\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 290}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=290}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0290}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6995, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.832,8.46) -- (4.658,8.441) -- (4.484,8.417) -- (4.311,8.39) -- (4.138,8.358) -- (3.967,8.322) -- (3.796,8.282) -- (3.626,8.238) -- (3.457,8.19) -- (3.289,8.138) -- (3.123,8.082) -- (2.958,8.023) -- (2.794,7.959) -- (2.632,7.892) -- (2.472,7.82);
\draw[line width=0.5pt] (4.832,8.46) -- (5.055,8.419) -- (5.278,8.373) -- (5.499,8.321) -- (5.719,8.264) -- (5.937,8.202) -- (6.154,8.135) -- (6.369,8.063) -- (6.583,7.986) -- (6.795,7.903) -- (7.005,7.816) -- (7.212,7.724) -- (7.417,7.627) -- (7.62,7.525) -- (7.821,7.419) -- (8.051,7.239) -- (8.286,7.064) -- (8.525,6.896) -- (8.767,6.732) -- (9.014,6.575) -- (9.264,6.423) -- (9.518,6.278) -- (9.775,6.138) -- (10.035,6.004) -- (10.298,5.877) -- (10.565,5.755) -- (10.834,5.64) -- (11.105,5.532) -- (11.379,5.43);
\draw[line width=0.5pt] (2.472,7.82) -- (2.355,7.578) -- (2.244,7.332) -- (2.139,7.084) -- (2.039,6.833) -- (1.946,6.58) -- (1.859,6.325) -- (1.777,6.068) -- (1.702,5.809) -- (1.632,5.548) -- (1.569,5.286) -- (1.512,5.022) -- (1.461,4.757) -- (1.417,4.491) -- (1.379,4.225);
\draw[line width=0.5pt] (11.379,5.43) -- (11.198,5.132) -- (11.01,4.839) -- (10.815,4.55) -- (10.614,4.266) -- (10.406,3.986) -- (10.191,3.711) -- (9.97,3.442) -- (9.742,3.178) -- (9.508,2.919) -- (9.269,2.666) -- (9.023,2.418) -- (8.772,2.177) -- (8.516,1.941) -- (8.253,1.712);
\draw[line width=0.5pt] (8.095,5.024) -- (7.843,5.023) -- (7.591,5.017) -- (7.339,5.005) -- (7.088,4.986) -- (6.837,4.962) -- (6.586,4.932) -- (6.337,4.896) -- (6.088,4.854) -- (5.84,4.806) -- (5.594,4.753) -- (5.349,4.694) -- (5.105,4.629) -- (4.863,4.558) -- (4.623,4.481);
\draw[line width=0.5pt] (8.095,5.024) -- (8.142,4.791) -- (8.184,4.557) -- (8.221,4.322) -- (8.252,4.086) -- (8.277,3.849) -- (8.297,3.612) -- (8.311,3.374) -- (8.319,3.137) -- (8.322,2.899) -- (8.32,2.661) -- (8.312,2.423) -- (8.298,2.185) -- (8.278,1.948) -- (8.253,1.712);
\draw[line width=0.5pt] (4.623,4.481) -- (4.39,4.499) -- (4.157,4.511) -- (3.924,4.517) -- (3.69,4.518) -- (3.457,4.513) -- (3.223,4.503) -- (2.99,4.487) -- (2.758,4.466) -- (2.526,4.439) -- (2.294,4.407) -- (2.064,4.37) -- (1.834,4.327) -- (1.606,4.278) -- (1.379,4.225);
\draw[line width=0.5pt] (4.623,4.481) -- (4.911,4.325) -- (5.194,4.162) -- (5.474,3.991) -- (5.75,3.815) -- (6.022,3.632) -- (6.29,3.442) -- (6.552,3.246) -- (6.811,3.045) -- (7.064,2.837) -- (7.313,2.623) -- (7.556,2.404) -- (7.794,2.178) -- (8.026,1.948) -- (8.253,1.712);
\draw[line width=0.5pt] (4.623,4.481) -- (4.605,4.271) -- (4.593,4.061) -- (4.585,3.85) -- (4.583,3.639) -- (4.585,3.428) -- (4.593,3.217) -- (4.605,3.006) -- (4.622,2.796) -- (4.645,2.586) -- (4.672,2.377) -- (4.704,2.168) -- (4.741,1.96) -- (4.783,1.753) -- (4.829,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (8.253,1.712) -- (8.013,1.663) -- (7.771,1.619) -- (7.528,1.582) -- (7.284,1.55) -- (7.039,1.524) -- (6.794,1.503) -- (6.548,1.489) -- (6.302,1.48) -- (6.056,1.477) -- (5.81,1.479) -- (5.564,1.488) -- (5.319,1.502) -- (5.074,1.522) -- (4.829,1.548);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