\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 291}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=291}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0291}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6854, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.329,8.765) -- (11.079,8.738) -- (10.83,8.705) -- (10.582,8.667) -- (10.334,8.622) -- (10.088,8.572) -- (9.843,8.516) -- (9.599,8.454) -- (9.357,8.386) -- (9.116,8.313) -- (8.877,8.234) -- (8.641,8.15) -- (8.406,8.06) -- (8.173,7.964) -- (7.943,7.864);
\draw[line width=0.5pt] (11.329,8.765) -- (11.359,8.521) -- (11.384,8.277) -- (11.402,8.032) -- (11.415,7.787) -- (11.422,7.541) -- (11.423,7.296) -- (11.419,7.05) -- (11.409,6.805) -- (11.393,6.56) -- (11.371,6.315) -- (11.344,6.071) -- (11.31,5.828) -- (11.271,5.585) -- (11.227,5.344);
\draw[line width=0.5pt] (7.943,7.864) -- (7.749,7.868) -- (7.555,7.868) -- (7.36,7.863) -- (7.166,7.854) -- (6.972,7.84) -- (6.779,7.821) -- (6.586,7.798) -- (6.393,7.771) -- (6.201,7.739) -- (6.01,7.702) -- (5.82,7.661) -- (5.631,7.615) -- (5.443,7.566) -- (5.257,7.511);
\draw[line width=0.5pt] (7.943,7.864) -- (7.767,7.618) -- (7.585,7.377) -- (7.397,7.14) -- (7.203,6.908) -- (7.004,6.68) -- (6.8,6.457) -- (6.59,6.239) -- (6.376,6.026) -- (6.156,5.818) -- (5.932,5.615) -- (5.703,5.417) -- (5.47,5.225) -- (5.232,5.039) -- (4.99,4.858);
\draw[line width=0.5pt] (5.257,7.511) -- (5.209,7.326) -- (5.165,7.14) -- (5.126,6.953) -- (5.091,6.765) -- (5.061,6.576) -- (5.035,6.386) -- (5.014,6.196) -- (4.997,6.005) -- (4.984,5.814) -- (4.976,5.623) -- (4.973,5.432) -- (4.974,5.24) -- (4.98,5.049) -- (4.99,4.858);
\draw[line width=0.5pt] (11.227,5.344) -- (11.032,5.248) -- (10.835,5.156) -- (10.635,5.069) -- (10.434,4.987) -- (10.231,4.91) -- (10.026,4.837) -- (9.819,4.769) -- (9.611,4.707) -- (9.402,4.649) -- (9.191,4.595) -- (8.979,4.547) -- (8.766,4.504) -- (8.552,4.466) -- (8.337,4.433) -- (8.105,4.5) -- (7.87,4.561) -- (7.635,4.617) -- (7.398,4.667) -- (7.16,4.712) -- (6.921,4.751) -- (6.681,4.784) -- (6.44,4.812) -- (6.199,4.834) -- (5.957,4.85) -- (5.716,4.861) -- (5.473,4.866) -- (5.231,4.865) -- (4.99,4.858);
\draw[line width=0.5pt] (11.227,5.344) -- (10.98,5.126) -- (10.739,4.903) -- (10.503,4.673) -- (10.272,4.438) -- (10.047,4.198) -- (9.827,3.953) -- (9.614,3.702) -- (9.406,3.446) -- (9.205,3.186) -- (9.009,2.921) -- (8.82,2.652) -- (8.637,2.378) -- (8.461,2.1) -- (8.292,1.818);
\draw[line width=0.5pt] (11.227,5.344) -- (11.227,5.059) -- (11.22,4.775) -- (11.207,4.491) -- (11.187,4.207) -- (11.16,3.923) -- (11.127,3.64) -- (11.087,3.358) -- (11.04,3.078) -- (10.987,2.798) -- (10.927,2.519) -- (10.861,2.243) -- (10.788,1.967) -- (10.709,1.694) -- (10.623,1.423);
\draw[line width=0.5pt] (4.99,4.858) -- (4.7,4.702) -- (4.414,4.539) -- (4.132,4.37) -- (3.854,4.193) -- (3.58,4.011) -- (3.31,3.821) -- (3.045,3.626) -- (2.785,3.424) -- (2.529,3.216) -- (2.279,3.003) -- (2.033,2.783) -- (1.793,2.558) -- (1.558,2.327) -- (1.329,2.091);
