\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 312}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=312}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0312}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7011, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.972,6.591) -- (10.645,6.582) -- (10.318,6.565) -- (9.992,6.541) -- (9.666,6.509) -- (9.341,6.47) -- (9.017,6.422) -- (8.694,6.367) -- (8.373,6.305) -- (8.053,6.235) -- (7.735,6.158) -- (7.419,6.073) -- (7.105,5.98) -- (6.793,5.881) -- (6.484,5.774);
\draw[line width=0.5pt] (10.972,6.591) -- (11.057,6.218) -- (11.133,5.843) -- (11.2,5.466) -- (11.258,5.088) -- (11.307,4.708) -- (11.348,4.327) -- (11.379,3.946) -- (11.402,3.563) -- (11.415,3.181) -- (11.42,2.798) -- (11.415,2.415) -- (11.402,2.033) -- (11.379,1.651) -- (11.347,1.269);
\draw[line width=0.5pt] (1.347,6.084) -- (1.708,6.006) -- (2.071,5.937) -- (2.435,5.876) -- (2.8,5.823) -- (3.167,5.779) -- (3.534,5.744) -- (3.903,5.717) -- (4.272,5.699) -- (4.641,5.69) -- (5.01,5.689) -- (5.38,5.697) -- (5.748,5.714) -- (6.117,5.74) -- (6.484,5.774);
\draw[line width=0.5pt] (1.347,6.084) -- (1.463,5.915) -- (1.574,5.742) -- (1.681,5.567) -- (1.783,5.389) -- (1.882,5.209) -- (1.976,5.027) -- (2.067,4.842) -- (2.152,4.656) -- (2.234,4.467) -- (2.31,4.277) -- (2.383,4.085) -- (2.451,3.891) -- (2.514,3.696) -- (2.572,3.499);
\draw[line width=0.5pt] (6.484,5.774) -- (6.182,5.655) -- (5.883,5.53) -- (5.586,5.397) -- (5.293,5.258) -- (5.003,5.111) -- (4.717,4.958) -- (4.434,4.798) -- (4.155,4.631) -- (3.881,4.458) -- (3.61,4.279) -- (3.344,4.093) -- (3.082,3.901) -- (2.825,3.703) -- (2.572,3.499);
\draw[line width=0.5pt] (6.484,5.774) -- (6.469,5.514) -- (6.447,5.254) -- (6.42,4.994) -- (6.386,4.736) -- (6.347,4.478) -- (6.301,4.221) -- (6.249,3.965) -- (6.191,3.711) -- (6.127,3.458) -- (6.058,3.206) -- (5.982,2.956) -- (5.901,2.709) -- (5.814,2.463) -- (5.721,2.219);
\draw[line width=0.5pt] (6.484,5.774) -- (6.629,5.634) -- (6.777,5.498) -- (6.928,5.365) -- (7.083,5.236) -- (7.24,5.111) -- (7.401,4.989) -- (7.564,4.871) -- (7.73,4.757) -- (7.898,4.646) -- (8.069,4.54) -- (8.243,4.438) -- (8.419,4.34) -- (8.597,4.246) -- (8.777,4.157) -- (8.991,3.98) -- (9.2,3.799) -- (9.406,3.612) -- (9.606,3.421) -- (9.803,3.225) -- (9.994,3.024) -- (10.181,2.819) -- (10.363,2.61) -- (10.541,2.396) -- (10.713,2.178) -- (10.879,1.957) -- (11.041,1.731) -- (11.197,1.502) -- (11.347,1.269);
\draw[line width=0.5pt] (2.572,3.499) -- (2.809,3.443) -- (3.045,3.381) -- (3.279,3.314) -- (3.512,3.241) -- (3.743,3.162) -- (3.972,3.078) -- (4.199,2.989) -- (4.424,2.895) -- (4.647,2.795) -- (4.867,2.69) -- (5.085,2.58) -- (5.3,2.465) -- (5.512,2.345) -- (5.721,2.219);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.132,6.591) -- (11.11,6.671) -- (11.052,6.729) -- (10.972,6.751) -- (10.892,6.729) -- (10.833,6.671) -- (10.812,6.591) -- (10.833,6.511) -- (10.892,6.452) -- (10.972,6.431) -- (11.052,6.452) -- (11.11,6.511) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.507,6.084) -- (1.486,6.164) -- (1.427,6.223) -- (1.347,6.244) -- (1.267,6.223) -- (1.209,6.164) -- (1.187,6.084) -- (1.209,6.004) -- (1.267,5.946) -- (1.347,5.924) -- (1.427,5.946) -- (1.486,6.004) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.644,5.774) -- (6.623,5.854) -- (6.564,5.912) -- (6.484,5.934) -- (6.404,5.912) -- (