.992,8.46) -- (4.971,8.54) -- (4.912,8.599) -- (4.832,8.62) -- (4.752,8.599) -- (4.694,8.54) -- (4.672,8.46) -- (4.694,8.38) -- (4.752,8.322) -- (4.832,8.3) -- (4.912,8.322) -- (4.971,8.38) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.632,7.82) -- (2.61,7.9) -- (2.552,7.959) -- (2.472,7.98) -- (2.392,7.959) -- (2.333,7.9) -- (2.312,7.82) -- (2.333,7.74) -- (2.392,7.682) -- (2.472,7.66) -- (2.552,7.682) -- (2.61,7.74) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.539,5.43) -- (11.518,5.51) -- (11.459,5.568) -- (11.379,5.59) -- (11.299,5.568) -- (11.24,5.51) -- (11.219,5.43) -- (11.24,5.35) -- (11.299,5.291) -- (11.379,5.27) -- (11.459,5.291) -- (11.518,5.35) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.255,5.024) -- (8.233,5.104) -- (8.175,5.162) -- (8.095,5.184) -- (8.015,5.162) -- (7.956,5.104) -- (7.935,5.024) -- (7.956,4.944) -- (8.015,4.885) -- (8.095,4.864) -- (8.175,4.885) -- (8.233,4.944) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.783,4.481) -- (4.762,4.561) -- (4.703,4.62) -- (4.623,4.641) -- (4.543,4.62) -- (4.484,4.561) -- (4.463,4.481) -- (4.484,4.401) -- (4.543,4.343) -- (4.623,4.321) -- (4.703,4.343) -- (4.762,4.401) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.539,4.225) -- (1.518,4.305) -- (1.459,4.363) -- (1.379,4.385) -- (1.299,4.363) -- (1.24,4.305) -- (1.219,4.225) -- (1.24,4.145) -- (1.299,4.086) -- (1.379,4.065) -- (1.459,4.086) -- (1.518,4.145) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.413,1.712) -- (8.392,1.792) -- (8.333,1.85) -- (8.253,1.872) -- (8.173,1.85) -- (8.115,1.792) -- (8.093,1.712) -- (8.115,1.632) -- (8.173,1.573) -- (8.253,1.552) -- (8.333,1.573) -- (8.392,1.632) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.989,1.548) -- (4.968,1.628) -- (4.909,1.686) -- (4.829,1.708) -- (4.749,1.686) -- (4.691,1.628) -- (4.669,1.548) -- (4.691,1.468) -- (4.749,1.409) -- (4.829,1.388) -- (4.909,1.409) -- (4.968,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.049,7.929) -- (4.004,8.099) -- (3.879,8.223) -- (3.709,8.269) -- (3.539,8.223) -- (3.415,8.099) -- (3.369,7.929) -- (3.415,7.759) -- (3.539,7.635) -- (3.709,7.589) -- (3.879,7.635) -- (4.004,7.759) -- cycle;
\node at (3.709,7.929) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.338,7.685) -- (8.292,7.855) -- (8.168,7.98) -- (7.998,8.025) -- (7.828,7.98) -- (7.703,7.855) -- (7.658,7.685) -- (7.703,7.515) -- (7.828,7.391) -- (7.998,7.345) -- (8.168,7.391) -- (8.292,7.515) -- cycle;
\node at (7.998,7.685) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.423,5.975) -- (2.378,6.145) -- (2.253,6.269) -- (2.083,6.315) -- (1.913,6.269) -- (1.789,6.145) -- (1.743,5.975) -- (1.789,5.805) -- (1.913,5.68) -- (2.083,5.635) -- (2.253,5.68) -- (2.378,5.805) -- cycle;
\node at (2.083,5.975) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.554,3.236) -- (10.509,3.406) -- (10.384,3.53) -- (10.214,3.576) -- (10.044,3.53) -- (9.92,3.406) -- (9.874,3.236) -- (9.92,3.066) -- (10.044,2.942) -- (10.214,2.896) -- (10.384,2.942) -- (10.509,3.066) -- cycle;
\node at (10.214,3.236) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.726,4.58) -- (6.68,4.75) -- (6.556,4.874) -- (6.386,4.92) -- (6.216,4.874) -- (6.091,4.75) -- (6.046,4.58) -- (6.091,4.41) -- (6.216,4.285) -- (6.386,4.24) -- (6.556,4.285) -- (6.68,4.41) -- cycle;
