\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 311}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=311}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0311}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7104, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.17,8.552) -- (1.307,8.213) -- (1.452,7.877) -- (1.604,7.544) -- (1.765,7.215) -- (1.933,6.89) -- (2.109,6.568) -- (2.293,6.251) -- (2.483,5.939) -- (2.682,5.631) -- (2.887,5.327) -- (3.099,5.029) -- (3.318,4.736) -- (3.544,4.448) -- (3.777,4.166);
\draw[line width=0.5pt] (1.17,8.552) -- (1.272,8.103) -- (1.364,7.651) -- (1.445,7.197) -- (1.515,6.741) -- (1.574,6.283) -- (1.622,5.824) -- (1.66,5.364) -- (1.687,4.904) -- (1.703,4.443) -- (1.709,3.981) -- (1.703,3.52) -- (1.687,3.059) -- (1.659,2.599) -- (1.621,2.14);
\draw[line width=0.5pt] (4.848,7.503) -- (4.735,7.278) -- (4.628,7.051) -- (4.527,6.821) -- (4.43,6.589) -- (4.34,6.354) -- (4.254,6.117) -- (4.175,5.879) -- (4.101,5.638) -- (4.032,5.396) -- (3.97,5.152) -- (3.913,4.907) -- (3.862,4.661) -- (3.816,4.414) -- (3.777,4.166);
\draw[line width=0.5pt] (4.848,7.503) -- (5.074,7.34) -- (5.297,7.171) -- (5.516,6.997) -- (5.731,6.818) -- (5.941,6.634) -- (6.147,6.445) -- (6.349,6.251) -- (6.546,6.052) -- (6.738,5.849) -- (6.926,5.641) -- (7.108,5.429) -- (7.285,5.213) -- (7.458,4.993) -- (7.624,4.769) -- (7.852,4.576) -- (8.084,4.389) -- (8.321,4.207) -- (8.561,4.031) -- (8.806,3.861) -- (9.055,3.696) -- (9.308,3.538) -- (9.564,3.385) -- (9.824,3.238) -- (10.087,3.098) -- (10.354,2.963) -- (10.623,2.835) -- (10.895,2.714) -- (11.17,2.599);
\draw[line width=0.5pt] (4.848,7.503) -- (4.818,7.128) -- (4.796,6.752) -- (4.784,6.376) -- (4.781,5.999) -- (4.786,5.622) -- (4.801,5.245) -- (4.824,4.869) -- (4.856,4.494) -- (4.897,4.119) -- (4.946,3.745) -- (5.005,3.373) -- (5.072,3.003) -- (5.148,2.634) -- (5.232,2.267);
\draw[line width=0.5pt] (3.777,4.166) -- (3.901,4.047) -- (4.022,3.925) -- (4.14,3.801) -- (4.255,3.674) -- (4.368,3.544) -- (4.477,3.411) -- (4.583,3.276) -- (4.686,3.139) -- (4.785,2.999) -- (4.882,2.857) -- (4.974,2.712) -- (5.064,2.566) -- (5.15,2.417) -- (5.232,2.267);
\draw[line width=0.5pt] (3.777,4.166) -- (3.602,4.046) -- (3.43,3.922) -- (3.261,3.793) -- (3.095,3.661) -- (2.932,3.525) -- (2.772,3.385) -- (2.616,3.242) -- (2.462,3.094) -- (2.313,2.944) -- (2.167,2.789) -- (2.025,2.632) -- (1.886,2.471) -- (1.752,2.307) -- (1.621,2.14);
\draw[line width=0.5pt] (11.17,2.599) -- (10.753,2.51) -- (10.334,2.432) -- (9.913,2.363) -- (9.49,2.304) -- (9.066,2.256) -- (8.641,2.217) -- (8.215,2.188) -- (7.788,2.169) -- (7.362,2.16) -- (6.935,2.162) -- (6.508,2.173) -- (6.082,2.194) -- (5.657,2.225) -- (5.232,2.267);
\draw[line width=0.5pt] (5.232,2.267) -- (4.975,2.297) -- (4.717,2.322) -- (4.458,2.34) -- (4.199,2.352) -- (3.94,2.358) -- (3.681,2.358) -- (3.421,2.352) -- (3.162,2.34) -- (2.904,2.322) -- (2.645,2.298) -- (2.388,2.267) -- (2.131,2.231) -- (1.876,2.188) -- (1.621,2.14);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.33,8.552) -- (1.309,8.632) -- (1.25,8.691) -- (1.17,8.712) -- (1.09,8.691) -- (1.032,8.632) -- (1.01,8.552) -- (1.032,8.472) -- (1.09,8.413) -- (1.17,8.392) -- (1.25,8.413) -- (1.309,8.472) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.008,7.503) -- (4.986,7.583) -- (4.928,7.642) -- (4.848,7.663) -- (4.768,7.642) -- (4.709,7.583) -- (4.688,7.503) -- (4.709,7.423) -- (4.768,7.365) -- (4.848,7.343) -- (4.928,7.365) -- (4.986,7.423) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