\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 313}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=313}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0313}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6912, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.449,6.969) -- (6.796,6.906) -- (7.145,6.85) -- (7.494,6.802) -- (7.845,6.763) -- (8.197,6.732) -- (8.549,6.709) -- (8.902,6.695) -- (9.255,6.689) -- (9.608,6.691) -- (9.961,6.701) -- (10.313,6.72) -- (10.665,6.747) -- (11.016,6.782) -- (11.366,6.826);
\draw[line width=0.5pt] (6.449,6.969) -- (6.095,6.88) -- (5.737,6.799) -- (5.378,6.726) -- (5.018,6.662) -- (4.655,6.607) -- (4.292,6.56) -- (3.928,6.521) -- (3.562,6.491) -- (3.196,6.47) -- (2.83,6.457) -- (2.464,6.453) -- (2.098,6.457) -- (1.732,6.47) -- (1.366,6.492);
\draw[line width=0.5pt] (6.449,6.969) -- (6.669,6.817) -- (6.892,6.669) -- (7.119,6.527) -- (7.349,6.39) -- (7.582,6.259) -- (7.819,6.133) -- (8.058,6.012) -- (8.3,5.898) -- (8.545,5.789) -- (8.792,5.685) -- (9.041,5.588) -- (9.293,5.496) -- (9.546,5.411) -- (9.802,5.332);
\draw[line width=0.5pt] (6.449,6.969) -- (6.569,6.596) -- (6.68,6.219) -- (6.781,5.84) -- (6.874,5.458) -- (6.958,5.074) -- (7.033,4.688) -- (7.099,4.301) -- (7.155,3.912) -- (7.203,3.522) -- (7.241,3.131) -- (7.27,2.74) -- (7.29,2.347) -- (7.3,1.955) -- (7.302,1.562);
\draw[line width=0.5pt] (11.366,6.826) -- (11.239,6.737) -- (11.114,6.646) -- (10.991,6.551) -- (10.87,6.453) -- (10.752,6.353) -- (10.636,6.249) -- (10.522,6.143) -- (10.411,6.035) -- (10.303,5.924) -- (10.197,5.81) -- (10.094,5.694) -- (9.994,5.575) -- (9.896,5.455) -- (9.802,5.332);
\draw[line width=0.5pt] (11.366,6.826) -- (11.369,6.479) -- (11.363,6.132) -- (11.349,5.785) -- (11.327,5.439) -- (11.296,5.093) -- (11.258,4.747) -- (11.211,4.403) -- (11.157,4.06) -- (11.094,3.718) -- (11.023,3.378) -- (10.945,3.04) -- (10.858,2.704) -- (10.764,2.37) -- (10.661,2.038);
\draw[line width=0.5pt] (1.366,6.492) -- (1.581,6.344) -- (1.799,6.201) -- (2.021,6.064) -- (2.246,5.932) -- (2.474,5.805) -- (2.704,5.683) -- (2.938,5.567) -- (3.174,5.456) -- (3.413,5.351) -- (3.655,5.251) -- (3.898,5.158) -- (4.144,5.07) -- (4.391,4.987) -- (4.64,4.911) -- (4.866,4.703) -- (5.086,4.49) -- (5.301,4.271) -- (5.511,4.047) -- (5.716,3.818) -- (5.915,3.585) -- (6.109,3.347) -- (6.297,3.104) -- (6.48,2.857) -- (6.656,2.606) -- (6.827,2.351) -- (6.991,2.092) -- (7.15,1.829) -- (7.302,1.562);
\draw[line width=0.5pt] (9.802,5.332) -- (9.899,5.108) -- (9.99,4.881) -- (10.077,4.653) -- (10.157,4.423) -- (10.233,4.19) -- (10.303,3.956) -- (10.367,3.72) -- (10.426,3.483) -- (10.48,3.245) -- (10.527,3.005) -- (10.569,2.765) -- (10.606,2.523) -- (10.636,2.281) -- (10.661,2.038);
\draw[line width=0.5pt] (10.661,2.038) -- (10.418,2.041) -- (10.175,2.039) -- (9.931,2.03) -- (9.688,2.016) -- (9.446,1.996) -- (9.203,1.97) -- (8.962,1.939) -- (8.721,1.902) -- (8.481,1.859) -- (8.242,1.811) -- (8.005,1.757) -- (7.769,1.698) -- (7.534,1.633) -- (7.302,1.562);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.609,6.969) -- (6.588,7.049) -- (6.529,7.108) -- (6.449,7.129) -- (6.369,7.108) -- (6.311,7.049) -- (6.289,6.969) -- (6.311,6.889) -- (6.369,6.831) -- (6.449,6.809) -- (6.529,6.831) -- (6.588,6.889) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.526,6.826) -- (11.505,6.906) -- (11.446,6.965) -- (11.366,6.986) -- (11.286,6.965) -- (11.228,6.906) -- (11.206,6