\node at (6.386,4.58) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.97,3.39) -- (8.925,3.56) -- (8.8,3.684) -- (8.63,3.73) -- (8.46,3.684) -- (8.336,3.56) -- (8.29,3.39) -- (8.336,3.22) -- (8.46,3.095) -- (8.63,3.05) -- (8.8,3.095) -- (8.925,3.22) -- cycle;
\node at (8.63,3.39) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.356,4.168) -- (3.31,4.338) -- (3.186,4.462) -- (3.016,4.508) -- (2.846,4.462) -- (2.721,4.338) -- (2.676,4.168) -- (2.721,3.998) -- (2.846,3.873) -- (3.016,3.828) -- (3.186,3.873) -- (3.31,3.998) -- cycle;
\node at (3.016,4.168) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.087,3.501) -- (7.041,3.671) -- (6.917,3.795) -- (6.747,3.841) -- (6.577,3.795) -- (6.452,3.671) -- (6.407,3.501) -- (6.452,3.331) -- (6.577,3.206) -- (6.747,3.161) -- (6.917,3.206) -- (7.041,3.331) -- cycle;
\node at (6.747,3.501) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.264,3.029) -- (5.219,3.199) -- (5.094,3.323) -- (4.924,3.369) -- (4.754,3.323) -- (4.63,3.199) -- (4.584,3.029) -- (4.63,2.859) -- (4.754,2.734) -- (4.924,2.689) -- (5.094,2.734) -- (5.219,2.859) -- cycle;
\node at (4.924,3.029) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.903,1.169) -- (6.858,1.339) -- (6.733,1.463) -- (6.563,1.509) -- (6.393,1.463) -- (6.269,1.339) -- (6.223,1.169) -- (6.269,0.999) -- (6.393,0.875) -- (6.563,0.829) -- (6.733,0.875) -- (6.858,0.999) -- cycle;
\node at (6.563,1.169) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.953,1.412) -- (8.553,1.412) -- (8.553,2.012) -- (7.953,2.012) -- cycle;
\node at (8.253,1.712) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.121,4.052) -- (6.721,4.052) -- (6.721,4.652) -- (6.121,4.652) -- cycle;
\node at (6.421,4.352) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.12,2.401) -- (11.72,2.401) -- (11.72,3.001) -- (11.12,3.001) -- cycle;
\node at (11.42,2.701) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.364,2.606) -- (7.964,2.606) -- (7.964,3.206) -- (7.364,3.206) -- cycle;
\node at (7.664,2.906) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (4.683,9.062) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (2.014,8.239) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (11.996,5.495) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (8.713,5.073) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (4.033,4.292) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (0.765,4.138) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (8.643,1.229) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (4.665,0.95) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.679,7.51) -- (12.679,8.61);
\draw[line width=0.5pt] (12.448,8.225) -- (12.679,8.61) -- (12.91,8.225);
\draw[line width=0.5pt] (12.376,8.06) -- (12.981,8.06);
\node at (12.679,8.995) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Pont & ⑥ chemin Creux & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin de Ronde & ⑦ rue du Moulin & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue des Lilas & ⑧ rue de la Poste & Ⓒ Place du Vieux-Puits & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ chemin du Lavoir & ⑨ quai aux Fleurs & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
