\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 306}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=306}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0306}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.692, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.275,10.016) -- (6.488,9.971) -- (6.702,9.931) -- (6.916,9.897) -- (7.132,9.867) -- (7.348,9.843) -- (7.565,9.824) -- (7.783,9.809) -- (8.0,9.8) -- (8.218,9.796) -- (8.436,9.797) -- (8.653,9.804) -- (8.871,9.815) -- (9.088,9.831) -- (9.304,9.853);
\draw[line width=0.5pt] (6.275,10.016) -- (6.364,9.85) -- (6.449,9.682) -- (6.53,9.512) -- (6.608,9.341) -- (6.681,9.167) -- (6.75,8.992) -- (6.815,8.815) -- (6.876,8.637) -- (6.933,8.458) -- (6.985,8.277) -- (7.033,8.095) -- (7.077,7.912) -- (7.116,7.728) -- (7.152,7.543);
\draw[line width=0.5pt] (6.275,10.016) -- (6.119,9.802) -- (5.968,9.585) -- (5.822,9.364) -- (5.682,9.14) -- (5.547,8.913) -- (5.417,8.682) -- (5.292,8.448) -- (5.174,8.212) -- (5.06,7.973) -- (4.953,7.731) -- (4.851,7.487) -- (4.755,7.241) -- (4.665,6.992) -- (4.58,6.742);
\draw[line width=0.5pt] (6.275,10.016) -- (6.536,9.809) -- (6.793,9.597) -- (7.045,9.378) -- (7.292,9.153) -- (7.533,8.923) -- (7.769,8.687) -- (8.0,8.445) -- (8.224,8.198) -- (8.443,7.946) -- (8.656,7.689) -- (8.863,7.427) -- (9.063,7.161) -- (9.257,6.889) -- (9.444,6.614);
\draw[line width=0.5pt] (9.304,9.853) -- (9.279,9.622) -- (9.259,9.39) -- (9.244,9.158) -- (9.235,8.926) -- (9.231,8.693) -- (9.233,8.46) -- (9.241,8.228) -- (9.253,7.995) -- (9.272,7.763) -- (9.295,7.532) -- (9.324,7.301) -- (9.359,7.071) -- (9.399,6.842) -- (9.444,6.614);
\draw[line width=0.5pt] (3.988,2.189) -- (4.174,2.195) -- (4.36,2.197) -- (4.546,2.195) -- (4.732,2.188) -- (4.918,2.177) -- (5.104,2.161) -- (5.289,2.141) -- (5.473,2.117) -- (5.657,2.088) -- (5.841,2.056) -- (6.023,2.018) -- (6.205,1.977) -- (6.385,1.931) -- (6.564,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (7.152,7.543) -- (6.961,7.514) -- (6.77,7.481) -- (6.581,7.443) -- (6.392,7.401) -- (6.205,7.355) -- (6.018,7.304) -- (5.833,7.248) -- (5.649,7.189) -- (5.467,7.125) -- (5.286,7.056) -- (5.107,6.984) -- (4.929,6.907) -- (4.754,6.826) -- (4.58,6.742);
\draw[line width=0.5pt] (7.152,7.543) -- (7.324,7.502) -- (7.496,7.457) -- (7.666,7.408) -- (7.836,7.355) -- (8.004,7.298) -- (8.171,7.238) -- (8.336,7.173) -- (8.5,7.104) -- (8.662,7.032) -- (8.823,6.955) -- (8.981,6.876) -- (9.138,6.792) -- (9.292,6.705) -- (9.444,6.614);
\draw[line width=0.5pt] (7.152,7.543) -- (7.057,7.31) -- (6.968,7.076) -- (6.884,6.839) -- (6.806,6.6) -- (6.734,6.359) -- (6.668,6.117) -- (6.607,5.873) -- (6.551,5.628) -- (6.502,5.382) -- (6.458,5.134) -- (6.421,4.886) -- (6.389,4.637) -- (6.363,4.387) -- (6.343,4.137);
\draw[line width=0.5pt] (1.527,6.931) -- (1.745,6.951) -- (1.964,6.966) -- (2.183,6.976) -- (2.403,6.98) -- (2.622,6.979) -- (2.842,6.973) -- (3.061,6.962) -- (3.28,6.946) -- (3.499,6.925) -- (3.717,6.898) -- (3.934,6.867) -- (4.151,6.83) -- (4.366,6.788) -- (4.58,6.742);
\draw[line width=0.5pt] (4.58,6.742) -- (4.55,6.588) -- (4.524,6.434) -- (4.501,6.279) -- (4.482,6.124) -- (4.466,5.968) -- (4.454,5.812) -- (4.446,5.655) -- (4.441,5.499) -- (4.441,5.342) -- (4.443,5.186) -- (4.45,5.029) -- (4.46,4.873) -- (4.474,4.717) -- (4.491,4.562) -- (4.482,4.388) -- (4.468,4.215) -- (4.45,4.042) -- (4.428,3.869) -- (4.402,3.697) -- (4.372,3.525) -- (4.338,3.355) -- (4.299,3.185) -- (4.257,3.016) -- (4.211,2.848) -- (4.161,2.681) -- (4.107,2.516) -- (4.05,2.351) -- (3.988,2.189);
\draw[line width=0.5pt] (4.58,6.742) -- (4.392,6.541) -- (4.2,6.346) -- (4.003,6.154) -- (3.801,5.968) -- (3.595,5.786) -- (3.385,5.609) -- (3.17,5.437) -- (2.952,5.27) -- (2.73,5.109) -- (2.504,4.952) -- (2.274,4.801) -- (2.041,4.656) -- (1.805,4.516) -- (1.565,4.382);
\draw[line width=0.5pt] (4.58,6.742) -- (4.677,6.538) -- (4.778,6.336) -- (4.884,6.137) -- (4.995,5.94) -- (5.11,5.746) -- (5.23,5.555) -- (5.354,5.367) -- (5.483,5.181) -- (5.616,4.999) -- (5.753,4.819) -- (5.894,4.644) -- (6.04,4.471) -- (6.189,4.302) -- (6.343,4.137);
\draw[line width=0.5pt] (9.444,6.614) -- (9.612,6.505) -- (9.777,6.392) -- (9.94,6.276) -- (10.1,6.156) -- (10.257,6.032) -- (10.411,5.904) -- (10.562,5.773) -- (10.71,5.638) -- (10.854,5.499) -- (10.996,5.358) -- (11.134,5.213) -- (11.268,5.065) -- (11.399,4.914) -- (11.527,4.76);
\draw[line width=0.5pt] (9.444,6.614) -- (9.406,6.479) -- (9.372,6.344) -- (9.34,6.207) -- (9.312,6.07) -- (9.287,5.933) -- (9.265,5.794) -- (9.246,5.656) -- (9.231,5.516) -- (9.218,5.377) -- (9.21,5.237) -- (9.204,5.097) -- (9.202,4.958) -- (9.203,4.818) -- (9.207,4.678);
\draw[line width=0.5pt] (9.444,6.614) -- (9.252,6.404) -- (9.054,6.199) -- (8.852,5.999) -- (8.644,5.804) -- (8.432,5.613) -- (8.216,5.428) -- (7.996,5.247) -- (7.771,5.072) -- (7.542,4.902) -- (7.31,4.738) -- (7.073,4.579) -- (6.833,4.426) -- (6.59,4.278) -- (6.343,4.137);