6.345,5.854) -- (6.324,5.774) -- (6.345,5.694) -- (6.404,5.635) -- (6.484,5.614) -- (6.564,5.635) -- (6.623,5.694) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.732,3.499) -- (2.711,3.579) -- (2.652,3.638) -- (2.572,3.659) -- (2.492,3.638) -- (2.434,3.579) -- (2.412,3.499) -- (2.434,3.419) -- (2.492,3.36) -- (2.572,3.339) -- (2.652,3.36) -- (2.711,3.419) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.881,2.219) -- (5.859,2.299) -- (5.801,2.358) -- (5.721,2.379) -- (5.641,2.358) -- (5.582,2.299) -- (5.561,2.219) -- (5.582,2.139) -- (5.641,2.081) -- (5.721,2.059) -- (5.801,2.081) -- (5.859,2.139) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.507,1.269) -- (11.486,1.349) -- (11.427,1.408) -- (11.347,1.429) -- (11.267,1.408) -- (11.209,1.349) -- (11.187,1.269) -- (11.209,1.189) -- (11.267,1.131) -- (11.347,1.109) -- (11.427,1.131) -- (11.486,1.189) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.092,6.053) -- (9.046,6.223) -- (8.922,6.347) -- (8.752,6.393) -- (8.582,6.347) -- (8.457,6.223) -- (8.412,6.053) -- (8.457,5.883) -- (8.582,5.758) -- (8.752,5.713) -- (8.922,5.758) -- (9.046,5.883) -- cycle;
\node at (8.752,6.053) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.038,3.968) -- (11.993,4.138) -- (11.868,4.263) -- (11.698,4.308) -- (11.528,4.263) -- (11.404,4.138) -- (11.358,3.968) -- (11.404,3.798) -- (11.528,3.674) -- (11.698,3.628) -- (11.868,3.674) -- (11.993,3.798) -- cycle;
\node at (11.698,3.968) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.262,6.037) -- (4.217,6.207) -- (4.092,6.331) -- (3.922,6.377) -- (3.752,6.331) -- (3.628,6.207) -- (3.582,6.037) -- (3.628,5.867) -- (3.752,5.742) -- (3.922,5.697) -- (4.092,5.742) -- (4.217,5.867) -- cycle;
\node at (3.922,6.037) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.696,4.979) -- (2.65,5.149) -- (2.526,5.274) -- (2.356,5.319) -- (2.186,5.274) -- (2.061,5.149) -- (2.016,4.979) -- (2.061,4.809) -- (2.186,4.685) -- (2.356,4.639) -- (2.526,4.685) -- (2.65,4.809) -- cycle;
\node at (2.356,4.979) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.935,4.521) -- (4.89,4.691) -- (4.765,4.816) -- (4.595,4.861) -- (4.425,4.816) -- (4.301,4.691) -- (4.255,4.521) -- (4.301,4.351) -- (4.425,4.227) -- (4.595,4.181) -- (4.765,4.227) -- (4.89,4.351) -- cycle;
\node at (4.595,4.521) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.902,3.898) -- (6.856,4.068) -- (6.732,4.192) -- (6.562,4.238) -- (6.392,4.192) -- (6.267,4.068) -- (6.222,3.898) -- (6.267,3.728) -- (6.392,3.603) -- (6.562,3.558) -- (6.732,3.603) -- (6.856,3.728) -- cycle;
\node at (6.562,3.898) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.296,4.422) -- (9.251,4.592) -- (9.126,4.717) -- (8.956,4.762) -- (8.786,4.717) -- (8.662,4.592) -- (8.616,4.422) -- (8.662,4.252) -- (8.786,4.128) -- (8.956,4.082) -- (9.126,4.128) -- (9.251,4.252) -- cycle;
\node at (8.956,4.422) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.66,3.286) -- (4.614,3.456) -- (4.49,3.58) -- (4.32,3.626) -- (4.15,3.58) -- (4.025,3.456) -- (3.98,3.286) -- (4.025,3.116) -- (4.15,2.991) -- (4.32,2.946) -- (4.49,2.991) -- (4.614,3.116) -- cycle;
\node at (4.32,3.286) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.184,5.474) -- (6.784,5.474) -- (6.784,6.074) -- (6.184,6.074) -- cycle;
\node at (6.484,5.774) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.075,2.817) -- (3.675,2.817) -- (3.675,3.417) -- (3.075,3.417) -- cycle;