⑤ rue du Stade & ⑩ rue Haute & Ⓔ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6259, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.832,8.46) -- (4.658,8.441) -- (4.484,8.417) -- (4.311,8.39) -- (4.138,8.358) -- (3.967,8.322) -- (3.796,8.282) -- (3.626,8.238) -- (3.457,8.19) -- (3.289,8.138) -- (3.123,8.082) -- (2.958,8.023) -- (2.794,7.959) -- (2.632,7.892) -- (2.472,7.82);
\draw[line width=0.5pt] (4.832,8.46) -- (5.055,8.419) -- (5.278,8.373) -- (5.499,8.321) -- (5.719,8.264) -- (5.937,8.202) -- (6.154,8.135) -- (6.369,8.063) -- (6.583,7.986) -- (6.795,7.903) -- (7.005,7.816) -- (7.212,7.724) -- (7.417,7.627) -- (7.62,7.525) -- (7.821,7.419) -- (8.051,7.239) -- (8.286,7.064) -- (8.525,6.896) -- (8.767,6.732) -- (9.014,6.575) -- (9.264,6.423) -- (9.518,6.278) -- (9.775,6.138) -- (10.035,6.004) -- (10.298,5.877) -- (10.565,5.755) -- (10.834,5.64) -- (11.105,5.532) -- (11.379,5.43);
\draw[line width=0.5pt] (2.472,7.82) -- (2.355,7.578) -- (2.244,7.332) -- (2.139,7.084) -- (2.039,6.833) -- (1.946,6.58) -- (1.859,6.325) -- (1.777,6.068) -- (1.702,5.809) -- (1.632,5.548) -- (1.569,5.286) -- (1.512,5.022) -- (1.461,4.757) -- (1.417,4.491) -- (1.379,4.225);
\draw[line width=0.5pt] (11.379,5.43) -- (11.198,5.132) -- (11.01,4.839) -- (10.815,4.55) -- (10.614,4.266) -- (10.406,3.986) -- (10.191,3.711) -- (9.97,3.442) -- (9.742,3.178) -- (9.508,2.919) -- (9.269,2.666) -- (9.023,2.418) -- (8.772,2.177) -- (8.516,1.941) -- (8.253,1.712);
\draw[line width=0.5pt] (8.095,5.024) -- (7.843,5.023) -- (7.591,5.017) -- (7.339,5.005) -- (7.088,4.986) -- (6.837,4.962) -- (6.586,4.932) -- (6.337,4.896) -- (6.088,4.854) -- (5.84,4.806) -- (5.594,4.753) -- (5.349,4.694) -- (5.105,4.629) -- (4.863,4.558) -- (4.623,4.481);
\draw[line width=0.5pt] (8.095,5.024) -- (8.142,4.791) -- (8.184,4.557) -- (8.221,4.322) -- (8.252,4.086) -- (8.277,3.849) -- (8.297,3.612) -- (8.311,3.374) -- (8.319,3.137) -- (8.322,2.899) -- (8.32,2.661) -- (8.312,2.423) -- (8.298,2.185) -- (8.278,1.948) -- (8.253,1.712);
\draw[line width=0.5pt] (4.623,4.481) -- (4.39,4.499) -- (4.157,4.511) -- (3.924,4.517) -- (3.69,4.518) -- (3.457,4.513) -- (3.223,4.503) -- (2.99,4.487) -- (2.758,4.466) -- (2.526,4.439) -- (2.294,4.407) -- (2.064,4.37) -- (1.834,4.327) -- (1.606,4.278) -- (1.379,4.225);
\draw[line width=0.5pt] (4.623,4.481) -- (4.911,4.325) -- (5.194,4.162) -- (5.474,3.991) -- (5.75,3.815) -- (6.022,3.632) -- (6.29,3.442) -- (6.552,3.246) -- (6.811,3.045) -- (7.064,2.837) -- (7.313,2.623) -- (7.556,2.404) -- (7.794,2.178) -- (8.026,1.948) -- (8.253,1.712);
\draw[line width=0.5pt] (4.623,4.481) -- (4.605,4.271) -- (4.593,4.061) -- (4.585,3.85) -- (4.583,3.639) -- (4.585,3.428) -- (4.593,3.217) -- (4.605,3.006) -- (4.622,2.796) -- (4.645,2.586) -- (4.672,2.377) -- (4.704,2.168) -- (4.741,1.96) -- (4.783,1.753) -- (4.829,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (8.253,1.712) -- (8.013,1.663) -- (7.771,1.619) -- (7.528,1.582) -- (7.284,1.55) -- (7.039,1.524) -- (6.794,1.503) -- (6.548,1.489) -- (6.302,1.48) -- (6.056,1.477) -- (5.81,1.479) -- (5.564,1.488) -- (5.319,1.502) -- (5.074,1.522) -- (4.829,1.548);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.992,8.46) -- (4.971,8.54) -- (4.912,8.599) -- (4.832,8.62) -- (4.752,8.599) -- (4.694,8.54) -- (4.672,8.46) -- (4.694,8.38) -- (4.752,8.322) -- (4.832,8.3) -- (4.912,8.322) -- (4.971,8.38) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.632,7.82) -- (2.61,7.9) -- (2.552,7.959) -- (2.472,7.98) -- (2.392,7.959) -- (2.333,7.9) -- (2.312,7.82) -- (2.333,7.74) -- (2.392,7.682) -- (2.472,7.66) -- (2.552,7.682) -- (2.61,7.74) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.539,5.43) -- (11.518,5.51) -- (11.459,5.568) -- (11.379,5.59) -- (11.299,5.568) -- (11.24,5.51) -- (11.219,5.43) -- (11.24,5.35) -- (11.299,5.291) -- (11.379,5.27) -- (11.459,5.291) -- (11.518,5.35) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.255,5.024) -- (8.233,5.104) -- (8.175,5.162) -- (8.095,5.184) -- (8.015,5.162) -- (7.956,5.104) -- (7.935,5.024) -- (7.956,4.944) -- (8.015,4.885) -- (8.095,4.864) -- (8.175,4.885) -- (8.233,4.944) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.783,4.481) -- (4.762,4.561) -- (4.703,4.62) -- (4.623,4.641) -- (4.543,4.62) -- (4.484,4.561) -- (4.463,4.481) -- (4.484,4.401) -- (4.543,4.343) -- (4.623,4.321) -- (4.703,4.343) -- (4.762,4.401) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.539,4.225) -- (1.518,4.305) -- (1.459,4.363) -- (1.379,4.385) -- (1.299,4.363) -- (1.24,4.305) -- (1.219,4.225) -- (1.24,4.145) -- (1.299,4.086) -- (1.379,4.065) -- (1.459,4.086) -- (1.518,4.145) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.413,1.712) -- (8.392,1.792) -- (8.333,1.85) -- (8.253,1.872) -- (8.173,1.85) -- (8.115,1.792) -- (8.093,1.712) -- (8.115,1.632) -- (8.173,1.573) -- (8.253,1.552) -- (8.333,1.573) -- (8.392,1.632) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.989,1.548) -- (4.968,1.628) -- (4.909,1.686) -- (4.829,1.708) -- (4.749,1.686) -- (4.691,1.628) -- (4.669,1.548) -- (4.691,1.468) -- (4.749,1.409) -- (4.829,1.388) -- (4.909,1.409) -- (4.968,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.049,7.929) -- (4.004,8.099) -- (3.879,8.223) -- (3.709,8.269) -- (3.539,8.223) -- (3.415,8.099) -- (3.369,7.929) -- (3.415,7.759) -- (3.539,7.635) -- (3.709,7.589) -- (3.879,7.635) -- (4.004,7.759) -- cycle;
\node at (3.709,7.929) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.338,7.685) -- (8.292,7.855) -- (8.168,7.98) -- (7.998,8.025) -- (7.828,7.98) -- (7.703,7.855) -- (7.658,7.685) -- (7.703,7.515) -- (7.828,7.391) -- (7.998,7.345) -- (8.168,7.391) -- (8.292,7.515) -- cycle;
\node at (7.998,7.685) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.423,5.975) -- (2.378,6.145) -- (2.253,6.269) -- (2.083,6.315) -- (1.913,6.269) -- (1.789,6.145) -- (1.743,5.975) -- (1.789,5.805) -- (1.913,5.68) -- (2.083,5.635) -- (2.253,5.68) -- (2.378,5.805) -- cycle;
\node at (2.083,5.975) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.554,3.236) -- (10.509,3.406) -- (10.384,3.53) -- (10.214,3.576) -- (10.044,3.53) -- (9.92,3.406) -- (9.874,3.236) -- (9.92,3.066) -- (10.044,2.942) -- (10.214,2.896) -- (10.384,2.942) -- (10.509,3.066) -- cycle;
\node at (10.214,3.236) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.726,4.58) -- (6.68,4.75) -- (6.556,4.874) -- (6.386,4.92) -- (6.216,4.874) -- (6.091,4.75) -- (6.046,4.58) -- (6.091,4.41) -- (6.216,4.285) -- (6.386,4.24) -- (6.556,4.285) -- (6.68,4.41) -- cycle;
\node at (6.386,4.58) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.97,3.39) -- (8.925,3.56) -- (8.8,3.684) -- (8.63,3.73) -- (8.46,3.684) -- (8.336,3.56) -- (8.29,3.39) -- (8.336,3.22) -- (8.46,3.095) -- (8.63,3.05) -- (8.8,3.095) -- (8.925,3.22) -- cycle;
