\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 301}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=301}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0301}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7017, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.411,11.423) -- (8.352,11.223) -- (8.298,11.021) -- (8.248,10.817) -- (8.204,10.613) -- (8.164,10.408) -- (8.129,10.201) -- (8.098,9.994) -- (8.073,9.787) -- (8.053,9.579) -- (8.037,9.37) -- (8.026,9.161) -- (8.021,8.952) -- (8.02,8.743) -- (8.024,8.534);
\draw[line width=0.5pt] (8.411,11.423) -- (8.228,11.143) -- (8.039,10.866) -- (7.843,10.595) -- (7.64,10.328) -- (7.432,10.066) -- (7.217,9.808) -- (6.996,9.556) -- (6.769,9.309) -- (6.537,9.068) -- (6.299,8.832) -- (6.055,8.602) -- (5.807,8.377) -- (5.553,8.159) -- (5.294,7.947);
\draw[line width=0.5pt] (1.57,10.693) -- (1.552,10.56) -- (1.537,10.427) -- (1.525,10.293) -- (1.516,10.159) -- (1.511,10.025) -- (1.508,9.891) -- (1.509,9.757) -- (1.513,9.623) -- (1.52,9.489) -- (1.53,9.355) -- (1.543,9.222) -- (1.56,9.088) -- (1.579,8.956) -- (1.602,8.824) -- (1.627,8.538) -- (1.645,8.252) -- (1.656,7.965) -- (1.661,7.679) -- (1.659,7.392) -- (1.65,7.105) -- (1.634,6.819) -- (1.612,6.533) -- (1.582,6.247) -- (1.547,5.962) -- (1.504,5.679) -- (1.455,5.396) -- (1.399,5.115) -- (1.337,4.835);
\draw[line width=0.5pt] (8.024,8.534) -- (7.837,8.462) -- (7.648,8.395) -- (7.458,8.333) -- (7.266,8.275) -- (7.073,8.221) -- (6.878,8.172) -- (6.683,8.128) -- (6.487,8.088) -- (6.289,8.053) -- (6.091,8.022) -- (5.892,7.996) -- (5.693,7.975) -- (5.494,7.958) -- (5.294,7.947);
\draw[line width=0.5pt] (8.024,8.534) -- (8.248,8.43) -- (8.475,8.331) -- (8.704,8.237) -- (8.935,8.149) -- (9.169,8.066) -- (9.404,7.989) -- (9.641,7.917) -- (9.879,7.851) -- (10.119,7.79) -- (10.361,7.735) -- (10.603,7.686) -- (10.847,7.643) -- (11.092,7.605) -- (11.337,7.573);
\draw[line width=0.5pt] (5.294,7.947) -- (5.478,7.797) -- (5.658,7.643) -- (5.834,7.484) -- (6.007,7.321) -- (6.176,7.155) -- (6.341,6.984) -- (6.502,6.81) -- (6.659,6.631) -- (6.812,6.449) -- (6.96,6.264) -- (7.104,6.075) -- (7.244,5.883) -- (7.378,5.688) -- (7.508,5.49);
\draw[line width=0.5pt] (5.294,7.947) -- (5.277,7.708) -- (5.266,7.468) -- (5.26,7.229) -- (5.261,6.989) -- (5.267,6.749) -- (5.278,6.509) -- (5.295,6.27) -- (5.318,6.031) -- (5.346,5.793) -- (5.38,5.556) -- (5.42,5.319) -- (5.465,5.084) -- (5.515,4.849) -- (5.572,4.616);
\draw[line width=0.5pt] (11.337,7.573) -- (11.088,7.384) -- (10.835,7.2) -- (10.578,7.022) -- (10.317,6.851) -- (10.051,6.685) -- (9.782,6.526) -- (9.509,6.373) -- (9.232,6.227) -- (8.952,6.087) -- (8.669,5.954) -- (8.383,5.828) -- (8.094,5.708) -- (7.802,5.595) -- (7.508,5.49);
\draw[line width=0.5pt] (7.508,5.49) -- (7.362,5.449) -- (7.216,5.405) -- (7.071,5.357) -- (6.927,5.306) -- (6.785,5.252) -- (6.644,5.194) -- (6.504,5.133) -- (6.366,5.069) -- (6.229,5.001) -- (6.094,4.93) -- (5.96,4.856) -- (5.829,4.779) -- (5.699,4.699) -- (5.572,4.616);
