\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 30}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=30}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0030}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7081, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.426,7.96) -- (6.759,7.869) -- (7.095,7.786) -- (7.432,7.711) -- (7.771,7.643) -- (8.112,7.584) -- (8.454,7.533) -- (8.797,7.489) -- (9.141,7.454) -- (9.486,7.427) -- (9.831,7.408) -- (10.176,7.397) -- (10.522,7.394) -- (10.868,7.4) -- (11.213,7.413);
\draw[line width=0.5pt] (6.426,7.96) -- (6.085,7.847) -- (5.741,7.742) -- (5.394,7.645) -- (5.045,7.557) -- (4.694,7.476) -- (4.342,7.404) -- (3.988,7.34) -- (3.632,7.285) -- (3.275,7.237) -- (2.917,7.198) -- (2.559,7.168) -- (2.199,7.146) -- (1.84,7.133) -- (1.48,7.128);
\draw[line width=0.5pt] (6.426,7.96) -- (6.23,7.776) -- (6.039,7.586) -- (5.853,7.392) -- (5.671,7.194) -- (5.493,6.991) -- (5.321,6.785) -- (5.153,6.574) -- (4.991,6.359) -- (4.833,6.141) -- (4.681,5.919) -- (4.534,5.694) -- (4.392,5.465) -- (4.256,5.233) -- (4.125,4.998);
\draw[line width=0.5pt] (6.426,7.96) -- (6.565,7.634) -- (6.696,7.304) -- (6.819,6.972) -- (6.935,6.636) -- (7.042,6.298) -- (7.142,5.957) -- (7.233,5.614) -- (7.317,5.269) -- (7.392,4.922) -- (7.459,4.573) -- (7.518,4.223) -- (7.569,3.872) -- (7.611,3.519) -- (7.645,3.166);
\draw[line width=0.5pt] (11.213,7.413) -- (11.049,7.211) -- (10.89,7.004) -- (10.735,6.794) -- (10.586,6.58) -- (10.442,6.363) -- (10.303,6.142) -- (10.169,5.918) -- (10.04,5.691) -- (9.917,5.461) -- (9.799,5.228) -- (9.687,4.993) -- (9.58,4.755) -- (9.479,4.515) -- (9.384,4.272) -- (9.272,4.175) -- (9.159,4.08) -- (9.043,3.988) -- (8.926,3.898) -- (8.806,3.812) -- (8.684,3.728) -- (8.56,3.647) -- (8.434,3.57) -- (8.307,3.495) -- (8.177,3.423) -- (8.047,3.354) -- (7.914,3.288) -- (7.78,3.226) -- (7.645,3.166);
\draw[line width=0.5pt] (1.48,7.128) -- (1.691,7.006) -- (1.899,6.879) -- (2.104,6.747) -- (2.305,6.61) -- (2.504,6.469) -- (2.699,6.323) -- (2.891,6.172) -- (3.079,6.017) -- (3.263,5.857) -- (3.443,5.694) -- (3.62,5.526) -- (3.793,5.354) -- (3.961,5.178) -- (4.125,4.998);
\draw[line width=0.5pt] (4.125,4.998) -- (4.354,4.83) -- (4.588,4.667) -- (4.825,4.509) -- (5.066,4.358) -- (5.31,4.212) -- (5.558,4.071) -- (5.809,3.937) -- (6.064,3.808) -- (6.321,3.686) -- (6.581,3.57) -- (6.843,3.459) -- (7.108,3.355) -- (7.375,3.258) -- (7.645,3.166);
\draw[line width=0.5pt] (4.125,4.998) -- (3.958,4.71) -- (3.785,4.425) -- (3.604,4.145) -- (3.417,3.869) -- (3.224,3.597) -- (3.024,3.33) -- (2.818,3.068) -- (2.606,2.811) -- (2.388,2.559) -- (2.164,2.312) -- (1.935,2.07) -- (1.699,1.834) -- (1.459,1.603) -- (1.213,1.379);
