\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 3}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=3}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0003}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.724, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.96,11.567) -- (7.235,11.484) -- (7.511,11.407) -- (7.789,11.336) -- (8.069,11.273) -- (8.35,11.215) -- (8.633,11.165) -- (8.916,11.121) -- (9.201,11.084) -- (9.487,11.053) -- (9.773,11.029) -- (10.059,11.012) -- (10.346,11.002) -- (10.633,10.998) -- (10.919,11.002);
\draw[line width=0.5pt] (6.96,11.567) -- (6.636,11.423) -- (6.308,11.287) -- (5.977,11.159) -- (5.643,11.039) -- (5.306,10.926) -- (4.966,10.822) -- (4.624,10.725) -- (4.28,10.637) -- (3.934,10.557) -- (3.587,10.484) -- (3.237,10.42) -- (2.887,10.365) -- (2.535,10.317) -- (2.182,10.278);
\draw[line width=0.5pt] (6.96,11.567) -- (6.852,11.217) -- (6.752,10.864) -- (6.66,10.508) -- (6.577,10.151) -- (6.502,9.792) -- (6.436,9.431) -- (6.378,9.068) -- (6.329,8.704) -- (6.288,8.339) -- (6.256,7.974) -- (6.232,7.607) -- (6.217,7.241) -- (6.211,6.874) -- (6.213,6.507);
\draw[line width=0.5pt] (10.919,11.002) -- (10.635,10.632) -- (10.342,10.268) -- (10.04,9.912) -- (9.73,9.563) -- (9.412,9.221) -- (9.086,8.887) -- (8.752,8.56) -- (8.41,8.242) -- (8.061,7.931) -- (7.705,7.629) -- (7.342,7.335) -- (6.972,7.05) -- (6.596,6.774) -- (6.213,6.507);
\draw[line width=0.5pt] (10.919,11.002) -- (10.863,10.669) -- (10.815,10.335) -- (10.775,10.0) -- (10.743,9.664) -- (10.718,9.327) -- (10.702,8.99) -- (10.693,8.653) -- (10.693,8.315) -- (10.7,7.977) -- (10.715,7.64) -- (10.739,7.303) -- (10.77,6.967) -- (10.809,6.632) -- (10.856,6.298) -- (10.823,5.992) -- (10.783,5.687) -- (10.736,5.382) -- (10.682,5.079) -- (10.62,4.777) -- (10.552,4.476) -- (10.476,4.177) -- (10.393,3.88) -- (10.304,3.585) -- (10.207,3.293) -- (10.104,3.002) -- (9.994,2.714) -- (9.877,2.429) -- (9.754,2.147);
\draw[line width=0.5pt] (2.182,10.278) -- (2.509,10.055) -- (2.831,9.824) -- (3.147,9.586) -- (3.457,9.34) -- (3.762,9.087) -- (4.061,8.826) -- (4.353,8.559) -- (4.639,8.285) -- (4.919,8.004) -- (5.192,7.717) -- (5.458,7.424) -- (5.717,7.124) -- (5.969,6.819) -- (6.213,6.507);
\draw[line width=0.5pt] (6.213,6.507) -- (6.417,6.16) -- (6.628,5.817) -- (6.847,5.479) -- (7.075,5.146) -- (7.31,4.819) -- (7.553,4.497) -- (7.804,4.181) -- (8.061,3.871) -- (8.326,3.568) -- (8.598,3.27) -- (8.877,2.979) -- (9.163,2.695) -- (9.455,2.418) -- (9.754,2.147);
\draw[line width=0.5pt] (6.213,6.507) -- (5.91,6.132) -- (5.597,5.763) -- (5.276,5.402) -- (4.947,5.049) -- (4.609,4.703) -- (4.263,4.366) -- (3.909,4.036) -- (3.547,3.715) -- (3.178,3.403) -- (2.802,3.099) -- (2.419,2.804) -- (2.029,2.519) -- (1.633,2.243) -- (1.23,1.976);