\draw[line width=0.5pt] (7.508,5.49) -- (7.631,5.221) -- (7.747,4.949) -- (7.857,4.675) -- (7.96,4.398) -- (8.056,4.118) -- (8.146,3.837) -- (8.23,3.553) -- (8.307,3.267) -- (8.377,2.98) -- (8.44,2.691) -- (8.496,2.401) -- (8.546,2.11) -- (8.588,1.817) -- (8.624,1.524);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,4.835) -- (1.534,4.635) -- (1.736,4.439) -- (1.942,4.247) -- (2.153,4.061) -- (2.368,3.88) -- (2.588,3.703) -- (2.811,3.532) -- (3.039,3.367) -- (3.27,3.206) -- (3.505,3.051) -- (3.744,2.902) -- (3.986,2.758) -- (4.231,2.62) -- (4.479,2.489) -- (4.783,2.466) -- (5.087,2.435) -- (5.39,2.398) -- (5.692,2.353) -- (5.993,2.302) -- (6.293,2.243) -- (6.591,2.177) -- (6.888,2.105) -- (7.183,2.025) -- (7.476,1.938) -- (7.767,1.845) -- (8.055,1.745) -- (8.341,1.638) -- (8.624,1.524);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.571,11.423) -- (8.55,11.503) -- (8.491,11.562) -- (8.411,11.583) -- (8.331,11.562) -- (8.273,11.503) -- (8.251,11.423) -- (8.273,11.343) -- (8.331,11.284) -- (8.411,11.263) -- (8.491,11.284) -- (8.55,11.343) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.73,10.693) -- (1.709,10.773) -- (1.65,10.832) -- (1.57,10.853) -- (1.49,10.832) -- (1.432,10.773) -- (1.41,10.693) -- (1.432,10.613) -- (1.49,10.554) -- (1.57,10.533) -- (1.65,10.554) -- (1.709,10.613) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.184,8.534) -- (8.162,8.614) -- (8.104,8.672) -- (8.024,8.694) -- (7.944,8.672) -- (7.885,8.614) -- (7.864,8.534) -- (7.885,8.454) -- (7.944,8.395) -- (8.024,8.374) -- (8.104,8.395) -- (8.162,8.454) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.454,7.947) -- (5.432,8.027) -- (5.374,8.085) -- (5.294,8.107) -- (5.214,8.085) -- (5.155,8.027) -- (5.134,7.947) -- (5.155,7.867) -- (5.214,7.808) -- (5.294,7.787) -- (5.374,7.808) -- (5.432,7.867) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.497,7.573) -- (11.475,7.653) -- (11.417,7.712) -- (11.337,7.733) -- (11.257,7.712) -- (11.198,7.653) -- (11.177,7.573) -- (11.198,7.493) -- (11.257,7.435) -- (11.337,7.413) -- (11.417,7.435) -- (11.475,7.493) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.668,5.49) -- (7.647,5.57) -- (7.588,5.628) -- (7.508,5.65) -- (7.428,5.628) -- (7.37,5.57) -- (7.348,5.49) -- (7.37,5.41) -- (7.428,5.351) -- (7.508,5.33) -- (7.588,5.351) -- (7.647,5.41) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.497,4.835) -- (1.475,4.915) -- (1.417,4.974) -- (1.337,4.995) -- (1.257,4.974) -- (1.198,4.915) -- (1.177,4.835) -- (1.198,4.755) -- (1.257,4.697) -- (1.337,4.675) -- (1.417,4.697) -- (1.475,4.755) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.732,4.616) -- (5.71,4.696) -- (5.652,4.755) -- (5.572,4.776) -- (5.492,4.755) -- (5.433,4.696) -- (5.412,4.616) -- (5.433,4.536) -- (5.492,4.478) -- (5.572,4.456) -- (5.652,4.478) -- (5.71,4.536) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.784,1.524) -- (8.763,1.604) -- (8.704,1.663) -- (8.624,1.684) -- (8.544,1.663) -- (8.486,1.604) -- (8.464,1.524) -- (8.486,1.444) -- (8.544,1.386) -- (8.624,1.364) -- (8.704,1.386) -- (8.763,1.444) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.756,9.952) -- (8.71,10.122) -- (8.586,10.246) -- (8.416,10.292) -- (8.246,10.246) -- (8.121,10.122) -- (8.076,9.952) -- (8.121,9.782) -- (8.246,9.657) -- (8.416,9.612) -- (8.586,9.657) -- (8.71,9.782) -- cycle;
