,6.988) -- (9.105,7.033) -- (8.935,6.988) -- (8.811,6.863) -- (8.765,6.693) -- (8.811,6.523) -- (8.935,6.399) -- (9.105,6.353) -- (9.275,6.399) -- (9.4,6.523) -- cycle;
\node at (9.105,6.693) {\scalebox{1.421}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.749,5.013) -- (3.703,5.183) -- (3.579,5.308) -- (3.409,5.353) -- (3.239,5.308) -- (3.114,5.183) -- (3.069,5.013) -- (3.114,4.843) -- (3.239,4.719) -- (3.409,4.673) -- (3.579,4.719) -- (3.703,4.843) -- cycle;
\node at (3.409,5.013) {\scalebox{1.421}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.625,5.653) -- (9.58,5.823) -- (9.455,5.947) -- (9.285,5.993) -- (9.115,5.947) -- (8.991,5.823) -- (8.945,5.653) -- (8.991,5.483) -- (9.115,5.358) -- (9.285,5.313) -- (9.455,5.358) -- (9.58,5.483) -- cycle;
\node at (9.285,5.653) {\scalebox{1.421}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.511,3.825) -- (8.465,3.995) -- (8.341,4.12) -- (8.171,4.165) -- (8.001,4.12) -- (7.876,3.995) -- (7.831,3.825) -- (7.876,3.655) -- (8.001,3.531) -- (8.171,3.485) -- (8.341,3.531) -- (8.465,3.655) -- cycle;
\node at (8.171,3.825) {\scalebox{1.421}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.582,3.754) -- (9.537,3.924) -- (9.412,4.049) -- (9.242,4.094) -- (9.072,4.049) -- (8.948,3.924) -- (8.902,3.754) -- (8.948,3.584) -- (9.072,3.46) -- (9.242,3.414) -- (9.412,3.46) -- (9.537,3.584) -- cycle;
\node at (9.242,3.754) {\scalebox{1.421}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.776,3.685) -- (11.73,3.855) -- (11.606,3.979) -- (11.436,4.025) -- (11.266,3.979) -- (11.141,3.855) -- (11.096,3.685) -- (11.141,3.515) -- (11.266,3.39) -- (11.436,3.345) -- (11.606,3.39) -- (11.73,3.515) -- cycle;
\node at (11.436,3.685) {\scalebox{1.421}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.936,3.303) -- (1.891,3.473) -- (1.766,3.597) -- (1.596,3.643) -- (1.426,3.597) -- (1.302,3.473) -- (1.256,3.303) -- (1.302,3.133) -- (1.426,3.009) -- (1.596,2.963) -- (1.766,3.009) -- (1.891,3.133) -- cycle;
\node at (1.596,3.303) {\scalebox{1.421}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.805,2.5) -- (9.76,2.67) -- (9.635,2.794) -- (9.465,2.84) -- (9.295,2.794) -- (9.171,2.67) -- (9.125,2.5) -- (9.171,2.33) -- (9.295,2.205) -- (9.465,2.16) -- (9.635,2.205) -- (9.76,2.33) -- cycle;
\node at (9.465,2.5) {\scalebox{1.421}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.524,1.424) -- (5.479,1.594) -- (5.354,1.718) -- (5.184,1.764) -- (5.014,1.718) -- (4.89,1.594) -- (4.844,1.424) -- (4.89,1.254) -- (5.014,1.129) -- (5.184,1.084) -- (5.354,1.129) -- (5.479,1.254) -- cycle;
\node at (5.184,1.424) {\scalebox{1.421}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.558,5.164) -- (8.158,5.164) -- (8.158,5.764) -- (7.558,5.764) -- cycle;
\node at (7.858,5.464) {\scalebox{1.421}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.1,3.505) -- (8.7,3.505) -- (8.7,4.105) -- (8.1,4.105) -- cycle;
\node at (8.4,3.805) {\scalebox{1.421}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.783,8.51) -- (10.383,8.51) -- (10.383,9.11) -- (9.783,9.11) -- cycle;
\node at (10.083,8.81) {\scalebox{1.421}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.068,2.759) -- (10.668,2.759) -- (10.668,3.359) -- (10.068,3.359) -- cycle;
\node at (10.368,3.059) {\scalebox{1.421}{\small d}};
\node at (11.739,9.323) {\scalebox{1.421}{\small A}};
\node at (7.379,8.315) {\scalebox{1.421}{\small B}};
