\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 31}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=31}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0031}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6923, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.758,6.496) -- (6.533,6.283) -- (6.313,6.065) -- (6.098,5.842) -- (5.889,5.614) -- (5.685,5.38) -- (5.486,5.142) -- (5.293,4.9) -- (5.106,4.653) -- (4.924,4.402) -- (4.749,4.146) -- (4.579,3.887) -- (4.416,3.623) -- (4.259,3.356) -- (4.109,3.086);
\draw[line width=0.5pt] (6.758,6.496) -- (6.816,6.147) -- (6.866,5.797) -- (6.907,5.446) -- (6.94,5.094) -- (6.964,4.741) -- (6.981,4.388) -- (6.989,4.034) -- (6.989,3.68) -- (6.98,3.327) -- (6.963,2.974) -- (6.938,2.621) -- (6.905,2.269) -- (6.863,1.918) -- (6.813,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (11.359,5.464) -- (11.315,5.21) -- (11.276,4.954) -- (11.244,4.698) -- (11.218,4.441) -- (11.197,4.184) -- (11.183,3.926) -- (11.175,3.668) -- (11.173,3.41) -- (11.177,3.151) -- (11.187,2.893) -- (11.203,2.635) -- (11.225,2.378) -- (11.253,2.122) -- (11.287,1.866);
\draw[line width=0.5pt] (11.359,5.464) -- (11.19,5.24) -- (11.016,5.021) -- (10.837,4.805) -- (10.652,4.594) -- (10.463,4.387) -- (10.268,4.184) -- (10.069,3.987) -- (9.866,3.794) -- (9.658,3.605) -- (9.445,3.422) -- (9.229,3.244) -- (9.008,3.071) -- (8.783,2.903) -- (8.555,2.741) -- (8.418,2.677) -- (8.284,2.61) -- (8.15,2.539) -- (8.019,2.466) -- (7.889,2.389) -- (7.761,2.309) -- (7.635,2.226) -- (7.511,2.141) -- (7.389,2.052) -- (7.269,1.961) -- (7.152,1.867) -- (7.036,1.77) -- (6.923,1.67) -- (6.813,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (4.109,3.086) -- (3.899,3.018) -- (3.69,2.945) -- (3.484,2.867) -- (3.279,2.785) -- (3.076,2.698) -- (2.876,2.605) -- (2.677,2.509) -- (2.481,2.407) -- (2.287,2.301) -- (2.096,2.191) -- (1.907,2.076) -- (1.722,1.957) -- (1.539,1.833) -- (1.359,1.705);
\draw[line width=0.5pt] (4.109,3.086) -- (4.317,3.008) -- (4.523,2.925) -- (4.728,2.837) -- (4.93,2.744) -- (5.13,2.647) -- (5.328,2.545) -- (5.523,2.438) -- (5.716,2.327) -- (5.906,2.212) -- (6.094,2.092) -- (6.278,1.967) -- (6.46,1.838) -- (6.638,1.705) -- (6.813,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (11.287,1.866) -- (10.967,1.894) -- (10.646,1.914) -- (10.325,1.927) -- (10.003,1.932) -- (9.681,1.929) -- (9.359,1.919) -- (9.038,1.902) -- (8.717,1.877) -- (8.397,1.844) -- (8.077,1.804) -- (7.759,1.756) -- (7.442,1.701) -- (7.127,1.638) -- (6.813,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (1.359,1.705) -- (1.747,1.755) -- (2.136,1.796) -- (2.527,1.827) -- (2.917,1.85) -- (3.309,1.863) -- (3.7,1.867) -- (4.092,1.862) -- (4.483,1.847) -- (4.874,1.824) -- (5.264,1.791) -- (5.653,1.749) -- (6.041,1.698) -- (6.428,1.638) -- (6.813,1.568);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.918,6.496) -- (6.897,6.576) -- (6.838,6.634) -- (6.758,6.656) -- (6.678,6.634) -- (6.62,6.576) -- (6.598,6.496) -- (6.62,6.416) -- (6.678,6.357) -- (6.758,6.336) -- (6.838,6.357) -- (6.897,6.416) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.519,5.464) -- (11.498,5.544) -- (11.439,5.602) -- (11.359,5.624) -- (11.279,5.602) -- (11.221,5.544) -- (11.199,5.464) -- (11.221,5.384) -- (11.279,5.325) -- (11.359,5.304) -- (11.439,5.325) -- (11.498,5.384) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.269,3.086) -- (4.247,3.166