\draw[line width=0.5pt] (11.527,4.76) -- (11.361,4.779) -- (11.196,4.795) -- (11.029,4.807) -- (10.863,4.815) -- (10.697,4.818) -- (10.53,4.818) -- (10.364,4.815) -- (10.197,4.807) -- (10.031,4.795) -- (9.865,4.779) -- (9.7,4.76) -- (9.535,4.736) -- (9.371,4.709) -- (9.207,4.678);
\draw[line width=0.5pt] (9.207,4.678) -- (9.233,4.45) -- (9.253,4.221) -- (9.268,3.992) -- (9.277,3.763) -- (9.281,3.533) -- (9.28,3.303) -- (9.273,3.074) -- (9.261,2.844) -- (9.244,2.615) -- (9.221,2.387) -- (9.193,2.159) -- (9.159,1.932) -- (9.12,1.706) -- (9.076,1.48);
\draw[line width=0.5pt] (9.207,4.678) -- (8.998,4.671) -- (8.79,4.659) -- (8.581,4.642) -- (8.373,4.62) -- (8.166,4.594) -- (7.959,4.562) -- (7.753,4.526) -- (7.547,4.484) -- (7.343,4.438) -- (7.14,4.387) -- (6.939,4.332) -- (6.738,4.272) -- (6.54,4.207) -- (6.343,4.137);
\draw[line width=0.5pt] (1.565,4.382) -- (1.761,4.253) -- (1.954,4.119) -- (2.143,3.981) -- (2.329,3.839) -- (2.512,3.692) -- (2.691,3.541) -- (2.867,3.385) -- (3.039,3.226) -- (3.207,3.062) -- (3.372,2.895) -- (3.532,2.724) -- (3.688,2.549) -- (3.84,2.371) -- (3.988,2.189);
\draw[line width=0.5pt] (6.343,4.137) -- (6.334,3.975) -- (6.329,3.812) -- (6.327,3.65) -- (6.33,3.487) -- (6.336,3.324) -- (6.346,3.162) -- (6.36,3.0) -- (6.378,2.838) -- (6.4,2.677) -- (6.425,2.516) -- (6.454,2.356) -- (6.487,2.197) -- (6.524,2.039) -- (6.564,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (6.343,4.137) -- (6.565,3.979) -- (6.784,3.815) -- (6.999,3.646) -- (7.211,3.472) -- (7.418,3.293) -- (7.62,3.11) -- (7.819,2.921) -- (8.013,2.728) -- (8.202,2.531) -- (8.387,2.329) -- (8.566,2.123) -- (8.741,1.913) -- (8.911,1.699) -- (9.076,1.48);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.435,10.016) -- (6.413,10.096) -- (6.355,10.154) -- (6.275,10.176) -- (6.195,10.154) -- (6.136,10.096) -- (6.115,10.016) -- (6.136,9.936) -- (6.195,9.877) -- (6.275,9.856) -- (6.355,9.877) -- (6.413,9.936) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.464,9.853) -- (9.443,9.933) -- (9.384,9.992) -- (9.304,10.013) -- (9.224,9.992) -- (9.166,9.933) -- (9.144,9.853) -- (9.166,9.773) -- (9.224,9.714) -- (9.304,9.693) -- (9.384,9.714) -- (9.443,9.773) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.312,7.543) -- (7.29,7.623) -- (7.232,7.682) -- (7.152,7.703) -- (7.072,7.682) -- (7.013,7.623) -- (6.992,7.543) -- (7.013,7.463) -- (7.072,7.404) -- (7.152,7.383) -- (7.232,7.404) -- (7.29,7.463) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.687,6.931) -- (1.665,7.011) -- (1.607,7.07) -- (1.527,7.091) -- (1.447,7.07) -- (1.388,7.011) -- (1.367,6.931) -- (1.388,6.851) -- (1.447,6.793) -- (1.527,6.771) -- (1.607,6.793) -- (1.665,6.851) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.74,6.742) -- (4.719,6.822) -- (4.66,6.88) -- (4.58,6.902) -- (4.5,6.88) -- (4.442,6.822) -- (4.42,6.742) -- (4.442,6.662) -- (4.5,6.603) -- (4.58,6.582) -- (4.66,6.603) -- (4.719,6.662) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.604,6.614) -- (9.583,6.694) -- (9.524,6.752) -- (9.444,6.774) -- (9.364,6.752) -- (9.306,6.694) -- (9.284,6.614) -- (9.306,6.534) -- (9.364,6.475) -- (9.444,6.454) -- (9.524,6.475) -- (9.583,6.534) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.687,4.76) -- (11.665,4.84) -- (11.607,4.898) -- (11.527,4.92) -- (11.447,4.898) -- (11.388,4.84) -- (11.367,4.76) -- (11.388,4.68) -- (11.447,4.621) -- (11.527,4.6) -- (11.607,4.621) -- (11.665,4.68) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.367,4.678) -- (9.346,4.758) -- (9.287,4.816) -- (9.207,4.838) -- (9.127,4.816) -- (9.069,4.758) -- (9.047,4.678) -- (9.069,4.598) -- (9.127,4.539) -- (9.207,4.518) -- (9.287,4.539) -- (9.346,4.598) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.725,4.382) -- (1.704,4.462) -- (1.645,4.52) -- (1.565,4.542) -- (1.485,4.52) -- (1.427,4.462) -- (1.405,4.382) -- (1.427,4.302) -- (1.485,4.243) -- (1.565,4.222) -- (1.645,4.243) -- (1.704,4.302) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.503,4.137) -- (6.481,4.217) -- (6.423,4.276) -- (6.343,4.297) -- (6.263,4.276) -- (6.204,4.217) -- (6.183,4.137) -- (6.204,4.057) -- (6.263,3.998) -- (6.343,3.977) -- (6.423,3.998) -- (6.481,4.057) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.148,2.189) -- (4.127,2.269) -- (4.068,2.327) -- (3.988,2.349) -- (3.908,2.327) -- (3.849,2.269) -- (3.828,2.189) -- (3.849,2.109) -- (3.908,2.05) -- (3.988,2.029) -- (4.068,2.05) -- (4.127,2.109) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.724,1.881) -- (6.703,1.961) -- (6.644,2.02) -- (6.564,2.041) -- (6.484,2.02) -- (6.426,1.961) -- (6.404,1.881) -- (6.426,1.801) -- (6.484,1.743) -- (6.564,1.721) -- (6.644,1.743) -- (6.703,1.801) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.236,1.48) -- (9.214,1.56) -- (9.156,1.619) -- (9.076,1.64) -- (8.996,1.619) -- (8.937,1.56) -- (8.916,1.48) -- (8.937,1.4) -- (8.996,1.342) -- (9.076,1.32) -- (9.156,1.342) -- (9.214,1.4) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.14,10.129) -- (8.094,10.299) -- (7.97,10.423) -- (7.8,10.469) -- (7.63,10.423) -- (7.505,10.299) -- (7.46,10.129) -- (7.505,9.959) -- (7.63,9.834) -- (7.8,9.789) -- (7.97,9.834) -- (8.094,9.959) -- cycle;