\node at (3.375,3.117) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.254,2.761) -- (7.854,2.761) -- (7.854,3.361) -- (7.254,3.361) -- cycle;
\node at (7.554,3.061) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.409,6.136) -- (10.009,6.136) -- (10.009,6.736) -- (9.409,6.736) -- cycle;
\node at (9.709,6.436) {\scalebox{1.426}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.312,4.076) -- (3.912,4.076) -- (3.912,4.676) -- (3.312,4.676) -- cycle;
\node at (3.612,4.376) {\scalebox{1.426}{\small e}};
\node at (11.523,6.875) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (0.765,6.297) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (6.515,6.393) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (1.963,3.381) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (5.521,1.632) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (11.879,0.95) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.647,5.641) -- (12.647,6.741);
\draw[line width=0.5pt] (12.416,6.356) -- (12.647,6.741) -- (12.878,6.356);
\draw[line width=0.5pt] (12.345,6.191) -- (12.95,6.191);
\node at (12.647,7.126) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Écoles & ⑤ chemin des Vignes & Ⓐ Place du Marché & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Poste & ⑥ rue du Four & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue Basse & ⑦ boulevard du Parc & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue des Jardins & ⑧ rue du Pont & Ⓓ Carrefour Saint-Roch & \textbf{d} le stade \\ \hline
 &  & Ⓔ Place de l'Église & \textbf{e} le cimetière \\ \hline
 &  & Ⓕ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6273, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.972,6.591) -- (10.645,6.582) -- (10.318,6.565) -- (9.992,6.541) -- (9.666,6.509) -- (9.341,6.47) -- (9.017,6.422) -- (8.694,6.367) -- (8.373,6.305) -- (8.053,6.235) -- (7.735,6.158) -- (7.419,6.073) -- (7.105,5.98) -- (6.793,5.881) -- (6.484,5.774);
\draw[line width=0.5pt] (10.972,6.591) -- (11.057,6.218) -- (11.133,5.843) -- (11.2,5.466) -- (11.258,5.088) -- (11.307,4.708) -- (11.348,4.327) -- (11.379,3.946) -- (11.402,3.563) -- (11.415,3.181) -- (11.42,2.798) -- (11.415,2.415) -- (11.402,2.033) -- (11.379,1.651) -- (11.347,1.269);
\draw[line width=0.5pt] (1.347,6.084) -- (1.708,6.006) -- (2.071,5.937) -- (2.435,5.876) -- (2.8,5.823) -- (3.167,5.779) -- (3.534,5.744) -- (3.903,5.717) -- (4.272,5.699) -- (4.641,5.69) -- (5.01,5.689) -- (5.38,5.697) -- (5.748,5.714) -- (6.117,5.74) -- (6.484,5.774);
\draw[line width=0.5pt] (1.347,6.084) -- (1.463,5.915) -- (1.574,5.742) -- (1.681,5.567) -- (1.783,5.389) -- (1.882,5.209) -- (1.976,5.027) -- (2.067,4.842) -- (2.152,4.656) -- (2.234,4.467) -- (2.31,4.277) -- (2.383,4.085) -- (2.451,3.891) -- (2.514,3.696) -- (2.572,3.499);
\draw[line width=0.5pt] (6.484,5.774) -- (6.182,5.655) -- (5.883,5.53) -- (5.586,5.397) -- (5.293,5.258) -- (5.003,5.111) -- (4.717,4.958) -- (4.434,4.798) -- (4.155,4.631) -- (3.881,4.458) -- (3.61,4.279) -- (3.344,4.093) -- (3.082,3.901) -- (2.825,3.703) -- (2.572,3.499);
\draw[line width=0.5pt] (6.484,5.774) -- (6.469,5.514) -- (6.447,5.254) -- (6.42,4.994) -- (6.386,4.736) -- (6.347,4.478) -- (6.301,4.221) -- (6.249,3.965) -- (6.191,3.711) -- (6.127,3.458) -- (6.058,3.206) -- (5.982,2.956) -- (5.901,2.709) -- (5.814,2.463) -- (5.721,2.219);
