\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 314}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=314}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0314}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7087, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.202,8.154) -- (10.848,8.153) -- (10.495,8.143) -- (10.142,8.125) -- (9.789,8.099) -- (9.437,8.064) -- (9.086,8.022) -- (8.736,7.97) -- (8.388,7.911) -- (8.04,7.844) -- (7.695,7.768) -- (7.351,7.684) -- (7.01,7.593) -- (6.671,7.493) -- (6.335,7.385);
\draw[line width=0.5pt] (11.202,8.154) -- (10.998,7.844) -- (10.787,7.538) -- (10.569,7.237) -- (10.344,6.942) -- (10.111,6.652) -- (9.872,6.367) -- (9.627,6.088) -- (9.375,5.815) -- (9.116,5.548) -- (8.852,5.287) -- (8.581,5.032) -- (8.305,4.784) -- (8.022,4.542) -- (7.735,4.308) -- (7.661,4.219) -- (7.59,4.128) -- (7.521,4.036) -- (7.454,3.942) -- (7.39,3.847) -- (7.327,3.75) -- (7.267,3.651) -- (7.21,3.552) -- (7.154,3.451) -- (7.101,3.348) -- (7.051,3.245) -- (7.003,3.14) -- (6.957,3.034) -- (6.914,2.928);
\draw[line width=0.5pt] (6.335,7.385) -- (6.054,7.307) -- (5.775,7.223) -- (5.497,7.132) -- (5.222,7.034) -- (4.95,6.93) -- (4.68,6.82) -- (4.412,6.703) -- (4.148,6.58) -- (3.886,6.451) -- (3.627,6.315) -- (3.372,6.174) -- (3.12,6.027) -- (2.872,5.874) -- (2.628,5.715);
\draw[line width=0.5pt] (6.335,7.385) -- (6.424,7.076) -- (6.507,6.764) -- (6.582,6.45) -- (6.65,6.135) -- (6.71,5.818) -- (6.763,5.5) -- (6.808,5.18) -- (6.846,4.86) -- (6.876,4.539) -- (6.899,4.217) -- (6.914,3.895) -- (6.922,3.572) -- (6.922,3.25) -- (6.914,2.928);
\draw[line width=0.5pt] (1.663,7.306) -- (1.714,7.183) -- (1.768,7.061) -- (1.825,6.94) -- (1.884,6.821) -- (1.947,6.702) -- (2.012,6.586) -- (2.08,6.471) -- (2.15,6.357) -- (2.224,6.246) -- (2.3,6.136) -- (2.378,6.027) -- (2.459,5.921) -- (2.542,5.817) -- (2.628,5.715);
\draw[line width=0.5pt] (2.628,5.715) -- (2.962,5.564) -- (3.293,5.406) -- (3.62,5.239) -- (3.943,5.065) -- (4.261,4.884) -- (4.576,4.694) -- (4.886,4.498) -- (5.191,4.294) -- (5.492,4.084) -- (5.787,3.866) -- (6.077,3.641) -- (6.362,3.41) -- (6.641,3.172) -- (6.914,2.928);
\draw[line width=0.5pt] (6.914,2.928) -- (6.496,2.904) -- (6.078,2.871) -- (5.662,2.827) -- (5.246,2.774) -- (4.832,2.711) -- (4.419,2.638) -- (4.008,2.556) -- (3.599,2.464) -- (3.192,2.362) -- (2.788,2.251) -- (2.386,2.131) -- (1.988,2.001) -- (1.593,1.861) -- (1.202,1.713);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.362,8.154) -- (11.34,8.234) -- (11.282,8.293) -- (11.202,8.314) -- (11.122,8.293) -- (11.063,8.234) -- (11.042,8.154) -- (11.063,8.074) -- (11.122,8.016) -- (11.202,7.994) -- (11.282,8.016) -- (11.34,8.074) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.495,7.385) -- (6.473,7.465) -- (6.415,7.524) -- (6.335,7.545) -- (6.255,7.524) -- (6.196,7.465) -- (6.175,7.385) -- (6.196,7.305) -- (6.255,7.247) -- (6.335,7.225) -- (6.415,7.247) -- (6.473,7.305) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.823,7.306) -- (1.802,7.386) -- (1.743,7.445) -- (1.663,7.466) -- (1.583,7.445) -- (1.525,7.386) -- (1.503,7.306) -- (1.525,7.226) -- (1.583,7.168) -- (1.663,7.146) -- (1.743,7.168) -- (1.802,7.226) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.788,5.715) -- (2.766,5.795) -- (2.708,5.853) -- (2.628,5.875) -- (2.548,5.853) -- (2.489,5.795) -- (2.468,5.715) -- (2.489,5.635) -- (2.548,5.576) -- (2.628,5.555) -- (2.708,5.576) -- (2.766,5.635) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.074,2.928) -- (7.052,3.008) -- (6.994,3.066) -- (6.914,3.088) -- (6.834,3.066) -- (6.775,3.008) -- (6.754,2.928) -- (6.775,2.848) -- (6.834,2.789) -- (6.914,2.768) -- (6.994,2.789) -- (7.052,2.848) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.362,1.713) -- (1.34,1.793) -- (1.282,1.851) -- (1.202,1.873) -- (1.122,1.851) -- (1.063,1.793) -- (1.042,1.713) -- (1.063,1.633) -- (1.122,1.574) -- (1.202,1.553) -- (1.282,1.574) -- (1.34,1.633) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.126,7.654) -- (9.081,7.824) -- (8.956,7.949) -- (8.786,7.994) -- (8.616,7.949) -- (8.492,7.824) -- (8.446,7.654) -- (8.492,7.484) -- (8.616,7.36) -- (8.786,7.314) -- (8.956,7.36) -- (9.081,7.484) -- cycle;
\node at (8.786,7.654) {\scalebox{1.411}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.288,4.069) -- (8.243,4.239) -- (8.118,4.364) -- (7.948,4.409) -- (7.778,4.364) -- (7.654,4.239) -- (7.608,4.069) -- (7.654,3.899) -- (7.778,3.775) -- (7.948,3.729) -- (8.118,3.775) -- (8.243,3.899) -- cycle;
\node at (7.948,4.069) {\scalebox{1.411}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.884,6.411) -- (4.838,6.581) -- (4.714,6.705) -- (4.544,6.751) -- (4.374,6.705) -- (4.249,6.581) -- (4.204,6.411) -- (4.249,6.241) -- (4.374,6.117) -- (4.544,6.071) -- (4.714,6.117) -- (4.838,6.241) -- cycle;
\node at (4.544,6.411) {\scalebox{1.411}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.465,5.222) -- (7.42,5.392) -- (7.295,5.516) -- (7.125,5.562) -- (6.955,5.516) -- (6.831,5.392) -- (6.785,5.222) -- (6.831,5.052) -- (6.955,4.927) -- (7.125,4.882) -- (7.295,4.927) -- (7.42,5.052) -- cycle;
\node at (7.125,5.222) {\scalebox{1.411}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.694,6.637) -- (2.648,6.807) -- (2.524,6.931) -- (2.354,6.977) -- (2.184,6.931) -- (2.059,6.807) -- (2.014,6.637) -- (2.059,6.467) -- (2.184,6.342) -- (2.354,6.297) -- (2.524,6.342) -- (2.648,6.467) -- cycle;
\node at (2.354,6.637) {\scalebox{1.411}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.4,4.766) -- (5.355,4.936) -- (5.23,5.061) -- (5.06,5.106) -- (4.89,5.061) -- (4.766,4.936) -- (4.72,4.766) -- (4.766,4.596) -- (4.89,4.472) -- (5.06,4.426) -- (5.23,4.472) -- (5.355,4.596) -- cycle;
\node at (5.06,4.766) {\scalebox{1.411}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.414,2.243) -- (4.369,2.413) -- (4.244,2.537) -- (4.074,2.583) -- (3.904,2.537) -- (3.78,2.413) -- (3.734,2.243) -- (3.78,2.073) -- (3.904,1.948) -- (4.074,1.903) -- (4.244,1.948) -- (4.369,2.073) -- cycle;