\draw[line width=0.5pt] (7.645,3.166) -- (7.17,3.11) -- (6.696,3.043) -- (6.223,2.964) -- (5.753,2.874) -- (5.284,2.773) -- (4.818,2.661) -- (4.355,2.538) -- (3.895,2.404) -- (3.438,2.26) -- (2.985,2.105) -- (2.535,1.939) -- (2.09,1.763) -- (1.649,1.576) -- (1.213,1.379);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.586,7.96) -- (6.564,8.04) -- (6.506,8.099) -- (6.426,8.12) -- (6.346,8.099) -- (6.287,8.04) -- (6.266,7.96) -- (6.287,7.88) -- (6.346,7.822) -- (6.426,7.8) -- (6.506,7.822) -- (6.564,7.88) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.373,7.413) -- (11.351,7.493) -- (11.293,7.552) -- (11.213,7.573) -- (11.133,7.552) -- (11.074,7.493) -- (11.053,7.413) -- (11.074,7.333) -- (11.133,7.275) -- (11.213,7.253) -- (11.293,7.275) -- (11.351,7.333) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.64,7.128) -- (1.619,7.208) -- (1.56,7.266) -- (1.48,7.288) -- (1.4,7.266) -- (1.342,7.208) -- (1.32,7.128) -- (1.342,7.048) -- (1.4,6.989) -- (1.48,6.968) -- (1.56,6.989) -- (1.619,7.048) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.285,4.998) -- (4.264,5.078) -- (4.205,5.136) -- (4.125,5.158) -- (4.045,5.136) -- (3.986,5.078) -- (3.965,4.998) -- (3.986,4.918) -- (4.045,4.859) -- (4.125,4.838) -- (4.205,4.859) -- (4.264,4.918) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.805,3.166) -- (7.783,3.246) -- (7.725,3.305) -- (7.645,3.326) -- (7.565,3.305) -- (7.506,3.246) -- (7.485,3.166) -- (7.506,3.086) -- (7.565,3.028) -- (7.645,3.006) -- (7.725,3.028) -- (7.783,3.086) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.373,1.379) -- (1.351,1.459) -- (1.293,1.517) -- (1.213,1.539) -- (1.133,1.517) -- (1.074,1.459) -- (1.053,1.379) -- (1.074,1.299) -- (1.133,1.24) -- (1.213,1.219) -- (1.293,1.24) -- (1.351,1.299) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.173,7.807) -- (9.128,7.977) -- (9.003,8.102) -- (8.833,8.147) -- (8.663,8.102) -- (8.539,7.977) -- (8.493,7.807) -- (8.539,7.637) -- (8.663,7.513) -- (8.833,7.467) -- (9.003,7.513) -- (9.128,7.637) -- cycle;
\node at (8.833,7.807) {\scalebox{1.412}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.381,7.025) -- (4.335,7.195) -- (4.211,7.319) -- (4.041,7.365) -- (3.871,7.319) -- (3.746,7.195) -- (3.701,7.025) -- (3.746,6.855) -- (3.871,6.73) -- (4.041,6.685) -- (4.211,6.73) -- (4.335,6.855) -- cycle;
\node at (4.041,7.025) {\scalebox{1.412}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.746,6.378) -- (5.7,6.548) -- (5.576,6.672) -- (5.406,6.718) -- (5.236,6.672) -- (5.112,6.548) -- (5.066,6.378) -- (5.112,6.208) -- (5.236,6.083) -- (5.406,6.038) -- (5.576,6.083) -- (5.7,6.208) -- cycle;
\node at (5.406,6.378) {\scalebox{1.412}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.883,5.693) -- (7.838,5.863) -- (7.713,5.987) -- (7.543,6.033) -- (7.373,5.987) -- (7.249,5.863) -- (7.203,5.693) -- (7.249,5.523) -- (7.373,5.398) -- (7.543,5.353) -- (7.713,5.398) -- (7.838,5.523) -- cycle;
\node at (7.543,5.693) {\scalebox{1.412}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.997,4.106) -- (9.952,4.276) -- (9.827,4.4) -- (9.657,4.446) -- (9.487,4.4) -- (9.363,4.276) -- (9.317,4.106) -- (9.363,3.936) -- (9.487,3.811) -- (9.657,3.766) -- (9.827,3.811) -- (9.952,3.936) -- cycle;