) -- (4.189,3.224) -- (4.109,3.246) -- (4.029,3.224) -- (3.97,3.166) -- (3.949,3.086) -- (3.97,3.006) -- (4.029,2.947) -- (4.109,2.926) -- (4.189,2.947) -- (4.247,3.006) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.447,1.866) -- (11.426,1.946) -- (11.367,2.005) -- (11.287,2.026) -- (11.207,2.005) -- (11.149,1.946) -- (11.127,1.866) -- (11.149,1.786) -- (11.207,1.727) -- (11.287,1.706) -- (11.367,1.727) -- (11.426,1.786) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.519,1.705) -- (1.498,1.785) -- (1.439,1.844) -- (1.359,1.865) -- (1.279,1.844) -- (1.221,1.785) -- (1.199,1.705) -- (1.221,1.625) -- (1.279,1.566) -- (1.359,1.545) -- (1.439,1.566) -- (1.498,1.625) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.973,1.568) -- (6.951,1.648) -- (6.893,1.707) -- (6.813,1.728) -- (6.733,1.707) -- (6.674,1.648) -- (6.653,1.568) -- (6.674,1.488) -- (6.733,1.43) -- (6.813,1.408) -- (6.893,1.43) -- (6.951,1.488) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.886,4.704) -- (5.84,4.874) -- (5.716,4.998) -- (5.546,5.044) -- (5.376,4.998) -- (5.251,4.874) -- (5.206,4.704) -- (5.251,4.534) -- (5.376,4.409) -- (5.546,4.364) -- (5.716,4.409) -- (5.84,4.534) -- cycle;
\node at (5.546,4.704) {\scalebox{1.444}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.649,4.038) -- (7.603,4.208) -- (7.479,4.332) -- (7.309,4.378) -- (7.139,4.332) -- (7.014,4.208) -- (6.969,4.038) -- (7.014,3.868) -- (7.139,3.743) -- (7.309,3.698) -- (7.479,3.743) -- (7.603,3.868) -- cycle;
\node at (7.309,4.038) {\scalebox{1.444}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.835,3.661) -- (11.789,3.831) -- (11.665,3.956) -- (11.495,4.001) -- (11.325,3.956) -- (11.2,3.831) -- (11.155,3.661) -- (11.2,3.491) -- (11.325,3.367) -- (11.495,3.321) -- (11.665,3.367) -- (11.789,3.491) -- cycle;
\node at (11.495,3.661) {\scalebox{1.444}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.063,2.469) -- (9.018,2.639) -- (8.893,2.763) -- (8.723,2.809) -- (8.553,2.763) -- (8.429,2.639) -- (8.383,2.469) -- (8.429,2.299) -- (8.553,2.175) -- (8.723,2.129) -- (8.893,2.175) -- (9.018,2.299) -- cycle;
\node at (8.723,2.469) {\scalebox{1.444}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.161,2.223) -- (3.115,2.393) -- (2.991,2.517) -- (2.821,2.563) -- (2.651,2.517) -- (2.526,2.393) -- (2.481,2.223) -- (2.526,2.053) -- (2.651,1.928) -- (2.821,1.883) -- (2.991,1.928) -- (3.115,2.053) -- cycle;
\node at (2.821,2.223) {\scalebox{1.444}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.02,2.718) -- (5.974,2.888) -- (5.85,3.012) -- (5.68,3.058) -- (5.51,3.012) -- (5.385,2.888) -- (5.34,2.718) -- (5.385,2.548) -- (5.51,2.423) -- (5.68,2.378) -- (5.85,2.423) -- (5.974,2.548) -- cycle;
\node at (5.68,2.718) {\scalebox{1.444}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.399,1.582) -- (9.354,1.752) -- (9.229,1.877) -- (9.059,1.922) -- (8.889,1.877) -- (8.765,1.752) -- (8.719,1.582) -- (8.765,1.412) -- (8.889,1.288) -- (9.059,1.242) -- (9.229,1.288) -- (9.354,1.412) -- cycle;
\node at (9.059,1.582) {\scalebox{1.444}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.44,2.181) -- (4.394,2.351) -- (4.27,2.476) -- (4.1,2.521) -- (3.93,2.476) -- (3.805,2.351) -- (3.76,2.181) -- (3.805,2.011) -- (3.93,1.887) -- (4.1,1.841) -- (4.27,1.887) -- (4.394,2.011) -- cycle;
\node at (4.1,2.181) {\scalebox{1.444}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.513,1.268) -- (7.113,1.268) -- (7.113,1.868) -- (6.513,1.868) -- cycle;
