\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 294}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=294}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0294}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6782, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.952,8.636) -- (7.656,8.432) -- (7.366,8.221) -- (7.08,8.003) -- (6.8,7.779) -- (6.525,7.547) -- (6.255,7.31) -- (5.991,7.066) -- (5.733,6.816) -- (5.481,6.56) -- (5.234,6.298) -- (4.995,6.03) -- (4.761,5.757) -- (4.534,5.479) -- (4.314,5.195);
\draw[line width=0.5pt] (7.952,8.636) -- (7.988,8.388) -- (8.018,8.139) -- (8.042,7.89) -- (8.06,7.64) -- (8.073,7.389) -- (8.079,7.138) -- (8.08,6.887) -- (8.075,6.636) -- (8.064,6.386) -- (8.047,6.135) -- (8.024,5.885) -- (7.995,5.636) -- (7.96,5.388) -- (7.92,5.141);
\draw[line width=0.5pt] (7.952,8.636) -- (8.146,8.313) -- (8.348,7.995) -- (8.557,7.681) -- (8.774,7.372) -- (8.998,7.069) -- (9.229,6.77) -- (9.466,6.478) -- (9.711,6.191) -- (9.963,5.909) -- (10.221,5.634) -- (10.485,5.365) -- (10.755,5.102) -- (11.032,4.846) -- (11.314,4.596);
\draw[line width=0.5pt] (11.384,7.457) -- (11.41,7.254) -- (11.432,7.05) -- (11.449,6.845) -- (11.461,6.64) -- (11.468,6.435) -- (11.47,6.229) -- (11.467,6.024) -- (11.46,5.819) -- (11.448,5.614) -- (11.431,5.409) -- (11.409,5.205) -- (11.382,5.001) -- (11.351,4.798) -- (11.314,4.596);
\draw[line width=0.5pt] (2.056,7.437) -- (1.988,7.312) -- (1.923,7.185) -- (1.861,7.057) -- (1.802,6.927) -- (1.746,6.796) -- (1.693,6.663) -- (1.643,6.53) -- (1.596,6.395) -- (1.553,6.259) -- (1.512,6.122) -- (1.475,5.985) -- (1.442,5.846) -- (1.411,5.707) -- (1.384,5.567);
\draw[line width=0.5pt] (2.056,7.437) -- (2.241,7.303) -- (2.422,7.164) -- (2.6,7.021) -- (2.775,6.874) -- (2.946,6.723) -- (3.114,6.568) -- (3.278,6.409) -- (3.438,6.246) -- (3.594,6.08) -- (3.746,5.91) -- (3.895,5.736) -- (4.039,5.559) -- (4.179,5.379) -- (4.314,5.195);
\draw[line width=0.5pt] (1.384,5.567) -- (1.588,5.509) -- (1.792,5.455) -- (1.999,5.406) -- (2.206,5.363) -- (2.414,5.324) -- (2.624,5.289) -- (2.834,5.26) -- (3.044,5.236) -- (3.255,5.217) -- (3.467,5.203) -- (3.679,5.193) -- (3.891,5.189) -- (4.102,5.19) -- (4.314,5.195);
\draw[line width=0.5pt] (1.384,5.567) -- (1.432,5.32) -- (1.474,5.072) -- (1.51,4.822) -- (1.54,4.572) -- (1.565,4.321) -- (1.583,4.07) -- (1.596,3.818) -- (1.603,3.566) -- (1.604,3.314) -- (1.598,3.062) -- (1.587,2.81) -- (1.57,2.559) -- (1.547,2.308) -- (1.519,2.058);
\draw[line width=0.5pt] (4.314,5.195) -- (4.569,5.152) -- (4.825,5.115) -- (5.082,5.083) -- (5.339,5.058) -- (5.597,5.039) -- (5.856,5.026) -- (6.115,5.019) -- (6.374,5.018) -- (6.632,5.023) -- (6.891,5.035) -- (7.149,5.052) -- (7.407,5.075) -- (7.664,5.105) -- (7.92,5.141);
\draw[line width=0.5pt] (4.314,5.195) -- (4.628,4.976) -- (4.938,4.749) -- (5.241,4.515) -- (5.54,4.273) -- (5.832,4.025) -- (6.119,3.77) -- (6.399,3.508) -- (6.674,3.239) -- (6.942,2.964) -- (7.203,2.683) -- (7.458,2.396) -- (7.706,2.104) -- (7.947,1.805) -- (8.18,1.501);