\node at (4.074,2.243) {\scalebox{1.411}{\small 7}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.328,5.415) -- (2.928,5.415) -- (2.928,6.015) -- (2.328,6.015) -- cycle;
\node at (2.628,5.715) {\scalebox{1.411}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.24,3.618) -- (5.84,3.618) -- (5.84,4.218) -- (5.24,4.218) -- cycle;
\node at (5.54,3.918) {\scalebox{1.411}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.558,0.65) -- (4.158,0.65) -- (4.158,1.25) -- (3.558,1.25) -- cycle;
\node at (3.858,0.95) {\scalebox{1.411}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.508,7.615) -- (10.108,7.615) -- (10.108,8.215) -- (9.508,8.215) -- cycle;
\node at (9.808,7.915) {\scalebox{1.411}{\small d}};
\node at (11.773,8.395) {\scalebox{1.411}{\small A}};
\node at (6.699,7.887) {\scalebox{1.411}{\small B}};
\node at (1.116,7.598) {\scalebox{1.411}{\small C}};
\node at (2.01,5.762) {\scalebox{1.411}{\small D}};
\node at (7.282,2.429) {\scalebox{1.411}{\small E}};
\node at (0.765,1.273) {\scalebox{1.411}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.502,7.204) -- (12.502,8.304);
\draw[line width=0.5pt] (12.271,7.919) -- (12.502,8.304) -- (12.733,7.919);
\draw[line width=0.5pt] (12.199,7.754) -- (12.804,7.754);
\node at (12.502,8.689) {\scalebox{1.411}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Tilleuls & ⑤ impasse Sainte-Anne & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑥ boulevard du Parc & Ⓑ Rond-point du Stade & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ rue du Moulin & ⑦ impasse du Puits & Ⓒ Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ rue des Écoles &  & Ⓓ Rond-point du Pont & \textbf{d} le stade \\ \hline
 &  & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6341, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.202,8.154) -- (10.848,8.153) -- (10.495,8.143) -- (10.142,8.125) -- (9.789,8.099) -- (9.437,8.064) -- (9.086,8.022) -- (8.736,7.97) -- (8.388,7.911) -- (8.04,7.844) -- (7.695,7.768) -- (7.351,7.684) -- (7.01,7.593) -- (6.671,7.493) -- (6.335,7.385);
\draw[line width=0.5pt] (11.202,8.154) -- (10.998,7.844) -- (10.787,7.538) -- (10.569,7.237) -- (10.344,6.942) -- (10.111,6.652) -- (9.872,6.367) -- (9.627,6.088) -- (9.375,5.815) -- (9.116,5.548) -- (8.852,5.287) -- (8.581,5.032) -- (8.305,4.784) -- (8.022,4.542) -- (7.735,4.308) -- (7.661,4.219) -- (7.59,4.128) -- (7.521,4.036) -- (7.454,3.942) -- (7.39,3.847) -- (7.327,3.75) -- (7.267,3.651) -- (7.21,3.552) -- (7.154,3.451) -- (7.101,3.348) -- (7.051,3.245) -- (7.003,3.14) -- (6.957,3.034) -- (6.914,2.928);
\draw[line width=0.5pt] (6.335,7.385) -- (6.054,7.307) -- (5.775,7.223) -- (5.497,7.132) -- (5.222,7.034) -- (4.95,6.93) -- (4.68,6.82) -- (4.412,6.703) -- (4.148,6.58) -- (3.886,6.451) -- (3.627,6.315) -- (3.372,6.174) -- (3.12,6.027) -- (2.872,5.874) -- (2.628,5.715);
\draw[line width=0.5pt] (6.335,7.385) -- (6.424,7.076) -- (6.507,6.764) -- (6.582,6.45) -- (6.65,6.135) -- (6.71,5.818) -- (6.763,5.5) -- (6.808,5.18) -- (6.846,4.86) -- (6.876,4.539) -- (6.899,4.217) -- (6.914,3.895) -- (6.922,3.572) -- (6.922,3.25) -- (6.914,2.928);