\draw[line width=0.5pt] (6.213,6.507) -- (6.199,6.151) -- (6.193,5.795) -- (6.195,5.438) -- (6.206,5.081) -- (6.225,4.725) -- (6.253,4.369) -- (6.288,4.014) -- (6.333,3.66) -- (6.385,3.307) -- (6.446,2.955) -- (6.515,2.605) -- (6.592,2.257) -- (6.678,1.911) -- (6.771,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.12,11.567) -- (7.099,11.647) -- (7.04,11.706) -- (6.96,11.727) -- (6.88,11.706) -- (6.822,11.647) -- (6.8,11.567) -- (6.822,11.487) -- (6.88,11.428) -- (6.96,11.407) -- (7.04,11.428) -- (7.099,11.487) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.079,11.002) -- (11.058,11.082) -- (10.999,11.14) -- (10.919,11.162) -- (10.839,11.14) -- (10.781,11.082) -- (10.759,11.002) -- (10.781,10.922) -- (10.839,10.863) -- (10.919,10.842) -- (10.999,10.863) -- (11.058,10.922) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.342,10.278) -- (2.321,10.358) -- (2.262,10.417) -- (2.182,10.438) -- (2.102,10.417) -- (2.044,10.358) -- (2.022,10.278) -- (2.044,10.198) -- (2.102,10.139) -- (2.182,10.118) -- (2.262,10.139) -- (2.321,10.198) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.373,6.507) -- (6.352,6.587) -- (6.293,6.646) -- (6.213,6.667) -- (6.133,6.646) -- (6.075,6.587) -- (6.053,6.507) -- (6.075,6.427) -- (6.133,6.369) -- (6.213,6.347) -- (6.293,6.369) -- (6.352,6.427) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.914,2.147) -- (9.892,2.227) -- (9.834,2.286) -- (9.754,2.307) -- (9.674,2.286) -- (9.615,2.227) -- (9.594,2.147) -- (9.615,2.067) -- (9.674,2.009) -- (9.754,1.987) -- (9.834,2.009) -- (9.892,2.067) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.39,1.976) -- (1.369,2.056) -- (1.31,2.115) -- (1.23,2.136) -- (1.15,2.115) -- (1.092,2.056) -- (1.07,1.976) -- (1.092,1.896) -- (1.15,1.837) -- (1.23,1.816) -- (1.31,1.837) -- (1.369,1.896) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.931,1.567) -- (6.91,1.647) -- (6.851,1.706) -- (6.771,1.727) -- (6.691,1.706) -- (6.633,1.647) -- (6.611,1.567) -- (6.633,1.487) -- (6.691,1.428) -- (6.771,1.407) -- (6.851,1.428) -- (6.91,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.302,11.438) -- (9.256,11.608) -- (9.132,11.732) -- (8.962,11.778) -- (8.792,11.732) -- (8.667,11.608) -- (8.622,11.438) -- (8.667,11.268) -- (8.792,11.143) -- (8.962,11.098) -- (9.132,11.143) -- (9.256,11.268) -- cycle;
\node at (8.962,11.438) {\scalebox{1.381}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.048,10.416) -- (5.002,10.586) -- (4.878,10.711) -- (4.708,10.756) -- (4.538,10.711) -- (4.413,10.586) -- (4.368,10.416) -- (4.413,10.246) -- (4.538,10.122) -- (4.708,10.076) -- (4.878,10.122) -- (5.002,10.246) -- cycle;
\node at (4.708,10.416) {\scalebox{1.381}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.035,9.021) -- (6.989,9.191) -- (6.865,9.316) -- (6.695,9.361) -- (6.525,9.316) -- (6.4,9.191) -- (6.355,9.021) -- (6.4,8.851) -- (6.525,8.727) -- (6.695,8.681) -- (6.865,8.727) -- (6.989,8.851) -- cycle;
\node at (6.695,9.021) {\scalebox{1.381}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.313,8.329) -- (9.267,8.499) -- (9.143,8.623) -- (8.973,8.669) -- (8.803,8.623) -- (8.678,8.499) -- (8.633,8.329) -- (8.678,8.159) -- (8.803,8.035) -- (8.973,7.989) -- (9.143,8.035) -- (9.267,8.159) -- cycle;