\node at (8.416,9.952) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.574,9.343) -- (7.528,9.513) -- (7.404,9.637) -- (7.234,9.683) -- (7.064,9.637) -- (6.94,9.513) -- (6.894,9.343) -- (6.94,9.173) -- (7.064,9.048) -- (7.234,9.003) -- (7.404,9.048) -- (7.528,9.173) -- cycle;
\node at (7.234,9.343) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.26,8.86) -- (2.214,9.03) -- (2.09,9.154) -- (1.92,9.2) -- (1.75,9.154) -- (1.625,9.03) -- (1.58,8.86) -- (1.625,8.69) -- (1.75,8.565) -- (1.92,8.52) -- (2.09,8.565) -- (2.214,8.69) -- cycle;
\node at (1.92,8.86) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.09,7.815) -- (7.045,7.985) -- (6.92,8.109) -- (6.75,8.155) -- (6.58,8.109) -- (6.456,7.985) -- (6.41,7.815) -- (6.456,7.645) -- (6.58,7.52) -- (6.75,7.475) -- (6.92,7.52) -- (7.045,7.645) -- cycle;
\node at (6.75,7.815) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.07,8.224) -- (10.024,8.394) -- (9.9,8.519) -- (9.73,8.564) -- (9.56,8.519) -- (9.435,8.394) -- (9.39,8.224) -- (9.435,8.054) -- (9.56,7.93) -- (9.73,7.884) -- (9.9,7.93) -- (10.024,8.054) -- cycle;
\node at (9.73,8.224) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.08,7.024) -- (7.034,7.194) -- (6.91,7.318) -- (6.74,7.364) -- (6.57,7.318) -- (6.446,7.194) -- (6.4,7.024) -- (6.446,6.854) -- (6.57,6.729) -- (6.74,6.684) -- (6.91,6.729) -- (7.034,6.854) -- cycle;
\node at (6.74,7.024) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.954,6.297) -- (5.909,6.467) -- (5.784,6.591) -- (5.614,6.637) -- (5.444,6.591) -- (5.32,6.467) -- (5.274,6.297) -- (5.32,6.127) -- (5.444,6.002) -- (5.614,5.957) -- (5.784,6.002) -- (5.909,6.127) -- cycle;
\node at (5.614,6.297) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.001,6.092) -- (9.956,6.262) -- (9.831,6.387) -- (9.661,6.432) -- (9.491,6.387) -- (9.367,6.262) -- (9.321,6.092) -- (9.367,5.922) -- (9.491,5.798) -- (9.661,5.752) -- (9.831,5.798) -- (9.956,5.922) -- cycle;
\node at (9.661,6.092) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.975,4.841) -- (6.93,5.011) -- (6.805,5.136) -- (6.635,5.181) -- (6.465,5.136) -- (6.341,5.011) -- (6.295,4.841) -- (6.341,4.671) -- (6.465,4.547) -- (6.635,4.501) -- (6.805,4.547) -- (6.93,4.671) -- cycle;
\node at (6.635,4.841) {\scalebox{1.425}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.878,3.64) -- (8.832,3.81) -- (8.708,3.934) -- (8.538,3.98) -- (8.368,3.934) -- (8.243,3.81) -- (8.198,3.64) -- (8.243,3.47) -- (8.368,3.345) -- (8.538,3.3) -- (8.708,3.345) -- (8.832,3.47) -- cycle;
\node at (8.538,3.64) {\scalebox{1.425}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.905,2.797) -- (4.86,2.967) -- (4.735,3.091) -- (4.565,3.137) -- (4.395,3.091) -- (4.271,2.967) -- (4.225,2.797) -- (4.271,2.627) -- (4.395,2.502) -- (4.565,2.457) -- (4.735,2.502) -- (4.86,2.627) -- cycle;
\node at (4.565,2.797) {\scalebox{1.425}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.724,8.234) -- (8.324,8.234) -- (8.324,8.834) -- (7.724,8.834) -- cycle;
\node at (8.024,8.534) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.875,1.716) -- (4.475,1.716) -- (4.475,2.316) -- (3.875,2.316) -- cycle;