\draw[line width=0.5pt] (1.663,7.306) -- (1.714,7.183) -- (1.768,7.061) -- (1.825,6.94) -- (1.884,6.821) -- (1.947,6.702) -- (2.012,6.586) -- (2.08,6.471) -- (2.15,6.357) -- (2.224,6.246) -- (2.3,6.136) -- (2.378,6.027) -- (2.459,5.921) -- (2.542,5.817) -- (2.628,5.715);
\draw[line width=0.5pt] (2.628,5.715) -- (2.962,5.564) -- (3.293,5.406) -- (3.62,5.239) -- (3.943,5.065) -- (4.261,4.884) -- (4.576,4.694) -- (4.886,4.498) -- (5.191,4.294) -- (5.492,4.084) -- (5.787,3.866) -- (6.077,3.641) -- (6.362,3.41) -- (6.641,3.172) -- (6.914,2.928);
\draw[line width=0.5pt] (6.914,2.928) -- (6.496,2.904) -- (6.078,2.871) -- (5.662,2.827) -- (5.246,2.774) -- (4.832,2.711) -- (4.419,2.638) -- (4.008,2.556) -- (3.599,2.464) -- (3.192,2.362) -- (2.788,2.251) -- (2.386,2.131) -- (1.988,2.001) -- (1.593,1.861) -- (1.202,1.713);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.362,8.154) -- (11.34,8.234) -- (11.282,8.293) -- (11.202,8.314) -- (11.122,8.293) -- (11.063,8.234) -- (11.042,8.154) -- (11.063,8.074) -- (11.122,8.016) -- (11.202,7.994) -- (11.282,8.016) -- (11.34,8.074) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.495,7.385) -- (6.473,7.465) -- (6.415,7.524) -- (6.335,7.545) -- (6.255,7.524) -- (6.196,7.465) -- (6.175,7.385) -- (6.196,7.305) -- (6.255,7.247) -- (6.335,7.225) -- (6.415,7.247) -- (6.473,7.305) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.823,7.306) -- (1.802,7.386) -- (1.743,7.445) -- (1.663,7.466) -- (1.583,7.445) -- (1.525,7.386) -- (1.503,7.306) -- (1.525,7.226) -- (1.583,7.168) -- (1.663,7.146) -- (1.743,7.168) -- (1.802,7.226) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.788,5.715) -- (2.766,5.795) -- (2.708,5.853) -- (2.628,5.875) -- (2.548,5.853) -- (2.489,5.795) -- (2.468,5.715) -- (2.489,5.635) -- (2.548,5.576) -- (2.628,5.555) -- (2.708,5.576) -- (2.766,5.635) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.074,2.928) -- (7.052,3.008) -- (6.994,3.066) -- (6.914,3.088) -- (6.834,3.066) -- (6.775,3.008) -- (6.754,2.928) -- (6.775,2.848) -- (6.834,2.789) -- (6.914,2.768) -- (6.994,2.789) -- (7.052,2.848) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.362,1.713) -- (1.34,1.793) -- (1.282,1.851) -- (1.202,1.873) -- (1.122,1.851) -- (1.063,1.793) -- (1.042,1.713) -- (1.063,1.633) -- (1.122,1.574) -- (1.202,1.553) -- (1.282,1.574) -- (1.34,1.633) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.126,7.654) -- (9.081,7.824) -- (8.956,7.949) -- (8.786,7.994) -- (8.616,7.949) -- (8.492,7.824) -- (8.446,7.654) -- (8.492,7.484) -- (8.616,7.36) -- (8.786,7.314) -- (8.956,7.36) -- (9.081,7.484) -- cycle;
\node at (8.786,7.654) {\scalebox{1.577}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.288,4.069) -- (8.243,4.239) -- (8.118,4.364) -- (7.948,4.409) -- (7.778,4.364) -- (7.654,4.239) -- (7.608,4.069) -- (7.654,3.899) -- (7.778,3.775) -- (7.948,3.729) -- (8.118,3.775) -- (8.243,3.899) -- cycle;