\node at (4.573,5.824) {\scalebox{1.421}{\small C}};
\node at (8.34,5.854) {\scalebox{1.421}{\small D}};
\node at (11.321,5.534) {\scalebox{1.421}{\small E}};
\node at (0.98,5.408) {\scalebox{1.421}{\small F}};
\node at (7.691,1.653) {\scalebox{1.421}{\small G}};
\node at (11.726,1.429) {\scalebox{1.421}{\small H}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.421}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.593,7.942) -- (12.593,9.042);
\draw[line width=0.5pt] (12.362,8.657) -- (12.593,9.042) -- (12.824,8.657);
\draw[line width=0.5pt] (12.29,8.492) -- (12.895,8.492);
\node at (12.593,9.427) {\scalebox{1.421}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑧ chemin de Ronde & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑨ rue Basse & Ⓑ Rond-point de la Gare & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ allée des Tilleuls & ⑩ quai aux Fleurs & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ rue du Moulin & ⑪ rue du Puits & Ⓓ Carrefour Saint-Roch & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
⑤ rue des Lilas & ⑫ rue des Jardins & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑥ rue Haute & ⑬ avenue de la Gare & Ⓕ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
⑦ chemin des Vignes &  & Ⓖ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6298, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.293,8.892) -- (10.999,8.851) -- (10.706,8.802) -- (10.415,8.747) -- (10.124,8.685) -- (9.836,8.616) -- (9.548,8.54) -- (9.263,8.458) -- (8.98,8.368) -- (8.699,8.273) -- (8.42,8.17) -- (8.144,8.061) -- (7.87,7.946) -- (7.6,7.824) -- (7.332,7.696);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,8.892) -- (11.289,8.641) -- (11.28,8.39) -- (11.264,8.139) -- (11.243,7.888) -- (11.215,7.638) -- (11.182,7.389) -- (11.143,7.14) -- (11.098,6.893) -- (11.048,6.646) -- (10.991,6.401) -- (10.929,6.157) -- (10.861,5.915) -- (10.788,5.675) -- (10.708,5.436);
\draw[line width=0.5pt] (7.332,7.696) -- (7.155,7.572) -- (6.981,7.443) -- (6.809,7.311) -- (6.641,7.174) -- (6.476,7.033) -- (6.315,6.889) -- (6.156,6.741) -- (6.002,6.589) -- (5.851,6.433) -- (5.704,6.274) -- (5.56,6.112) -- (5.42,5.946) -- (5.285,5.777) -- (5.153,5.605);
\draw[line width=0.5pt] (7.332,7.696) -- (7.394,7.544) -- (7.452,7.39) -- (7.506,7.235) -- (7.557,7.078) -- (7.604,6.921) -- (7.648,6.762) -- (7.687,6.602) -- (7.723,6.441) -- (7.755,6.28) -- (7.783,6.118) -- (7.808,5.955) -- (7.828,5.792) -- (7.845,5.628) -- (7.858,5.464);
\draw[line width=0.5pt] (7.332,7.696) -- (7.547,7.499) -- (7.766,7.307) -- (7.99,7.12) -- (8.218,6.939) -- (8.45,6.763) -- (8.687,6.592) -- (8.927,6.427) -- (9.171,6.268) -- (9.419,6.114) -- (9.671,5.966) -- (9.925,5.825) -- (10.183,5.689) -- (10.444,5.56) -- (10.708,5.436);
\draw[line width=0.5pt] (5.153,5.605) -- (4.904,5.548) -- (4.654,5.498) -- (4.402,5.453) -- (4.149,5.414) -- (3.895,5.381) -- (3.641,5.354) -- (3.386,5.333) -- (3.131,5.317) -- (2.875,5.308) -- (2.619,5.305) -- (2.363,5.308) -- (2.108,5.317) -- (1.853,5.332) -- (1.598,5.353);
\draw[line width=0.5pt] (7.858,5.464) -- (8.06,5.431) -- (8.262,5.403) -- (8.465,5.379) -- (8.669,5.36) -- (8.873,5.346) -- (9.077,5.337) -- (9.282,5.333) -- (9.487,5.333) -- (9.691,5.338) -- (9.896,5.348) -- (10.1,5.363) -- (10.303,5.383) -- (10.506,5.407) -- (10.708,5.436);