\node at (9.657,4.106) {\scalebox{1.412}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.431,6.421) -- (3.386,6.591) -- (3.261,6.716) -- (3.091,6.761) -- (2.921,6.716) -- (2.797,6.591) -- (2.751,6.421) -- (2.797,6.251) -- (2.921,6.127) -- (3.091,6.081) -- (3.261,6.127) -- (3.386,6.251) -- cycle;
\node at (3.091,6.421) {\scalebox{1.412}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.297,4.221) -- (6.252,4.391) -- (6.127,4.515) -- (5.957,4.561) -- (5.787,4.515) -- (5.663,4.391) -- (5.617,4.221) -- (5.663,4.051) -- (5.787,3.926) -- (5.957,3.881) -- (6.127,3.926) -- (6.252,4.051) -- cycle;
\node at (5.957,4.221) {\scalebox{1.412}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.408,2.868) -- (3.362,3.038) -- (3.238,3.162) -- (3.068,3.208) -- (2.898,3.162) -- (2.773,3.038) -- (2.728,2.868) -- (2.773,2.698) -- (2.898,2.573) -- (3.068,2.528) -- (3.238,2.573) -- (3.362,2.698) -- cycle;
\node at (3.068,2.868) {\scalebox{1.412}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.781,2.23) -- (4.735,2.4) -- (4.611,2.524) -- (4.441,2.57) -- (4.271,2.524) -- (4.146,2.4) -- (4.101,2.23) -- (4.146,2.06) -- (4.271,1.935) -- (4.441,1.89) -- (4.611,1.935) -- (4.735,2.06) -- cycle;
\node at (4.441,2.23) {\scalebox{1.412}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.126,7.66) -- (6.726,7.66) -- (6.726,8.26) -- (6.126,8.26) -- cycle;
\node at (6.426,7.96) {\scalebox{1.412}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.432,8.406) -- (10.032,8.406) -- (10.032,9.006) -- (9.432,9.006) -- cycle;
\node at (9.732,8.706) {\scalebox{1.412}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.439,3.257) -- (7.039,3.257) -- (7.039,3.857) -- (6.439,3.857) -- cycle;
\node at (6.739,3.557) {\scalebox{1.412}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.991,6.863) -- (2.591,6.863) -- (2.591,7.463) -- (1.991,7.463) -- cycle;
\node at (2.291,7.163) {\scalebox{1.412}{\small d}};
\node at (6.661,8.534) {\scalebox{1.412}{\small A}};
\node at (11.797,7.62) {\scalebox{1.412}{\small B}};
\node at (0.918,7.388) {\scalebox{1.412}{\small C}};
\node at (3.528,4.831) {\scalebox{1.412}{\small D}};
\node at (8.095,2.74) {\scalebox{1.412}{\small E}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.412}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.513,7.01) -- (12.513,8.11);
\draw[line width=0.5pt] (12.282,7.725) -- (12.513,8.11) -- (12.744,7.725);
\draw[line width=0.5pt] (12.21,7.56) -- (12.815,7.56);
\node at (12.513,8.495) {\scalebox{1.412}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Poste & ⑥ chemin de Ronde & Ⓐ Rond-point de la Poste & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Stade & ⑦ rue Haute & Ⓑ Place du Vieux-Puits & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ chemin Creux & ⑧ rue Verte & Ⓒ Place aux Herbes & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ rue du Four & ⑨ allée des Tilleuls & Ⓓ Rond-point de la Gare & \textbf{d} le stade \\ \hline
