\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 292}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=292}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0292}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7043, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.411,8.417) -- (2.63,8.352) -- (2.851,8.293) -- (3.073,8.238) -- (3.296,8.189) -- (3.52,8.146) -- (3.746,8.107) -- (3.972,8.074) -- (4.199,8.046) -- (4.427,8.024) -- (4.655,8.007) -- (4.883,7.995) -- (5.112,7.988) -- (5.34,7.987) -- (5.568,7.992) -- (5.766,8.033) -- (5.964,8.07) -- (6.164,8.102) -- (6.364,8.129) -- (6.564,8.152) -- (6.766,8.169) -- (6.967,8.182) -- (7.169,8.191) -- (7.371,8.194) -- (7.573,8.193) -- (7.775,8.187) -- (7.976,8.177) -- (8.177,8.161) -- (8.378,8.141);
\draw[line width=0.5pt] (2.411,8.417) -- (2.635,8.212) -- (2.853,8.002) -- (3.067,7.787) -- (3.276,7.567) -- (3.479,7.342) -- (3.678,7.112) -- (3.87,6.877) -- (4.057,6.639) -- (4.239,6.395) -- (4.415,6.148) -- (4.584,5.897) -- (4.748,5.641) -- (4.906,5.382) -- (5.057,5.12);
\draw[line width=0.5pt] (2.411,8.417) -- (2.35,8.161) -- (2.294,7.905) -- (2.245,7.646) -- (2.202,7.387) -- (2.165,7.127) -- (2.134,6.866) -- (2.11,6.604) -- (2.091,6.342) -- (2.078,6.079) -- (2.072,5.816) -- (2.072,5.554) -- (2.078,5.291) -- (2.091,5.028) -- (2.109,4.766);
\draw[line width=0.5pt] (8.378,8.141) -- (8.446,7.948) -- (8.51,7.752) -- (8.569,7.556) -- (8.623,7.357) -- (8.673,7.158) -- (8.718,6.958) -- (8.758,6.756) -- (8.793,6.554) -- (8.824,6.35) -- (8.85,6.146) -- (8.871,5.942) -- (8.887,5.737) -- (8.899,5.532) -- (8.905,5.327);
\draw[line width=0.5pt] (8.378,8.141) -- (8.11,7.964) -- (7.846,7.779) -- (7.586,7.589) -- (7.331,7.392) -- (7.08,7.19) -- (6.834,6.982) -- (6.593,6.768) -- (6.357,6.548) -- (6.127,6.323) -- (5.902,6.092) -- (5.682,5.857) -- (5.468,5.616) -- (5.26,5.37) -- (5.057,5.12);
\draw[line width=0.5pt] (8.378,8.141) -- (8.623,7.924) -- (8.862,7.702) -- (9.096,7.473) -- (9.325,7.24) -- (9.548,7.0) -- (9.765,6.756) -- (9.977,6.507) -- (10.183,6.252) -- (10.383,5.993) -- (10.576,5.729) -- (10.764,5.461) -- (10.944,5.189) -- (11.119,4.912) -- (11.286,4.632);
\draw[line width=0.5pt] (8.905,5.327) -- (8.63,5.355) -- (8.355,5.375) -- (8.079,5.39) -- (7.802,5.398) -- (7.526,5.399) -- (7.249,5.394) -- (6.973,5.382) -- (6.697,5.364) -- (6.421,5.339) -- (6.147,5.308) -- (5.873,5.271) -- (5.6,5.227) -- (5.328,5.177) -- (5.057,5.12);
\draw[line width=0.5pt] (5.057,5.12) -- (4.852,5.062) -- (4.646,5.01) -- (4.438,4.962) -- (4.23,4.92) -- (4.02,4.882) -- (3.809,4.849) -- (3.598,4.821) -- (3.386,4.799) -- (3.174,4.781) -- (2.961,4.768) -- (2.748,4.76) -- (2.535,4.757) -- (2.322,4.759) -- (2.109,4.766);
\draw[line width=0.5pt] (5.057,5.12) -- (4.756,4.941) -- (4.459,4.756) -- (4.167,4.563) -- (3.879,4.364) -- (3.596,4.158) -- (3.317,3.945) -- (3.044,3.726) -- (2.776,3.5) -- (2.513,3.268) -- (2.256,3.031) -- (2.005,2.787) -- (1.759,2.537) -- (1.52,2.282) -- (1.286,2.021);
\draw[line width=0.5pt] (5.057,5.12) -- (5.29,4.893) -- (5.518,4.66) -- (5.74,4.422) -- (5.956,4.179) -- (6.167,3.931) -- (6.372,3.678) -- (6.571,3.42) -- (6.764,3.158) -- (6.95,2.891) -- (7.13,2.62) -- (7.304,2.345) -- (7.471,2.065) -- (7.632,1.782) -- (7.785,1.496);