.937,4.166) -- (3.916,4.246) -- (3.857,4.304) -- (3.777,4.326) -- (3.697,4.304) -- (3.638,4.246) -- (3.617,4.166) -- (3.638,4.086) -- (3.697,4.027) -- (3.777,4.006) -- (3.857,4.027) -- (3.916,4.086) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.33,2.599) -- (11.309,2.679) -- (11.25,2.738) -- (11.17,2.759) -- (11.09,2.738) -- (11.032,2.679) -- (11.01,2.599) -- (11.032,2.519) -- (11.09,2.46) -- (11.17,2.439) -- (11.25,2.46) -- (11.309,2.519) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.392,2.267) -- (5.371,2.347) -- (5.312,2.405) -- (5.232,2.427) -- (5.152,2.405) -- (5.094,2.347) -- (5.072,2.267) -- (5.094,2.187) -- (5.152,2.128) -- (5.232,2.107) -- (5.312,2.128) -- (5.371,2.187) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.781,2.14) -- (1.76,2.22) -- (1.701,2.278) -- (1.621,2.3) -- (1.541,2.278) -- (1.483,2.22) -- (1.461,2.14) -- (1.483,2.06) -- (1.541,2.001) -- (1.621,1.98) -- (1.701,2.001) -- (1.76,2.06) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.908,6.415) -- (2.862,6.585) -- (2.738,6.709) -- (2.568,6.755) -- (2.398,6.709) -- (2.273,6.585) -- (2.228,6.415) -- (2.273,6.245) -- (2.398,6.12) -- (2.568,6.075) -- (2.738,6.12) -- (2.862,6.245) -- cycle;
\node at (2.568,6.415) {\scalebox{1.408}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.319,5.387) -- (2.274,5.557) -- (2.149,5.681) -- (1.979,5.727) -- (1.809,5.681) -- (1.685,5.557) -- (1.639,5.387) -- (1.685,5.217) -- (1.809,5.092) -- (1.979,5.047) -- (2.149,5.092) -- (2.274,5.217) -- cycle;
\node at (1.979,5.387) {\scalebox{1.408}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.819,5.781) -- (4.774,5.951) -- (4.649,6.075) -- (4.479,6.121) -- (4.309,6.075) -- (4.185,5.951) -- (4.139,5.781) -- (4.185,5.611) -- (4.309,5.486) -- (4.479,5.441) -- (4.649,5.486) -- (4.774,5.611) -- cycle;
\node at (4.479,5.781) {\scalebox{1.408}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.197,4.989) -- (8.151,5.159) -- (8.027,5.283) -- (7.857,5.329) -- (7.687,5.283) -- (7.562,5.159) -- (7.517,4.989) -- (7.562,4.819) -- (7.687,4.694) -- (7.857,4.649) -- (8.027,4.694) -- (8.151,4.819) -- cycle;
\node at (7.857,4.989) {\scalebox{1.408}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.483,4.893) -- (5.437,5.063) -- (5.313,5.187) -- (5.143,5.233) -- (4.973,5.187) -- (4.849,5.063) -- (4.803,4.893) -- (4.849,4.723) -- (4.973,4.598) -- (5.143,4.553) -- (5.313,4.598) -- (5.437,4.723) -- cycle;
\node at (5.143,4.893) {\scalebox{1.408}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.177,3.471) -- (5.131,3.641) -- (5.007,3.765) -- (4.837,3.811) -- (4.667,3.765) -- (4.542,3.641) -- (4.497,3.471) -- (4.542,3.301) -- (4.667,3.177) -- (4.837,3.131) -- (5.007,3.177) -- (5.131,3.301) -- cycle;
\node at (4.837,3.471) {\scalebox{1.408}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.175,3.008) -- (3.129,3.178) -- (3.005,3.303) -- (2.835,3.348) -- (2.665,3.303) -- (2.54,3.178) -- (2.495,3.008) -- (2.54,2.838) -- (2.665,2.714) -- (2.835,2.668) -- (3.005,2.714) -- (3.129,2.838) -- cycle;
\node at (2.835,3.008) {\scalebox{1.408}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.573,1.868) -- (8.527,2.038) -- (8.403,2.163) -- (8.233,2.208) -- (8.063,2.163) -- (7.938,2.038) -- (7.893,1.868) -- (7.938,1.698) -- (8.063,1.574) -- (8.233,1.528) -- (8.403,1.574) -- (8.527,1.698) -- cycle;
\node at (8.233,1.868) {\scalebox{1.408}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.773,2.032) -- (3.727,2.202) -- (3.603,2.327) -- (3.433,2.372) -- (3.263,2.327) -- (3.138,2.202) -- (3.093,2.032) -- (3.138,1.862) -- (3.263,1.738) -- (3.433,1.692) -- (3.603,1.738) -- (3.727,1.862) -- cycle;