⑤ rue de l'Église &  & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6336, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.426,7.96) -- (6.759,7.869) -- (7.095,7.786) -- (7.432,7.711) -- (7.771,7.643) -- (8.112,7.584) -- (8.454,7.533) -- (8.797,7.489) -- (9.141,7.454) -- (9.486,7.427) -- (9.831,7.408) -- (10.176,7.397) -- (10.522,7.394) -- (10.868,7.4) -- (11.213,7.413);
\draw[line width=0.5pt] (6.426,7.96) -- (6.085,7.847) -- (5.741,7.742) -- (5.394,7.645) -- (5.045,7.557) -- (4.694,7.476) -- (4.342,7.404) -- (3.988,7.34) -- (3.632,7.285) -- (3.275,7.237) -- (2.917,7.198) -- (2.559,7.168) -- (2.199,7.146) -- (1.84,7.133) -- (1.48,7.128);
\draw[line width=0.5pt] (6.426,7.96) -- (6.23,7.776) -- (6.039,7.586) -- (5.853,7.392) -- (5.671,7.194) -- (5.493,6.991) -- (5.321,6.785) -- (5.153,6.574) -- (4.991,6.359) -- (4.833,6.141) -- (4.681,5.919) -- (4.534,5.694) -- (4.392,5.465) -- (4.256,5.233) -- (4.125,4.998);
\draw[line width=0.5pt] (6.426,7.96) -- (6.565,7.634) -- (6.696,7.304) -- (6.819,6.972) -- (6.935,6.636) -- (7.042,6.298) -- (7.142,5.957) -- (7.233,5.614) -- (7.317,5.269) -- (7.392,4.922) -- (7.459,4.573) -- (7.518,4.223) -- (7.569,3.872) -- (7.611,3.519) -- (7.645,3.166);
\draw[line width=0.5pt] (11.213,7.413) -- (11.049,7.211) -- (10.89,7.004) -- (10.735,6.794) -- (10.586,6.58) -- (10.442,6.363) -- (10.303,6.142) -- (10.169,5.918) -- (10.04,5.691) -- (9.917,5.461) -- (9.799,5.228) -- (9.687,4.993) -- (9.58,4.755) -- (9.479,4.515) -- (9.384,4.272) -- (9.272,4.175) -- (9.159,4.08) -- (9.043,3.988) -- (8.926,3.898) -- (8.806,3.812) -- (8.684,3.728) -- (8.56,3.647) -- (8.434,3.57) -- (8.307,3.495) -- (8.177,3.423) -- (8.047,3.354) -- (7.914,3.288) -- (7.78,3.226) -- (7.645,3.166);
\draw[line width=0.5pt] (1.48,7.128) -- (1.691,7.006) -- (1.899,6.879) -- (2.104,6.747) -- (2.305,6.61) -- (2.504,6.469) -- (2.699,6.323) -- (2.891,6.172) -- (3.079,6.017) -- (3.263,5.857) -- (3.443,5.694) -- (3.62,5.526) -- (3.793,5.354) -- (3.961,5.178) -- (4.125,4.998);
\draw[line width=0.5pt] (4.125,4.998) -- (4.354,4.83) -- (4.588,4.667) -- (4.825,4.509) -- (5.066,4.358) -- (5.31,4.212) -- (5.558,4.071) -- (5.809,3.937) -- (6.064,3.808) -- (6.321,3.686) -- (6.581,3.57) -- (6.843,3.459) -- (7.108,3.355) -- (7.375,3.258) -- (7.645,3.166);
\draw[line width=0.5pt] (4.125,4.998) -- (3.958,4.71) -- (3.785,4.425) -- (3.604,4.145) -- (3.417,3.869) -- (3.224,3.597) -- (3.024,3.33) -- (2.818,3.068) -- (2.606,2.811) -- (2.388,2.559) -- (2.164,2.312) -- (1.935,2.07) -- (1.699,1.834) -- (1.459,1.603) -- (1.213,1.379);