\node at (8.63,3.39) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.356,4.168) -- (3.31,4.338) -- (3.186,4.462) -- (3.016,4.508) -- (2.846,4.462) -- (2.721,4.338) -- (2.676,4.168) -- (2.721,3.998) -- (2.846,3.873) -- (3.016,3.828) -- (3.186,3.873) -- (3.31,3.998) -- cycle;
\node at (3.016,4.168) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.087,3.501) -- (7.041,3.671) -- (6.917,3.795) -- (6.747,3.841) -- (6.577,3.795) -- (6.452,3.671) -- (6.407,3.501) -- (6.452,3.331) -- (6.577,3.206) -- (6.747,3.161) -- (6.917,3.206) -- (7.041,3.331) -- cycle;
\node at (6.747,3.501) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.264,3.029) -- (5.219,3.199) -- (5.094,3.323) -- (4.924,3.369) -- (4.754,3.323) -- (4.63,3.199) -- (4.584,3.029) -- (4.63,2.859) -- (4.754,2.734) -- (4.924,2.689) -- (5.094,2.734) -- (5.219,2.859) -- cycle;
\node at (4.924,3.029) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.903,1.169) -- (6.858,1.339) -- (6.733,1.463) -- (6.563,1.509) -- (6.393,1.463) -- (6.269,1.339) -- (6.223,1.169) -- (6.269,0.999) -- (6.393,0.875) -- (6.563,0.829) -- (6.733,0.875) -- (6.858,0.999) -- cycle;
\node at (6.563,1.169) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.953,1.412) -- (8.553,1.412) -- (8.553,2.012) -- (7.953,2.012) -- cycle;
\node at (8.253,1.712) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.121,4.052) -- (6.721,4.052) -- (6.721,4.652) -- (6.121,4.652) -- cycle;
\node at (6.421,4.352) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.12,2.401) -- (11.72,2.401) -- (11.72,3.001) -- (11.12,3.001) -- cycle;
\node at (11.42,2.701) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.364,2.606) -- (7.964,2.606) -- (7.964,3.206) -- (7.364,3.206) -- cycle;
\node at (7.664,2.906) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (4.683,9.062) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (2.014,8.239) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (11.996,5.495) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (8.713,5.073) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (4.033,4.292) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (0.765,4.138) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (8.643,1.229) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (4.665,0.95) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.679,7.51) -- (12.679,8.61);
\draw[line width=0.5pt] (12.448,8.225) -- (12.679,8.61) -- (12.91,8.225);
\draw[line width=0.5pt] (12.376,8.06) -- (12.981,8.06);
\node at (12.679,8.995) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour Saint-Roch \textbf{(G)}, prend le \textbf{chemin du Lavoir ④} vers le nord-est et atteint Place du Vieux-Puits \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ②}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(A)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Pont ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ③}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑦}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Stade ⑤}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑥}, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑨}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑩}, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