\node at (6.813,1.568) {\scalebox{1.444}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.581,1.368) -- (2.181,1.368) -- (2.181,1.968) -- (1.581,1.968) -- cycle;
\node at (1.881,1.668) {\scalebox{1.444}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.642,5.033) -- (5.242,5.033) -- (5.242,5.633) -- (4.642,5.633) -- cycle;
\node at (4.942,5.333) {\scalebox{1.444}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.523,3.424) -- (13.123,3.424) -- (13.123,4.024) -- (12.523,4.024) -- cycle;
\node at (12.823,3.724) {\scalebox{1.444}{\small d}};
\node at (6.721,7.114) {\scalebox{1.444}{\small A}};
\node at (11.919,5.73) {\scalebox{1.444}{\small B}};
\node at (3.492,3.025) {\scalebox{1.444}{\small C}};
\node at (11.873,1.664) {\scalebox{1.444}{\small D}};
\node at (0.765,1.529) {\scalebox{1.444}{\small E}};
\node at (6.766,0.95) {\scalebox{1.444}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.659,5.546) -- (12.659,6.646);
\draw[line width=0.5pt] (12.428,6.261) -- (12.659,6.646) -- (12.89,6.261);
\draw[line width=0.5pt] (12.357,6.096) -- (12.962,6.096);
\node at (12.659,7.031) {\scalebox{1.444}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Poste & ⑤ rue du Four & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑥ rue des Jardins & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑦ allée des Peupliers & Ⓒ Rond-point du Pont & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue du Pont & ⑧ rue des Lilas & Ⓓ Place de la Fontaine & \textbf{d} l'église \\ \hline
 &  & Ⓔ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6194, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.758,6.496) -- (6.533,6.283) -- (6.313,6.065) -- (6.098,5.842) -- (5.889,5.614) -- (5.685,5.38) -- (5.486,5.142) -- (5.293,4.9) -- (5.106,4.653) -- (4.924,4.402) -- (4.749,4.146) -- (4.579,3.887) -- (4.416,3.623) -- (4.259,3.356) -- (4.109,3.086);
\draw[line width=0.5pt] (6.758,6.496) -- (6.816,6.147) -- (6.866,5.797) -- (6.907,5.446) -- (6.94,5.094) -- (6.964,4.741) -- (6.981,4.388) -- (6.989,4.034) -- (6.989,3.68) -- (6.98,3.327) -- (6.963,2.974) -- (6.938,2.621) -- (6.905,2.269) -- (6.863,1.918) -- (6.813,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (11.359,5.464) -- (11.315,5.21) -- (11.276,4.954) -- (11.244,4.698) -- (11.218,4.441) -- (11.197,4.184) -- (11.183,3.926) -- (11.175,3.668) -- (11.173,3.41) -- (11.177,3.151) -- (11.187,2.893) -- (11.203,2.635) -- (11.225,2.378) -- (11.253,2.122) -- (11.287,1.866);
\draw[line width=0.5pt] (11.359,5.464) -- (11.19,5.24) -- (11.016,5.021) -- (10.837,4.805) -- (10.652,4.594) -- (10.463,4.387) -- (10.268,4.184) -- (10.069,3.987) -- (9.866,3.794) -- (9.658,3.605) -- (9.445,3.422) -- (9.229,3.244) -- (9.008,3.071) -- (8.783,2.903) -- (8.555,2.741) -- (8.418,2.677) -- (8.284,2.61) -- (8.15,2.539) -- (8.019,2.466) -- (7.889,2.389) -- (7.761,2.309) -- (7.635,2.226) -- (7.511,2.141) -- (7.389,2.052) -- (7.269,1.961) -- (7.152,1.867) -- (7.036,1.77) -- (6.923,1.67) -- (6.813,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (4.109,3.086) -- (3.899,3.018) -- (3.69,2.945) -- (3.484,2.867) -- (3.279,2.785) -- (3.076,2.698) -- (2.876,2.605) -- (2.677,2.509) -- (2.481,2.407) -- (2.287,2.301) -- (2.096,2.191) -- (1.907,2.076) -- (1.722,1.957) -- (1.539,1.833) -- (1.359,1.705);