\draw[line width=0.5pt] (11.286,4.632) -- (11.004,4.448) -- (10.726,4.257) -- (10.452,4.06) -- (10.184,3.856) -- (9.92,3.647) -- (9.66,3.43) -- (9.406,3.208) -- (9.158,2.98) -- (8.915,2.746) -- (8.677,2.507) -- (8.445,2.262) -- (8.219,2.012) -- (7.999,1.756) -- (7.785,1.496);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.571,8.417) -- (2.55,8.497) -- (2.491,8.555) -- (2.411,8.577) -- (2.331,8.555) -- (2.272,8.497) -- (2.251,8.417) -- (2.272,8.337) -- (2.331,8.278) -- (2.411,8.257) -- (2.491,8.278) -- (2.55,8.337) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.538,8.141) -- (8.517,8.221) -- (8.458,8.28) -- (8.378,8.301) -- (8.298,8.28) -- (8.24,8.221) -- (8.218,8.141) -- (8.24,8.061) -- (8.298,8.003) -- (8.378,7.981) -- (8.458,8.003) -- (8.517,8.061) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.065,5.327) -- (9.044,5.407) -- (8.985,5.466) -- (8.905,5.487) -- (8.825,5.466) -- (8.767,5.407) -- (8.745,5.327) -- (8.767,5.247) -- (8.825,5.189) -- (8.905,5.167) -- (8.985,5.189) -- (9.044,5.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.217,5.12) -- (5.196,5.2) -- (5.137,5.258) -- (5.057,5.28) -- (4.977,5.258) -- (4.919,5.2) -- (4.897,5.12) -- (4.919,5.04) -- (4.977,4.981) -- (5.057,4.96) -- (5.137,4.981) -- (5.196,5.04) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.269,4.766) -- (2.248,4.846) -- (2.189,4.905) -- (2.109,4.926) -- (2.029,4.905) -- (1.971,4.846) -- (1.949,4.766) -- (1.971,4.686) -- (2.029,4.628) -- (2.109,4.606) -- (2.189,4.628) -- (2.248,4.686) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.446,4.632) -- (11.425,4.712) -- (11.366,4.77) -- (11.286,4.792) -- (11.206,4.77) -- (11.148,4.712) -- (11.126,4.632) -- (11.148,4.552) -- (11.206,4.493) -- (11.286,4.472) -- (11.366,4.493) -- (11.425,4.552) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.446,2.021) -- (1.425,2.101) -- (1.366,2.159) -- (1.286,2.181) -- (1.206,2.159) -- (1.148,2.101) -- (1.126,2.021) -- (1.148,1.941) -- (1.206,1.882) -- (1.286,1.861) -- (1.366,1.882) -- (1.425,1.941) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.945,1.496) -- (7.924,1.576) -- (7.865,1.634) -- (7.785,1.656) -- (7.705,1.634) -- (7.647,1.576) -- (7.625,1.496) -- (7.647,1.416) -- (7.705,1.357) -- (7.785,1.336) -- (7.865,1.357) -- (7.924,1.416) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.874,8.31) -- (5.829,8.48) -- (5.704,8.604) -- (5.534,8.65) -- (5.364,8.604) -- (5.24,8.48) -- (5.194,8.31) -- (5.24,8.14) -- (5.364,8.015) -- (5.534,7.97) -- (5.704,8.015) -- (5.829,8.14) -- cycle;
\node at (5.534,8.31) {\scalebox{1.42}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.46,7.078) -- (4.414,7.248) -- (4.29,7.372) -- (4.12,7.418) -- (3.95,7.372) -- (3.825,7.248) -- (3.78,7.078) -- (3.825,6.908) -- (3.95,6.783) -- (4.12,6.738) -- (4.29,6.783) -- (4.414,6.908) -- cycle;
\node at (4.12,7.078) {\scalebox{1.42}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.768,6.578) -- (2.723,6.748) -- (2.598,6.872) -- (2.428,6.918) -- (2.258,6.872) -- (2.134,6.748) -- (2.088,6.578) -- (2.134,6.408) -- (2.258,6.283) -- (2.428,6.238) -- (2.598,6.283) -- (2.723,6.408) -- cycle;