\draw[line width=0.5pt] (8.292,1.818) -- (8.461,1.815) -- (8.631,1.809) -- (8.8,1.798) -- (8.969,1.784) -- (9.138,1.765) -- (9.306,1.743) -- (9.474,1.716) -- (9.641,1.686) -- (9.807,1.652) -- (9.972,1.614) -- (10.137,1.572) -- (10.3,1.526) -- (10.462,1.476) -- (10.623,1.423);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.489,8.765) -- (11.468,8.845) -- (11.409,8.903) -- (11.329,8.925) -- (11.249,8.903) -- (11.191,8.845) -- (11.169,8.765) -- (11.191,8.685) -- (11.249,8.626) -- (11.329,8.605) -- (11.409,8.626) -- (11.468,8.685) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.103,7.864) -- (8.082,7.944) -- (8.023,8.002) -- (7.943,8.024) -- (7.863,8.002) -- (7.805,7.944) -- (7.783,7.864) -- (7.805,7.784) -- (7.863,7.725) -- (7.943,7.704) -- (8.023,7.725) -- (8.082,7.784) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.417,7.511) -- (5.395,7.591) -- (5.337,7.65) -- (5.257,7.671) -- (5.177,7.65) -- (5.118,7.591) -- (5.097,7.511) -- (5.118,7.431) -- (5.177,7.373) -- (5.257,7.351) -- (5.337,7.373) -- (5.395,7.431) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.387,5.344) -- (11.365,5.424) -- (11.307,5.482) -- (11.227,5.504) -- (11.147,5.482) -- (11.088,5.424) -- (11.067,5.344) -- (11.088,5.264) -- (11.147,5.205) -- (11.227,5.184) -- (11.307,5.205) -- (11.365,5.264) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.15,4.858) -- (5.128,4.938) -- (5.07,4.997) -- (4.99,5.018) -- (4.91,4.997) -- (4.851,4.938) -- (4.83,4.858) -- (4.851,4.778) -- (4.91,4.72) -- (4.99,4.698) -- (5.07,4.72) -- (5.128,4.778) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.489,2.091) -- (1.468,2.171) -- (1.409,2.23) -- (1.329,2.251) -- (1.249,2.23) -- (1.191,2.171) -- (1.169,2.091) -- (1.191,2.011) -- (1.249,1.953) -- (1.329,1.931) -- (1.409,1.953) -- (1.468,2.011) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.452,1.818) -- (8.43,1.898) -- (8.372,1.956) -- (8.292,1.978) -- (8.212,1.956) -- (8.153,1.898) -- (8.132,1.818) -- (8.153,1.738) -- (8.212,1.679) -- (8.292,1.658) -- (8.372,1.679) -- (8.43,1.738) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.783,1.423) -- (10.762,1.503) -- (10.703,1.561) -- (10.623,1.583) -- (10.543,1.561) -- (10.485,1.503) -- (10.463,1.423) -- (10.485,1.343) -- (10.543,1.284) -- (10.623,1.263) -- (10.703,1.284) -- (10.762,1.343) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.021,8.145) -- (9.976,8.315) -- (9.851,8.439) -- (9.681,8.485) -- (9.511,8.439) -- (9.387,8.315) -- (9.341,8.145) -- (9.387,7.975) -- (9.511,7.85) -- (9.681,7.805) -- (9.851,7.85) -- (9.976,7.975) -- cycle;
\node at (9.681,8.145) {\scalebox{1.459}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.079,7.041) -- (12.033,7.211) -- (11.909,7.335) -- (11.739,7.381) -- (11.569,7.335) -- (11.444,7.211) -- (11.399,7.041) -- (11.444,6.871) -- (11.569,6.746) -- (11.739,6.701) -- (11.909,6.746) -- (12.033,6.871) -- cycle;
\node at (11.739,7.041) {\scalebox{1.459}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.967,7.481) -- (6.922,7.651) -- (6.797,7.775) -- (6.627,7.821) -- (6.457,7.775) -- (6.333,7.651) -- (6.287,7.481) -- (6.333,7.311) -- (6.457,7.186) -- (6.627,7.141) -- (6.797,7.186) -- (6.922,7.311) -- cycle;
\node at (6.627,7.481) {\scalebox{1.459}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.159,6.015) -- (7.113,6.185) -- (6.989,6.309) -- (6.819,6.355) -- (6.649,6.309) -- (6.524,6.185) -- (6.479,6.015) -- (6.524,5.845) -- (6.649,5.72) -- (6.819,5.675) -- (6.989,5.72) -- (7.113,5.845) -- cycle;
\node at (6.819,6.015) {\scalebox{1.459}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.672,6.164) -- (5.627,6.334) -- (5.502,6.458) -- (5.332,6.504) -- (5.162,6.458) -- (5.038,6.334) -- (4.992,6.164) -- (5.038,5.994) -- (5.162,5.869) -- (5.332,5.824) -- (5.502,5.869) -- (5.627,5.994) -- cycle;