\draw[line width=0.5pt] (1.519,2.058) -- (1.704,2.018) -- (1.891,1.983) -- (2.078,1.952) -- (2.266,1.926) -- (2.455,1.904) -- (2.644,1.886) -- (2.834,1.873) -- (3.024,1.865) -- (3.214,1.86) -- (3.404,1.861) -- (3.594,1.866) -- (3.784,1.875) -- (3.973,1.889) -- (4.162,1.907) -- (4.451,1.922) -- (4.741,1.93) -- (5.03,1.932) -- (5.32,1.926) -- (5.61,1.914) -- (5.899,1.895) -- (6.188,1.87) -- (6.476,1.837) -- (6.763,1.798) -- (7.049,1.752) -- (7.334,1.699) -- (7.618,1.64) -- (7.9,1.574) -- (8.18,1.501);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.112,8.636) -- (8.09,8.716) -- (8.032,8.775) -- (7.952,8.796) -- (7.872,8.775) -- (7.813,8.716) -- (7.792,8.636) -- (7.813,8.556) -- (7.872,8.498) -- (7.952,8.476) -- (8.032,8.498) -- (8.09,8.556) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.544,7.457) -- (11.523,7.537) -- (11.464,7.596) -- (11.384,7.617) -- (11.304,7.596) -- (11.245,7.537) -- (11.224,7.457) -- (11.245,7.377) -- (11.304,7.319) -- (11.384,7.297) -- (11.464,7.319) -- (11.523,7.377) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.216,7.437) -- (2.195,7.517) -- (2.136,7.575) -- (2.056,7.597) -- (1.976,7.575) -- (1.918,7.517) -- (1.896,7.437) -- (1.918,7.357) -- (1.976,7.298) -- (2.056,7.277) -- (2.136,7.298) -- (2.195,7.357) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.544,5.567) -- (1.523,5.647) -- (1.464,5.706) -- (1.384,5.727) -- (1.304,5.706) -- (1.245,5.647) -- (1.224,5.567) -- (1.245,5.487) -- (1.304,5.429) -- (1.384,5.407) -- (1.464,5.429) -- (1.523,5.487) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.474,5.195) -- (4.453,5.275) -- (4.394,5.334) -- (4.314,5.355) -- (4.234,5.334) -- (4.176,5.275) -- (4.154,5.195) -- (4.176,5.115) -- (4.234,5.057) -- (4.314,5.035) -- (4.394,5.057) -- (4.453,5.115) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.08,5.141) -- (8.059,5.221) -- (8.0,5.279) -- (7.92,5.301) -- (7.84,5.279) -- (7.781,5.221) -- (7.76,5.141) -- (7.781,5.061) -- (7.84,5.002) -- (7.92,4.981) -- (8.0,5.002) -- (8.059,5.061) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.474,4.596) -- (11.453,4.676) -- (11.394,4.735) -- (11.314,4.756) -- (11.234,4.735) -- (11.176,4.676) -- (11.154,4.596) -- (11.176,4.516) -- (11.234,4.458) -- (11.314,4.436) -- (11.394,4.458) -- (11.453,4.516) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.679,2.058) -- (1.657,2.138) -- (1.599,2.196) -- (1.519,2.218) -- (1.439,2.196) -- (1.38,2.138) -- (1.359,2.058) -- (1.38,1.978) -- (1.439,1.919) -- (1.519,1.898) -- (1.599,1.919) -- (1.657,1.978) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.34,1.501) -- (8.319,1.581) -- (8.26,1.639) -- (8.18,1.661) -- (8.1,1.639) -- (8.041,1.581) -- (8.02,1.501) -- (8.041,1.421) -- (8.1,1.362) -- (8.18,1.341) -- (8.26,1.362) -- (8.319,1.421) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.551,6.833) -- (6.505,7.003) -- (6.381,7.128) -- (6.211,7.173) -- (6.041,7.128) -- (5.916,7.003) -- (5.871,6.833) -- (5.916,6.663) -- (6.041,6.539) -- (6.211,6.493) -- (6.381,6.539) -- (6.505,6.663) -- cycle;