\node at (2.428,6.578) {\scalebox{1.42}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.412,6.815) -- (9.367,6.985) -- (9.242,7.109) -- (9.072,7.155) -- (8.902,7.109) -- (8.778,6.985) -- (8.732,6.815) -- (8.778,6.645) -- (8.902,6.52) -- (9.072,6.475) -- (9.242,6.52) -- (9.367,6.645) -- cycle;
\node at (9.072,6.815) {\scalebox{1.42}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.149,6.531) -- (7.103,6.701) -- (6.979,6.825) -- (6.809,6.871) -- (6.639,6.825) -- (6.514,6.701) -- (6.469,6.531) -- (6.514,6.361) -- (6.639,6.236) -- (6.809,6.191) -- (6.979,6.236) -- (7.103,6.361) -- cycle;
\node at (6.809,6.531) {\scalebox{1.42}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.563,6.711) -- (10.518,6.881) -- (10.393,7.005) -- (10.223,7.051) -- (10.053,7.005) -- (9.929,6.881) -- (9.883,6.711) -- (9.929,6.541) -- (10.053,6.416) -- (10.223,6.371) -- (10.393,6.416) -- (10.518,6.541) -- cycle;
\node at (10.223,6.711) {\scalebox{1.42}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.33,5.063) -- (7.285,5.233) -- (7.16,5.357) -- (6.99,5.403) -- (6.82,5.357) -- (6.696,5.233) -- (6.65,5.063) -- (6.696,4.893) -- (6.82,4.768) -- (6.99,4.723) -- (7.16,4.768) -- (7.285,4.893) -- cycle;
\node at (6.99,5.063) {\scalebox{1.42}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.976,4.504) -- (3.93,4.674) -- (3.806,4.798) -- (3.636,4.844) -- (3.466,4.798) -- (3.341,4.674) -- (3.296,4.504) -- (3.341,4.334) -- (3.466,4.209) -- (3.636,4.164) -- (3.806,4.209) -- (3.93,4.334) -- cycle;
\node at (3.636,4.504) {\scalebox{1.42}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.587,3.479) -- (3.542,3.649) -- (3.417,3.773) -- (3.247,3.819) -- (3.077,3.773) -- (2.953,3.649) -- (2.907,3.479) -- (2.953,3.309) -- (3.077,3.184) -- (3.247,3.139) -- (3.417,3.184) -- (3.542,3.309) -- cycle;
\node at (3.247,3.479) {\scalebox{1.42}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.167,3.613) -- (7.121,3.783) -- (6.997,3.907) -- (6.827,3.953) -- (6.657,3.907) -- (6.532,3.783) -- (6.487,3.613) -- (6.532,3.443) -- (6.657,3.318) -- (6.827,3.273) -- (6.997,3.318) -- (7.121,3.443) -- cycle;
\node at (6.827,3.613) {\scalebox{1.42}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.96,2.97) -- (9.914,3.14) -- (9.79,3.264) -- (9.62,3.31) -- (9.45,3.264) -- (9.326,3.14) -- (9.28,2.97) -- (9.326,2.8) -- (9.45,2.675) -- (9.62,2.63) -- (9.79,2.675) -- (9.914,2.8) -- cycle;
\node at (9.62,2.97) {\scalebox{1.42}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.078,7.841) -- (8.678,7.841) -- (8.678,8.441) -- (8.078,8.441) -- cycle;
\node at (8.378,8.141) {\scalebox{1.42}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.431,1.957) -- (11.031,1.957) -- (11.031,2.557) -- (10.431,2.557) -- cycle;
\node at (10.731,2.257) {\scalebox{1.42}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.443,2.631) -- (8.043,2.631) -- (8.043,3.231) -- (7.443,3.231) -- cycle;
\node at (7.743,2.931) {\scalebox{1.42}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.744,3.459) -- (2.344,3.459) -- (2.344,4.059) -- (1.744,4.059) -- cycle;