\draw[line width=0.5pt] (4.109,3.086) -- (4.317,3.008) -- (4.523,2.925) -- (4.728,2.837) -- (4.93,2.744) -- (5.13,2.647) -- (5.328,2.545) -- (5.523,2.438) -- (5.716,2.327) -- (5.906,2.212) -- (6.094,2.092) -- (6.278,1.967) -- (6.46,1.838) -- (6.638,1.705) -- (6.813,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (11.287,1.866) -- (10.967,1.894) -- (10.646,1.914) -- (10.325,1.927) -- (10.003,1.932) -- (9.681,1.929) -- (9.359,1.919) -- (9.038,1.902) -- (8.717,1.877) -- (8.397,1.844) -- (8.077,1.804) -- (7.759,1.756) -- (7.442,1.701) -- (7.127,1.638) -- (6.813,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (1.359,1.705) -- (1.747,1.755) -- (2.136,1.796) -- (2.527,1.827) -- (2.917,1.85) -- (3.309,1.863) -- (3.7,1.867) -- (4.092,1.862) -- (4.483,1.847) -- (4.874,1.824) -- (5.264,1.791) -- (5.653,1.749) -- (6.041,1.698) -- (6.428,1.638) -- (6.813,1.568);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.918,6.496) -- (6.897,6.576) -- (6.838,6.634) -- (6.758,6.656) -- (6.678,6.634) -- (6.62,6.576) -- (6.598,6.496) -- (6.62,6.416) -- (6.678,6.357) -- (6.758,6.336) -- (6.838,6.357) -- (6.897,6.416) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.519,5.464) -- (11.498,5.544) -- (11.439,5.602) -- (11.359,5.624) -- (11.279,5.602) -- (11.221,5.544) -- (11.199,5.464) -- (11.221,5.384) -- (11.279,5.325) -- (11.359,5.304) -- (11.439,5.325) -- (11.498,5.384) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.269,3.086) -- (4.247,3.166) -- (4.189,3.224) -- (4.109,3.246) -- (4.029,3.224) -- (3.97,3.166) -- (3.949,3.086) -- (3.97,3.006) -- (4.029,2.947) -- (4.109,2.926) -- (4.189,2.947) -- (4.247,3.006) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.447,1.866) -- (11.426,1.946) -- (11.367,2.005) -- (11.287,2.026) -- (11.207,2.005) -- (11.149,1.946) -- (11.127,1.866) -- (11.149,1.786) -- (11.207,1.727) -- (11.287,1.706) -- (11.367,1.727) -- (11.426,1.786) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.519,1.705) -- (1.498,1.785) -- (1.439,1.844) -- (1.359,1.865) -- (1.279,1.844) -- (1.221,1.785) -- (1.199,1.705) -- (1.221,1.625) -- (1.279,1.566) -- (1.359,1.545) -- (1.439,1.566) -- (1.498,1.625) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.973,1.568) -- (6.951,1.648) -- (6.893,1.707) -- (6.813,1.728) -- (6.733,1.707) -- (6.674,1.648) -- (6.653,1.568) -- (6.674,1.488) -- (6.733,1.43) -- (6.813,1.408) -- (6.893,1.43) -- (6.951,1.488) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.886,4.704) -- (5.84,4.874) -- (5.716,4.998) -- (5.546,5.044) -- (5.376,4.998) -- (5.251,4.874) -- (5.206,4.704) -- (5.251,4.534) -- (5.376,4.409) -- (5.546,4.364) -- (5.716,4.409) -- (5.84,4.534) -- cycle;
\node at (5.546,4.704) {\scalebox{1.614}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.649,4.038) -- (7.603,4.208) -- (7.479,4.332) -- (7.309,4.378) -- (7.139,4.332) -- (7.014,4.208) -- (6.969,4.038) -- (7.014,3.868) -- (7.139,3.743) -- (7.309,3.698) -- (7.479,3.743) -- (7.603,3.868) -- cycle;
\node at (7.309,4.038) {\scalebox{1.614}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.835,3.661) -- (11.789,3.831) -- (11.665,3.956) -- (11.495,4.001) -- (11.325,3.956) -- (11.2,3.831) -- (11.155,3.661) -- (11.2,3.491) -- (11.325,3.367) -- (11.495,3.321) -- (11.665,3.367) -- (11.789,3.491) -- cycle;
\node at (11.495,3.661) {\scalebox{1.614}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.063,2.469) -- (9.018,2.639) -- (8.893,2.763) -- (8.723,2.809) -- (8.553,2.763) -- (8.429,2.639) -- (8.383,2.469) -- (8.429,2.299) -- (8.553,2.175) -- (8.723,2.129) -- (8.893,2.175) -- (9.018,2.299) -- cycle;