\draw[line width=0.5pt] (6.484,5.774) -- (6.629,5.634) -- (6.777,5.498) -- (6.928,5.365) -- (7.083,5.236) -- (7.24,5.111) -- (7.401,4.989) -- (7.564,4.871) -- (7.73,4.757) -- (7.898,4.646) -- (8.069,4.54) -- (8.243,4.438) -- (8.419,4.34) -- (8.597,4.246) -- (8.777,4.157) -- (8.991,3.98) -- (9.2,3.799) -- (9.406,3.612) -- (9.606,3.421) -- (9.803,3.225) -- (9.994,3.024) -- (10.181,2.819) -- (10.363,2.61) -- (10.541,2.396) -- (10.713,2.178) -- (10.879,1.957) -- (11.041,1.731) -- (11.197,1.502) -- (11.347,1.269);
\draw[line width=0.5pt] (2.572,3.499) -- (2.809,3.443) -- (3.045,3.381) -- (3.279,3.314) -- (3.512,3.241) -- (3.743,3.162) -- (3.972,3.078) -- (4.199,2.989) -- (4.424,2.895) -- (4.647,2.795) -- (4.867,2.69) -- (5.085,2.58) -- (5.3,2.465) -- (5.512,2.345) -- (5.721,2.219);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.132,6.591) -- (11.11,6.671) -- (11.052,6.729) -- (10.972,6.751) -- (10.892,6.729) -- (10.833,6.671) -- (10.812,6.591) -- (10.833,6.511) -- (10.892,6.452) -- (10.972,6.431) -- (11.052,6.452) -- (11.11,6.511) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.507,6.084) -- (1.486,6.164) -- (1.427,6.223) -- (1.347,6.244) -- (1.267,6.223) -- (1.209,6.164) -- (1.187,6.084) -- (1.209,6.004) -- (1.267,5.946) -- (1.347,5.924) -- (1.427,5.946) -- (1.486,6.004) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.644,5.774) -- (6.623,5.854) -- (6.564,5.912) -- (6.484,5.934) -- (6.404,5.912) -- (6.345,5.854) -- (6.324,5.774) -- (6.345,5.694) -- (6.404,5.635) -- (6.484,5.614) -- (6.564,5.635) -- (6.623,5.694) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.732,3.499) -- (2.711,3.579) -- (2.652,3.638) -- (2.572,3.659) -- (2.492,3.638) -- (2.434,3.579) -- (2.412,3.499) -- (2.434,3.419) -- (2.492,3.36) -- (2.572,3.339) -- (2.652,3.36) -- (2.711,3.419) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.881,2.219) -- (5.859,2.299) -- (5.801,2.358) -- (5.721,2.379) -- (5.641,2.358) -- (5.582,2.299) -- (5.561,2.219) -- (5.582,2.139) -- (5.641,2.081) -- (5.721,2.059) -- (5.801,2.081) -- (5.859,2.139) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.507,1.269) -- (11.486,1.349) -- (11.427,1.408) -- (11.347,1.429) -- (11.267,1.408) -- (11.209,1.349) -- (11.187,1.269) -- (11.209,1.189) -- (11.267,1.131) -- (11.347,1.109) -- (11.427,1.131) -- (11.486,1.189) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.092,6.053) -- (9.046,6.223) -- (8.922,6.347) -- (8.752,6.393) -- (8.582,6.347) -- (8.457,6.223) -- (8.412,6.053) -- (8.457,5.883) -- (8.582,5.758) -- (8.752,5.713) -- (8.922,5.758) -- (9.046,5.883) -- cycle;
\node at (8.752,6.053) {\scalebox{1.594}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.038,3.968) -- (11.993,4.138) -- (11.868,4.263) -- (11.698,4.308) -- (11.528,4.263) -- (11.404,4.138) -- (11.358,3.968) -- (11.404,3.798) -- (11.528,3.674) -- (11.698,3.628) -- (11.868,3.674) -- (11.993,3.798) -- cycle;
\node at (11.698,3.968) {\scalebox{1.594}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.262,6.037) -- (4.217,6.207) -- (4.092,6.331) -- (3.922,6.377) -- (3.752,6.331) -- (3.628,6.207) -- (3.582,6.037) -- (3.628,5.867) -- (3.752,5.742) -- (3.922,5.697) -- (4.092,5.742) -- (4.217,5.867) -- cycle;