\node at (2.044,3.759) {\scalebox{1.42}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.337,6.931) -- (7.937,6.931) -- (7.937,7.531) -- (7.337,7.531) -- cycle;
\node at (7.637,7.231) {\scalebox{1.42}{\small e}};
\node at (1.969,8.851) {\scalebox{1.42}{\small A}};
\node at (8.761,8.629) {\scalebox{1.42}{\small B}};
\node at (9.522,5.396) {\scalebox{1.42}{\small C}};
\node at (4.445,5.214) {\scalebox{1.42}{\small D}};
\node at (1.49,4.73) {\scalebox{1.42}{\small E}};
\node at (11.905,4.591) {\scalebox{1.42}{\small F}};
\node at (0.765,1.686) {\scalebox{1.42}{\small G}};
\node at (8.079,0.95) {\scalebox{1.42}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.586,7.467) -- (12.586,8.567);
\draw[line width=0.5pt] (12.355,8.182) -- (12.586,8.567) -- (12.817,8.182);
\draw[line width=0.5pt] (12.284,8.017) -- (12.889,8.017);
\node at (12.586,8.952) {\scalebox{1.42}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Pont & ⑦ boulevard du Parc & Ⓐ Carrefour du Moulin & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑧ rue Pasteur & Ⓑ Carrefour Saint-Roch & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ rue Haute & ⑨ impasse Verte & Ⓒ Place du Marché & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ chemin des Vignes & ⑩ rue des Jardins & Ⓓ Carrefour de la Mairie & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ rue de la Poste & ⑪ chemin du Lavoir & Ⓔ Coin du Lavoir & \textbf{e} le marché couvert \\ \hline
⑥ rue de la Mairie &  & Ⓕ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6301, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.411,8.417) -- (2.63,8.352) -- (2.851,8.293) -- (3.073,8.238) -- (3.296,8.189) -- (3.52,8.146) -- (3.746,8.107) -- (3.972,8.074) -- (4.199,8.046) -- (4.427,8.024) -- (4.655,8.007) -- (4.883,7.995) -- (5.112,7.988) -- (5.34,7.987) -- (5.568,7.992) -- (5.766,8.033) -- (5.964,8.07) -- (6.164,8.102) -- (6.364,8.129) -- (6.564,8.152) -- (6.766,8.169) -- (6.967,8.182) -- (7.169,8.191) -- (7.371,8.194) -- (7.573,8.193) -- (7.775,8.187) -- (7.976,8.177) -- (8.177,8.161) -- (8.378,8.141);
\draw[line width=0.5pt] (2.411,8.417) -- (2.635,8.212) -- (2.853,8.002) -- (3.067,7.787) -- (3.276,7.567) -- (3.479,7.342) -- (3.678,7.112) -- (3.87,6.877) -- (4.057,6.639) -- (4.239,6.395) -- (4.415,6.148) -- (4.584,5.897) -- (4.748,5.641) -- (4.906,5.382) -- (5.057,5.12);
\draw[line width=0.5pt] (2.411,8.417) -- (2.35,8.161) -- (2.294,7.905) -- (2.245,7.646) -- (2.202,7.387) -- (2.165,7.127) -- (2.134,6.866) -- (2.11,6.604) -- (2.091,6.342) -- (2.078,6.079) -- (2.072,5.816) -- (2.072,5.554) -- (2.078,5.291) -- (2.091,5.028) -- (2.109,4.766);
\draw[line width=0.5pt] (8.378,8.141) -- (8.446,7.948) -- (8.51,7.752) -- (8.569,7.556) -- (8.623,7.357) -- (8.673,7.158) -- (8.718,6.958) -- (8.758,6.756) -- (8.793,6.554) -- (8.824,6.35) -- (8.85,6.146) -- (8.871,5.942) -- (8.887,5.737) -- (8.899,5.532) -- (8.905,5.327);
\draw[line width=0.5pt] (8.378,8.141) -- (8.11,7.964) -- (7.846,7.779) -- (7.586,7.589) -- (7.331,7.392) -- (7.08,7.19) -- (6.834,6.982) -- (6.593,6.768) -- (6.357,6.548) -- (6.127,6.323) -- (5.902,6.092) -- (5.682,5.857) -- (5.468,5.616) -- (5.26,5.37) -- (5.057,5.12);