.826) -- (11.228,6.746) -- (11.286,6.688) -- (11.366,6.666) -- (11.446,6.688) -- (11.505,6.746) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.526,6.492) -- (1.505,6.572) -- (1.446,6.631) -- (1.366,6.652) -- (1.286,6.631) -- (1.228,6.572) -- (1.206,6.492) -- (1.228,6.412) -- (1.286,6.354) -- (1.366,6.332) -- (1.446,6.354) -- (1.505,6.412) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.962,5.332) -- (9.94,5.412) -- (9.882,5.47) -- (9.802,5.492) -- (9.722,5.47) -- (9.663,5.412) -- (9.642,5.332) -- (9.663,5.252) -- (9.722,5.193) -- (9.802,5.172) -- (9.882,5.193) -- (9.94,5.252) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.821,2.038) -- (10.8,2.118) -- (10.741,2.177) -- (10.661,2.198) -- (10.581,2.177) -- (10.523,2.118) -- (10.501,2.038) -- (10.523,1.958) -- (10.581,1.9) -- (10.661,1.878) -- (10.741,1.9) -- (10.8,1.958) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.462,1.562) -- (7.44,1.642) -- (7.382,1.701) -- (7.302,1.722) -- (7.222,1.701) -- (7.163,1.642) -- (7.142,1.562) -- (7.163,1.482) -- (7.222,1.424) -- (7.302,1.402) -- (7.382,1.424) -- (7.44,1.482) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.251,7.015) -- (9.206,7.185) -- (9.081,7.309) -- (8.911,7.355) -- (8.741,7.309) -- (8.617,7.185) -- (8.571,7.015) -- (8.617,6.845) -- (8.741,6.72) -- (8.911,6.675) -- (9.081,6.72) -- (9.206,6.845) -- cycle;
\node at (8.911,7.015) {\scalebox{1.447}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.298,6.203) -- (4.252,6.373) -- (4.128,6.497) -- (3.958,6.543) -- (3.788,6.497) -- (3.663,6.373) -- (3.618,6.203) -- (3.663,6.033) -- (3.788,5.908) -- (3.958,5.863) -- (4.128,5.908) -- (4.252,6.033) -- cycle;
\node at (3.958,6.203) {\scalebox{1.447}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.539,6.3) -- (8.493,6.47) -- (8.369,6.594) -- (8.199,6.64) -- (8.029,6.594) -- (7.904,6.47) -- (7.859,6.3) -- (7.904,6.13) -- (8.029,6.005) -- (8.199,5.96) -- (8.369,6.005) -- (8.493,6.13) -- cycle;
\node at (8.199,6.3) {\scalebox{1.447}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.755,4.351) -- (7.709,4.521) -- (7.585,4.645) -- (7.415,4.691) -- (7.245,4.645) -- (7.12,4.521) -- (7.075,4.351) -- (7.12,4.181) -- (7.245,4.056) -- (7.415,4.011) -- (7.585,4.056) -- (7.709,4.181) -- cycle;
\node at (7.415,4.351) {\scalebox{1.447}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.083,5.912) -- (11.038,6.082) -- (10.913,6.206) -- (10.743,6.252) -- (10.573,6.206) -- (10.449,6.082) -- (10.403,5.912) -- (10.449,5.742) -- (10.573,5.618) -- (10.743,5.572) -- (10.913,5.618) -- (11.038,5.742) -- cycle;
\node at (10.743,5.912) {\scalebox{1.447}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.868,4.357) -- (11.822,4.527) -- (11.698,4.651) -- (11.528,4.697) -- (11.358,4.651) -- (11.233,4.527) -- (11.188,4.357) -- (11.233,4.187) -- (11.358,4.062) -- (11.528,4.017) -- (11.698,4.062) -- (11.822,4.187) -- cycle;
\node at (11.528,4.357) {\scalebox{1.447}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.145,5.186) -- (5.099,5.356) -- (4.975,5.48) -- (4.805,5.526) -- (4.635,5.48) -- (4.51,5.356) -- (4.465,5.186) -- (4.51,5.016) -- (4.635,4.891) -- (4.805,4.846) -- (4.975,4.891) -- (5.099,5.016) -- cycle;
\node at (4.805,5.186) {\scalebox{1.447}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.017,3.801) -- (10.971,3.971) -- (10.847,4.096) -- (10.677,4.141) -- (10.507,4.096) -- (10.382,3.971) -- (10.337,3.801) -- (10.382,3.631) -- (10.507,3.507) -- (10.677,3.461) -- (10.847,3.507) -- (10.971,3.631) -- cycle;