\node at (6.211,6.833) {\scalebox{1.474}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.74,6.884) -- (8.694,7.054) -- (8.57,7.179) -- (8.4,7.224) -- (8.23,7.179) -- (8.106,7.054) -- (8.06,6.884) -- (8.106,6.714) -- (8.23,6.59) -- (8.4,6.544) -- (8.57,6.59) -- (8.694,6.714) -- cycle;
\node at (8.4,6.884) {\scalebox{1.474}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.052,6.682) -- (10.007,6.852) -- (9.882,6.977) -- (9.712,7.022) -- (9.542,6.977) -- (9.418,6.852) -- (9.372,6.682) -- (9.418,6.512) -- (9.542,6.388) -- (9.712,6.342) -- (9.882,6.388) -- (10.007,6.512) -- cycle;
\node at (9.712,6.682) {\scalebox{1.474}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.127,6.016) -- (12.082,6.186) -- (11.957,6.311) -- (11.787,6.356) -- (11.617,6.311) -- (11.493,6.186) -- (11.447,6.016) -- (11.493,5.846) -- (11.617,5.722) -- (11.787,5.676) -- (11.957,5.722) -- (12.082,5.846) -- cycle;
\node at (11.787,6.016) {\scalebox{1.474}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.284,6.421) -- (2.239,6.591) -- (2.114,6.716) -- (1.944,6.761) -- (1.774,6.716) -- (1.65,6.591) -- (1.604,6.421) -- (1.65,6.251) -- (1.774,6.127) -- (1.944,6.081) -- (2.114,6.127) -- (2.239,6.251) -- cycle;
\node at (1.944,6.421) {\scalebox{1.474}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.843,6.636) -- (3.797,6.806) -- (3.673,6.931) -- (3.503,6.976) -- (3.333,6.931) -- (3.209,6.806) -- (3.163,6.636) -- (3.209,6.466) -- (3.333,6.342) -- (3.503,6.296) -- (3.673,6.342) -- (3.797,6.466) -- cycle;
\node at (3.503,6.636) {\scalebox{1.474}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.214,5.578) -- (3.168,5.748) -- (3.044,5.872) -- (2.874,5.918) -- (2.704,5.872) -- (2.58,5.748) -- (2.534,5.578) -- (2.58,5.408) -- (2.704,5.283) -- (2.874,5.238) -- (3.044,5.283) -- (3.168,5.408) -- cycle;
\node at (2.874,5.578) {\scalebox{1.474}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.256,3.83) -- (2.21,4.0) -- (2.086,4.125) -- (1.916,4.17) -- (1.746,4.125) -- (1.621,4.0) -- (1.576,3.83) -- (1.621,3.66) -- (1.746,3.536) -- (1.916,3.49) -- (2.086,3.536) -- (2.21,3.66) -- cycle;
\node at (1.916,3.83) {\scalebox{1.474}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.46,5.339) -- (6.414,5.509) -- (6.29,5.634) -- (6.12,5.679) -- (5.95,5.634) -- (5.825,5.509) -- (5.78,5.339) -- (5.825,5.169) -- (5.95,5.045) -- (6.12,4.999) -- (6.29,5.045) -- (6.414,5.169) -- cycle;
\node at (6.12,5.339) {\scalebox{1.474}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.961,3.739) -- (6.915,3.909) -- (6.791,4.033) -- (6.621,4.079) -- (6.451,4.033) -- (6.326,3.909) -- (6.281,3.739) -- (6.326,3.569) -- (6.451,3.444) -- (6.621,3.399) -- (6.791,3.444) -- (6.915,3.569) -- cycle;
\node at (6.621,3.739) {\scalebox{1.474}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.48,2.226) -- (4.434,2.396) -- (4.31,2.52) -- (4.14,2.566) -- (3.97,2.52) -- (3.845,2.396) -- (3.8,2.226) -- (3.845,2.056) -- (3.97,1.932) -- (4.14,1.886) -- (4.31,1.932) -- (4.434,2.056) -- cycle;
\node at (4.14,2.226) {\scalebox{1.474}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.014,4.895) -- (4.614,4.895) -- (4.614,5.495) -- (4.014,5.495) -- cycle;
