\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 310}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=310}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0310}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7064, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.246,7.68) -- (10.852,7.631) -- (10.459,7.573) -- (10.067,7.505) -- (9.677,7.428) -- (9.289,7.342) -- (8.903,7.247) -- (8.519,7.142) -- (8.138,7.029) -- (7.76,6.907) -- (7.384,6.776) -- (7.012,6.636) -- (6.644,6.488) -- (6.279,6.331) -- (5.918,6.165);
\draw[line width=0.5pt] (11.246,7.68) -- (11.12,7.44) -- (10.988,7.203) -- (10.85,6.969) -- (10.707,6.738) -- (10.559,6.511) -- (10.405,6.287) -- (10.246,6.066) -- (10.082,5.85) -- (9.913,5.637) -- (9.739,5.429) -- (9.56,5.225) -- (9.377,5.025) -- (9.188,4.829) -- (8.996,4.638) -- (8.791,4.533) -- (8.589,4.423) -- (8.389,4.308) -- (8.192,4.189) -- (7.998,4.065) -- (7.807,3.936) -- (7.619,3.803) -- (7.434,3.666) -- (7.252,3.524) -- (7.074,3.378) -- (6.9,3.228) -- (6.729,3.074) -- (6.561,2.916) -- (6.398,2.754);
\draw[line width=0.5pt] (2.638,6.725) -- (2.864,6.649) -- (3.092,6.579) -- (3.322,6.514) -- (3.553,6.455) -- (3.786,6.401) -- (4.02,6.352) -- (4.255,6.309) -- (4.491,6.272) -- (4.727,6.24) -- (4.965,6.214) -- (5.203,6.193) -- (5.441,6.178) -- (5.679,6.169) -- (5.918,6.165);
\draw[line width=0.5pt] (2.638,6.725) -- (2.708,6.599) -- (2.775,6.471) -- (2.839,6.342) -- (2.9,6.212) -- (2.958,6.08) -- (3.013,5.946) -- (3.065,5.812) -- (3.113,5.676) -- (3.159,5.539) -- (3.201,5.401) -- (3.24,5.262) -- (3.275,5.123) -- (3.307,4.982) -- (3.336,4.841);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,6.165) -- (5.72,6.099) -- (5.525,6.029) -- (5.33,5.954) -- (5.138,5.875) -- (4.947,5.791) -- (4.759,5.702) -- (4.573,5.609) -- (4.388,5.512) -- (4.206,5.411) -- (4.027,5.305) -- (3.85,5.195) -- (3.676,5.081) -- (3.505,4.963) -- (3.336,4.841);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,6.165) -- (5.989,5.928) -- (6.055,5.69) -- (6.115,5.451) -- (6.169,5.209) -- (6.218,4.967) -- (6.261,4.724) -- (6.299,4.479) -- (6.33,4.234) -- (6.356,3.988) -- (6.376,3.742) -- (6.39,3.495) -- (6.399,3.248) -- (6.401,3.001) -- (6.398,2.754);
\draw[line width=0.5pt] (3.336,4.841) -- (3.53,4.66) -- (3.729,4.483) -- (3.931,4.311) -- (4.138,4.143) -- (4.349,3.981) -- (4.563,3.824) -- (4.781,3.671) -- (5.002,3.524) -- (5.227,3.382) -- (5.455,3.245) -- (5.687,3.114) -- (5.921,2.988) -- (6.158,2.868) -- (6.398,2.754);
\draw[line width=0.5pt] (3.336,4.841) -- (3.221,4.605) -- (3.1,4.372) -- (2.974,4.142) -- (2.842,3.915) -- (2.705,3.691) -- (2.562,3.471) -- (2.415,3.253) -- (2.262,3.04) -- (2.105,2.83) -- (1.942,2.623) -- (1.775,2.421) -- (1.603,2.222) -- (1.427,2.028) -- (1.246,1.838);
\draw[line width=0.5pt] (6.398,2.754) -- (6.023,2.745) -- (5.648,2.728) -- (5.273,2.702) -- (4.899,2.666) -- (4.526,2.623) -- (4.155,2.57) -- (3.784,2.509) -- (3.415,2.439) -- (3.048,2.36) -- (2.682,2.273) -- (2.319,2.177) -- (1.959,2.072) -- (1.601,1.96) -- (1.246,1.838);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.406,7.68) -- (11.384,7.76) -- (11.326,7.819) -- (11.246,7.84) -- (11.166,7.819) -- (11.107,7.76) -- (11.086,7.68) -- (11.107,7.6) -- (11.166,7.542) -- (11.246,7.52) -- (11.326,7.542) -- (11.384,7.6) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.798,6.725) -- (2.776,6.805) -- (2.718,6.863) -- (2.638,6.885) -- (2.558,6.863) -- (2.499,6.805) -- (2.478,6.725) -- (2.499,6.645) -- (2.558,6.586) -- (2.638,6.565) -- (2.718,6.586) -- (2.776,6.645) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.078,6.165) -- (6.056,6.245) -- (5.998,6.303) -- (5.918,6.325) -- (5.838,6.303) -- (5.779,6.245) -- (5.758,6.165) -- (5.779,6.085) -- (5.838,6.026) -- (5.918,6.005) -- (5.998,6.026) -- (6.056,6.085) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.496,4.841) -- (3.475,4.921) -- (3.416,4.98) -- (3.336,5.001) -- (3.256,4.98) -- (3.198,4.921) -- (3.176,4.841) -- (3.198,4.761) -- (3.256,4.702) -- (3.336,4.681) -- (3.416,4.702) -- (3.475,4.761) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.558,2.754) -- (6.536,2.834) -- (6.478,2.892) -- (6.398,2.914) -- (6.318,2.892) -- (6.259,2.834) -- (6.238,2.754) -- (6.259,2.674) -- (6.318,2.615) -- (6.398,2.594) -- (6.478,2.615) -- (6.536,2.674) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.406,1.838) -- (1.384,1.918) -- (1.326,1.977) -- (1.246,1.998) -- (1.166,1.977) -- (1.107,1.918) -- (1.086,1.838) -- (1.107,1.758) -- (1.166,1.7) -- (1.246,1.678) -- (1.326,1.7) -- (1.384,1.758) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.947,6.835) -- (8.901,7.005) -- (8.777,7.129) -- (8.607,7.175) -- (8.437,7.129) -- (8.312,7.005) -- (8.267,6.835) -- (8.312,6.665) -- (8.437,6.54) -- (8.607,6.495) -- (8.777,6.54) -- (8.901,6.665) -- cycle;
\node at (8.607,6.835) {\scalebox{1.416}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.527,4.381) -- (9.481,4.551) -- (9.357,4.676) -- (9.187,4.721) -- (9.017,4.676) -- (8.892,4.551) -- (8.847,4.381) -- (8.892,4.211) -- (9.017,4.087) -- (9.187,4.041) -- (9.357,4.087) -- (9.481,4.211) -- cycle;
\node at (9.187,4.381) {\scalebox{1.416}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.648,6.625) -- (4.603,6.795) -- (4.478,6.919) -- (4.308,6.965) -- (4.138,6.919) -- (4.014,6.795) -- (3.968,6.625) -- (4.014,6.455) -- (4.138,6.33) -- (4.308,6.285) -- (4.478,6.33) -- (4.603,6.455) -- cycle;
\node at (4.308,6.625) {\scalebox{1.416}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.705,5.923) -- (3.659,6.093) -- (3.535,6.217) -- (3.365,6.263) -- (3.195,6.217) -- (3.07,6.093) -- (3.025,5.923) -- (3.07,5.753) -- (3.195,5.628) -- (3.365,5.583) -- (3.535,5.628) -- (3.659,5.753) -- cycle;
\node at (3.365,5.923) {\scalebox{1.416}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.059,5.325) -- (5.013,5.495) -- (4.889,5.619) -- (4.719,5.665) -- (4.549,5.619) -- (4.424,5.495) -- (4.379,5.325) -- (4.424,5.155) -- (4.549,5.03) -- (4.719,4.985) -- (4.889,5.03) -- (5.013,5.155) -- cycle;
\node at (4.719,5.325) {\scalebox{1.416}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.955,4.524) -- (6.91,4.694) -- (6.785,4.818) -- (6.615,4.864) -- (6.445,4.818) -- (6.321,4.694) -- (6.275,4.524) -- (6.321,4.354) -- (6.445,4.229) -- (6.615,4.184) -- (6.785,4.229) -- (6.91,4.354) -- cycle;
\node at (6.615,4.524) {\scalebox{1.416}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.301,3.936) -- (5.256,4.106) -- (5.131,4.23) -- (4.961,4.276) -- (4.791,4.23) -- (4.667,4.106) -- (4.621,3.936) -- (4.667,3.766) -- (4.791,3.641) -- (4.961,3.596) -- (5.131,3.641) -- (5.256,3.766) -- cycle;
\node at (4.961,3.936) {\scalebox{1.416}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.018,3.071) -- (2.972,3.241) -- (2.848,3.365) -- (2.678,3.411) -- (2.508,3.365) -- (2.383,3.241) -- (2.338,3.071) -- (2.383,2.901) -- (2.508,2.776) -- (2.678,2.731) -- (2.848,2.776) -- (2.972,2.901) -- cycle;
\node at (2.678,3.071) {\scalebox{1.416}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.18,2.193) -- (4.134,2.363) -- (4.01,2.488) -- (3.84,2.533) -- (3.67,2.488) -- (3.546,2.363) -- (3.5,2.193) -- (3.546,2.023) -- (3.67,1.899) -- (3.84,1.853) -- (4.01,1.899) -- (4.134,2.023) -- cycle;