\node at (10.677,3.801) {\scalebox{1.447}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.347,1.622) -- (9.301,1.792) -- (9.177,1.917) -- (9.007,1.962) -- (8.837,1.917) -- (8.712,1.792) -- (8.667,1.622) -- (8.712,1.452) -- (8.837,1.328) -- (9.007,1.282) -- (9.177,1.328) -- (9.301,1.452) -- cycle;
\node at (9.007,1.622) {\scalebox{1.447}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.502,5.032) -- (10.102,5.032) -- (10.102,5.632) -- (9.502,5.632) -- cycle;
\node at (9.802,5.332) {\scalebox{1.447}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.66,5.747) -- (12.26,5.747) -- (12.26,6.347) -- (11.66,6.347) -- cycle;
\node at (11.96,6.047) {\scalebox{1.447}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.545,3.871) -- (13.145,3.871) -- (13.145,4.471) -- (12.545,4.471) -- cycle;
\node at (12.845,4.171) {\scalebox{1.447}{\small c}};
\node at (6.11,7.488) {\scalebox{1.447}{\small A}};
\node at (11.909,7.126) {\scalebox{1.447}{\small B}};
\node at (0.765,6.643) {\scalebox{1.447}{\small C}};
\node at (10.405,5.473) {\scalebox{1.447}{\small D}};
\node at (11.1,1.6) {\scalebox{1.447}{\small E}};
\node at (7.205,0.95) {\scalebox{1.447}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.666,6.019) -- (12.666,7.119);
\draw[line width=0.5pt] (12.435,6.734) -- (12.666,7.119) -- (12.897,6.734);
\draw[line width=0.5pt] (12.364,6.569) -- (12.969,6.569);
\node at (12.666,7.504) {\scalebox{1.447}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Poste & ⑥ rue Haute & Ⓐ Carrefour de la Mairie & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Pasteur & ⑦ venelle du Chat & Ⓑ Rond-point de la Poste & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ rue de la Mairie & ⑧ chemin de Ronde & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue du Four & ⑨ rue du Stade & Ⓓ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑤ rue du Puits &  & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6184, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.449,6.969) -- (6.796,6.906) -- (7.145,6.85) -- (7.494,6.802) -- (7.845,6.763) -- (8.197,6.732) -- (8.549,6.709) -- (8.902,6.695) -- (9.255,6.689) -- (9.608,6.691) -- (9.961,6.701) -- (10.313,6.72) -- (10.665,6.747) -- (11.016,6.782) -- (11.366,6.826);
\draw[line width=0.5pt] (6.449,6.969) -- (6.095,6.88) -- (5.737,6.799) -- (5.378,6.726) -- (5.018,6.662) -- (4.655,6.607) -- (4.292,6.56) -- (3.928,6.521) -- (3.562,6.491) -- (3.196,6.47) -- (2.83,6.457) -- (2.464,6.453) -- (2.098,6.457) -- (1.732,6.47) -- (1.366,6.492);
\draw[line width=0.5pt] (6.449,6.969) -- (6.669,6.817) -- (6.892,6.669) -- (7.119,6.527) -- (7.349,6.39) -- (7.582,6.259) -- (7.819,6.133) -- (8.058,6.012) -- (8.3,5.898) -- (8.545,5.789) -- (8.792,5.685) -- (9.041,5.588) -- (9.293,5.496) -- (9.546,5.411) -- (9.802,5.332);
\draw[line width=0.5pt] (6.449,6.969) -- (6.569,6.596) -- (6.68,6.219) -- (6.781,5.84) -- (6.874,5.458) -- (6.958,5.074) -- (7.033,4.688) -- (7.099,4.301) -- (7.155,3.912) -- (7.203,3.522) -- (7.241,3.131) -- (7.27,2.74) -- (7.29,2.347) -- (7.3,1.955) -- (7.302,1.562);
\draw[line width=0.5pt] (11.366,6.826) -- (11.239,6.737) -- (11.114,6.646) -- (10.991,6.551) -- (10.87,6.453) -- (10.752,6.353) -- (10.636,6.249) -- (10.522,6.143) -- (10.411,6.035) -- (10.303,5.924) -- (10.197,5.81) -- (10.094,5.694) -- (9.994,5.575) -- (9.896,5.455) -- (9.802,5.332);