\draw[line width=0.5pt] (7.858,5.464) -- (7.873,5.235) -- (7.883,5.004) -- (7.888,4.774) -- (7.887,4.543) -- (7.881,4.313) -- (7.869,4.083) -- (7.852,3.853) -- (7.83,3.623) -- (7.802,3.394) -- (7.768,3.166) -- (7.73,2.939) -- (7.686,2.712) -- (7.637,2.487) -- (7.582,2.264);
\draw[line width=0.5pt] (10.708,5.436) -- (10.452,5.246) -- (10.2,5.049) -- (9.953,4.846) -- (9.711,4.638) -- (9.474,4.424) -- (9.241,4.204) -- (9.014,3.979) -- (8.793,3.749) -- (8.576,3.513) -- (8.366,3.273) -- (8.161,3.027) -- (7.962,2.777) -- (7.769,2.523) -- (7.582,2.264);
\draw[line width=0.5pt] (10.708,5.436) -- (10.785,5.184) -- (10.856,4.931) -- (10.921,4.675) -- (10.979,4.418) -- (11.032,4.16) -- (11.078,3.9) -- (11.119,3.64) -- (11.153,3.378) -- (11.181,3.116) -- (11.203,2.853) -- (11.219,2.59) -- (11.229,2.327) -- (11.232,2.063) -- (11.229,1.8);
\draw[line width=0.5pt] (1.598,5.353) -- (1.532,5.068) -- (1.472,4.78) -- (1.42,4.492) -- (1.374,4.202) -- (1.335,3.911) -- (1.303,3.619) -- (1.277,3.327) -- (1.259,3.034) -- (1.247,2.741) -- (1.242,2.447) -- (1.245,2.154) -- (1.254,1.861) -- (1.27,1.568) -- (1.293,1.275);
\draw[line width=0.5pt] (7.582,2.264) -- (7.846,2.271) -- (8.109,2.271) -- (8.373,2.266) -- (8.637,2.254) -- (8.9,2.236) -- (9.163,2.212) -- (9.425,2.182) -- (9.686,2.146) -- (9.947,2.103) -- (10.206,2.055) -- (10.464,2.0) -- (10.721,1.939) -- (10.976,1.873) -- (11.229,1.8);
\draw[line width=0.5pt] (7.582,2.264) -- (7.399,2.253) -- (7.217,2.238) -- (7.035,2.219) -- (6.853,2.195) -- (6.672,2.167) -- (6.492,2.135) -- (6.313,2.099) -- (6.134,2.059) -- (5.956,2.014) -- (5.78,1.965) -- (5.605,1.912) -- (5.431,1.855) -- (5.258,1.794) -- (5.087,1.729) -- (4.823,1.655) -- (4.558,1.588) -- (4.29,1.527) -- (4.022,1.472) -- (3.752,1.423) -- (3.481,1.381) -- (3.209,1.345) -- (2.936,1.316) -- (2.663,1.293) -- (2.389,1.277) -- (2.115,1.267) -- (1.841,1.263) -- (1.567,1.266) -- (1.293,1.275);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.453,8.892) -- (11.431,8.972) -- (11.373,9.031) -- (11.293,9.052) -- (11.213,9.031) -- (11.154,8.972) -- (11.133,8.892) -- (11.154,8.812) -- (11.213,8.754) -- (11.293,8.732) -- (11.373,8.754) -- (11.431,8.812) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.492,7.696) -- (7.471,7.776) -- (7.412,7.835) -- (7.332,7.856) -- (7.252,7.835) -- (7.194,7.776) -- (7.172,7.696) -- (7.194,7.616) -- (7.252,7.558) -- (7.332,7.536) -- (7.412,7.558) -- (7.471,7.616) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.313,5.605) -- (5.292,5.685) -- (5.233,5.744) -- (5.153,5.765) -- (5.073,5.744) -- (5.015,5.685) -- (4.993,5.605) -- (5.015,5.525) -- (5.073,5.467) -- (5.153,5.445) -- (5.233,5.467) -- (5.292,5.525) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.018,5.464) -- (7.996,5.544) -- (7.938,5.603) -- (7.858,5.624) -- (7.778,5.603) -- (7.719,5.544) -- (7.698,5.464) -- (7.719,5.384) -- (7.778,5.326) -- (7.858,5.304) -- (7.938,5.326) -- (7.996,5.384) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.868,5.436) -- (10.847,5.516) -- (10.788,5.575) -- (10.708,5.596) -- (10.628,5.575) -- (10.57,5.516) -- (10.548,5.436) -- (10.57,5.356) -- (10.628,5.298) -- (10.708,5.276) -- (10.788,5.298) -- (10.847,5.356) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.758,5.353) -- (1.737,5.433) -- (1.678,5.492) -- (1.598,5.513) -- (1.518,5.492) -- (1.459,5.433) -- (1.438,5.353) -- (1.459,5.273) -- (1.518,5.215) -- (1.598,5.193) -- (1.678,5.215) -- (1.737,5.273) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.742,2.264) -- (7.721,2.344) -- (7.662,2.402) -- (7.582,2.424) -- (7.502,2.402) -- (7.444,2.344) -- (7.422,2.264) -- (7.444,2.184) -- (7.502,2.125) -- (7.582,2.104) -- (7.662,2.125) -- (7.721,2.184) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.389,1.8) -- (11.368,1.88) -- (11.309,1.938) -- (11.229,1.96) -- (11.149,1.938) -- (11.091,1.88) -- (11.069,1.8) -- (11.091,1.72) -- (11.149,1.661) -- (11.229,1.64) -- (11.309,1.661) -- (11.368,1.72) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.453,1.275) -- (1.431,1.355) -- (1.373,1.414) -- (1.293,1.435) -- (1.213,1.414) -- (1.154,1.355) -- (1.133,1.275) -- (1.154,1.195) -- (1.213,1.137) -- (1.293,1.115) -- (1.373,1.137) -- (1.431,1.195) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.696,8.151) -- (9.65,8.321) -- (9.526,8.446) -- (9.356,8.491) -- (9.186,8.446) -- (9.061,8.321) -- (9.016,8.151) -- (9.061,7.981) -- (9.186,7.857) -- (9.356,7.811) -- (9.526,7.857) -- (9.65,7.981) -- cycle;
\node at (9.356,8.151) {\scalebox{1.588}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.799,7.087) -- (11.753,7.257) -- (11.629,7.381) -- (11.459,7.427) -- (11.289,7.381) -- (11.164,7.257) -- (11.119,7.087) -- (11.164,6.917) -- (11.289,6.792) -- (11.459,6.747) -- (11.629,6.792) -- (11.753,6.917) -- cycle;
\node at (11.459,7.087) {\scalebox{1.588}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.718,6.51) -- (6.673,6.68) -- (6.548,6.804) -- (6.378,6.85) -- (6.208,6.804) -- (6.084,6.68) -- (6.038,6.51) -- (6.084,6.34) -- (6.208,6.215) -- (6.378,6.17) -- (6.548,6.215) -- (6.673,6.34) -- cycle;
\node at (6.378,6.51) {\scalebox{1.588}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.339,6.675) -- (8.293,6.845) -- (8.169,6.97) -- (7.999,7.015) -- (7.829,6.97) -- (7.704,6.845) -- (7.659,6.675) -- (7.704,6.505) -- (7.829,6.381) -- (7.999,6.335) -- (8.169,6.381) -- (8.293,6.505) -- cycle;
\node at (7.999,6.675) {\scalebox{1.588}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.445,6.693) -- (9.4,6.863) -- (9.275,6.988) -- (9.105,7.033) -- (8.935,6.988) -- (8.811,6.863) -- (8.765,6.693) -- (8.811,6.523) -- (8.935,6.399) -- (9.105,6.353) -- (9.275,6.399) -- (9.4,6.523) -- cycle;
\node at (9.105,6.693) {\scalebox{1.588}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.749,5.013) -- (3.703,5.183) -- (3.579,5.308) -- (3.409,5.353) -- (3.239,5.308) -- (3.114,5.183) -- (3.069,5.013) -- (3.114,4.843) -- (3.239,4.719) -- (3.409,4.673) -- (3.579,4.719) -- (3.703,4.843) -- cycle;
\node at (3.409,5.013) {\scalebox{1.588}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.625,5.653) -- (9.58,5.823) -- (9.455,5.947) -- (9.285,5.993) -- (9.115,5.947) -- (8.991,5.823) -- (8.945,5.653) -- (8.991,5.483) -- (9.115,5.358) -- (9.285,5.313) -- (9.455,5.358) -- (9.58,5.483) -- cycle;
\node at (9.285,5.653) {\scalebox{1.588}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.511,3.825) -- (8.465,3.995) -- (8.341,4.12) -- (8.171,4.165) -- (8.001,4.12) -- (7.876,3.995) -- (7.831,3.825) -- (7.876,3.655) -- (8.001,3.531) -- (8.171,3.485) -- (8.341,3.531) -- (8.465,3.655) -- cycle;
\node at (8.171,3.825) {\scalebox{1.588}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.582,3.754) -- (9.537,3.924) -- (9.412,4.049) -- (9.242,4.094) -- (9.072,4.049) -- (8.948,3.924) -- (8.902,3.754) -- (8.948,3.584) -- (9.072,3.46) -- (9.242,3.414) -- (9.412,3.46) -- (9.537,3.584) -- cycle;