\draw[line width=0.5pt] (8.378,8.141) -- (8.623,7.924) -- (8.862,7.702) -- (9.096,7.473) -- (9.325,7.24) -- (9.548,7.0) -- (9.765,6.756) -- (9.977,6.507) -- (10.183,6.252) -- (10.383,5.993) -- (10.576,5.729) -- (10.764,5.461) -- (10.944,5.189) -- (11.119,4.912) -- (11.286,4.632);
\draw[line width=0.5pt] (8.905,5.327) -- (8.63,5.355) -- (8.355,5.375) -- (8.079,5.39) -- (7.802,5.398) -- (7.526,5.399) -- (7.249,5.394) -- (6.973,5.382) -- (6.697,5.364) -- (6.421,5.339) -- (6.147,5.308) -- (5.873,5.271) -- (5.6,5.227) -- (5.328,5.177) -- (5.057,5.12);
\draw[line width=0.5pt] (5.057,5.12) -- (4.852,5.062) -- (4.646,5.01) -- (4.438,4.962) -- (4.23,4.92) -- (4.02,4.882) -- (3.809,4.849) -- (3.598,4.821) -- (3.386,4.799) -- (3.174,4.781) -- (2.961,4.768) -- (2.748,4.76) -- (2.535,4.757) -- (2.322,4.759) -- (2.109,4.766);
\draw[line width=0.5pt] (5.057,5.12) -- (4.756,4.941) -- (4.459,4.756) -- (4.167,4.563) -- (3.879,4.364) -- (3.596,4.158) -- (3.317,3.945) -- (3.044,3.726) -- (2.776,3.5) -- (2.513,3.268) -- (2.256,3.031) -- (2.005,2.787) -- (1.759,2.537) -- (1.52,2.282) -- (1.286,2.021);
\draw[line width=0.5pt] (5.057,5.12) -- (5.29,4.893) -- (5.518,4.66) -- (5.74,4.422) -- (5.956,4.179) -- (6.167,3.931) -- (6.372,3.678) -- (6.571,3.42) -- (6.764,3.158) -- (6.95,2.891) -- (7.13,2.62) -- (7.304,2.345) -- (7.471,2.065) -- (7.632,1.782) -- (7.785,1.496);
\draw[line width=0.5pt] (11.286,4.632) -- (11.004,4.448) -- (10.726,4.257) -- (10.452,4.06) -- (10.184,3.856) -- (9.92,3.647) -- (9.66,3.43) -- (9.406,3.208) -- (9.158,2.98) -- (8.915,2.746) -- (8.677,2.507) -- (8.445,2.262) -- (8.219,2.012) -- (7.999,1.756) -- (7.785,1.496);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.571,8.417) -- (2.55,8.497) -- (2.491,8.555) -- (2.411,8.577) -- (2.331,8.555) -- (2.272,8.497) -- (2.251,8.417) -- (2.272,8.337) -- (2.331,8.278) -- (2.411,8.257) -- (2.491,8.278) -- (2.55,8.337) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.538,8.141) -- (8.517,8.221) -- (8.458,8.28) -- (8.378,8.301) -- (8.298,8.28) -- (8.24,8.221) -- (8.218,8.141) -- (8.24,8.061) -- (8.298,8.003) -- (8.378,7.981) -- (8.458,8.003) -- (8.517,8.061) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.065,5.327) -- (9.044,5.407) -- (8.985,5.466) -- (8.905,5.487) -- (8.825,5.466) -- (8.767,5.407) -- (8.745,5.327) -- (8.767,5.247) -- (8.825,5.189) -- (8.905,5.167) -- (8.985,5.189) -- (9.044,5.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.217,5.12) -- (5.196,5.2) -- (5.137,5.258) -- (5.057,5.28) -- (4.977,5.258) -- (4.919,5.2) -- (4.897,5.12) -- (4.919,5.04) -- (4.977,4.981) -- (5.057,4.96) -- (5.137,4.981) -- (5.196,5.04) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.269,4.766) -- (2.248,4.846) -- (2.189,4.905) -- (2.109,4.926) -- (2.029,4.905) -- (1.971,4.846) -- (1.949,4.766) -- (1.971,4.686) -- (2.029,4.628) -- (2.109,4.606) -- (2.189,4.628) -- (2.248,4.686) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.446,4.632) -- (11.425,4.712) -- (11.366,4.77) -- (11.286,4.792) -- (11.206