\node at (5.332,6.164) {\scalebox{1.459}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.653,4.114) -- (8.607,4.284) -- (8.483,4.409) -- (8.313,4.454) -- (8.143,4.409) -- (8.018,4.284) -- (7.973,4.114) -- (8.018,3.944) -- (8.143,3.82) -- (8.313,3.774) -- (8.483,3.82) -- (8.607,3.944) -- cycle;
\node at (8.313,4.114) {\scalebox{1.459}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.2,3.497) -- (10.154,3.667) -- (10.03,3.792) -- (9.86,3.837) -- (9.69,3.792) -- (9.565,3.667) -- (9.52,3.497) -- (9.565,3.327) -- (9.69,3.203) -- (9.86,3.157) -- (10.03,3.203) -- (10.154,3.327) -- cycle;
\node at (9.86,3.497) {\scalebox{1.459}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.743,3.31) -- (11.697,3.48) -- (11.573,3.604) -- (11.403,3.65) -- (11.233,3.604) -- (11.108,3.48) -- (11.063,3.31) -- (11.108,3.14) -- (11.233,3.015) -- (11.403,2.97) -- (11.573,3.015) -- (11.697,3.14) -- cycle;
\node at (11.403,3.31) {\scalebox{1.459}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.578,3.371) -- (3.533,3.541) -- (3.408,3.665) -- (3.238,3.711) -- (3.068,3.665) -- (2.944,3.541) -- (2.898,3.371) -- (2.944,3.201) -- (3.068,3.076) -- (3.238,3.031) -- (3.408,3.076) -- (3.533,3.201) -- cycle;
\node at (3.238,3.371) {\scalebox{1.459}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.867,2.032) -- (9.822,2.202) -- (9.697,2.326) -- (9.527,2.372) -- (9.357,2.326) -- (9.233,2.202) -- (9.187,2.032) -- (9.233,1.862) -- (9.357,1.738) -- (9.527,1.692) -- (9.697,1.738) -- (9.822,1.862) -- cycle;
\node at (9.527,2.032) {\scalebox{1.459}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.029,1.791) -- (1.629,1.791) -- (1.629,2.391) -- (1.029,2.391) -- cycle;
\node at (1.329,2.091) {\scalebox{1.459}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.151,2.107) -- (11.751,2.107) -- (11.751,2.707) -- (11.151,2.707) -- cycle;
\node at (11.451,2.407) {\scalebox{1.459}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.661,7.208) -- (13.261,7.208) -- (13.261,7.808) -- (12.661,7.808) -- cycle;
\node at (12.961,7.508) {\scalebox{1.459}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.307,6.387) -- (4.907,6.387) -- (4.907,6.987) -- (4.307,6.987) -- cycle;
\node at (4.607,6.687) {\scalebox{1.459}{\small d}};
\node at (11.762,9.209) {\scalebox{1.459}{\small A}};
\node at (8.011,8.48) {\scalebox{1.459}{\small B}};
\node at (4.835,7.966) {\scalebox{1.459}{\small C}};
\node at (11.843,5.41) {\scalebox{1.459}{\small D}};
\node at (4.37,4.835) {\scalebox{1.459}{\small E}};
\node at (0.765,1.834) {\scalebox{1.459}{\small F}};
\node at (8.421,1.211) {\scalebox{1.459}{\small G}};
\node at (11.024,0.95) {\scalebox{1.459}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.629,7.815) -- (12.629,8.915);
\draw[line width=0.5pt] (12.398,8.53) -- (12.629,8.915) -- (12.86,8.53);
\draw[line width=0.5pt] (12.327,8.365) -- (12.932,8.365);
\node at (12.629,9.3) {\scalebox{1.459}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① venelle du Chat & ⑥ rue Verte & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② quai aux Fleurs & ⑦ chemin des Vignes & Ⓑ Carrefour Saint-Roch & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑧ rue des Écoles & Ⓒ Place de l'Église & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue du Puits & ⑨ impasse du Vieux-Four & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ rue de l'Église & ⑩ rue du Stade & Ⓔ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6132, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.329,8.765) -- (11.079,8.738) -- (10.83,8.705) -- (10.582,8.667) -- (10.334,8.622) -- (10.088,8.572) -- (9.843,8.516) -- (9.599,8.454) -- (9.357,8.386) -- (9.116,8.313) -- (8.877,8.234) -- (8.641,8.15) -- (8.406,8.06) -- (8.173,7.964) -- (7.943,7.864);