\node at (3.433,2.032) {\scalebox{1.408}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.548,7.203) -- (5.148,7.203) -- (5.148,7.803) -- (4.548,7.803) -- cycle;
\node at (4.848,7.503) {\scalebox{1.408}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.054,5.105) -- (6.654,5.105) -- (6.654,5.705) -- (6.054,5.705) -- cycle;
\node at (6.354,5.405) {\scalebox{1.408}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (8.803,0.65) -- (9.403,0.65) -- (9.403,1.25) -- (8.803,1.25) -- cycle;
\node at (9.103,0.95) {\scalebox{1.408}{\small c}};
\node at (0.765,9.021) {\scalebox{1.408}{\small A}};
\node at (4.892,8.122) {\scalebox{1.408}{\small B}};
\node at (3.208,3.919) {\scalebox{1.408}{\small C}};
\node at (11.765,2.423) {\scalebox{1.408}{\small D}};
\node at (5.389,1.667) {\scalebox{1.408}{\small E}};
\node at (1.136,1.754) {\scalebox{1.408}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.47,7.602) -- (12.47,8.702);
\draw[line width=0.5pt] (12.239,8.317) -- (12.47,8.702) -- (12.701,8.317);
\draw[line width=0.5pt] (12.168,8.152) -- (12.773,8.152);
\node at (12.47,9.087) {\scalebox{1.408}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① sentier des Prés & ⑥ passage du Marché & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin Creux & ⑦ rue du Moulin & Ⓑ Carrefour des Tilleuls & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue du Pont & ⑧ chemin des Vignes & Ⓒ Rond-point de la Poste & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ quai aux Fleurs & ⑨ rue Verte & Ⓓ Placette des Ormes &  \\ \hline
⑤ allée des Tilleuls &  & Ⓔ Rond-point du Pont &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6356, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.17,8.552) -- (1.307,8.213) -- (1.452,7.877) -- (1.604,7.544) -- (1.765,7.215) -- (1.933,6.89) -- (2.109,6.568) -- (2.293,6.251) -- (2.483,5.939) -- (2.682,5.631) -- (2.887,5.327) -- (3.099,5.029) -- (3.318,4.736) -- (3.544,4.448) -- (3.777,4.166);
\draw[line width=0.5pt] (1.17,8.552) -- (1.272,8.103) -- (1.364,7.651) -- (1.445,7.197) -- (1.515,6.741) -- (1.574,6.283) -- (1.622,5.824) -- (1.66,5.364) -- (1.687,4.904) -- (1.703,4.443) -- (1.709,3.981) -- (1.703,3.52) -- (1.687,3.059) -- (1.659,2.599) -- (1.621,2.14);
\draw[line width=0.5pt] (4.848,7.503) -- (4.735,7.278) -- (4.628,7.051) -- (4.527,6.821) -- (4.43,6.589) -- (4.34,6.354) -- (4.254,6.117) -- (4.175,5.879) -- (4.101,5.638) -- (4.032,5.396) -- (3.97,5.152) -- (3.913,4.907) -- (3.862,4.661) -- (3.816,4.414) -- (3.777,4.166);
\draw[line width=0.5pt] (4.848,7.503) -- (5.074,7.34) -- (5.297,7.171) -- (5.516,6.997) -- (5.731,6.818) -- (5.941,6.634) -- (6.147,6.445) -- (6.349,6.251) -- (6.546,6.052) -- (6.738,5.849) -- (6.926,5.641) -- (7.108,5.429) -- (7.285,5.213) -- (7.458,4.993) -- (7.624,4.769) -- (7.852,4.576) -- (8.084,4.389) -- (8.321,4.207) -- (8.561,4.031) -- (8.806,3.861) -- (9.055,3.696) -- (9.308,3.538) -- (9.564,3.385) -- (9.824,3.238) -- (10.087,3.098) -- (10.354,2.963) -- (10.623,2.835) -- (10.895,2.714) -- (11.17,2.599);
\draw[line width=0.5pt] (4.848,7.503) -- (4.818,7.128) -- (4.796,6.752) -- (4.784,6.376) -- (4.781,5.999) -- (4.786,5.622) -- (4.801,5.245) -- (4.824,4.869) -- (4.856,4.494) -- (4.897,4.119) -- (4.946,3.745) -- (5.005,3.373) -- (5.072,3.003) -- (5.148,2.634) -- (5.232,2.267);