,4.77) -- (11.148,4.712) -- (11.126,4.632) -- (11.148,4.552) -- (11.206,4.493) -- (11.286,4.472) -- (11.366,4.493) -- (11.425,4.552) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.446,2.021) -- (1.425,2.101) -- (1.366,2.159) -- (1.286,2.181) -- (1.206,2.159) -- (1.148,2.101) -- (1.126,2.021) -- (1.148,1.941) -- (1.206,1.882) -- (1.286,1.861) -- (1.366,1.882) -- (1.425,1.941) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.945,1.496) -- (7.924,1.576) -- (7.865,1.634) -- (7.785,1.656) -- (7.705,1.634) -- (7.647,1.576) -- (7.625,1.496) -- (7.647,1.416) -- (7.705,1.357) -- (7.785,1.336) -- (7.865,1.357) -- (7.924,1.416) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.874,8.31) -- (5.829,8.48) -- (5.704,8.604) -- (5.534,8.65) -- (5.364,8.604) -- (5.24,8.48) -- (5.194,8.31) -- (5.24,8.14) -- (5.364,8.015) -- (5.534,7.97) -- (5.704,8.015) -- (5.829,8.14) -- cycle;
\node at (5.534,8.31) {\scalebox{1.587}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.46,7.078) -- (4.414,7.248) -- (4.29,7.372) -- (4.12,7.418) -- (3.95,7.372) -- (3.825,7.248) -- (3.78,7.078) -- (3.825,6.908) -- (3.95,6.783) -- (4.12,6.738) -- (4.29,6.783) -- (4.414,6.908) -- cycle;
\node at (4.12,7.078) {\scalebox{1.587}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.768,6.578) -- (2.723,6.748) -- (2.598,6.872) -- (2.428,6.918) -- (2.258,6.872) -- (2.134,6.748) -- (2.088,6.578) -- (2.134,6.408) -- (2.258,6.283) -- (2.428,6.238) -- (2.598,6.283) -- (2.723,6.408) -- cycle;
\node at (2.428,6.578) {\scalebox{1.587}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.412,6.815) -- (9.367,6.985) -- (9.242,7.109) -- (9.072,7.155) -- (8.902,7.109) -- (8.778,6.985) -- (8.732,6.815) -- (8.778,6.645) -- (8.902,6.52) -- (9.072,6.475) -- (9.242,6.52) -- (9.367,6.645) -- cycle;
\node at (9.072,6.815) {\scalebox{1.587}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.149,6.531) -- (7.103,6.701) -- (6.979,6.825) -- (6.809,6.871) -- (6.639,6.825) -- (6.514,6.701) -- (6.469,6.531) -- (6.514,6.361) -- (6.639,6.236) -- (6.809,6.191) -- (6.979,6.236) -- (7.103,6.361) -- cycle;
\node at (6.809,6.531) {\scalebox{1.587}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.563,6.711) -- (10.518,6.881) -- (10.393,7.005) -- (10.223,7.051) -- (10.053,7.005) -- (9.929,6.881) -- (9.883,6.711) -- (9.929,6.541) -- (10.053,6.416) -- (10.223,6.371) -- (10.393,6.416) -- (10.518,6.541) -- cycle;
\node at (10.223,6.711) {\scalebox{1.587}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.33,5.063) -- (7.285,5.233) -- (7.16,5.357) -- (6.99,5.403) -- (6.82,5.357) -- (6.696,5.233) -- (6.65,5.063) -- (6.696,4.893) -- (6.82,4.768) -- (6.99,4.723) -- (7.16,4.768) -- (7.285,4.893) -- cycle;
\node at (6.99,5.063) {\scalebox{1.587}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.976,4.504) -- (3.93,4.674) -- (3.806,4.798) -- (3.636,4.844) -- (3.466,4.798) -- (3.341,4.674) -- (3.296,4.504) -- (3.341,4.334) -- (3.466,4.209) -- (3.636,4.164) -- (3.806,4.209) -- (3.93,4.334) -- cycle;