\draw[line width=0.5pt] (11.329,8.765) -- (11.359,8.521) -- (11.384,8.277) -- (11.402,8.032) -- (11.415,7.787) -- (11.422,7.541) -- (11.423,7.296) -- (11.419,7.05) -- (11.409,6.805) -- (11.393,6.56) -- (11.371,6.315) -- (11.344,6.071) -- (11.31,5.828) -- (11.271,5.585) -- (11.227,5.344);
\draw[line width=0.5pt] (7.943,7.864) -- (7.749,7.868) -- (7.555,7.868) -- (7.36,7.863) -- (7.166,7.854) -- (6.972,7.84) -- (6.779,7.821) -- (6.586,7.798) -- (6.393,7.771) -- (6.201,7.739) -- (6.01,7.702) -- (5.82,7.661) -- (5.631,7.615) -- (5.443,7.566) -- (5.257,7.511);
\draw[line width=0.5pt] (7.943,7.864) -- (7.767,7.618) -- (7.585,7.377) -- (7.397,7.14) -- (7.203,6.908) -- (7.004,6.68) -- (6.8,6.457) -- (6.59,6.239) -- (6.376,6.026) -- (6.156,5.818) -- (5.932,5.615) -- (5.703,5.417) -- (5.47,5.225) -- (5.232,5.039) -- (4.99,4.858);
\draw[line width=0.5pt] (5.257,7.511) -- (5.209,7.326) -- (5.165,7.14) -- (5.126,6.953) -- (5.091,6.765) -- (5.061,6.576) -- (5.035,6.386) -- (5.014,6.196) -- (4.997,6.005) -- (4.984,5.814) -- (4.976,5.623) -- (4.973,5.432) -- (4.974,5.24) -- (4.98,5.049) -- (4.99,4.858);
\draw[line width=0.5pt] (11.227,5.344) -- (11.032,5.248) -- (10.835,5.156) -- (10.635,5.069) -- (10.434,4.987) -- (10.231,4.91) -- (10.026,4.837) -- (9.819,4.769) -- (9.611,4.707) -- (9.402,4.649) -- (9.191,4.595) -- (8.979,4.547) -- (8.766,4.504) -- (8.552,4.466) -- (8.337,4.433) -- (8.105,4.5) -- (7.87,4.561) -- (7.635,4.617) -- (7.398,4.667) -- (7.16,4.712) -- (6.921,4.751) -- (6.681,4.784) -- (6.44,4.812) -- (6.199,4.834) -- (5.957,4.85) -- (5.716,4.861) -- (5.473,4.866) -- (5.231,4.865) -- (4.99,4.858);
\draw[line width=0.5pt] (11.227,5.344) -- (10.98,5.126) -- (10.739,4.903) -- (10.503,4.673) -- (10.272,4.438) -- (10.047,4.198) -- (9.827,3.953) -- (9.614,3.702) -- (9.406,3.446) -- (9.205,3.186) -- (9.009,2.921) -- (8.82,2.652) -- (8.637,2.378) -- (8.461,2.1) -- (8.292,1.818);
\draw[line width=0.5pt] (11.227,5.344) -- (11.227,5.059) -- (11.22,4.775) -- (11.207,4.491) -- (11.187,4.207) -- (11.16,3.923) -- (11.127,3.64) -- (11.087,3.358) -- (11.04,3.078) -- (10.987,2.798) -- (10.927,2.519) -- (10.861,2.243) -- (10.788,1.967) -- (10.709,1.694) -- (10.623,1.423);
\draw[line width=0.5pt] (4.99,4.858) -- (4.7,4.702) -- (4.414,4.539) -- (4.132,4.37) -- (3.854,4.193) -- (3.58,4.011) -- (3.31,3.821) -- (3.045,3.626) -- (2.785,3.424) -- (2.529,3.216) -- (2.279,3.003) -- (2.033,2.783) -- (1.793,2.558) -- (1.558,2.327) -- (1.329,2.091);
\draw[line width=0.5pt] (8.292,1.818) -- (8.461,1.815) -- (8.631,1.809) -- (8.8,1.798) -- (8.969,1.784) -- (9.138,1.765) -- (9.306,1.743) -- (9.474,1.716) -- (9.641,1.686) -- (9.807,1.652) -- (9.972,1.614) -- (10.137,1.572) -- (10.3,1.526) -- (10.462,1.476) -- (10.623,1.423);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.489,8.765) -- (11.468,8.845) -- (11.409,8.903) -- (11.329,8.925) -- (11.249,8.903) -- (11.191,8.845) -- (11.169,8.765) -- (11.191,8.685) -- (11.249,8.626) -- (11.329,8.605) -- (11.409,8.626) -- (11.468,8.685) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.103,7.864) -- (8.082,7.944) -- (8.023,8.002) -- (7.943,8.024) -- (7.863,8.002) -- (7.805,7.944) -- (7.783,7.864) -- (7.805,7.784) -- (7.863,7.725) -- (7.943,7.704) -- (8.023,7.725) -- (8.082,