\node at (4.175,2.016) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.006,10.499) -- (9.606,10.499) -- (9.606,11.099) -- (9.006,11.099) -- cycle;
\node at (9.306,10.799) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\node at (8.665,11.989) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (1.08,11.072) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (8.468,8.967) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (4.83,8.358) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (11.952,7.65) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (7.88,4.993) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\node at (0.765,4.596) {\scalebox{1.425}{\small G}};
\node at (5.363,4.032) {\scalebox{1.425}{\small H}};
\node at (8.858,0.95) {\scalebox{1.425}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.637,10.473) -- (12.637,11.573);
\draw[line width=0.5pt] (12.406,11.188) -- (12.637,11.573) -- (12.868,11.188);
\draw[line width=0.5pt] (12.334,11.023) -- (12.939,11.023);
\node at (12.637,11.958) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin du Lavoir & ⑦ rue de la Mairie & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Puits & ⑧ rue des Jardins & Ⓑ Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ impasse Sainte-Anne & ⑨ rue Haute & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ rue de la Poste & ⑩ rue Basse & Ⓓ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑤ chemin des Vignes & ⑪ rue du Moulin & Ⓔ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
⑥ rue des Lilas &  & Ⓕ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6278, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.411,11.423) -- (8.352,11.223) -- (8.298,11.021) -- (8.248,10.817) -- (8.204,10.613) -- (8.164,10.408) -- (8.129,10.201) -- (8.098,9.994) -- (8.073,9.787) -- (8.053,9.579) -- (8.037,9.37) -- (8.026,9.161) -- (8.021,8.952) -- (8.02,8.743) -- (8.024,8.534);
\draw[line width=0.5pt] (8.411,11.423) -- (8.228,11.143) -- (8.039,10.866) -- (7.843,10.595) -- (7.64,10.328) -- (7.432,10.066) -- (7.217,9.808) -- (6.996,9.556) -- (6.769,9.309) -- (6.537,9.068) -- (6.299,8.832) -- (6.055,8.602) -- (5.807,8.377) -- (5.553,8.159) -- (5.294,7.947);
\draw[line width=0.5pt] (1.57,10.693) -- (1.552,10.56) -- (1.537,10.427) -- (1.525,10.293) -- (1.516,10.159) -- (1.511,10.025) -- (1.508,9.891) -- (1.509,9.757) -- (1.513,9.623) -- (1.52,9.489) -- (1.53,9.355) -- (1.543,9.222) -- (1.56,9.088) -- (1.579,8.956) -- (1.602,8.824) -- (1.627,8.538) -- (1.645,8.252) -- (1.656,7.965) -- (1.661,7.679) -- (1.659,7.392) -- (1.65,7.105) -- (1.634,6.819) -- (1.612,6.533) -- (1.582,6.247) -- (1.547,5.962) -- (1.504,5.679) -- (1.455,5.396) -- (1.399,5.115) -- (1.337,4.835);
\draw[line width=0.5pt] (8.024,8.534) -- (7.837,8.462) -- (7.648,8.395) -- (7.458,8.333) -- (7.266,8.275) -- (7.073,8.221) -- (6.878,8.172) -- (6.683,8.128) -- (6.487,8.088) -- (6.289,8.053) -- (6.091,8.022) -- (5.892,7.996) -- (5.693,7.975) -- (5.494,7.958) -- (5.294,7.947);
\draw[line width=0.5pt] (8.024,8.534) -- (8.248,8.43) -- (8.475,8.331) -- (8.704,8.237) -- (8.935,8.149) -- (9.169,8.066) -- (9.404,7.989) -- (9.641,7.917) -- (9.879,7.851) -- (10.119,7.79) -- (10.361,7.735) -- (10.603,7.686) -- (10.847,7.643) -- (11.092,7.605) -- (11.337,7.573);