\node at (8.973,8.329) {\scalebox{1.381}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.516,6.305) -- (11.47,6.475) -- (11.346,6.6) -- (11.176,6.645) -- (11.006,6.6) -- (10.881,6.475) -- (10.836,6.305) -- (10.881,6.135) -- (11.006,6.011) -- (11.176,5.965) -- (11.346,6.011) -- (11.47,6.135) -- cycle;
\node at (11.176,6.305) {\scalebox{1.381}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.912,8.793) -- (4.866,8.963) -- (4.742,9.087) -- (4.572,9.133) -- (4.402,9.087) -- (4.277,8.963) -- (4.232,8.793) -- (4.277,8.623) -- (4.402,8.498) -- (4.572,8.453) -- (4.742,8.498) -- (4.866,8.623) -- cycle;
\node at (4.572,8.793) {\scalebox{1.381}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.392,4.383) -- (8.347,4.553) -- (8.222,4.677) -- (8.052,4.723) -- (7.882,4.677) -- (7.758,4.553) -- (7.712,4.383) -- (7.758,4.213) -- (7.882,4.089) -- (8.052,4.043) -- (8.222,4.089) -- (8.347,4.213) -- cycle;
\node at (8.052,4.383) {\scalebox{1.381}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.464,3.799) -- (4.418,3.969) -- (4.294,4.094) -- (4.124,4.139) -- (3.954,4.094) -- (3.83,3.969) -- (3.784,3.799) -- (3.83,3.629) -- (3.954,3.505) -- (4.124,3.459) -- (4.294,3.505) -- (4.418,3.629) -- cycle;
\node at (4.124,3.799) {\scalebox{1.381}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.946,4.05) -- (6.901,4.22) -- (6.776,4.345) -- (6.606,4.39) -- (6.436,4.345) -- (6.312,4.22) -- (6.266,4.05) -- (6.312,3.88) -- (6.436,3.756) -- (6.606,3.71) -- (6.776,3.756) -- (6.901,3.88) -- cycle;
\node at (6.606,4.05) {\scalebox{1.381}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.913,6.207) -- (6.513,6.207) -- (6.513,6.807) -- (5.913,6.807) -- cycle;
\node at (6.213,6.507) {\scalebox{1.381}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.783,2.704) -- (7.383,2.704) -- (7.383,3.304) -- (6.783,3.304) -- cycle;
\node at (7.083,3.004) {\scalebox{1.381}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.715,3.457) -- (9.315,3.457) -- (9.315,4.057) -- (8.715,4.057) -- cycle;
\node at (9.015,3.757) {\scalebox{1.381}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.535,10.107) -- (4.135,10.107) -- (4.135,10.707) -- (3.535,10.707) -- cycle;
\node at (3.835,10.407) {\scalebox{1.381}{\small d}};
\node at (7.041,12.182) {\scalebox{1.381}{\small A}};
\node at (11.361,11.437) {\scalebox{1.381}{\small B}};
\node at (1.729,10.702) {\scalebox{1.381}{\small C}};
\node at (5.763,6.934) {\scalebox{1.381}{\small D}};
\node at (10.143,1.665) {\scalebox{1.381}{\small E}};
\node at (0.765,1.566) {\scalebox{1.381}{\small F}};
\node at (6.832,0.95) {\scalebox{1.381}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.219,10.617) -- (12.219,11.717);
\draw[line width=0.5pt] (11.988,11.332) -- (12.219,11.717) -- (12.45,11.332);
\draw[line width=0.5pt] (11.917,11.167) -- (12.522,11.167);
\node at (12.219,12.102) {\scalebox{1.381}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① avenue de la Gare & ⑥ rue Neuve & Ⓐ Carrefour Saint-Roch & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin Creux & ⑦ allée des Peupliers & Ⓑ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue Basse & ⑧ impasse Verte & Ⓒ Place de l'Église & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ chemin des Vignes & ⑨ impasse Sainte-Anne & Ⓓ Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