\draw[line width=0.5pt] (7.645,3.166) -- (7.17,3.11) -- (6.696,3.043) -- (6.223,2.964) -- (5.753,2.874) -- (5.284,2.773) -- (4.818,2.661) -- (4.355,2.538) -- (3.895,2.404) -- (3.438,2.26) -- (2.985,2.105) -- (2.535,1.939) -- (2.09,1.763) -- (1.649,1.576) -- (1.213,1.379);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.586,7.96) -- (6.564,8.04) -- (6.506,8.099) -- (6.426,8.12) -- (6.346,8.099) -- (6.287,8.04) -- (6.266,7.96) -- (6.287,7.88) -- (6.346,7.822) -- (6.426,7.8) -- (6.506,7.822) -- (6.564,7.88) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.373,7.413) -- (11.351,7.493) -- (11.293,7.552) -- (11.213,7.573) -- (11.133,7.552) -- (11.074,7.493) -- (11.053,7.413) -- (11.074,7.333) -- (11.133,7.275) -- (11.213,7.253) -- (11.293,7.275) -- (11.351,7.333) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.64,7.128) -- (1.619,7.208) -- (1.56,7.266) -- (1.48,7.288) -- (1.4,7.266) -- (1.342,7.208) -- (1.32,7.128) -- (1.342,7.048) -- (1.4,6.989) -- (1.48,6.968) -- (1.56,6.989) -- (1.619,7.048) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.285,4.998) -- (4.264,5.078) -- (4.205,5.136) -- (4.125,5.158) -- (4.045,5.136) -- (3.986,5.078) -- (3.965,4.998) -- (3.986,4.918) -- (4.045,4.859) -- (4.125,4.838) -- (4.205,4.859) -- (4.264,4.918) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.805,3.166) -- (7.783,3.246) -- (7.725,3.305) -- (7.645,3.326) -- (7.565,3.305) -- (7.506,3.246) -- (7.485,3.166) -- (7.506,3.086) -- (7.565,3.028) -- (7.645,3.006) -- (7.725,3.028) -- (7.783,3.086) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.373,1.379) -- (1.351,1.459) -- (1.293,1.517) -- (1.213,1.539) -- (1.133,1.517) -- (1.074,1.459) -- (1.053,1.379) -- (1.074,1.299) -- (1.133,1.24) -- (1.213,1.219) -- (1.293,1.24) -- (1.351,1.299) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.173,7.807) -- (9.128,7.977) -- (9.003,8.102) -- (8.833,8.147) -- (8.663,8.102) -- (8.539,7.977) -- (8.493,7.807) -- (8.539,7.637) -- (8.663,7.513) -- (8.833,7.467) -- (9.003,7.513) -- (9.128,7.637) -- cycle;
\node at (8.833,7.807) {\scalebox{1.578}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.381,7.025) -- (4.335,7.195) -- (4.211,7.319) -- (4.041,7.365) -- (3.871,7.319) -- (3.746,7.195) -- (3.701,7.025) -- (3.746,6.855) -- (3.871,6.73) -- (4.041,6.685) -- (4.211,6.73) -- (4.335,6.855) -- cycle;
\node at (4.041,7.025) {\scalebox{1.578}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.746,6.378) -- (5.7,6.548) -- (5.576,6.672) -- (5.406,6.718) -- (5.236,6.672) -- (5.112,6.548) -- (5.066,6.378) -- (5.112,6.208) -- (5.236,6.083) -- (5.406,6.038) -- (5.576,6.083) -- (5.7,6.208) -- cycle;
\node at (5.406,6.378) {\scalebox{1.578}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.883,5.693) -- (7.838,5.863) -- (7.713,5.987) -- (7.543,6.033) -- (7.373,5.987) -- (7.249,5.863) -- (7.203,5.693) -- (7.249,5.523) -- (7.373,5.398) -- (7.543,5.353) -- (7.713,5.398) -- (7.838,5.523) -- cycle;
\node at (7.543,5.693) {\scalebox{1.578}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.997,4.106) -- (9.952,4.276) -- (9.827,4.4) -- (9.657,4.446) -- (9.487,4.4) -- (9.363,4.276) -- (9.317,4.106) -- (9.363,3.936) -- (9.487,3.811) -- (9.657,3.766) -- (9.827,3.811) -- (9.952,3.936) -- cycle;