\node at (3.636,4.504) {\scalebox{1.587}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.587,3.479) -- (3.542,3.649) -- (3.417,3.773) -- (3.247,3.819) -- (3.077,3.773) -- (2.953,3.649) -- (2.907,3.479) -- (2.953,3.309) -- (3.077,3.184) -- (3.247,3.139) -- (3.417,3.184) -- (3.542,3.309) -- cycle;
\node at (3.247,3.479) {\scalebox{1.587}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.167,3.613) -- (7.121,3.783) -- (6.997,3.907) -- (6.827,3.953) -- (6.657,3.907) -- (6.532,3.783) -- (6.487,3.613) -- (6.532,3.443) -- (6.657,3.318) -- (6.827,3.273) -- (6.997,3.318) -- (7.121,3.443) -- cycle;
\node at (6.827,3.613) {\scalebox{1.587}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.96,2.97) -- (9.914,3.14) -- (9.79,3.264) -- (9.62,3.31) -- (9.45,3.264) -- (9.326,3.14) -- (9.28,2.97) -- (9.326,2.8) -- (9.45,2.675) -- (9.62,2.63) -- (9.79,2.675) -- (9.914,2.8) -- cycle;
\node at (9.62,2.97) {\scalebox{1.587}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.078,7.841) -- (8.678,7.841) -- (8.678,8.441) -- (8.078,8.441) -- cycle;
\node at (8.378,8.141) {\scalebox{1.587}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.431,1.957) -- (11.031,1.957) -- (11.031,2.557) -- (10.431,2.557) -- cycle;
\node at (10.731,2.257) {\scalebox{1.587}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.443,2.631) -- (8.043,2.631) -- (8.043,3.231) -- (7.443,3.231) -- cycle;
\node at (7.743,2.931) {\scalebox{1.587}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.744,3.459) -- (2.344,3.459) -- (2.344,4.059) -- (1.744,4.059) -- cycle;
\node at (2.044,3.759) {\scalebox{1.587}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.337,6.931) -- (7.937,6.931) -- (7.937,7.531) -- (7.337,7.531) -- cycle;
\node at (7.637,7.231) {\scalebox{1.587}{\small e}};
\node at (1.969,8.851) {\scalebox{1.587}{\small A}};
\node at (8.761,8.629) {\scalebox{1.587}{\small B}};
\node at (9.522,5.396) {\scalebox{1.587}{\small C}};
\node at (4.445,5.214) {\scalebox{1.587}{\small D}};
\node at (1.49,4.73) {\scalebox{1.587}{\small E}};
\node at (11.905,4.591) {\scalebox{1.587}{\small F}};
\node at (0.765,1.686) {\scalebox{1.587}{\small G}};
\node at (8.079,0.95) {\scalebox{1.587}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.586,7.467) -- (12.586,8.567);
\draw[line width=0.5pt] (12.355,8.182) -- (12.586,8.567) -- (12.817,8.182);
\draw[line width=0.5pt] (12.284,8.017) -- (12.889,8.017);
\node at (12.586,8.952) {\scalebox{1.587}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 4 & 2 & 6 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{B}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{A} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de A :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Moulin \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue du Pont ①} vers l'est et atteint Carrefour Saint-Roch \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ④}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ②}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ③}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑤}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑩}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse Verte ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