⑤ passage du Marché &  & Ⓔ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6478, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.96,11.567) -- (7.235,11.484) -- (7.511,11.407) -- (7.789,11.336) -- (8.069,11.273) -- (8.35,11.215) -- (8.633,11.165) -- (8.916,11.121) -- (9.201,11.084) -- (9.487,11.053) -- (9.773,11.029) -- (10.059,11.012) -- (10.346,11.002) -- (10.633,10.998) -- (10.919,11.002);
\draw[line width=0.5pt] (6.96,11.567) -- (6.636,11.423) -- (6.308,11.287) -- (5.977,11.159) -- (5.643,11.039) -- (5.306,10.926) -- (4.966,10.822) -- (4.624,10.725) -- (4.28,10.637) -- (3.934,10.557) -- (3.587,10.484) -- (3.237,10.42) -- (2.887,10.365) -- (2.535,10.317) -- (2.182,10.278);
\draw[line width=0.5pt] (6.96,11.567) -- (6.852,11.217) -- (6.752,10.864) -- (6.66,10.508) -- (6.577,10.151) -- (6.502,9.792) -- (6.436,9.431) -- (6.378,9.068) -- (6.329,8.704) -- (6.288,8.339) -- (6.256,7.974) -- (6.232,7.607) -- (6.217,7.241) -- (6.211,6.874) -- (6.213,6.507);
\draw[line width=0.5pt] (10.919,11.002) -- (10.635,10.632) -- (10.342,10.268) -- (10.04,9.912) -- (9.73,9.563) -- (9.412,9.221) -- (9.086,8.887) -- (8.752,8.56) -- (8.41,8.242) -- (8.061,7.931) -- (7.705,7.629) -- (7.342,7.335) -- (6.972,7.05) -- (6.596,6.774) -- (6.213,6.507);
\draw[line width=0.5pt] (10.919,11.002) -- (10.863,10.669) -- (10.815,10.335) -- (10.775,10.0) -- (10.743,9.664) -- (10.718,9.327) -- (10.702,8.99) -- (10.693,8.653) -- (10.693,8.315) -- (10.7,7.977) -- (10.715,7.64) -- (10.739,7.303) -- (10.77,6.967) -- (10.809,6.632) -- (10.856,6.298) -- (10.823,5.992) -- (10.783,5.687) -- (10.736,5.382) -- (10.682,5.079) -- (10.62,4.777) -- (10.552,4.476) -- (10.476,4.177) -- (10.393,3.88) -- (10.304,3.585) -- (10.207,3.293) -- (10.104,3.002) -- (9.994,2.714) -- (9.877,2.429) -- (9.754,2.147);
\draw[line width=0.5pt] (2.182,10.278) -- (2.509,10.055) -- (2.831,9.824) -- (3.147,9.586) -- (3.457,9.34) -- (3.762,9.087) -- (4.061,8.826) -- (4.353,8.559) -- (4.639,8.285) -- (4.919,8.004) -- (5.192,7.717) -- (5.458,7.424) -- (5.717,7.124) -- (5.969,6.819) -- (6.213,6.507);
\draw[line width=0.5pt] (6.213,6.507) -- (6.417,6.16) -- (6.628,5.817) -- (6.847,5.479) -- (7.075,5.146) -- (7.31,4.819) -- (7.553,4.497) -- (7.804,4.181) -- (8.061,3.871) -- (8.326,3.568) -- (8.598,3.27) -- (8.877,2.979) -- (9.163,2.695) -- (9.455,2.418) -- (9.754,2.147);
\draw[line width=0.5pt] (6.213,6.507) -- (5.91,6.132) -- (5.597,5.763) -- (5.276,5.402) -- (4.947,5.049) -- (4.609,4.703) -- (4.263,4.366) -- (3.909,4.036) -- (3.547,3.715) -- (3.178,3.403) -- (2.802,3.099) -- (2.419,2.804) -- (2.029,2.519) -- (1.633,2.243) -- (1.23,1.976);