\node at (7.8,10.129) {\scalebox{1.445}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.457,8.922) -- (7.411,9.092) -- (7.287,9.217) -- (7.117,9.262) -- (6.947,9.217) -- (6.822,9.092) -- (6.777,8.922) -- (6.822,8.752) -- (6.947,8.628) -- (7.117,8.582) -- (7.287,8.628) -- (7.411,8.752) -- cycle;
\node at (7.117,8.922) {\scalebox{1.445}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.917,8.301) -- (5.871,8.471) -- (5.747,8.596) -- (5.577,8.641) -- (5.407,8.596) -- (5.282,8.471) -- (5.237,8.301) -- (5.282,8.131) -- (5.407,8.007) -- (5.577,7.961) -- (5.747,8.007) -- (5.871,8.131) -- cycle;
\node at (5.577,8.301) {\scalebox{1.445}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.574,8.663) -- (8.528,8.833) -- (8.404,8.958) -- (8.234,9.003) -- (8.064,8.958) -- (7.94,8.833) -- (7.894,8.663) -- (7.94,8.493) -- (8.064,8.369) -- (8.234,8.323) -- (8.404,8.369) -- (8.528,8.493) -- cycle;
\node at (8.234,8.663) {\scalebox{1.445}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.9,8.241) -- (9.855,8.411) -- (9.73,8.536) -- (9.56,8.581) -- (9.39,8.536) -- (9.266,8.411) -- (9.22,8.241) -- (9.266,8.071) -- (9.39,7.947) -- (9.56,7.901) -- (9.73,7.947) -- (9.855,8.071) -- cycle;
\node at (9.56,8.241) {\scalebox{1.445}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.667,2.459) -- (5.621,2.629) -- (5.497,2.753) -- (5.327,2.799) -- (5.157,2.753) -- (5.032,2.629) -- (4.987,2.459) -- (5.032,2.289) -- (5.157,2.165) -- (5.327,2.119) -- (5.497,2.165) -- (5.621,2.289) -- cycle;
\node at (5.327,2.459) {\scalebox{1.445}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.268,6.943) -- (6.223,7.113) -- (6.098,7.237) -- (5.928,7.283) -- (5.758,7.237) -- (5.634,7.113) -- (5.588,6.943) -- (5.634,6.773) -- (5.758,6.648) -- (5.928,6.603) -- (6.098,6.648) -- (6.223,6.773) -- cycle;
\node at (5.928,6.943) {\scalebox{1.445}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.796,7.469) -- (8.751,7.639) -- (8.626,7.764) -- (8.456,7.809) -- (8.286,7.764) -- (8.162,7.639) -- (8.116,7.469) -- (8.162,7.299) -- (8.286,7.175) -- (8.456,7.129) -- (8.626,7.175) -- (8.751,7.299) -- cycle;
\node at (8.456,7.469) {\scalebox{1.445}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.258,5.799) -- (7.212,5.969) -- (7.088,6.094) -- (6.918,6.139) -- (6.748,6.094) -- (6.623,5.969) -- (6.578,5.799) -- (6.623,5.629) -- (6.748,5.505) -- (6.918,5.459) -- (7.088,5.505) -- (7.212,5.629) -- cycle;
\node at (6.918,5.799) {\scalebox{1.445}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.421,7.282) -- (3.376,7.452) -- (3.251,7.576) -- (3.081,7.622) -- (2.911,7.576) -- (2.787,7.452) -- (2.741,7.282) -- (2.787,7.112) -- (2.911,6.987) -- (3.081,6.942) -- (3.251,6.987) -- (3.376,7.112) -- cycle;
\node at (3.081,7.282) {\scalebox{1.445}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.151,4.57) -- (5.106,4.74) -- (4.981,4.864) -- (4.811,4.91) -- (4.641,4.864) -- (4.517,4.74) -- (4.471,4.57) -- (4.517,4.4) -- (4.641,4.275) -- (4.811,4.23) -- (4.981,4.275) -- (5.106,4.4) -- cycle;
\node at (4.811,4.57) {\scalebox{1.445}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.707,5.185) -- (3.662,5.355) -- (3.537,5.48) -- (3.367,5.525) -- (3.197,5.48) -- (3.073,5.355) -- (3.027,5.185) -- (3.073,5.015) -- (3.197,4.891) -- (3.367,4.845) -- (3.537,4.891) -- (3.662,5.015) -- cycle;
\node at (3.367,5.185) {\scalebox{1.445}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.959,5.546) -- (5.914,5.716) -- (5.789,5.84) -- (5.619,5.886) -- (5.449,5.84) -- (5.325,5.716) -- (5.279,5.546) -- (5.325,5.376) -- (5.449,5.251) -- (5.619,5.206) -- (5.789,5.251) -- (5.914,5.376) -- cycle;
\node at (5.619,5.546) {\scalebox{1.445}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.115,6.012) -- (11.069,6.182) -- (10.945,6.306) -- (10.775,6.352) -- (10.605,6.306) -- (10.48,6.182) -- (10.435,6.012) -- (10.48,5.842) -- (10.605,5.717) -- (10.775,5.672) -- (10.945,5.717) -- (11.069,5.842) -- cycle;
\node at (10.775,6.012) {\scalebox{1.445}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.904,5.617) -- (9.858,5.787) -- (9.734,5.911) -- (9.564,5.957) -- (9.394,5.911) -- (9.269,5.787) -- (9.224,5.617) -- (9.269,5.447) -- (9.394,5.322) -- (9.564,5.277) -- (9.734,5.322) -- (9.858,5.447) -- cycle;
\node at (9.564,5.617) {\scalebox{1.445}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.535,4.997) -- (8.49,5.167) -- (8.365,5.292) -- (8.195,5.337) -- (8.025,5.292) -- (7.901,5.167) -- (7.855,4.997) -- (7.901,4.827) -- (8.025,4.703) -- (8.195,4.657) -- (8.365,4.703) -- (8.49,4.827) -- cycle;
\node at (8.195,4.997) {\scalebox{1.445}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.715,4.495) -- (10.669,4.665) -- (10.545,4.789) -- (10.375,4.835) -- (10.205,4.789) -- (10.08,4.665) -- (10.035,4.495) -- (10.08,4.325) -- (10.205,4.2) -- (10.375,4.155) -- (10.545,4.2) -- (10.669,4.325) -- cycle;