\node at (8.723,2.469) {\scalebox{1.614}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.161,2.223) -- (3.115,2.393) -- (2.991,2.517) -- (2.821,2.563) -- (2.651,2.517) -- (2.526,2.393) -- (2.481,2.223) -- (2.526,2.053) -- (2.651,1.928) -- (2.821,1.883) -- (2.991,1.928) -- (3.115,2.053) -- cycle;
\node at (2.821,2.223) {\scalebox{1.614}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.02,2.718) -- (5.974,2.888) -- (5.85,3.012) -- (5.68,3.058) -- (5.51,3.012) -- (5.385,2.888) -- (5.34,2.718) -- (5.385,2.548) -- (5.51,2.423) -- (5.68,2.378) -- (5.85,2.423) -- (5.974,2.548) -- cycle;
\node at (5.68,2.718) {\scalebox{1.614}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.399,1.582) -- (9.354,1.752) -- (9.229,1.877) -- (9.059,1.922) -- (8.889,1.877) -- (8.765,1.752) -- (8.719,1.582) -- (8.765,1.412) -- (8.889,1.288) -- (9.059,1.242) -- (9.229,1.288) -- (9.354,1.412) -- cycle;
\node at (9.059,1.582) {\scalebox{1.614}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.44,2.181) -- (4.394,2.351) -- (4.27,2.476) -- (4.1,2.521) -- (3.93,2.476) -- (3.805,2.351) -- (3.76,2.181) -- (3.805,2.011) -- (3.93,1.887) -- (4.1,1.841) -- (4.27,1.887) -- (4.394,2.011) -- cycle;
\node at (4.1,2.181) {\scalebox{1.614}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.513,1.268) -- (7.113,1.268) -- (7.113,1.868) -- (6.513,1.868) -- cycle;
\node at (6.813,1.568) {\scalebox{1.614}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.581,1.368) -- (2.181,1.368) -- (2.181,1.968) -- (1.581,1.968) -- cycle;
\node at (1.881,1.668) {\scalebox{1.614}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.642,5.033) -- (5.242,5.033) -- (5.242,5.633) -- (4.642,5.633) -- cycle;
\node at (4.942,5.333) {\scalebox{1.614}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.523,3.424) -- (13.123,3.424) -- (13.123,4.024) -- (12.523,4.024) -- cycle;
\node at (12.823,3.724) {\scalebox{1.614}{\small d}};
\node at (6.721,7.114) {\scalebox{1.614}{\small A}};
\node at (11.919,5.73) {\scalebox{1.614}{\small B}};
\node at (3.492,3.025) {\scalebox{1.614}{\small C}};
\node at (11.873,1.664) {\scalebox{1.614}{\small D}};
\node at (0.765,1.529) {\scalebox{1.614}{\small E}};
\node at (6.766,0.95) {\scalebox{1.614}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.659,5.546) -- (12.659,6.646);
\draw[line width=0.5pt] (12.428,6.261) -- (12.659,6.646) -- (12.89,6.261);
\draw[line width=0.5pt] (12.357,6.096) -- (12.962,6.096);
\node at (12.659,7.031) {\scalebox{1.614}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 & 5 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{F}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{F}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en C}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Poste \textbf{(F)}, prend la \textbf{rue de l'Église ②} vers le nord et atteint Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ①}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Lilas ⑧}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ④}, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans le \textbf{sentier des Prés ③}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑥}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{C} ou en \textbf{F} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