\node at (4.314,5.195) {\scalebox{1.474}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.603,5.506) -- (3.203,5.506) -- (3.203,6.106) -- (2.603,6.106) -- cycle;
\node at (2.903,5.806) {\scalebox{1.474}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.809,5.847) -- (13.409,5.847) -- (13.409,6.447) -- (12.809,6.447) -- cycle;
\node at (13.109,6.147) {\scalebox{1.474}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.796,6.32) -- (1.396,6.32) -- (1.396,6.92) -- (0.796,6.92) -- cycle;
\node at (1.096,6.62) {\scalebox{1.474}{\small d}};
\node at (8.236,9.187) {\scalebox{1.474}{\small A}};
\node at (11.955,7.697) {\scalebox{1.474}{\small B}};
\node at (1.505,7.721) {\scalebox{1.474}{\small C}};
\node at (0.765,5.603) {\scalebox{1.474}{\small D}};
\node at (3.695,5.165) {\scalebox{1.474}{\small E}};
\node at (8.538,5.087) {\scalebox{1.474}{\small F}};
\node at (11.929,4.513) {\scalebox{1.474}{\small G}};
\node at (1.007,1.707) {\scalebox{1.474}{\small H}};
\node at (8.465,0.95) {\scalebox{1.474}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.684,7.686) -- (12.684,8.786);
\draw[line width=0.5pt] (12.453,8.401) -- (12.684,8.786) -- (12.915,8.401);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,8.236) -- (12.986,8.236);
\node at (12.684,9.171) {\scalebox{1.474}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Verte & ⑦ venelle du Chat & Ⓐ Rond-point du Pont & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin de Ronde & ⑧ rue du Pont & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ rue de la Mairie & ⑨ allée des Tilleuls & Ⓒ Coin du Lavoir & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ impasse des Cerisiers & ⑩ avenue de la Gare & Ⓓ Rond-point de la Poste & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ chemin des Vignes & ⑪ rue Neuve & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑥ rue Basse &  & Ⓕ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6068, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.952,8.636) -- (7.656,8.432) -- (7.366,8.221) -- (7.08,8.003) -- (6.8,7.779) -- (6.525,7.547) -- (6.255,7.31) -- (5.991,7.066) -- (5.733,6.816) -- (5.481,6.56) -- (5.234,6.298) -- (4.995,6.03) -- (4.761,5.757) -- (4.534,5.479) -- (4.314,5.195);
\draw[line width=0.5pt] (7.952,8.636) -- (7.988,8.388) -- (8.018,8.139) -- (8.042,7.89) -- (8.06,7.64) -- (8.073,7.389) -- (8.079,7.138) -- (8.08,6.887) -- (8.075,6.636) -- (8.064,6.386) -- (8.047,6.135) -- (8.024,5.885) -- (7.995,5.636) -- (7.96,5.388) -- (7.92,5.141);
\draw[line width=0.5pt] (7.952,8.636) -- (8.146,8.313) -- (8.348,7.995) -- (8.557,7.681) -- (8.774,7.372) -- (8.998,7.069) -- (9.229,6.77) -- (9.466,6.478) -- (9.711,6.191) -- (9.963,5.909) -- (10.221,5.634) -- (10.485,5.365) -- (10.755,5.102) -- (11.032,4.846) -- (11.314,4.596);
\draw[line width=0.5pt] (11.384,7.457) -- (11.41,7.254) -- (11.432,7.05) -- (11.449,6.845) -- (11.461,6.64) -- (11.468,6.435) -- (11.47,6.229) -- (11.467,6.024) -- (11.46,5.819) -- (11.448,5.614) -- (11.431,5.409) -- (11.409,5.205) -- (11.382,5.001) -- (11.351,4.798) -- (11.314,4.596);