\node at (3.922,6.037) {\scalebox{1.594}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.696,4.979) -- (2.65,5.149) -- (2.526,5.274) -- (2.356,5.319) -- (2.186,5.274) -- (2.061,5.149) -- (2.016,4.979) -- (2.061,4.809) -- (2.186,4.685) -- (2.356,4.639) -- (2.526,4.685) -- (2.65,4.809) -- cycle;
\node at (2.356,4.979) {\scalebox{1.594}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.935,4.521) -- (4.89,4.691) -- (4.765,4.816) -- (4.595,4.861) -- (4.425,4.816) -- (4.301,4.691) -- (4.255,4.521) -- (4.301,4.351) -- (4.425,4.227) -- (4.595,4.181) -- (4.765,4.227) -- (4.89,4.351) -- cycle;
\node at (4.595,4.521) {\scalebox{1.594}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.902,3.898) -- (6.856,4.068) -- (6.732,4.192) -- (6.562,4.238) -- (6.392,4.192) -- (6.267,4.068) -- (6.222,3.898) -- (6.267,3.728) -- (6.392,3.603) -- (6.562,3.558) -- (6.732,3.603) -- (6.856,3.728) -- cycle;
\node at (6.562,3.898) {\scalebox{1.594}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.296,4.422) -- (9.251,4.592) -- (9.126,4.717) -- (8.956,4.762) -- (8.786,4.717) -- (8.662,4.592) -- (8.616,4.422) -- (8.662,4.252) -- (8.786,4.128) -- (8.956,4.082) -- (9.126,4.128) -- (9.251,4.252) -- cycle;
\node at (8.956,4.422) {\scalebox{1.594}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.66,3.286) -- (4.614,3.456) -- (4.49,3.58) -- (4.32,3.626) -- (4.15,3.58) -- (4.025,3.456) -- (3.98,3.286) -- (4.025,3.116) -- (4.15,2.991) -- (4.32,2.946) -- (4.49,2.991) -- (4.614,3.116) -- cycle;
\node at (4.32,3.286) {\scalebox{1.594}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.184,5.474) -- (6.784,5.474) -- (6.784,6.074) -- (6.184,6.074) -- cycle;
\node at (6.484,5.774) {\scalebox{1.594}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.075,2.817) -- (3.675,2.817) -- (3.675,3.417) -- (3.075,3.417) -- cycle;
\node at (3.375,3.117) {\scalebox{1.594}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.254,2.761) -- (7.854,2.761) -- (7.854,3.361) -- (7.254,3.361) -- cycle;
\node at (7.554,3.061) {\scalebox{1.594}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.409,6.136) -- (10.009,6.136) -- (10.009,6.736) -- (9.409,6.736) -- cycle;
\node at (9.709,6.436) {\scalebox{1.594}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.312,4.076) -- (3.912,4.076) -- (3.912,4.676) -- (3.312,4.676) -- cycle;
\node at (3.612,4.376) {\scalebox{1.594}{\small e}};
\node at (11.523,6.875) {\scalebox{1.594}{\small A}};
\node at (0.765,6.297) {\scalebox{1.594}{\small B}};
\node at (6.515,6.393) {\scalebox{1.594}{\small C}};
\node at (1.963,3.381) {\scalebox{1.594}{\small D}};
\node at (5.521,1.632) {\scalebox{1.594}{\small E}};
\node at (11.879,0.95) {\scalebox{1.594}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.647,5.641) -- (12.647,6.741);
\draw[line width=0.5pt] (12.416,6.356) -- (12.647,6.741) -- (12.878,6.356);
\draw[line width=0.5pt] (12.345,6.191) -- (12.95,6.191);
\node at (12.647,7.126) {\scalebox{1.594}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 5 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{C}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue des Écoles ①} vers l'est et atteint Place du Marché \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ②}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ③}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ④}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑤}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{C} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