\node at (3.84,2.193) {\scalebox{1.416}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.098,2.454) -- (6.698,2.454) -- (6.698,3.054) -- (6.098,3.054) -- cycle;
\node at (6.398,2.754) {\scalebox{1.416}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.753,1.899) -- (2.353,1.899) -- (2.353,2.499) -- (1.753,2.499) -- cycle;
\node at (2.053,2.199) {\scalebox{1.416}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.161,0.65) -- (3.761,0.65) -- (3.761,1.25) -- (3.161,1.25) -- cycle;
\node at (3.461,0.95) {\scalebox{1.416}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.357,6.3) -- (2.957,6.3) -- (2.957,6.9) -- (2.357,6.9) -- cycle;
\node at (2.657,6.6) {\scalebox{1.416}{\small d}};
\node at (11.814,7.929) {\scalebox{1.416}{\small A}};
\node at (2.128,7.077) {\scalebox{1.416}{\small B}};
\node at (6.265,6.678) {\scalebox{1.416}{\small C}};
\node at (2.719,4.786) {\scalebox{1.416}{\small D}};
\node at (6.702,2.214) {\scalebox{1.416}{\small E}};
\node at (0.765,1.447) {\scalebox{1.416}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.546,6.73) -- (12.546,7.83);
\draw[line width=0.5pt] (12.315,7.445) -- (12.546,7.83) -- (12.777,7.445);
\draw[line width=0.5pt] (12.243,7.28) -- (12.848,7.28);
\node at (12.546,8.215) {\scalebox{1.416}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Stade & ⑥ rue des Jardins & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Neuve & ⑦ rue de la Mairie & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ rue des Lilas & ⑧ rue du Pont & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ chemin Creux & ⑨ allée des Peupliers & Ⓓ Rond-point de la Gare & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ allée des Tilleuls &  & Ⓔ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.632, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.246,7.68) -- (10.852,7.631) -- (10.459,7.573) -- (10.067,7.505) -- (9.677,7.428) -- (9.289,7.342) -- (8.903,7.247) -- (8.519,7.142) -- (8.138,7.029) -- (7.76,6.907) -- (7.384,6.776) -- (7.012,6.636) -- (6.644,6.488) -- (6.279,6.331) -- (5.918,6.165);
\draw[line width=0.5pt] (11.246,7.68) -- (11.12,7.44) -- (10.988,7.203) -- (10.85,6.969) -- (10.707,6.738) -- (10.559,6.511) -- (10.405,6.287) -- (10.246,6.066) -- (10.082,5.85) -- (9.913,5.637) -- (9.739,5.429) -- (9.56,5.225) -- (9.377,5.025) -- (9.188,4.829) -- (8.996,4.638) -- (8.791,4.533) -- (8.589,4.423) -- (8.389,4.308) -- (8.192,4.189) -- (7.998,4.065) -- (7.807,3.936) -- (7.619,3.803) -- (7.434,3.666) -- (7.252,3.524) -- (7.074,3.378) -- (6.9,3.228) -- (6.729,3.074) -- (6.561,2.916) -- (6.398,2.754);
\draw[line width=0.5pt] (2.638,6.725) -- (2.864,6.649) -- (3.092,6.579) -- (3.322,6.514) -- (3.553,6.455) -- (3.786,6.401) -- (4.02,6.352) -- (4.255,6.309) -- (4.491,6.272) -- (4.727,6.24) -- (4.965,6.214) -- (5.203,6.193) -- (5.441,6.178) -- (5.679,6.169) -- (5.918,6.165);
\draw[line width=0.5pt] (2.638,6.725) -- (2.708,6.599) -- (2.775,6.471) -- (2.839,6.342) -- (2.9,6.212) -- (2.958,6.08) -- (3.013,5.946) -- (3.065,5.812) -- (3.113,5.676) -- (3.159,5.539) -- (3.201,5.401) -- (3.24,5.262) -- (3.275,5.123) -- (3.307,4.982) -- (3.336,4.841);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,6.165) -- (5.72,6.099) -- (5.525,6.029) -- (5.33,5.954) -- (5.138,5.875) -- (4.947,5.791) -- (4.759,5.702) -- (4.573,5.609) -- (4.388,5.512) -- (4.206,5.411) -- (4.027,5.305) -- (3.85,5.195) -- (3.676,5.081) -- (3.505,4.963) -- (3.336,4.841);