\draw[line width=0.5pt] (2.056,7.437) -- (1.988,7.312) -- (1.923,7.185) -- (1.861,7.057) -- (1.802,6.927) -- (1.746,6.796) -- (1.693,6.663) -- (1.643,6.53) -- (1.596,6.395) -- (1.553,6.259) -- (1.512,6.122) -- (1.475,5.985) -- (1.442,5.846) -- (1.411,5.707) -- (1.384,5.567);
\draw[line width=0.5pt] (2.056,7.437) -- (2.241,7.303) -- (2.422,7.164) -- (2.6,7.021) -- (2.775,6.874) -- (2.946,6.723) -- (3.114,6.568) -- (3.278,6.409) -- (3.438,6.246) -- (3.594,6.08) -- (3.746,5.91) -- (3.895,5.736) -- (4.039,5.559) -- (4.179,5.379) -- (4.314,5.195);
\draw[line width=0.5pt] (1.384,5.567) -- (1.588,5.509) -- (1.792,5.455) -- (1.999,5.406) -- (2.206,5.363) -- (2.414,5.324) -- (2.624,5.289) -- (2.834,5.26) -- (3.044,5.236) -- (3.255,5.217) -- (3.467,5.203) -- (3.679,5.193) -- (3.891,5.189) -- (4.102,5.19) -- (4.314,5.195);
\draw[line width=0.5pt] (1.384,5.567) -- (1.432,5.32) -- (1.474,5.072) -- (1.51,4.822) -- (1.54,4.572) -- (1.565,4.321) -- (1.583,4.07) -- (1.596,3.818) -- (1.603,3.566) -- (1.604,3.314) -- (1.598,3.062) -- (1.587,2.81) -- (1.57,2.559) -- (1.547,2.308) -- (1.519,2.058);
\draw[line width=0.5pt] (4.314,5.195) -- (4.569,5.152) -- (4.825,5.115) -- (5.082,5.083) -- (5.339,5.058) -- (5.597,5.039) -- (5.856,5.026) -- (6.115,5.019) -- (6.374,5.018) -- (6.632,5.023) -- (6.891,5.035) -- (7.149,5.052) -- (7.407,5.075) -- (7.664,5.105) -- (7.92,5.141);
\draw[line width=0.5pt] (4.314,5.195) -- (4.628,4.976) -- (4.938,4.749) -- (5.241,4.515) -- (5.54,4.273) -- (5.832,4.025) -- (6.119,3.77) -- (6.399,3.508) -- (6.674,3.239) -- (6.942,2.964) -- (7.203,2.683) -- (7.458,2.396) -- (7.706,2.104) -- (7.947,1.805) -- (8.18,1.501);
\draw[line width=0.5pt] (1.519,2.058) -- (1.704,2.018) -- (1.891,1.983) -- (2.078,1.952) -- (2.266,1.926) -- (2.455,1.904) -- (2.644,1.886) -- (2.834,1.873) -- (3.024,1.865) -- (3.214,1.86) -- (3.404,1.861) -- (3.594,1.866) -- (3.784,1.875) -- (3.973,1.889) -- (4.162,1.907) -- (4.451,1.922) -- (4.741,1.93) -- (5.03,1.932) -- (5.32,1.926) -- (5.61,1.914) -- (5.899,1.895) -- (6.188,1.87) -- (6.476,1.837) -- (6.763,1.798) -- (7.049,1.752) -- (7.334,1.699) -- (7.618,1.64) -- (7.9,1.574) -- (8.18,1.501);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.112,8.636) -- (8.09,8.716) -- (8.032,8.775) -- (7.952,8.796) -- (7.872,8.775) -- (7.813,8.716) -- (7.792,8.636) -- (7.813,8.556) -- (7.872,8.498) -- (7.952,8.476) -- (8.032,8.498) -- (8.09,8.556) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.544,7.457) -- (11.523,7.537) -- (11.464,7.596) -- (11.384,7.617) -- (11.304,7.596) -- (11.245,7.537) -- (11.224,7.457) -- (11.245,7.377) -- (11.304,7.319) -- (11.384,7.297) -- (11.464,7.319) -- (11.523,7.377) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.216,7.437) -- (2.195,7.517) -- (2.136,7.575) -- (2.056,7.597) -- (1.976,7.575) -- (1.918,7.517) -- (1.896,7.437) -- (1.918,7.357) -- (1.976,7.298) -- (2.056,7.277) -- (2.136,7.298) -- (2.195,7.357) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.544,5.567) -- (1.523,5.647) -- (1.464,5.706) -- (1.384,5.727) -- (1.304,5.706) -- (1.245,5.647) -- (1.224,5.567) -- (1.245,5.487) -- (1.304,5.429) -- (1.384,5.407) -- (