\draw[line width=0.5pt] (5.294,7.947) -- (5.478,7.797) -- (5.658,7.643) -- (5.834,7.484) -- (6.007,7.321) -- (6.176,7.155) -- (6.341,6.984) -- (6.502,6.81) -- (6.659,6.631) -- (6.812,6.449) -- (6.96,6.264) -- (7.104,6.075) -- (7.244,5.883) -- (7.378,5.688) -- (7.508,5.49);
\draw[line width=0.5pt] (5.294,7.947) -- (5.277,7.708) -- (5.266,7.468) -- (5.26,7.229) -- (5.261,6.989) -- (5.267,6.749) -- (5.278,6.509) -- (5.295,6.27) -- (5.318,6.031) -- (5.346,5.793) -- (5.38,5.556) -- (5.42,5.319) -- (5.465,5.084) -- (5.515,4.849) -- (5.572,4.616);
\draw[line width=0.5pt] (11.337,7.573) -- (11.088,7.384) -- (10.835,7.2) -- (10.578,7.022) -- (10.317,6.851) -- (10.051,6.685) -- (9.782,6.526) -- (9.509,6.373) -- (9.232,6.227) -- (8.952,6.087) -- (8.669,5.954) -- (8.383,5.828) -- (8.094,5.708) -- (7.802,5.595) -- (7.508,5.49);
\draw[line width=0.5pt] (7.508,5.49) -- (7.362,5.449) -- (7.216,5.405) -- (7.071,5.357) -- (6.927,5.306) -- (6.785,5.252) -- (6.644,5.194) -- (6.504,5.133) -- (6.366,5.069) -- (6.229,5.001) -- (6.094,4.93) -- (5.96,4.856) -- (5.829,4.779) -- (5.699,4.699) -- (5.572,4.616);
\draw[line width=0.5pt] (7.508,5.49) -- (7.631,5.221) -- (7.747,4.949) -- (7.857,4.675) -- (7.96,4.398) -- (8.056,4.118) -- (8.146,3.837) -- (8.23,3.553) -- (8.307,3.267) -- (8.377,2.98) -- (8.44,2.691) -- (8.496,2.401) -- (8.546,2.11) -- (8.588,1.817) -- (8.624,1.524);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,4.835) -- (1.534,4.635) -- (1.736,4.439) -- (1.942,4.247) -- (2.153,4.061) -- (2.368,3.88) -- (2.588,3.703) -- (2.811,3.532) -- (3.039,3.367) -- (3.27,3.206) -- (3.505,3.051) -- (3.744,2.902) -- (3.986,2.758) -- (4.231,2.62) -- (4.479,2.489) -- (4.783,2.466) -- (5.087,2.435) -- (5.39,2.398) -- (5.692,2.353) -- (5.993,2.302) -- (6.293,2.243) -- (6.591,2.177) -- (6.888,2.105) -- (7.183,2.025) -- (7.476,1.938) -- (7.767,1.845) -- (8.055,1.745) -- (8.341,1.638) -- (8.624,1.524);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.571,11.423) -- (8.55,11.503) -- (8.491,11.562) -- (8.411,11.583) -- (8.331,11.562) -- (8.273,11.503) -- (8.251,11.423) -- (8.273,11.343) -- (8.331,11.284) -- (8.411,11.263) -- (8.491,11.284) -- (8.55,11.343) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.73,10.693) -- (1.709,10.773) -- (1.65,10.832) -- (1.57,10.853) -- (1.49,10.832) -- (1.432,10.773) -- (1.41,10.693) -- (1.432,10.613) -- (1.49,10.554) -- (1.57,10.533) -- (1.65,10.554) -- (1.709,10.613) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.184,8.534) -- (8.162,8.614) -- (8.104,8.672) -- (8.024,8.694) -- (7.944,8.672) -- (7.885,8.614) -- (7.864,8.534) -- (7.885,8.454) -- (7.944,8.395) -- (8.024,8.374) -- (8.104,8.395) -- (8.162,8.454) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.454,7.947) -- (5.432,8.027) -- (5.374,8.085) -- (5.294,8.107) -- (5.214,8.085) -- (5.155,8.027) -- (5.134,7.947) -- (5.155,7.867) -- (5.214,7.808) -- (5.294,7.787) -- (5.374,7.808) -- (5.432,7.867) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.497,7.573) -- (11.475,7.653) -- (11.417,7.712) -- (11.337,7.733) -- (11.257,7.712) -- (11.198,7.653) -- (11.177,7.573) -- (11.198,7.493) -- (11