\node at (10.375,4.495) {\scalebox{1.445}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.933,3.061) -- (9.888,3.231) -- (9.763,3.355) -- (9.593,3.401) -- (9.423,3.355) -- (9.299,3.231) -- (9.253,3.061) -- (9.299,2.891) -- (9.423,2.766) -- (9.593,2.721) -- (9.763,2.766) -- (9.888,2.891) -- cycle;
\node at (9.593,3.061) {\scalebox{1.445}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.152,4.211) -- (8.106,4.381) -- (7.982,4.506) -- (7.812,4.551) -- (7.642,4.506) -- (7.518,4.381) -- (7.472,4.211) -- (7.518,4.041) -- (7.642,3.917) -- (7.812,3.871) -- (7.982,3.917) -- (8.106,4.041) -- cycle;
\node at (7.812,4.211) {\scalebox{1.445}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.422,3.622) -- (3.376,3.792) -- (3.252,3.917) -- (3.082,3.962) -- (2.912,3.917) -- (2.787,3.792) -- (2.742,3.622) -- (2.787,3.452) -- (2.912,3.328) -- (3.082,3.282) -- (3.252,3.328) -- (3.376,3.452) -- cycle;
\node at (3.082,3.622) {\scalebox{1.445}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.019,3.031) -- (6.973,3.201) -- (6.849,3.326) -- (6.679,3.371) -- (6.509,3.326) -- (6.384,3.201) -- (6.339,3.031) -- (6.384,2.861) -- (6.509,2.737) -- (6.679,2.691) -- (6.849,2.737) -- (6.973,2.861) -- cycle;
\node at (6.679,3.031) {\scalebox{1.445}{\small 21}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.382,3.151) -- (8.336,3.321) -- (8.212,3.445) -- (8.042,3.491) -- (7.872,3.445) -- (7.747,3.321) -- (7.702,3.151) -- (7.747,2.981) -- (7.872,2.856) -- (8.042,2.811) -- (8.212,2.856) -- (8.336,2.981) -- cycle;
\node at (8.042,3.151) {\scalebox{1.445}{\small 22}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.144,6.314) -- (9.744,6.314) -- (9.744,6.914) -- (9.144,6.914) -- cycle;
\node at (9.444,6.614) {\scalebox{1.445}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.121,4.541) -- (2.721,4.541) -- (2.721,5.141) -- (2.121,5.141) -- cycle;
\node at (2.421,4.841) {\scalebox{1.445}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.803,5.981) -- (8.403,5.981) -- (8.403,6.581) -- (7.803,6.581) -- cycle;
\node at (8.103,6.281) {\scalebox{1.445}{\small c}};
\node at (6.223,10.633) {\scalebox{1.445}{\small S0}};
\node at (9.625,10.384) {\scalebox{1.445}{\small S1}};
\node at (7.296,8.146) {\scalebox{1.445}{\small S2}};
\node at (0.93,7.1) {\scalebox{1.445}{\small S3}};
\node at (4.051,7.064) {\scalebox{1.445}{\small S4}};
\node at (10.018,6.848) {\scalebox{1.445}{\small S5}};
\node at (12.14,4.669) {\scalebox{1.445}{\small S6}};
\node at (9.799,4.492) {\scalebox{1.445}{\small S7}};
\node at (0.959,4.251) {\scalebox{1.445}{\small S8}};
\node at (6.201,3.533) {\scalebox{1.445}{\small S9}};
\node at (3.597,1.707) {\scalebox{1.445}{\small S10}};
\node at (6.548,1.262) {\scalebox{1.445}{\small S11}};
\node at (9.397,0.95) {\scalebox{1.445}{\small S12}};
\draw[line width=0.5pt] (12.827,9.066) -- (12.827,10.166);
\draw[line width=0.5pt] (12.596,9.781) -- (12.827,10.166) -- (13.058,9.781);
\draw[line width=0.5pt] (12.524,9.616) -- (13.129,9.616);
\node at (12.827,10.551) {\scalebox{1.445}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Poste & ⑫ rue Neuve & S0 Carrefour de l'Hôpital & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Jardins & ⑬ rue des Écoles & S1 Place aux Herbes & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ avenue de la Gare & ⑭ rue Basse & S2 Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue du Stade & ⑮ chemin des Vignes & S3 Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
⑤ allée des Peupliers & ⑯ rue Pasteur & S4 Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑥ rue du Four & ⑰ rue de l'Église & S5 Rond-point de la Gare &  \\ \hline
⑦ rue Haute & ⑱ venelle du Chat & S6 Placette des Ormes &  \\ \hline
⑧ quai aux Fleurs & ⑲ rue des Lilas & S7 Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑨ chemin de Ronde & ⑳ passage du Marché & S8 Place des Tanneurs &  \\ \hline
⑩ impasse des Roses & 21 allée des Tilleuls & S9 Rond-point du Stade &  \\ \hline
⑪ chemin du Lavoir & 22 rue du Pont & S10 Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & S11 Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & S12 Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6191, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.275,10.016) -- (6.488,9.971) -- (6.702,9.931) -- (6.916,9.897) -- (7.132,9.867) -- (7.348,9.843) -- (7.565,9.824) -- (7.783,9.809) -- (8.0,9.8) -- (8.218,9.796) -- (8.436,9.797) -- (8.653,9.804) -- (8.871,9.815) -- (9.088,9.831) -- (9.304,9.853);
\draw[line width=0.5pt] (6.275,10.016) -- (6.364,9.85) -- (6.449,9.682) -- (6.53,9.512) -- (6.608,9.341) -- (6.681,9.167) -- (6.75,8.992) -- (6.815,8.815) -- (6.876,8.637) -- (6.933,8.458) -- (6.985,8.277) -- (7.033,8.095) -- (7.077,7.912) -- (7.116,7.728) -- (7.152,7.543);