\draw[line width=0.5pt] (5.918,6.165) -- (5.989,5.928) -- (6.055,5.69) -- (6.115,5.451) -- (6.169,5.209) -- (6.218,4.967) -- (6.261,4.724) -- (6.299,4.479) -- (6.33,4.234) -- (6.356,3.988) -- (6.376,3.742) -- (6.39,3.495) -- (6.399,3.248) -- (6.401,3.001) -- (6.398,2.754);
\draw[line width=0.5pt] (3.336,4.841) -- (3.53,4.66) -- (3.729,4.483) -- (3.931,4.311) -- (4.138,4.143) -- (4.349,3.981) -- (4.563,3.824) -- (4.781,3.671) -- (5.002,3.524) -- (5.227,3.382) -- (5.455,3.245) -- (5.687,3.114) -- (5.921,2.988) -- (6.158,2.868) -- (6.398,2.754);
\draw[line width=0.5pt] (3.336,4.841) -- (3.221,4.605) -- (3.1,4.372) -- (2.974,4.142) -- (2.842,3.915) -- (2.705,3.691) -- (2.562,3.471) -- (2.415,3.253) -- (2.262,3.04) -- (2.105,2.83) -- (1.942,2.623) -- (1.775,2.421) -- (1.603,2.222) -- (1.427,2.028) -- (1.246,1.838);
\draw[line width=0.5pt] (6.398,2.754) -- (6.023,2.745) -- (5.648,2.728) -- (5.273,2.702) -- (4.899,2.666) -- (4.526,2.623) -- (4.155,2.57) -- (3.784,2.509) -- (3.415,2.439) -- (3.048,2.36) -- (2.682,2.273) -- (2.319,2.177) -- (1.959,2.072) -- (1.601,1.96) -- (1.246,1.838);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.406,7.68) -- (11.384,7.76) -- (11.326,7.819) -- (11.246,7.84) -- (11.166,7.819) -- (11.107,7.76) -- (11.086,7.68) -- (11.107,7.6) -- (11.166,7.542) -- (11.246,7.52) -- (11.326,7.542) -- (11.384,7.6) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.798,6.725) -- (2.776,6.805) -- (2.718,6.863) -- (2.638,6.885) -- (2.558,6.863) -- (2.499,6.805) -- (2.478,6.725) -- (2.499,6.645) -- (2.558,6.586) -- (2.638,6.565) -- (2.718,6.586) -- (2.776,6.645) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.078,6.165) -- (6.056,6.245) -- (5.998,6.303) -- (5.918,6.325) -- (5.838,6.303) -- (5.779,6.245) -- (5.758,6.165) -- (5.779,6.085) -- (5.838,6.026) -- (5.918,6.005) -- (5.998,6.026) -- (6.056,6.085) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.496,4.841) -- (3.475,4.921) -- (3.416,4.98) -- (3.336,5.001) -- (3.256,4.98) -- (3.198,4.921) -- (3.176,4.841) -- (3.198,4.761) -- (3.256,4.702) -- (3.336,4.681) -- (3.416,4.702) -- (3.475,4.761) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.558,2.754) -- (6.536,2.834) -- (6.478,2.892) -- (6.398,2.914) -- (6.318,2.892) -- (6.259,2.834) -- (6.238,2.754) -- (6.259,2.674) -- (6.318,2.615) -- (6.398,2.594) -- (6.478,2.615) -- (6.536,2.674) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.406,1.838) -- (1.384,1.918) -- (1.326,1.977) -- (1.246,1.998) -- (1.166,1.977) -- (1.107,1.918) -- (1.086,1.838) -- (1.107,1.758) -- (1.166,1.7) -- (1.246,1.678) -- (1.326,1.7) -- (1.384,1.758) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.947,6.835) -- (8.901,7.005) -- (8.777,7.129) -- (8.607,7.175) -- (8.437,7.129) -- (8.312,7.005) -- (8.267,6.835) -- (8.312,6.665) -- (8.437,6.54) -- (8.607,6.495) -- (8.777,6.54) -- (8.901,6.665) -- cycle;
\node at (8.607,6.835) {\scalebox{1.582}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.527,4.381) -- (9.481,4.551) -- (9.357,4.676) -- (9.187,4.721) -- (9.017,4.676) -- (8.892,4.551) -- (8.847,4.381) -- (8.892,4.211) -- (9.017,4.087) -- (9.187,4.041) -- (9.357,4.087) -- (9.481,4.211) -- cycle;
\node at (9.187,4.381) {\scalebox{1.582}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.648,6.625) -- (4.603,6.795) -- (4.478,6.919) -- (4.308,6.965) -- (4.138,6.919) -- (4.014,6.795) -- (3.968,6.625) -- (4.014,6.455) -- (4.138,6.33) -- (4.308,6.285) -- (4.478,6.33) -- (4.603,6.455) -- cycle;