\draw[line width=0.5pt] (11.366,6.826) -- (11.369,6.479) -- (11.363,6.132) -- (11.349,5.785) -- (11.327,5.439) -- (11.296,5.093) -- (11.258,4.747) -- (11.211,4.403) -- (11.157,4.06) -- (11.094,3.718) -- (11.023,3.378) -- (10.945,3.04) -- (10.858,2.704) -- (10.764,2.37) -- (10.661,2.038);
\draw[line width=0.5pt] (1.366,6.492) -- (1.581,6.344) -- (1.799,6.201) -- (2.021,6.064) -- (2.246,5.932) -- (2.474,5.805) -- (2.704,5.683) -- (2.938,5.567) -- (3.174,5.456) -- (3.413,5.351) -- (3.655,5.251) -- (3.898,5.158) -- (4.144,5.07) -- (4.391,4.987) -- (4.64,4.911) -- (4.866,4.703) -- (5.086,4.49) -- (5.301,4.271) -- (5.511,4.047) -- (5.716,3.818) -- (5.915,3.585) -- (6.109,3.347) -- (6.297,3.104) -- (6.48,2.857) -- (6.656,2.606) -- (6.827,2.351) -- (6.991,2.092) -- (7.15,1.829) -- (7.302,1.562);
\draw[line width=0.5pt] (9.802,5.332) -- (9.899,5.108) -- (9.99,4.881) -- (10.077,4.653) -- (10.157,4.423) -- (10.233,4.19) -- (10.303,3.956) -- (10.367,3.72) -- (10.426,3.483) -- (10.48,3.245) -- (10.527,3.005) -- (10.569,2.765) -- (10.606,2.523) -- (10.636,2.281) -- (10.661,2.038);
\draw[line width=0.5pt] (10.661,2.038) -- (10.418,2.041) -- (10.175,2.039) -- (9.931,2.03) -- (9.688,2.016) -- (9.446,1.996) -- (9.203,1.97) -- (8.962,1.939) -- (8.721,1.902) -- (8.481,1.859) -- (8.242,1.811) -- (8.005,1.757) -- (7.769,1.698) -- (7.534,1.633) -- (7.302,1.562);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.609,6.969) -- (6.588,7.049) -- (6.529,7.108) -- (6.449,7.129) -- (6.369,7.108) -- (6.311,7.049) -- (6.289,6.969) -- (6.311,6.889) -- (6.369,6.831) -- (6.449,6.809) -- (6.529,6.831) -- (6.588,6.889) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.526,6.826) -- (11.505,6.906) -- (11.446,6.965) -- (11.366,6.986) -- (11.286,6.965) -- (11.228,6.906) -- (11.206,6.826) -- (11.228,6.746) -- (11.286,6.688) -- (11.366,6.666) -- (11.446,6.688) -- (11.505,6.746) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.526,6.492) -- (1.505,6.572) -- (1.446,6.631) -- (1.366,6.652) -- (1.286,6.631) -- (1.228,6.572) -- (1.206,6.492) -- (1.228,6.412) -- (1.286,6.354) -- (1.366,6.332) -- (1.446,6.354) -- (1.505,6.412) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.962,5.332) -- (9.94,5.412) -- (9.882,5.47) -- (9.802,5.492) -- (9.722,5.47) -- (9.663,5.412) -- (9.642,5.332) -- (9.663,5.252) -- (9.722,5.193) -- (9.802,5.172) -- (9.882,5.193) -- (9.94,5.252) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.821,2.038) -- (10.8,2.118) -- (10.741,2.177) -- (10.661,2.198) -- (10.581,2.177) -- (10.523,2.118) -- (10.501,2.038) -- (10.523,1.958) -- (10.581,1.9) -- (10.661,1.878) -- (10.741,1.9) -- (10.8,1.958) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.462,1.562) -- (7.44,1.642) -- (7.382,1.701) -- (7.302,1.722) -- (7.222,1.701) -- (7.163,1.642) -- (7.142,1.562) -- (7.163,1.482) -- (7.222,1.424) -- (7.302,1.402) -- (7.382,1.424) -- (7.44,1.482) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.251,7.015) -- (9.206,7.185) -- (9.081,7.309) -- (8.911,7.355) -- (8.741,7.309) -- (8.617,7.185) -- (8.571,7.015) -- (8.617,6.845) -- (8.741,6.72) -- (8.911,6.675) -- (9.081,6.72) -- (9.206,6.845) -- cycle;
\node at (8.911,7.015) {\scalebox{1.617}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.298,6.203) -- (4.252,6.373) -- (4.128,6.497) -- (3.958,6.543) -- (3.788,6.497) -- (3.663,6.373) -- (3.618,6.203) -- (3.663,6.033) -- (3.788,5.908) -- (3.958,5.863) -- (4.128,5.908) -- (4.252,6.033) -- cycle;