\draw[line width=0.5pt] (6.275,10.016) -- (6.119,9.802) -- (5.968,9.585) -- (5.822,9.364) -- (5.682,9.14) -- (5.547,8.913) -- (5.417,8.682) -- (5.292,8.448) -- (5.174,8.212) -- (5.06,7.973) -- (4.953,7.731) -- (4.851,7.487) -- (4.755,7.241) -- (4.665,6.992) -- (4.58,6.742);
\draw[line width=0.5pt] (6.275,10.016) -- (6.536,9.809) -- (6.793,9.597) -- (7.045,9.378) -- (7.292,9.153) -- (7.533,8.923) -- (7.769,8.687) -- (8.0,8.445) -- (8.224,8.198) -- (8.443,7.946) -- (8.656,7.689) -- (8.863,7.427) -- (9.063,7.161) -- (9.257,6.889) -- (9.444,6.614);
\draw[line width=0.5pt] (9.304,9.853) -- (9.279,9.622) -- (9.259,9.39) -- (9.244,9.158) -- (9.235,8.926) -- (9.231,8.693) -- (9.233,8.46) -- (9.241,8.228) -- (9.253,7.995) -- (9.272,7.763) -- (9.295,7.532) -- (9.324,7.301) -- (9.359,7.071) -- (9.399,6.842) -- (9.444,6.614);
\draw[line width=0.5pt] (3.988,2.189) -- (4.174,2.195) -- (4.36,2.197) -- (4.546,2.195) -- (4.732,2.188) -- (4.918,2.177) -- (5.104,2.161) -- (5.289,2.141) -- (5.473,2.117) -- (5.657,2.088) -- (5.841,2.056) -- (6.023,2.018) -- (6.205,1.977) -- (6.385,1.931) -- (6.564,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (7.152,7.543) -- (6.961,7.514) -- (6.77,7.481) -- (6.581,7.443) -- (6.392,7.401) -- (6.205,7.355) -- (6.018,7.304) -- (5.833,7.248) -- (5.649,7.189) -- (5.467,7.125) -- (5.286,7.056) -- (5.107,6.984) -- (4.929,6.907) -- (4.754,6.826) -- (4.58,6.742);
\draw[line width=0.5pt] (7.152,7.543) -- (7.324,7.502) -- (7.496,7.457) -- (7.666,7.408) -- (7.836,7.355) -- (8.004,7.298) -- (8.171,7.238) -- (8.336,7.173) -- (8.5,7.104) -- (8.662,7.032) -- (8.823,6.955) -- (8.981,6.876) -- (9.138,6.792) -- (9.292,6.705) -- (9.444,6.614);
\draw[line width=0.5pt] (7.152,7.543) -- (7.057,7.31) -- (6.968,7.076) -- (6.884,6.839) -- (6.806,6.6) -- (6.734,6.359) -- (6.668,6.117) -- (6.607,5.873) -- (6.551,5.628) -- (6.502,5.382) -- (6.458,5.134) -- (6.421,4.886) -- (6.389,4.637) -- (6.363,4.387) -- (6.343,4.137);
\draw[line width=0.5pt] (1.527,6.931) -- (1.745,6.951) -- (1.964,6.966) -- (2.183,6.976) -- (2.403,6.98) -- (2.622,6.979) -- (2.842,6.973) -- (3.061,6.962) -- (3.28,6.946) -- (3.499,6.925) -- (3.717,6.898) -- (3.934,6.867) -- (4.151,6.83) -- (4.366,6.788) -- (4.58,6.742);
\draw[line width=0.5pt] (4.58,6.742) -- (4.55,6.588) -- (4.524,6.434) -- (4.501,6.279) -- (4.482,6.124) -- (4.466,5.968) -- (4.454,5.812) -- (4.446,5.655) -- (4.441,5.499) -- (4.441,5.342) -- (4.443,5.186) -- (4.45,5.029) -- (4.46,4.873) -- (4.474,4.717) -- (4.491,4.562) -- (4.482,4.388) -- (4.468,4.215) -- (4.45,4.042) -- (4.428,3.869) -- (4.402,3.697) -- (4.372,3.525) -- (4.338,3.355) -- (4.299,3.185) -- (4.257,3.016) -- (4.211,2.848) -- (4.161,2.681) -- (4.107,2.516) -- (4.05,2.351) -- (3.988,2.189);
\draw[line width=0.5pt] (4.58,6.742) -- (4.392,6.541) -- (4.2,6.346) -- (4.003,6.154) -- (3.801,5.968) -- (3.595,5.786) -- (3.385,5.609) -- (3.17,5.437) -- (2.952,5.27) -- (2.73,5.109) -- (2.504,4.952) -- (2.274,4.801) -- (2.041,4.656) -- (1.805,4.516) -- (1.565,4.382);
\draw[line width=0.5pt] (4.58,6.742) -- (4.677,6.538) -- (4.778,6.336) -- (4.884,6.137) -- (4.995,5.94) -- (5.11,5.746) -- (5.23,5.555) -- (5.354,5.367) -- (5.483,5.181) -- (5.616,4.999) -- (5.753,4.819) -- (5.894,4.644) -- (6.04,4.471) -- (6.189,4.302) -- (6.343,4.137);
\draw[line width=0.5pt] (9.444,6.614) -- (9.612,6.505) -- (9.777,6.392) -- (9.94,6.276) -- (10.1,6.156) -- (10.257,6.032) -- (10.411,5.904) -- (10.562,5.773) -- (10.71,5.638) -- (10.854,5.499) -- (10.996,5.358) -- (11.134,5.213) -- (11.268,5.065) -- (11.399,4.914) -- (11.527,4.76);
\draw[line width=0.5pt] (9.444,6.614) -- (9.406,6.479) -- (9.372,6.344) -- (9.34,6.207) -- (9.312,6.07) -- (9.287,5.933) -- (9.265,5.794) -- (9.246,5.656) -- (9.231,5.516) -- (9.218,5.377) -- (9.21,5.237) -- (9.204,5.097) -- (9.202,4.958) -- (9.203,4.818) -- (9.207,4.678);
\draw[line width=0.5pt] (9.444,6.614) -- (9.252,6.404) -- (9.054,6.199) -- (8.852,5.999) -- (8.644,5.804) -- (8.432,5.613) -- (8.216,5.428) -- (7.996,5.247) -- (7.771,5.072) -- (7.542,4.902) -- (7.31,4.738) -- (7.073,4.579) -- (6.833,4.426) -- (6.59,4.278) -- (6.343,4.137);
\draw[line width=0.5pt] (11.527,4.76) -- (11.361,4.779) -- (11.196,4.795) -- (11.029,4.807) -- (10.863,4.815) -- (10.697,4.818) -- (10.53,4.818) -- (10.364,4.815) -- (10.197,4.807) -- (10.031,4.795) -- (9.865,4.779) -- (9.7,4.76) -- (9.535,4.736) -- (9.371,4.709) -- (9.207,4.678);
\draw[line width=0.5pt] (9.207,4.678) -- (9.233,4.45) -- (9.253,4.221) -- (9.268,3.992) -- (9.277,3.763) -- (9.281,3.533) -- (9.28,3.303) -- (9.273,3.074) -- (9.261,2.844) -- (9.244,2.615) -- (9.221,2.387) -- (9.193,2.159) -- (9.159,1.932) -- (9.12,1.706) -- (9.076,1.48);
\draw[line width=0.5pt] (9.207,4.678) -- (8.998,4.671) -- (8.79,4.659) -- (8.581,4.642) -- (8.373,4.62) -- (8.166,4.594) -- (7.959,4.562) -- (7.753,4.526) -- (7.547,4.484) -- (7.343,4.438) -- (7.14,4.387) -- (6.939,4.332) -- (6.738,4.272) -- (6.54,4.207) -- (6.343,4.137);