\node at (9.242,3.754) {\scalebox{1.588}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.776,3.685) -- (11.73,3.855) -- (11.606,3.979) -- (11.436,4.025) -- (11.266,3.979) -- (11.141,3.855) -- (11.096,3.685) -- (11.141,3.515) -- (11.266,3.39) -- (11.436,3.345) -- (11.606,3.39) -- (11.73,3.515) -- cycle;
\node at (11.436,3.685) {\scalebox{1.588}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.936,3.303) -- (1.891,3.473) -- (1.766,3.597) -- (1.596,3.643) -- (1.426,3.597) -- (1.302,3.473) -- (1.256,3.303) -- (1.302,3.133) -- (1.426,3.009) -- (1.596,2.963) -- (1.766,3.009) -- (1.891,3.133) -- cycle;
\node at (1.596,3.303) {\scalebox{1.588}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.805,2.5) -- (9.76,2.67) -- (9.635,2.794) -- (9.465,2.84) -- (9.295,2.794) -- (9.171,2.67) -- (9.125,2.5) -- (9.171,2.33) -- (9.295,2.205) -- (9.465,2.16) -- (9.635,2.205) -- (9.76,2.33) -- cycle;
\node at (9.465,2.5) {\scalebox{1.588}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.524,1.424) -- (5.479,1.594) -- (5.354,1.718) -- (5.184,1.764) -- (5.014,1.718) -- (4.89,1.594) -- (4.844,1.424) -- (4.89,1.254) -- (5.014,1.129) -- (5.184,1.084) -- (5.354,1.129) -- (5.479,1.254) -- cycle;
\node at (5.184,1.424) {\scalebox{1.588}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.558,5.164) -- (8.158,5.164) -- (8.158,5.764) -- (7.558,5.764) -- cycle;
\node at (7.858,5.464) {\scalebox{1.588}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.1,3.505) -- (8.7,3.505) -- (8.7,4.105) -- (8.1,4.105) -- cycle;
\node at (8.4,3.805) {\scalebox{1.588}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.783,8.51) -- (10.383,8.51) -- (10.383,9.11) -- (9.783,9.11) -- cycle;
\node at (10.083,8.81) {\scalebox{1.588}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.068,2.759) -- (10.668,2.759) -- (10.668,3.359) -- (10.068,3.359) -- cycle;
\node at (10.368,3.059) {\scalebox{1.588}{\small d}};
\node at (11.739,9.323) {\scalebox{1.588}{\small A}};
\node at (7.379,8.315) {\scalebox{1.588}{\small B}};
\node at (4.573,5.824) {\scalebox{1.588}{\small C}};
\node at (8.34,5.854) {\scalebox{1.588}{\small D}};
\node at (11.321,5.534) {\scalebox{1.588}{\small E}};
\node at (0.98,5.408) {\scalebox{1.588}{\small F}};
\node at (7.691,1.653) {\scalebox{1.588}{\small G}};
\node at (11.726,1.429) {\scalebox{1.588}{\small H}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.588}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.593,7.942) -- (12.593,9.042);
\draw[line width=0.5pt] (12.362,8.657) -- (12.593,9.042) -- (12.824,8.657);
\draw[line width=0.5pt] (12.29,8.492) -- (12.895,8.492);
\node at (12.593,9.427) {\scalebox{1.588}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 3 & 5 & 2 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en E}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue du Moulin ④} vers le nord et atteint Rond-point de la Gare \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ①}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑪}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑬}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑦}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑫}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑩}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{D} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