1.464,5.429) -- (1.523,5.487) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.474,5.195) -- (4.453,5.275) -- (4.394,5.334) -- (4.314,5.355) -- (4.234,5.334) -- (4.176,5.275) -- (4.154,5.195) -- (4.176,5.115) -- (4.234,5.057) -- (4.314,5.035) -- (4.394,5.057) -- (4.453,5.115) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.08,5.141) -- (8.059,5.221) -- (8.0,5.279) -- (7.92,5.301) -- (7.84,5.279) -- (7.781,5.221) -- (7.76,5.141) -- (7.781,5.061) -- (7.84,5.002) -- (7.92,4.981) -- (8.0,5.002) -- (8.059,5.061) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.474,4.596) -- (11.453,4.676) -- (11.394,4.735) -- (11.314,4.756) -- (11.234,4.735) -- (11.176,4.676) -- (11.154,4.596) -- (11.176,4.516) -- (11.234,4.458) -- (11.314,4.436) -- (11.394,4.458) -- (11.453,4.516) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.679,2.058) -- (1.657,2.138) -- (1.599,2.196) -- (1.519,2.218) -- (1.439,2.196) -- (1.38,2.138) -- (1.359,2.058) -- (1.38,1.978) -- (1.439,1.919) -- (1.519,1.898) -- (1.599,1.919) -- (1.657,1.978) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.34,1.501) -- (8.319,1.581) -- (8.26,1.639) -- (8.18,1.661) -- (8.1,1.639) -- (8.041,1.581) -- (8.02,1.501) -- (8.041,1.421) -- (8.1,1.362) -- (8.18,1.341) -- (8.26,1.362) -- (8.319,1.421) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.551,6.833) -- (6.505,7.003) -- (6.381,7.128) -- (6.211,7.173) -- (6.041,7.128) -- (5.916,7.003) -- (5.871,6.833) -- (5.916,6.663) -- (6.041,6.539) -- (6.211,6.493) -- (6.381,6.539) -- (6.505,6.663) -- cycle;
\node at (6.211,6.833) {\scalebox{1.648}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.74,6.884) -- (8.694,7.054) -- (8.57,7.179) -- (8.4,7.224) -- (8.23,7.179) -- (8.106,7.054) -- (8.06,6.884) -- (8.106,6.714) -- (8.23,6.59) -- (8.4,6.544) -- (8.57,6.59) -- (8.694,6.714) -- cycle;
\node at (8.4,6.884) {\scalebox{1.648}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.052,6.682) -- (10.007,6.852) -- (9.882,6.977) -- (9.712,7.022) -- (9.542,6.977) -- (9.418,6.852) -- (9.372,6.682) -- (9.418,6.512) -- (9.542,6.388) -- (9.712,6.342) -- (9.882,6.388) -- (10.007,6.512) -- cycle;
\node at (9.712,6.682) {\scalebox{1.648}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.127,6.016) -- (12.082,6.186) -- (11.957,6.311) -- (11.787,6.356) -- (11.617,6.311) -- (11.493,6.186) -- (11.447,6.016) -- (11.493,5.846) -- (11.617,5.722) -- (11.787,5.676) -- (11.957,5.722) -- (12.082,5.846) -- cycle;
\node at (11.787,6.016) {\scalebox{1.648}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.284,6.421) -- (2.239,6.591) -- (2.114,6.716) -- (1.944,6.761) -- (1.774,6.716) -- (1.65,6.591) -- (1.604,6.421) -- (1.65,6.251) -- (1.774,6.127) -- (1.944,6.081) -- (2.114,6.127) -- (2.239,6.251) -- cycle;
\node at (1.944,6.421) {\scalebox{1.648}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.843,6.636) -- (3.797,6.806) -- (3.673,6.931) -- (3.503,6.976) -- (3.333,6.931) -- (3.209,6.806) -- (3.163,6.636) -- (3.209,6.466) -- (3.333,6.342) -- (3.503,6.296) -- (3.673,6.342) -- (3.797,6.466) -- cycle;