\draw[line width=0.5pt] (1.565,4.382) -- (1.761,4.253) -- (1.954,4.119) -- (2.143,3.981) -- (2.329,3.839) -- (2.512,3.692) -- (2.691,3.541) -- (2.867,3.385) -- (3.039,3.226) -- (3.207,3.062) -- (3.372,2.895) -- (3.532,2.724) -- (3.688,2.549) -- (3.84,2.371) -- (3.988,2.189);
\draw[line width=0.5pt] (6.343,4.137) -- (6.334,3.975) -- (6.329,3.812) -- (6.327,3.65) -- (6.33,3.487) -- (6.336,3.324) -- (6.346,3.162) -- (6.36,3.0) -- (6.378,2.838) -- (6.4,2.677) -- (6.425,2.516) -- (6.454,2.356) -- (6.487,2.197) -- (6.524,2.039) -- (6.564,1.881);
\draw[line width=0.5pt] (6.343,4.137) -- (6.565,3.979) -- (6.784,3.815) -- (6.999,3.646) -- (7.211,3.472) -- (7.418,3.293) -- (7.62,3.11) -- (7.819,2.921) -- (8.013,2.728) -- (8.202,2.531) -- (8.387,2.329) -- (8.566,2.123) -- (8.741,1.913) -- (8.911,1.699) -- (9.076,1.48);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.435,10.016) -- (6.413,10.096) -- (6.355,10.154) -- (6.275,10.176) -- (6.195,10.154) -- (6.136,10.096) -- (6.115,10.016) -- (6.136,9.936) -- (6.195,9.877) -- (6.275,9.856) -- (6.355,9.877) -- (6.413,9.936) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.464,9.853) -- (9.443,9.933) -- (9.384,9.992) -- (9.304,10.013) -- (9.224,9.992) -- (9.166,9.933) -- (9.144,9.853) -- (9.166,9.773) -- (9.224,9.714) -- (9.304,9.693) -- (9.384,9.714) -- (9.443,9.773) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.312,7.543) -- (7.29,7.623) -- (7.232,7.682) -- (7.152,7.703) -- (7.072,7.682) -- (7.013,7.623) -- (6.992,7.543) -- (7.013,7.463) -- (7.072,7.404) -- (7.152,7.383) -- (7.232,7.404) -- (7.29,7.463) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.687,6.931) -- (1.665,7.011) -- (1.607,7.07) -- (1.527,7.091) -- (1.447,7.07) -- (1.388,7.011) -- (1.367,6.931) -- (1.388,6.851) -- (1.447,6.793) -- (1.527,6.771) -- (1.607,6.793) -- (1.665,6.851) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.74,6.742) -- (4.719,6.822) -- (4.66,6.88) -- (4.58,6.902) -- (4.5,6.88) -- (4.442,6.822) -- (4.42,6.742) -- (4.442,6.662) -- (4.5,6.603) -- (4.58,6.582) -- (4.66,6.603) -- (4.719,6.662) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.604,6.614) -- (9.583,6.694) -- (9.524,6.752) -- (9.444,6.774) -- (9.364,6.752) -- (9.306,6.694) -- (9.284,6.614) -- (9.306,6.534) -- (9.364,6.475) -- (9.444,6.454) -- (9.524,6.475) -- (9.583,6.534) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.687,4.76) -- (11.665,4.84) -- (11.607,4.898) -- (11.527,4.92) -- (11.447,4.898) -- (11.388,4.84) -- (11.367,4.76) -- (11.388,4.68) -- (11.447,4.621) -- (11.527,4.6) -- (11.607,4.621) -- (11.665,4.68) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.367,4.678) -- (9.346,4.758) -- (9.287,4.816) -- (9.207,4.838) -- (9.127,4.816) -- (9.069,4.758) -- (9.047,4.678) -- (9.069,4.598) -- (9.127,4.539) -- (9.207,4.518) -- (9.287,4.539) -- (9.346,4.598) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.725,4.382) -- (1.704,4.462) -- (1.645,4.52) -- (1.565,4.542) -- (1.485,4.52) -- (1.427,4.462) -- (1.405,4.382) -- (1.427,4.302) -- (1.485,4.243) -- (1.565,4.222) -- (1.645,4.243) -- (1.704,4.302) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.503,4.137) -- (6.481,4.217) -- (6.423,4.276) -- (6.343,4.297) -- (6.263,4.276) -- (6.204,4.217) -- (6.183,4.137) -- (6.204,4.057) -- (6.263,3.998) -- (6.343,3.977) -- (6.423,3.998) -- (6.481,4.057) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.148,2.189) -- (4.127,2.269) -- (4.068,2.327) -- (3.988,2.349) -- (3.908,2.327) -- (3.849,2.269) -- (3.828,2.189) -- (3.849,2.109) -- (3.908,2.05) -- (3.988,2.029) -- (4.068,2.05) -- (4.127,2.109) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.724,1.881) -- (6.703,1.961) -- (6.644,2.02) -- (6.564,2.041) -- (6.484,2.02) -- (6.426,1.961) -- (6.404,1.881) -- (6.426,1.801) -- (6.484,1.743) -- (6.564,1.721) -- (6.644,1.743) -- (6.703,1.801) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.236,1.48) -- (9.214,1.56) -- (9.156,1.619) -- (9.076,1.64) -- (8.996,1.619) -- (8.937,1.56) -- (8.916,1.48) -- (8.937,1.4) -- (8.996,1.342) -- (9.076,1.32) -- (9.156,1.342) -- (9.214,1.4) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.14,10.129) -- (8.094,10.299) -- (7.97,10.423) -- (7.8,10.469) -- (7.63,10.423) -- (7.505,10.299) -- (7.46,10.129) -- (7.505,9.959) -- (7.63,9.834) -- (7.8,9.789) -- (7.97,9.834) -- (8.094,9.959) -- cycle;
\node at (7.8,10.129) {\scalebox{1.615}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.457,8.922) -- (7.411,9.092) -- (7.287,9.217) -- (7.117,9.262) -- (6.947,9.217) -- (6.822,9.092) -- (6.777,8.922) -- (6.822,8.752) -- (6.947,8.628) -- (7.117,8.582) -- (7.287,8.628) -- (7.411,8.752) -- cycle;
\node at (7.117,8.922) {\scalebox{1.615}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.917,8.301) -- (5.871,8.471) -- (5.747,8.596) -- (5.577,8.641) -- (5.407,8.596) -- (5.282,8.471) -- (5.237,8.301) -- (5.282,8.131) -- (5.407,8.007) -- (5.577,7.961) -- (5.747,8.007) -- (5.871,8.131) -- cycle;