\node at (9.657,4.106) {\scalebox{1.578}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.431,6.421) -- (3.386,6.591) -- (3.261,6.716) -- (3.091,6.761) -- (2.921,6.716) -- (2.797,6.591) -- (2.751,6.421) -- (2.797,6.251) -- (2.921,6.127) -- (3.091,6.081) -- (3.261,6.127) -- (3.386,6.251) -- cycle;
\node at (3.091,6.421) {\scalebox{1.578}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.297,4.221) -- (6.252,4.391) -- (6.127,4.515) -- (5.957,4.561) -- (5.787,4.515) -- (5.663,4.391) -- (5.617,4.221) -- (5.663,4.051) -- (5.787,3.926) -- (5.957,3.881) -- (6.127,3.926) -- (6.252,4.051) -- cycle;
\node at (5.957,4.221) {\scalebox{1.578}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.408,2.868) -- (3.362,3.038) -- (3.238,3.162) -- (3.068,3.208) -- (2.898,3.162) -- (2.773,3.038) -- (2.728,2.868) -- (2.773,2.698) -- (2.898,2.573) -- (3.068,2.528) -- (3.238,2.573) -- (3.362,2.698) -- cycle;
\node at (3.068,2.868) {\scalebox{1.578}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.781,2.23) -- (4.735,2.4) -- (4.611,2.524) -- (4.441,2.57) -- (4.271,2.524) -- (4.146,2.4) -- (4.101,2.23) -- (4.146,2.06) -- (4.271,1.935) -- (4.441,1.89) -- (4.611,1.935) -- (4.735,2.06) -- cycle;
\node at (4.441,2.23) {\scalebox{1.578}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.126,7.66) -- (6.726,7.66) -- (6.726,8.26) -- (6.126,8.26) -- cycle;
\node at (6.426,7.96) {\scalebox{1.578}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.432,8.406) -- (10.032,8.406) -- (10.032,9.006) -- (9.432,9.006) -- cycle;
\node at (9.732,8.706) {\scalebox{1.578}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.439,3.257) -- (7.039,3.257) -- (7.039,3.857) -- (6.439,3.857) -- cycle;
\node at (6.739,3.557) {\scalebox{1.578}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.991,6.863) -- (2.591,6.863) -- (2.591,7.463) -- (1.991,7.463) -- cycle;
\node at (2.291,7.163) {\scalebox{1.578}{\small d}};
\node at (6.661,8.534) {\scalebox{1.578}{\small A}};
\node at (11.797,7.62) {\scalebox{1.578}{\small B}};
\node at (0.918,7.388) {\scalebox{1.578}{\small C}};
\node at (3.528,4.831) {\scalebox{1.578}{\small D}};
\node at (8.095,2.74) {\scalebox{1.578}{\small E}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.578}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.513,7.01) -- (12.513,8.11);
\draw[line width=0.5pt] (12.282,7.725) -- (12.513,8.11) -- (12.744,7.725);
\draw[line width=0.5pt] (12.21,7.56) -- (12.815,7.56);
\node at (12.513,8.495) {\scalebox{1.578}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Poste \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue de la Poste ①} vers l'est et atteint Place du Vieux-Puits \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ④}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ②}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Haute ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Verte ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin Creux ③}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(A)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