\draw[line width=0.5pt] (3.777,4.166) -- (3.901,4.047) -- (4.022,3.925) -- (4.14,3.801) -- (4.255,3.674) -- (4.368,3.544) -- (4.477,3.411) -- (4.583,3.276) -- (4.686,3.139) -- (4.785,2.999) -- (4.882,2.857) -- (4.974,2.712) -- (5.064,2.566) -- (5.15,2.417) -- (5.232,2.267);
\draw[line width=0.5pt] (3.777,4.166) -- (3.602,4.046) -- (3.43,3.922) -- (3.261,3.793) -- (3.095,3.661) -- (2.932,3.525) -- (2.772,3.385) -- (2.616,3.242) -- (2.462,3.094) -- (2.313,2.944) -- (2.167,2.789) -- (2.025,2.632) -- (1.886,2.471) -- (1.752,2.307) -- (1.621,2.14);
\draw[line width=0.5pt] (11.17,2.599) -- (10.753,2.51) -- (10.334,2.432) -- (9.913,2.363) -- (9.49,2.304) -- (9.066,2.256) -- (8.641,2.217) -- (8.215,2.188) -- (7.788,2.169) -- (7.362,2.16) -- (6.935,2.162) -- (6.508,2.173) -- (6.082,2.194) -- (5.657,2.225) -- (5.232,2.267);
\draw[line width=0.5pt] (5.232,2.267) -- (4.975,2.297) -- (4.717,2.322) -- (4.458,2.34) -- (4.199,2.352) -- (3.94,2.358) -- (3.681,2.358) -- (3.421,2.352) -- (3.162,2.34) -- (2.904,2.322) -- (2.645,2.298) -- (2.388,2.267) -- (2.131,2.231) -- (1.876,2.188) -- (1.621,2.14);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.33,8.552) -- (1.309,8.632) -- (1.25,8.691) -- (1.17,8.712) -- (1.09,8.691) -- (1.032,8.632) -- (1.01,8.552) -- (1.032,8.472) -- (1.09,8.413) -- (1.17,8.392) -- (1.25,8.413) -- (1.309,8.472) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.008,7.503) -- (4.986,7.583) -- (4.928,7.642) -- (4.848,7.663) -- (4.768,7.642) -- (4.709,7.583) -- (4.688,7.503) -- (4.709,7.423) -- (4.768,7.365) -- (4.848,7.343) -- (4.928,7.365) -- (4.986,7.423) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.937,4.166) -- (3.916,4.246) -- (3.857,4.304) -- (3.777,4.326) -- (3.697,4.304) -- (3.638,4.246) -- (3.617,4.166) -- (3.638,4.086) -- (3.697,4.027) -- (3.777,4.006) -- (3.857,4.027) -- (3.916,4.086) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.33,2.599) -- (11.309,2.679) -- (11.25,2.738) -- (11.17,2.759) -- (11.09,2.738) -- (11.032,2.679) -- (11.01,2.599) -- (11.032,2.519) -- (11.09,2.46) -- (11.17,2.439) -- (11.25,2.46) -- (11.309,2.519) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.392,2.267) -- (5.371,2.347) -- (5.312,2.405) -- (5.232,2.427) -- (5.152,2.405) -- (5.094,2.347) -- (5.072,2.267) -- (5.094,2.187) -- (5.152,2.128) -- (5.232,2.107) -- (5.312,2.128) -- (5.371,2.187) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.781,2.14) -- (1.76,2.22) -- (1.701,2.278) -- (1.621,2.3) -- (1.541,2.278) -- (1.483,2.22) -- (1.461,2.14) -- (1.483,2.06) -- (1.541,2.001) -- (1.621,1.98) -- (1.701,2.001) -- (1.76,2.06) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.908,6.415) -- (2.862,6.585) -- (2.738,6.709) -- (2.568,6.755) -- (2.398,6.709) -- (2.273,6.585) -- (2.228,6.415) -- (2.273,6.245) -- (2.398,6.12) -- (2.568,6.075) -- (2.738,6.12) -- (2.862,6.245) -- cycle;
\node at (2.568,6.415) {\scalebox{1.573}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.319,5.387) -- (2.274,5.557) -- (2.149,5.681) -- (1.979,5.727) -- (1.809,5.681) -- (1.685,5.557) -- (1.639,5.387) -- (1.685,5.217) -- (1.809,5.092) -- (1.979,5.047) -- (2.149,5.092) -- (2.274,5.217) -- cycle;
\node at (1.979,5.387) {\scalebox{1.573}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.819,5.781) -- (4.774,5.951) -- (4.649,6.075) -- (4.479,6.121) -- (4.309,6.075) -- (4.185,5.951) -- (4.139,5.781) -- (4.185,5.611) -- (4.309,5.486) -- (4.479,5.441) -- (4.649,5.486) -- (4.774,5.611) -- cycle;