\node at (7.948,4.069) {\scalebox{1.577}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.884,6.411) -- (4.838,6.581) -- (4.714,6.705) -- (4.544,6.751) -- (4.374,6.705) -- (4.249,6.581) -- (4.204,6.411) -- (4.249,6.241) -- (4.374,6.117) -- (4.544,6.071) -- (4.714,6.117) -- (4.838,6.241) -- cycle;
\node at (4.544,6.411) {\scalebox{1.577}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.465,5.222) -- (7.42,5.392) -- (7.295,5.516) -- (7.125,5.562) -- (6.955,5.516) -- (6.831,5.392) -- (6.785,5.222) -- (6.831,5.052) -- (6.955,4.927) -- (7.125,4.882) -- (7.295,4.927) -- (7.42,5.052) -- cycle;
\node at (7.125,5.222) {\scalebox{1.577}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.694,6.637) -- (2.648,6.807) -- (2.524,6.931) -- (2.354,6.977) -- (2.184,6.931) -- (2.059,6.807) -- (2.014,6.637) -- (2.059,6.467) -- (2.184,6.342) -- (2.354,6.297) -- (2.524,6.342) -- (2.648,6.467) -- cycle;
\node at (2.354,6.637) {\scalebox{1.577}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.4,4.766) -- (5.355,4.936) -- (5.23,5.061) -- (5.06,5.106) -- (4.89,5.061) -- (4.766,4.936) -- (4.72,4.766) -- (4.766,4.596) -- (4.89,4.472) -- (5.06,4.426) -- (5.23,4.472) -- (5.355,4.596) -- cycle;
\node at (5.06,4.766) {\scalebox{1.577}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.414,2.243) -- (4.369,2.413) -- (4.244,2.537) -- (4.074,2.583) -- (3.904,2.537) -- (3.78,2.413) -- (3.734,2.243) -- (3.78,2.073) -- (3.904,1.948) -- (4.074,1.903) -- (4.244,1.948) -- (4.369,2.073) -- cycle;
\node at (4.074,2.243) {\scalebox{1.577}{\small 7}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.328,5.415) -- (2.928,5.415) -- (2.928,6.015) -- (2.328,6.015) -- cycle;
\node at (2.628,5.715) {\scalebox{1.577}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.24,3.618) -- (5.84,3.618) -- (5.84,4.218) -- (5.24,4.218) -- cycle;
\node at (5.54,3.918) {\scalebox{1.577}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.558,0.65) -- (4.158,0.65) -- (4.158,1.25) -- (3.558,1.25) -- cycle;
\node at (3.858,0.95) {\scalebox{1.577}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.508,7.615) -- (10.108,7.615) -- (10.108,8.215) -- (9.508,8.215) -- cycle;
\node at (9.808,7.915) {\scalebox{1.577}{\small d}};
\node at (11.773,8.395) {\scalebox{1.577}{\small A}};
\node at (6.699,7.887) {\scalebox{1.577}{\small B}};
\node at (1.116,7.598) {\scalebox{1.577}{\small C}};
\node at (2.01,5.762) {\scalebox{1.577}{\small D}};
\node at (7.282,2.429) {\scalebox{1.577}{\small E}};
\node at (0.765,1.273) {\scalebox{1.577}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.502,7.204) -- (12.502,8.304);
\draw[line width=0.5pt] (12.271,7.919) -- (12.502,8.304) -- (12.733,7.919);
\draw[line width=0.5pt] (12.199,7.754) -- (12.804,7.754);
\node at (12.502,8.689) {\scalebox{1.577}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 1 & 3 & 4 & 1 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 14 = 2 \(\times\) 7, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