.257,7.435) -- (11.337,7.413) -- (11.417,7.435) -- (11.475,7.493) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.668,5.49) -- (7.647,5.57) -- (7.588,5.628) -- (7.508,5.65) -- (7.428,5.628) -- (7.37,5.57) -- (7.348,5.49) -- (7.37,5.41) -- (7.428,5.351) -- (7.508,5.33) -- (7.588,5.351) -- (7.647,5.41) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.497,4.835) -- (1.475,4.915) -- (1.417,4.974) -- (1.337,4.995) -- (1.257,4.974) -- (1.198,4.915) -- (1.177,4.835) -- (1.198,4.755) -- (1.257,4.697) -- (1.337,4.675) -- (1.417,4.697) -- (1.475,4.755) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.732,4.616) -- (5.71,4.696) -- (5.652,4.755) -- (5.572,4.776) -- (5.492,4.755) -- (5.433,4.696) -- (5.412,4.616) -- (5.433,4.536) -- (5.492,4.478) -- (5.572,4.456) -- (5.652,4.478) -- (5.71,4.536) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.784,1.524) -- (8.763,1.604) -- (8.704,1.663) -- (8.624,1.684) -- (8.544,1.663) -- (8.486,1.604) -- (8.464,1.524) -- (8.486,1.444) -- (8.544,1.386) -- (8.624,1.364) -- (8.704,1.386) -- (8.763,1.444) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.756,9.952) -- (8.71,10.122) -- (8.586,10.246) -- (8.416,10.292) -- (8.246,10.246) -- (8.121,10.122) -- (8.076,9.952) -- (8.121,9.782) -- (8.246,9.657) -- (8.416,9.612) -- (8.586,9.657) -- (8.71,9.782) -- cycle;
\node at (8.416,9.952) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.574,9.343) -- (7.528,9.513) -- (7.404,9.637) -- (7.234,9.683) -- (7.064,9.637) -- (6.94,9.513) -- (6.894,9.343) -- (6.94,9.173) -- (7.064,9.048) -- (7.234,9.003) -- (7.404,9.048) -- (7.528,9.173) -- cycle;
\node at (7.234,9.343) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.26,8.86) -- (2.214,9.03) -- (2.09,9.154) -- (1.92,9.2) -- (1.75,9.154) -- (1.625,9.03) -- (1.58,8.86) -- (1.625,8.69) -- (1.75,8.565) -- (1.92,8.52) -- (2.09,8.565) -- (2.214,8.69) -- cycle;
\node at (1.92,8.86) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.09,7.815) -- (7.045,7.985) -- (6.92,8.109) -- (6.75,8.155) -- (6.58,8.109) -- (6.456,7.985) -- (6.41,7.815) -- (6.456,7.645) -- (6.58,7.52) -- (6.75,7.475) -- (6.92,7.52) -- (7.045,7.645) -- cycle;
\node at (6.75,7.815) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.07,8.224) -- (10.024,8.394) -- (9.9,8.519) -- (9.73,8.564) -- (9.56,8.519) -- (9.435,8.394) -- (9.39,8.224) -- (9.435,8.054) -- (9.56,7.93) -- (9.73,7.884) -- (9.9,7.93) -- (10.024,8.054) -- cycle;
\node at (9.73,8.224) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.08,7.024) -- (7.034,7.194) -- (6.91,7.318) -- (6.74,7.364) -- (6.57,7.318) -- (6.446,7.194) -- (6.4,7.024) -- (6.446,6.854) -- (6.57,6.729) -- (6.74,6.684) -- (6.91,6.729) -- (7.034,6.854) -- cycle;
\node at (6.74,7.024) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.954,6.297) -- (5.909,6.467) -- (5.784,6.591) -- (5.614,6.637) -- (5.444,6.591) -- (5.32,6.467) -- (5.274,6.297) -- (5.32,6.127) -- (5.444,6.002) -- (5.614,5.957) -- (5.784,6.002) -- (5.909,6.127) -- cycle;
\node at (5.614,6.297) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.001,6.092) -- (9.956,6.262) -- (9.831,6.387) -- (9.661,6.432) -- (9.491,6.387) -- (9.367,6.262) -- (9.321,6.092) -- (9.367,5.922) -- (9.491,5.798) -- (9.661,5.752) -- (9.831,5.798) -- (9.956,5.922) -- cycle;