\node at (4.479,5.781) {\scalebox{1.573}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.197,4.989) -- (8.151,5.159) -- (8.027,5.283) -- (7.857,5.329) -- (7.687,5.283) -- (7.562,5.159) -- (7.517,4.989) -- (7.562,4.819) -- (7.687,4.694) -- (7.857,4.649) -- (8.027,4.694) -- (8.151,4.819) -- cycle;
\node at (7.857,4.989) {\scalebox{1.573}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.483,4.893) -- (5.437,5.063) -- (5.313,5.187) -- (5.143,5.233) -- (4.973,5.187) -- (4.849,5.063) -- (4.803,4.893) -- (4.849,4.723) -- (4.973,4.598) -- (5.143,4.553) -- (5.313,4.598) -- (5.437,4.723) -- cycle;
\node at (5.143,4.893) {\scalebox{1.573}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.177,3.471) -- (5.131,3.641) -- (5.007,3.765) -- (4.837,3.811) -- (4.667,3.765) -- (4.542,3.641) -- (4.497,3.471) -- (4.542,3.301) -- (4.667,3.177) -- (4.837,3.131) -- (5.007,3.177) -- (5.131,3.301) -- cycle;
\node at (4.837,3.471) {\scalebox{1.573}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.175,3.008) -- (3.129,3.178) -- (3.005,3.303) -- (2.835,3.348) -- (2.665,3.303) -- (2.54,3.178) -- (2.495,3.008) -- (2.54,2.838) -- (2.665,2.714) -- (2.835,2.668) -- (3.005,2.714) -- (3.129,2.838) -- cycle;
\node at (2.835,3.008) {\scalebox{1.573}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.573,1.868) -- (8.527,2.038) -- (8.403,2.163) -- (8.233,2.208) -- (8.063,2.163) -- (7.938,2.038) -- (7.893,1.868) -- (7.938,1.698) -- (8.063,1.574) -- (8.233,1.528) -- (8.403,1.574) -- (8.527,1.698) -- cycle;
\node at (8.233,1.868) {\scalebox{1.573}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.773,2.032) -- (3.727,2.202) -- (3.603,2.327) -- (3.433,2.372) -- (3.263,2.327) -- (3.138,2.202) -- (3.093,2.032) -- (3.138,1.862) -- (3.263,1.738) -- (3.433,1.692) -- (3.603,1.738) -- (3.727,1.862) -- cycle;
\node at (3.433,2.032) {\scalebox{1.573}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.548,7.203) -- (5.148,7.203) -- (5.148,7.803) -- (4.548,7.803) -- cycle;
\node at (4.848,7.503) {\scalebox{1.573}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.054,5.105) -- (6.654,5.105) -- (6.654,5.705) -- (6.054,5.705) -- cycle;
\node at (6.354,5.405) {\scalebox{1.573}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (8.803,0.65) -- (9.403,0.65) -- (9.403,1.25) -- (8.803,1.25) -- cycle;
\node at (9.103,0.95) {\scalebox{1.573}{\small c}};
\node at (0.765,9.021) {\scalebox{1.573}{\small A}};
\node at (4.892,8.122) {\scalebox{1.573}{\small B}};
\node at (3.208,3.919) {\scalebox{1.573}{\small C}};
\node at (11.765,2.423) {\scalebox{1.573}{\small D}};
\node at (5.389,1.667) {\scalebox{1.573}{\small E}};
\node at (1.136,1.754) {\scalebox{1.573}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.47,7.602) -- (12.47,8.702);
\draw[line width=0.5pt] (12.239,8.317) -- (12.47,8.702) -- (12.701,8.317);
\draw[line width=0.5pt] (12.168,8.152) -- (12.773,8.152);
\node at (12.47,9.087) {\scalebox{1.573}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 4 & 2 & 4 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{F}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{B}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en F}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue du Pont ③} vers le sud et atteint Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ①}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin Creux ②}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑤}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ④}, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Verte ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{F} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