\node at (5.577,8.301) {\scalebox{1.615}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.574,8.663) -- (8.528,8.833) -- (8.404,8.958) -- (8.234,9.003) -- (8.064,8.958) -- (7.94,8.833) -- (7.894,8.663) -- (7.94,8.493) -- (8.064,8.369) -- (8.234,8.323) -- (8.404,8.369) -- (8.528,8.493) -- cycle;
\node at (8.234,8.663) {\scalebox{1.615}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.9,8.241) -- (9.855,8.411) -- (9.73,8.536) -- (9.56,8.581) -- (9.39,8.536) -- (9.266,8.411) -- (9.22,8.241) -- (9.266,8.071) -- (9.39,7.947) -- (9.56,7.901) -- (9.73,7.947) -- (9.855,8.071) -- cycle;
\node at (9.56,8.241) {\scalebox{1.615}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.667,2.459) -- (5.621,2.629) -- (5.497,2.753) -- (5.327,2.799) -- (5.157,2.753) -- (5.032,2.629) -- (4.987,2.459) -- (5.032,2.289) -- (5.157,2.165) -- (5.327,2.119) -- (5.497,2.165) -- (5.621,2.289) -- cycle;
\node at (5.327,2.459) {\scalebox{1.615}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.268,6.943) -- (6.223,7.113) -- (6.098,7.237) -- (5.928,7.283) -- (5.758,7.237) -- (5.634,7.113) -- (5.588,6.943) -- (5.634,6.773) -- (5.758,6.648) -- (5.928,6.603) -- (6.098,6.648) -- (6.223,6.773) -- cycle;
\node at (5.928,6.943) {\scalebox{1.615}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.796,7.469) -- (8.751,7.639) -- (8.626,7.764) -- (8.456,7.809) -- (8.286,7.764) -- (8.162,7.639) -- (8.116,7.469) -- (8.162,7.299) -- (8.286,7.175) -- (8.456,7.129) -- (8.626,7.175) -- (8.751,7.299) -- cycle;
\node at (8.456,7.469) {\scalebox{1.615}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.258,5.799) -- (7.212,5.969) -- (7.088,6.094) -- (6.918,6.139) -- (6.748,6.094) -- (6.623,5.969) -- (6.578,5.799) -- (6.623,5.629) -- (6.748,5.505) -- (6.918,5.459) -- (7.088,5.505) -- (7.212,5.629) -- cycle;
\node at (6.918,5.799) {\scalebox{1.615}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.421,7.282) -- (3.376,7.452) -- (3.251,7.576) -- (3.081,7.622) -- (2.911,7.576) -- (2.787,7.452) -- (2.741,7.282) -- (2.787,7.112) -- (2.911,6.987) -- (3.081,6.942) -- (3.251,6.987) -- (3.376,7.112) -- cycle;
\node at (3.081,7.282) {\scalebox{1.615}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.151,4.57) -- (5.106,4.74) -- (4.981,4.864) -- (4.811,4.91) -- (4.641,4.864) -- (4.517,4.74) -- (4.471,4.57) -- (4.517,4.4) -- (4.641,4.275) -- (4.811,4.23) -- (4.981,4.275) -- (5.106,4.4) -- cycle;
\node at (4.811,4.57) {\scalebox{1.615}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.707,5.185) -- (3.662,5.355) -- (3.537,5.48) -- (3.367,5.525) -- (3.197,5.48) -- (3.073,5.355) -- (3.027,5.185) -- (3.073,5.015) -- (3.197,4.891) -- (3.367,4.845) -- (3.537,4.891) -- (3.662,5.015) -- cycle;
\node at (3.367,5.185) {\scalebox{1.615}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.959,5.546) -- (5.914,5.716) -- (5.789,5.84) -- (5.619,5.886) -- (5.449,5.84) -- (5.325,5.716) -- (5.279,5.546) -- (5.325,5.376) -- (5.449,5.251) -- (5.619,5.206) -- (5.789,5.251) -- (5.914,5.376) -- cycle;
\node at (5.619,5.546) {\scalebox{1.615}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.115,6.012) -- (11.069,6.182) -- (10.945,6.306) -- (10.775,6.352) -- (10.605,6.306) -- (10.48,6.182) -- (10.435,6.012) -- (10.48,5.842) -- (10.605,5.717) -- (10.775,5.672) -- (10.945,5.717) -- (11.069,5.842) -- cycle;
\node at (10.775,6.012) {\scalebox{1.615}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.904,5.617) -- (9.858,5.787) -- (9.734,5.911) -- (9.564,5.957) -- (9.394,5.911) -- (9.269,5.787) -- (9.224,5.617) -- (9.269,5.447) -- (9.394,5.322) -- (9.564,5.277) -- (9.734,5.322) -- (9.858,5.447) -- cycle;
\node at (9.564,5.617) {\scalebox{1.615}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.535,4.997) -- (8.49,5.167) -- (8.365,5.292) -- (8.195,5.337) -- (8.025,5.292) -- (7.901,5.167) -- (7.855,4.997) -- (7.901,4.827) -- (8.025,4.703) -- (8.195,4.657) -- (8.365,4.703) -- (8.49,4.827) -- cycle;
\node at (8.195,4.997) {\scalebox{1.615}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.715,4.495) -- (10.669,4.665) -- (10.545,4.789) -- (10.375,4.835) -- (10.205,4.789) -- (10.08,4.665) -- (10.035,4.495) -- (10.08,4.325) -- (10.205,4.2) -- (10.375,4.155) -- (10.545,4.2) -- (10.669,4.325) -- cycle;
\node at (10.375,4.495) {\scalebox{1.615}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.933,3.061) -- (9.888,3.231) -- (9.763,3.355) -- (9.593,3.401) -- (9.423,3.355) -- (9.299,3.231) -- (9.253,3.061) -- (9.299,2.891) -- (9.423,2.766) -- (9.593,2.721) -- (9.763,2.766) -- (9.888,2.891) -- cycle;
\node at (9.593,3.061) {\scalebox{1.615}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.152,4.211) -- (8.106,4.381) -- (7.982,4.506) -- (7.812,4.551) -- (7.642,4.506) -- (7.518,4.381) -- (7.472,4.211) -- (7.518,4.041) -- (7.642,3.917) -- (7.812,3.871) -- (7.982,3.917) -- (8.106,4.041) -- cycle;
\node at (7.812,4.211) {\scalebox{1.615}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.422,3.622) -- (3.376,3.792) -- (3.252,3.917) -- (3.082,3.962) -- (2.912,3.917) -- (2.787,3.792) -- (2.742,3.622) -- (2.787,3.452) -- (2.912,3.328) -- (3.082,3.282) -- (3.252,3.328) -- (3.376,3.452) -- cycle;