\node at (3.503,6.636) {\scalebox{1.648}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.214,5.578) -- (3.168,5.748) -- (3.044,5.872) -- (2.874,5.918) -- (2.704,5.872) -- (2.58,5.748) -- (2.534,5.578) -- (2.58,5.408) -- (2.704,5.283) -- (2.874,5.238) -- (3.044,5.283) -- (3.168,5.408) -- cycle;
\node at (2.874,5.578) {\scalebox{1.648}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.256,3.83) -- (2.21,4.0) -- (2.086,4.125) -- (1.916,4.17) -- (1.746,4.125) -- (1.621,4.0) -- (1.576,3.83) -- (1.621,3.66) -- (1.746,3.536) -- (1.916,3.49) -- (2.086,3.536) -- (2.21,3.66) -- cycle;
\node at (1.916,3.83) {\scalebox{1.648}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.46,5.339) -- (6.414,5.509) -- (6.29,5.634) -- (6.12,5.679) -- (5.95,5.634) -- (5.825,5.509) -- (5.78,5.339) -- (5.825,5.169) -- (5.95,5.045) -- (6.12,4.999) -- (6.29,5.045) -- (6.414,5.169) -- cycle;
\node at (6.12,5.339) {\scalebox{1.648}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.961,3.739) -- (6.915,3.909) -- (6.791,4.033) -- (6.621,4.079) -- (6.451,4.033) -- (6.326,3.909) -- (6.281,3.739) -- (6.326,3.569) -- (6.451,3.444) -- (6.621,3.399) -- (6.791,3.444) -- (6.915,3.569) -- cycle;
\node at (6.621,3.739) {\scalebox{1.648}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.48,2.226) -- (4.434,2.396) -- (4.31,2.52) -- (4.14,2.566) -- (3.97,2.52) -- (3.845,2.396) -- (3.8,2.226) -- (3.845,2.056) -- (3.97,1.932) -- (4.14,1.886) -- (4.31,1.932) -- (4.434,2.056) -- cycle;
\node at (4.14,2.226) {\scalebox{1.648}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.014,4.895) -- (4.614,4.895) -- (4.614,5.495) -- (4.014,5.495) -- cycle;
\node at (4.314,5.195) {\scalebox{1.648}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.603,5.506) -- (3.203,5.506) -- (3.203,6.106) -- (2.603,6.106) -- cycle;
\node at (2.903,5.806) {\scalebox{1.648}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.809,5.847) -- (13.409,5.847) -- (13.409,6.447) -- (12.809,6.447) -- cycle;
\node at (13.109,6.147) {\scalebox{1.648}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.796,6.32) -- (1.396,6.32) -- (1.396,6.92) -- (0.796,6.92) -- cycle;
\node at (1.096,6.62) {\scalebox{1.648}{\small d}};
\node at (8.236,9.187) {\scalebox{1.648}{\small A}};
\node at (11.955,7.697) {\scalebox{1.648}{\small B}};
\node at (1.505,7.721) {\scalebox{1.648}{\small C}};
\node at (0.765,5.603) {\scalebox{1.648}{\small D}};
\node at (3.695,5.165) {\scalebox{1.648}{\small E}};
\node at (8.538,5.087) {\scalebox{1.648}{\small F}};
\node at (11.929,4.513) {\scalebox{1.648}{\small G}};
\node at (1.007,1.707) {\scalebox{1.648}{\small H}};
\node at (8.465,0.95) {\scalebox{1.648}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.684,7.686) -- (12.684,8.786);
\draw[line width=0.5pt] (12.453,8.401) -- (12.684,8.786) -- (12.915,8.401);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,8.236) -- (12.986,8.236);
\node at (12.684,9.171) {\scalebox{1.648}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 1 & 2 & 3 & 5 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, D, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