\node at (3.958,6.203) {\scalebox{1.617}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.539,6.3) -- (8.493,6.47) -- (8.369,6.594) -- (8.199,6.64) -- (8.029,6.594) -- (7.904,6.47) -- (7.859,6.3) -- (7.904,6.13) -- (8.029,6.005) -- (8.199,5.96) -- (8.369,6.005) -- (8.493,6.13) -- cycle;
\node at (8.199,6.3) {\scalebox{1.617}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.755,4.351) -- (7.709,4.521) -- (7.585,4.645) -- (7.415,4.691) -- (7.245,4.645) -- (7.12,4.521) -- (7.075,4.351) -- (7.12,4.181) -- (7.245,4.056) -- (7.415,4.011) -- (7.585,4.056) -- (7.709,4.181) -- cycle;
\node at (7.415,4.351) {\scalebox{1.617}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.083,5.912) -- (11.038,6.082) -- (10.913,6.206) -- (10.743,6.252) -- (10.573,6.206) -- (10.449,6.082) -- (10.403,5.912) -- (10.449,5.742) -- (10.573,5.618) -- (10.743,5.572) -- (10.913,5.618) -- (11.038,5.742) -- cycle;
\node at (10.743,5.912) {\scalebox{1.617}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.868,4.357) -- (11.822,4.527) -- (11.698,4.651) -- (11.528,4.697) -- (11.358,4.651) -- (11.233,4.527) -- (11.188,4.357) -- (11.233,4.187) -- (11.358,4.062) -- (11.528,4.017) -- (11.698,4.062) -- (11.822,4.187) -- cycle;
\node at (11.528,4.357) {\scalebox{1.617}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.145,5.186) -- (5.099,5.356) -- (4.975,5.48) -- (4.805,5.526) -- (4.635,5.48) -- (4.51,5.356) -- (4.465,5.186) -- (4.51,5.016) -- (4.635,4.891) -- (4.805,4.846) -- (4.975,4.891) -- (5.099,5.016) -- cycle;
\node at (4.805,5.186) {\scalebox{1.617}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.017,3.801) -- (10.971,3.971) -- (10.847,4.096) -- (10.677,4.141) -- (10.507,4.096) -- (10.382,3.971) -- (10.337,3.801) -- (10.382,3.631) -- (10.507,3.507) -- (10.677,3.461) -- (10.847,3.507) -- (10.971,3.631) -- cycle;
\node at (10.677,3.801) {\scalebox{1.617}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.347,1.622) -- (9.301,1.792) -- (9.177,1.917) -- (9.007,1.962) -- (8.837,1.917) -- (8.712,1.792) -- (8.667,1.622) -- (8.712,1.452) -- (8.837,1.328) -- (9.007,1.282) -- (9.177,1.328) -- (9.301,1.452) -- cycle;
\node at (9.007,1.622) {\scalebox{1.617}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.502,5.032) -- (10.102,5.032) -- (10.102,5.632) -- (9.502,5.632) -- cycle;
\node at (9.802,5.332) {\scalebox{1.617}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.66,5.747) -- (12.26,5.747) -- (12.26,6.347) -- (11.66,6.347) -- cycle;
\node at (11.96,6.047) {\scalebox{1.617}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.545,3.871) -- (13.145,3.871) -- (13.145,4.471) -- (12.545,4.471) -- cycle;
\node at (12.845,4.171) {\scalebox{1.617}{\small c}};
\node at (6.11,7.488) {\scalebox{1.617}{\small A}};
\node at (11.909,7.126) {\scalebox{1.617}{\small B}};
\node at (0.765,6.643) {\scalebox{1.617}{\small C}};
\node at (10.405,5.473) {\scalebox{1.617}{\small D}};
\node at (11.1,1.6) {\scalebox{1.617}{\small E}};
\node at (7.205,0.95) {\scalebox{1.617}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.666,6.019) -- (12.666,7.119);
\draw[line width=0.5pt] (12.435,6.734) -- (12.666,7.119) -- (12.897,6.734);
\draw[line width=0.5pt] (12.364,6.569) -- (12.969,6.569);
\node at (12.666,7.504) {\scalebox{1.617}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 3 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, D, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