7.784) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.417,7.511) -- (5.395,7.591) -- (5.337,7.65) -- (5.257,7.671) -- (5.177,7.65) -- (5.118,7.591) -- (5.097,7.511) -- (5.118,7.431) -- (5.177,7.373) -- (5.257,7.351) -- (5.337,7.373) -- (5.395,7.431) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.387,5.344) -- (11.365,5.424) -- (11.307,5.482) -- (11.227,5.504) -- (11.147,5.482) -- (11.088,5.424) -- (11.067,5.344) -- (11.088,5.264) -- (11.147,5.205) -- (11.227,5.184) -- (11.307,5.205) -- (11.365,5.264) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.15,4.858) -- (5.128,4.938) -- (5.07,4.997) -- (4.99,5.018) -- (4.91,4.997) -- (4.851,4.938) -- (4.83,4.858) -- (4.851,4.778) -- (4.91,4.72) -- (4.99,4.698) -- (5.07,4.72) -- (5.128,4.778) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.489,2.091) -- (1.468,2.171) -- (1.409,2.23) -- (1.329,2.251) -- (1.249,2.23) -- (1.191,2.171) -- (1.169,2.091) -- (1.191,2.011) -- (1.249,1.953) -- (1.329,1.931) -- (1.409,1.953) -- (1.468,2.011) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.452,1.818) -- (8.43,1.898) -- (8.372,1.956) -- (8.292,1.978) -- (8.212,1.956) -- (8.153,1.898) -- (8.132,1.818) -- (8.153,1.738) -- (8.212,1.679) -- (8.292,1.658) -- (8.372,1.679) -- (8.43,1.738) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.783,1.423) -- (10.762,1.503) -- (10.703,1.561) -- (10.623,1.583) -- (10.543,1.561) -- (10.485,1.503) -- (10.463,1.423) -- (10.485,1.343) -- (10.543,1.284) -- (10.623,1.263) -- (10.703,1.284) -- (10.762,1.343) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.021,8.145) -- (9.976,8.315) -- (9.851,8.439) -- (9.681,8.485) -- (9.511,8.439) -- (9.387,8.315) -- (9.341,8.145) -- (9.387,7.975) -- (9.511,7.85) -- (9.681,7.805) -- (9.851,7.85) -- (9.976,7.975) -- cycle;
\node at (9.681,8.145) {\scalebox{1.631}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.079,7.041) -- (12.033,7.211) -- (11.909,7.335) -- (11.739,7.381) -- (11.569,7.335) -- (11.444,7.211) -- (11.399,7.041) -- (11.444,6.871) -- (11.569,6.746) -- (11.739,6.701) -- (11.909,6.746) -- (12.033,6.871) -- cycle;
\node at (11.739,7.041) {\scalebox{1.631}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.967,7.481) -- (6.922,7.651) -- (6.797,7.775) -- (6.627,7.821) -- (6.457,7.775) -- (6.333,7.651) -- (6.287,7.481) -- (6.333,7.311) -- (6.457,7.186) -- (6.627,7.141) -- (6.797,7.186) -- (6.922,7.311) -- cycle;
\node at (6.627,7.481) {\scalebox{1.631}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.159,6.015) -- (7.113,6.185) -- (6.989,6.309) -- (6.819,6.355) -- (6.649,6.309) -- (6.524,6.185) -- (6.479,6.015) -- (6.524,5.845) -- (6.649,5.72) -- (6.819,5.675) -- (6.989,5.72) -- (7.113,5.845) -- cycle;
\node at (6.819,6.015) {\scalebox{1.631}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.672,6.164) -- (5.627,6.334) -- (5.502,6.458) -- (5.332,6.504) -- (5.162,6.458) -- (5.038,6.334) -- (4.992,6.164) -- (5.038,5.994) -- (5.162,5.869) -- (5.332,5.824) -- (5.502,5.869) -- (5.627,5.994) -- cycle;
\node at (5.332,6.164) {\scalebox{1.631}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.653,4.114) -- (8.607,4.284) -- (8.483,4.409) -- (8.313,4.454) -- (8.143,4.409) -- (8.018,4.284) -- (7.973,4.114) -- (8.018,3.944) -- (8.143,3.82) -- (8.313,3.774) -- (8.483,3.82) -- (8.607,3.944) -- cycle;