\node at (4.308,6.625) {\scalebox{1.582}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.705,5.923) -- (3.659,6.093) -- (3.535,6.217) -- (3.365,6.263) -- (3.195,6.217) -- (3.07,6.093) -- (3.025,5.923) -- (3.07,5.753) -- (3.195,5.628) -- (3.365,5.583) -- (3.535,5.628) -- (3.659,5.753) -- cycle;
\node at (3.365,5.923) {\scalebox{1.582}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.059,5.325) -- (5.013,5.495) -- (4.889,5.619) -- (4.719,5.665) -- (4.549,5.619) -- (4.424,5.495) -- (4.379,5.325) -- (4.424,5.155) -- (4.549,5.03) -- (4.719,4.985) -- (4.889,5.03) -- (5.013,5.155) -- cycle;
\node at (4.719,5.325) {\scalebox{1.582}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.955,4.524) -- (6.91,4.694) -- (6.785,4.818) -- (6.615,4.864) -- (6.445,4.818) -- (6.321,4.694) -- (6.275,4.524) -- (6.321,4.354) -- (6.445,4.229) -- (6.615,4.184) -- (6.785,4.229) -- (6.91,4.354) -- cycle;
\node at (6.615,4.524) {\scalebox{1.582}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.301,3.936) -- (5.256,4.106) -- (5.131,4.23) -- (4.961,4.276) -- (4.791,4.23) -- (4.667,4.106) -- (4.621,3.936) -- (4.667,3.766) -- (4.791,3.641) -- (4.961,3.596) -- (5.131,3.641) -- (5.256,3.766) -- cycle;
\node at (4.961,3.936) {\scalebox{1.582}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.018,3.071) -- (2.972,3.241) -- (2.848,3.365) -- (2.678,3.411) -- (2.508,3.365) -- (2.383,3.241) -- (2.338,3.071) -- (2.383,2.901) -- (2.508,2.776) -- (2.678,2.731) -- (2.848,2.776) -- (2.972,2.901) -- cycle;
\node at (2.678,3.071) {\scalebox{1.582}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.18,2.193) -- (4.134,2.363) -- (4.01,2.488) -- (3.84,2.533) -- (3.67,2.488) -- (3.546,2.363) -- (3.5,2.193) -- (3.546,2.023) -- (3.67,1.899) -- (3.84,1.853) -- (4.01,1.899) -- (4.134,2.023) -- cycle;
\node at (3.84,2.193) {\scalebox{1.582}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.098,2.454) -- (6.698,2.454) -- (6.698,3.054) -- (6.098,3.054) -- cycle;
\node at (6.398,2.754) {\scalebox{1.582}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.753,1.899) -- (2.353,1.899) -- (2.353,2.499) -- (1.753,2.499) -- cycle;
\node at (2.053,2.199) {\scalebox{1.582}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.161,0.65) -- (3.761,0.65) -- (3.761,1.25) -- (3.161,1.25) -- cycle;
\node at (3.461,0.95) {\scalebox{1.582}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.357,6.3) -- (2.957,6.3) -- (2.957,6.9) -- (2.357,6.9) -- cycle;
\node at (2.657,6.6) {\scalebox{1.582}{\small d}};
\node at (11.814,7.929) {\scalebox{1.582}{\small A}};
\node at (2.128,7.077) {\scalebox{1.582}{\small B}};
\node at (6.265,6.678) {\scalebox{1.582}{\small C}};
\node at (2.719,4.786) {\scalebox{1.582}{\small D}};
\node at (6.702,2.214) {\scalebox{1.582}{\small E}};
\node at (0.765,1.447) {\scalebox{1.582}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.546,6.73) -- (12.546,7.83);
\draw[line width=0.5pt] (12.315,7.445) -- (12.546,7.83) -- (12.777,7.445);
\draw[line width=0.5pt] (12.243,7.28) -- (12.848,7.28);
\node at (12.546,8.215) {\scalebox{1.582}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 4 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Poste \textbf{(E)}, prend la \textbf{rue Neuve ②} vers le nord-est et atteint Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ①}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Lilas ③}, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑤}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑥}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑨}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