\draw[line width=0.5pt] (6.213,6.507) -- (6.199,6.151) -- (6.193,5.795) -- (6.195,5.438) -- (6.206,5.081) -- (6.225,4.725) -- (6.253,4.369) -- (6.288,4.014) -- (6.333,3.66) -- (6.385,3.307) -- (6.446,2.955) -- (6.515,2.605) -- (6.592,2.257) -- (6.678,1.911) -- (6.771,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.12,11.567) -- (7.099,11.647) -- (7.04,11.706) -- (6.96,11.727) -- (6.88,11.706) -- (6.822,11.647) -- (6.8,11.567) -- (6.822,11.487) -- (6.88,11.428) -- (6.96,11.407) -- (7.04,11.428) -- (7.099,11.487) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.079,11.002) -- (11.058,11.082) -- (10.999,11.14) -- (10.919,11.162) -- (10.839,11.14) -- (10.781,11.082) -- (10.759,11.002) -- (10.781,10.922) -- (10.839,10.863) -- (10.919,10.842) -- (10.999,10.863) -- (11.058,10.922) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.342,10.278) -- (2.321,10.358) -- (2.262,10.417) -- (2.182,10.438) -- (2.102,10.417) -- (2.044,10.358) -- (2.022,10.278) -- (2.044,10.198) -- (2.102,10.139) -- (2.182,10.118) -- (2.262,10.139) -- (2.321,10.198) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.373,6.507) -- (6.352,6.587) -- (6.293,6.646) -- (6.213,6.667) -- (6.133,6.646) -- (6.075,6.587) -- (6.053,6.507) -- (6.075,6.427) -- (6.133,6.369) -- (6.213,6.347) -- (6.293,6.369) -- (6.352,6.427) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.914,2.147) -- (9.892,2.227) -- (9.834,2.286) -- (9.754,2.307) -- (9.674,2.286) -- (9.615,2.227) -- (9.594,2.147) -- (9.615,2.067) -- (9.674,2.009) -- (9.754,1.987) -- (9.834,2.009) -- (9.892,2.067) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.39,1.976) -- (1.369,2.056) -- (1.31,2.115) -- (1.23,2.136) -- (1.15,2.115) -- (1.092,2.056) -- (1.07,1.976) -- (1.092,1.896) -- (1.15,1.837) -- (1.23,1.816) -- (1.31,1.837) -- (1.369,1.896) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.931,1.567) -- (6.91,1.647) -- (6.851,1.706) -- (6.771,1.727) -- (6.691,1.706) -- (6.633,1.647) -- (6.611,1.567) -- (6.633,1.487) -- (6.691,1.428) -- (6.771,1.407) -- (6.851,1.428) -- (6.91,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.302,11.438) -- (9.256,11.608) -- (9.132,11.732) -- (8.962,11.778) -- (8.792,11.732) -- (8.667,11.608) -- (8.622,11.438) -- (8.667,11.268) -- (8.792,11.143) -- (8.962,11.098) -- (9.132,11.143) -- (9.256,11.268) -- cycle;
\node at (8.962,11.438) {\scalebox{1.544}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.048,10.416) -- (5.002,10.586) -- (4.878,10.711) -- (4.708,10.756) -- (4.538,10.711) -- (4.413,10.586) -- (4.368,10.416) -- (4.413,10.246) -- (4.538,10.122) -- (4.708,10.076) -- (4.878,10.122) -- (5.002,10.246) -- cycle;
\node at (4.708,10.416) {\scalebox{1.544}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.035,9.021) -- (6.989,9.191) -- (6.865,9.316) -- (6.695,9.361) -- (6.525,9.316) -- (6.4,9.191) -- (6.355,9.021) -- (6.4,8.851) -- (6.525,8.727) -- (6.695,8.681) -- (6.865,8.727) -- (6.989,8.851) -- cycle;
\node at (6.695,9.021) {\scalebox{1.544}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.313,8.329) -- (9.267,8.499) -- (9.143,8.623) -- (8.973,8.669) -- (8.803,8.623) -- (8.678,8.499) -- (8.633,8.329) -- (8.678,8.159) -- (8.803,8.035) -- (8.973,7.989) -- (9.143,8.035) -- (9.267,8.159) -- cycle;