\node at (8.313,4.114) {\scalebox{1.631}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.2,3.497) -- (10.154,3.667) -- (10.03,3.792) -- (9.86,3.837) -- (9.69,3.792) -- (9.565,3.667) -- (9.52,3.497) -- (9.565,3.327) -- (9.69,3.203) -- (9.86,3.157) -- (10.03,3.203) -- (10.154,3.327) -- cycle;
\node at (9.86,3.497) {\scalebox{1.631}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.743,3.31) -- (11.697,3.48) -- (11.573,3.604) -- (11.403,3.65) -- (11.233,3.604) -- (11.108,3.48) -- (11.063,3.31) -- (11.108,3.14) -- (11.233,3.015) -- (11.403,2.97) -- (11.573,3.015) -- (11.697,3.14) -- cycle;
\node at (11.403,3.31) {\scalebox{1.631}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.578,3.371) -- (3.533,3.541) -- (3.408,3.665) -- (3.238,3.711) -- (3.068,3.665) -- (2.944,3.541) -- (2.898,3.371) -- (2.944,3.201) -- (3.068,3.076) -- (3.238,3.031) -- (3.408,3.076) -- (3.533,3.201) -- cycle;
\node at (3.238,3.371) {\scalebox{1.631}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.867,2.032) -- (9.822,2.202) -- (9.697,2.326) -- (9.527,2.372) -- (9.357,2.326) -- (9.233,2.202) -- (9.187,2.032) -- (9.233,1.862) -- (9.357,1.738) -- (9.527,1.692) -- (9.697,1.738) -- (9.822,1.862) -- cycle;
\node at (9.527,2.032) {\scalebox{1.631}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.029,1.791) -- (1.629,1.791) -- (1.629,2.391) -- (1.029,2.391) -- cycle;
\node at (1.329,2.091) {\scalebox{1.631}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.151,2.107) -- (11.751,2.107) -- (11.751,2.707) -- (11.151,2.707) -- cycle;
\node at (11.451,2.407) {\scalebox{1.631}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.661,7.208) -- (13.261,7.208) -- (13.261,7.808) -- (12.661,7.808) -- cycle;
\node at (12.961,7.508) {\scalebox{1.631}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.307,6.387) -- (4.907,6.387) -- (4.907,6.987) -- (4.307,6.987) -- cycle;
\node at (4.607,6.687) {\scalebox{1.631}{\small d}};
\node at (11.762,9.209) {\scalebox{1.631}{\small A}};
\node at (8.011,8.48) {\scalebox{1.631}{\small B}};
\node at (4.835,7.966) {\scalebox{1.631}{\small C}};
\node at (11.843,5.41) {\scalebox{1.631}{\small D}};
\node at (4.37,4.835) {\scalebox{1.631}{\small E}};
\node at (0.765,1.834) {\scalebox{1.631}{\small F}};
\node at (8.421,1.211) {\scalebox{1.631}{\small G}};
\node at (11.024,0.95) {\scalebox{1.631}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.629,7.815) -- (12.629,8.915);
\draw[line width=0.5pt] (12.398,8.53) -- (12.629,8.915) -- (12.86,8.53);
\draw[line width=0.5pt] (12.327,8.365) -- (12.932,8.365);
\node at (12.629,9.3) {\scalebox{1.631}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 2 & 4 & 4 & 1 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{F}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{F}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en B}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place des Tanneurs \textbf{(F)}, prend l'\textbf{impasse du Vieux-Four ⑨} vers le nord-est et atteint Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Puits ④}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(B)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{venelle du Chat ①}, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ②}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑩}, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑧}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑤}, vers le nord, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ③}, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{F} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