\node at (9.661,6.092) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.975,4.841) -- (6.93,5.011) -- (6.805,5.136) -- (6.635,5.181) -- (6.465,5.136) -- (6.341,5.011) -- (6.295,4.841) -- (6.341,4.671) -- (6.465,4.547) -- (6.635,4.501) -- (6.805,4.547) -- (6.93,4.671) -- cycle;
\node at (6.635,4.841) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.878,3.64) -- (8.832,3.81) -- (8.708,3.934) -- (8.538,3.98) -- (8.368,3.934) -- (8.243,3.81) -- (8.198,3.64) -- (8.243,3.47) -- (8.368,3.345) -- (8.538,3.3) -- (8.708,3.345) -- (8.832,3.47) -- cycle;
\node at (8.538,3.64) {\scalebox{1.593}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.905,2.797) -- (4.86,2.967) -- (4.735,3.091) -- (4.565,3.137) -- (4.395,3.091) -- (4.271,2.967) -- (4.225,2.797) -- (4.271,2.627) -- (4.395,2.502) -- (4.565,2.457) -- (4.735,2.502) -- (4.86,2.627) -- cycle;
\node at (4.565,2.797) {\scalebox{1.593}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.724,8.234) -- (8.324,8.234) -- (8.324,8.834) -- (7.724,8.834) -- cycle;
\node at (8.024,8.534) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.875,1.716) -- (4.475,1.716) -- (4.475,2.316) -- (3.875,2.316) -- cycle;
\node at (4.175,2.016) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.006,10.499) -- (9.606,10.499) -- (9.606,11.099) -- (9.006,11.099) -- cycle;
\node at (9.306,10.799) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\node at (8.665,11.989) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (1.08,11.072) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (8.468,8.967) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (4.83,8.358) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (11.952,7.65) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (7.88,4.993) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\node at (0.765,4.596) {\scalebox{1.593}{\small G}};
\node at (5.363,4.032) {\scalebox{1.593}{\small H}};
\node at (8.858,0.95) {\scalebox{1.593}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.637,10.473) -- (12.637,11.573);
\draw[line width=0.5pt] (12.406,11.188) -- (12.637,11.573) -- (12.868,11.188);
\draw[line width=0.5pt] (12.334,11.023) -- (12.939,11.023);
\node at (12.637,11.958) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 3 & 4 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{C}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{C}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en B}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}, prend le \textbf{chemin du Lavoir ①} vers le nord et atteint Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Puits ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ④}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑤}, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑥}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑩}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑪}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{impasse Sainte-Anne ③}, vers le nord, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{C} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