\node at (3.082,3.622) {\scalebox{1.615}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.019,3.031) -- (6.973,3.201) -- (6.849,3.326) -- (6.679,3.371) -- (6.509,3.326) -- (6.384,3.201) -- (6.339,3.031) -- (6.384,2.861) -- (6.509,2.737) -- (6.679,2.691) -- (6.849,2.737) -- (6.973,2.861) -- cycle;
\node at (6.679,3.031) {\scalebox{1.615}{\small 21}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.382,3.151) -- (8.336,3.321) -- (8.212,3.445) -- (8.042,3.491) -- (7.872,3.445) -- (7.747,3.321) -- (7.702,3.151) -- (7.747,2.981) -- (7.872,2.856) -- (8.042,2.811) -- (8.212,2.856) -- (8.336,2.981) -- cycle;
\node at (8.042,3.151) {\scalebox{1.615}{\small 22}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.144,6.314) -- (9.744,6.314) -- (9.744,6.914) -- (9.144,6.914) -- cycle;
\node at (9.444,6.614) {\scalebox{1.615}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.121,4.541) -- (2.721,4.541) -- (2.721,5.141) -- (2.121,5.141) -- cycle;
\node at (2.421,4.841) {\scalebox{1.615}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.803,5.981) -- (8.403,5.981) -- (8.403,6.581) -- (7.803,6.581) -- cycle;
\node at (8.103,6.281) {\scalebox{1.615}{\small c}};
\node at (6.223,10.633) {\scalebox{1.615}{\small S0}};
\node at (9.625,10.384) {\scalebox{1.615}{\small S1}};
\node at (7.296,8.146) {\scalebox{1.615}{\small S2}};
\node at (0.93,7.1) {\scalebox{1.615}{\small S3}};
\node at (4.051,7.064) {\scalebox{1.615}{\small S4}};
\node at (10.018,6.848) {\scalebox{1.615}{\small S5}};
\node at (12.14,4.669) {\scalebox{1.615}{\small S6}};
\node at (9.799,4.492) {\scalebox{1.615}{\small S7}};
\node at (0.959,4.251) {\scalebox{1.615}{\small S8}};
\node at (6.201,3.533) {\scalebox{1.615}{\small S9}};
\node at (3.597,1.707) {\scalebox{1.615}{\small S10}};
\node at (6.548,1.262) {\scalebox{1.615}{\small S11}};
\node at (9.397,0.95) {\scalebox{1.615}{\small S12}};
\draw[line width=0.5pt] (12.827,9.066) -- (12.827,10.166);
\draw[line width=0.5pt] (12.596,9.781) -- (12.827,10.166) -- (13.058,9.781);
\draw[line width=0.5pt] (12.524,9.616) -- (13.129,9.616);
\node at (12.827,10.551) {\scalebox{1.615}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries S0 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S12 \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 4 & 1 & 6 & 6 & 2 & 4 & 2 & 6 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 \(\times\) 22, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{S3}, \textbf{S10} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{S5}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{S3} et \textbf{S10} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{S5}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{S3} à \textbf{S10}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de S3 :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place du Vieux-Puits \textbf{(S3)}, prend l'\textbf{impasse des Roses ⑩} vers l'est et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ③}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ①}, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(S1)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑤}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S5)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Stade ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S0)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Jardins ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(S2)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑪}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ⑥}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls 21}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(S9)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin de Ronde ⑨}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(S2)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑧}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S5)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Basse ⑭}, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑰}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑮}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S5)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Pasteur ⑯}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(S9)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Lilas ⑲}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑱}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(S12)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont 22}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(S9)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Écoles ⑬}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑫}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑳}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S10)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