\node at (8.973,8.329) {\scalebox{1.544}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.516,6.305) -- (11.47,6.475) -- (11.346,6.6) -- (11.176,6.645) -- (11.006,6.6) -- (10.881,6.475) -- (10.836,6.305) -- (10.881,6.135) -- (11.006,6.011) -- (11.176,5.965) -- (11.346,6.011) -- (11.47,6.135) -- cycle;
\node at (11.176,6.305) {\scalebox{1.544}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.912,8.793) -- (4.866,8.963) -- (4.742,9.087) -- (4.572,9.133) -- (4.402,9.087) -- (4.277,8.963) -- (4.232,8.793) -- (4.277,8.623) -- (4.402,8.498) -- (4.572,8.453) -- (4.742,8.498) -- (4.866,8.623) -- cycle;
\node at (4.572,8.793) {\scalebox{1.544}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.392,4.383) -- (8.347,4.553) -- (8.222,4.677) -- (8.052,4.723) -- (7.882,4.677) -- (7.758,4.553) -- (7.712,4.383) -- (7.758,4.213) -- (7.882,4.089) -- (8.052,4.043) -- (8.222,4.089) -- (8.347,4.213) -- cycle;
\node at (8.052,4.383) {\scalebox{1.544}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.464,3.799) -- (4.418,3.969) -- (4.294,4.094) -- (4.124,4.139) -- (3.954,4.094) -- (3.83,3.969) -- (3.784,3.799) -- (3.83,3.629) -- (3.954,3.505) -- (4.124,3.459) -- (4.294,3.505) -- (4.418,3.629) -- cycle;
\node at (4.124,3.799) {\scalebox{1.544}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.946,4.05) -- (6.901,4.22) -- (6.776,4.345) -- (6.606,4.39) -- (6.436,4.345) -- (6.312,4.22) -- (6.266,4.05) -- (6.312,3.88) -- (6.436,3.756) -- (6.606,3.71) -- (6.776,3.756) -- (6.901,3.88) -- cycle;
\node at (6.606,4.05) {\scalebox{1.544}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.913,6.207) -- (6.513,6.207) -- (6.513,6.807) -- (5.913,6.807) -- cycle;
\node at (6.213,6.507) {\scalebox{1.544}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.783,2.704) -- (7.383,2.704) -- (7.383,3.304) -- (6.783,3.304) -- cycle;
\node at (7.083,3.004) {\scalebox{1.544}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.715,3.457) -- (9.315,3.457) -- (9.315,4.057) -- (8.715,4.057) -- cycle;
\node at (9.015,3.757) {\scalebox{1.544}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.535,10.107) -- (4.135,10.107) -- (4.135,10.707) -- (3.535,10.707) -- cycle;
\node at (3.835,10.407) {\scalebox{1.544}{\small d}};
\node at (7.041,12.182) {\scalebox{1.544}{\small A}};
\node at (11.361,11.437) {\scalebox{1.544}{\small B}};
\node at (1.729,10.702) {\scalebox{1.544}{\small C}};
\node at (5.763,6.934) {\scalebox{1.544}{\small D}};
\node at (10.143,1.665) {\scalebox{1.544}{\small E}};
\node at (0.765,1.566) {\scalebox{1.544}{\small F}};
\node at (6.832,0.95) {\scalebox{1.544}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.219,10.617) -- (12.219,11.717);
\draw[line width=0.5pt] (11.988,11.332) -- (12.219,11.717) -- (12.45,11.332);
\draw[line width=0.5pt] (11.917,11.167) -- (12.522,11.167);
\node at (12.219,12.102) {\scalebox{1.544}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 2 & 6 & 2 & 1 & 1 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
