\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 315}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=315}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0315}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.712, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.293,11.408) -- (4.992,11.353) -- (4.693,11.291) -- (4.395,11.222) -- (4.099,11.146) -- (3.804,11.063) -- (3.512,10.973) -- (3.222,10.876) -- (2.934,10.773) -- (2.649,10.663) -- (2.366,10.546) -- (2.086,10.422) -- (1.81,10.292) -- (1.536,10.156) -- (1.266,10.013);
\draw[line width=0.5pt] (5.293,11.408) -- (5.524,11.19) -- (5.75,10.966) -- (5.97,10.736) -- (6.185,10.502) -- (6.395,10.262) -- (6.599,10.018) -- (6.797,9.769) -- (6.989,9.515) -- (7.175,9.257) -- (7.356,8.995) -- (7.529,8.728) -- (7.697,8.457) -- (7.858,8.183) -- (8.012,7.905);
\draw[line width=0.5pt] (5.293,11.408) -- (5.359,11.009) -- (5.434,10.612) -- (5.519,10.217) -- (5.613,9.823) -- (5.716,9.432) -- (5.828,9.044) -- (5.95,8.658) -- (6.081,8.275) -- (6.22,7.895) -- (6.368,7.519) -- (6.526,7.146) -- (6.692,6.777) -- (6.866,6.413) -- (7.049,6.052);
\draw[line width=0.5pt] (5.293,11.408) -- (5.263,11.218) -- (5.228,11.029) -- (5.189,10.84) -- (5.146,10.653) -- (5.098,10.466) -- (5.046,10.281) -- (4.99,10.097) -- (4.929,9.914) -- (4.864,9.733) -- (4.795,9.553) -- (4.721,9.375) -- (4.643,9.199) -- (4.562,9.025) -- (4.476,8.853) -- (4.226,8.657) -- (3.981,8.455) -- (3.741,8.247) -- (3.505,8.034) -- (3.275,7.815) -- (3.05,7.591) -- (2.83,7.362) -- (2.615,7.127) -- (2.406,6.888) -- (2.203,6.643) -- (2.006,6.395) -- (1.814,6.141) -- (1.629,5.883) -- (1.45,5.621);
\draw[line width=0.5pt] (1.266,10.013) -- (1.231,9.699) -- (1.204,9.385) -- (1.184,9.071) -- (1.171,8.756) -- (1.165,8.44) -- (1.168,8.125) -- (1.177,7.809) -- (1.194,7.494) -- (1.218,7.18) -- (1.25,6.866) -- (1.289,6.553) -- (1.335,6.241) -- (1.389,5.93) -- (1.45,5.621);
\draw[line width=0.5pt] (8.012,7.905) -- (7.964,7.763) -- (7.913,7.623) -- (7.858,7.483) -- (7.8,7.345) -- (7.739,7.208) -- (7.675,7.073) -- (7.607,6.939) -- (7.536,6.807) -- (7.463,6.676) -- (7.386,6.548) -- (7.306,6.421) -- (7.223,6.296) -- (7.138,6.173) -- (7.049,6.052);
\draw[line width=0.5pt] (10.629,6.139) -- (10.375,6.172) -- (10.119,6.199) -- (9.863,6.22) -- (9.607,6.235) -- (9.35,6.243) -- (9.093,6.246) -- (8.836,6.243) -- (8.579,6.234) -- (8.322,6.219) -- (8.066,6.197) -- (7.81,6.17) -- (7.556,6.137) -- (7.302,6.098) -- (7.049,6.052);
\draw[line width=0.5pt] (10.629,6.139) -- (10.693,5.805) -- (10.749,5.47) -- (10.796,5.134) -- (10.836,4.797) -- (10.868,4.459) -- (10.892,4.12) -- (10.908,3.78) -- (10.916,3.441) -- (10.916,3.101) -- (10.909,2.761) -- (10.893,2.422) -- (10.869,2.083) -- (10.837,1.745) -- (10.797,1.408);
\draw[line width=0.5pt] (7.049,6.052) -- (6.648,6.083) -- (6.245,6.104) -- (5.843,6.116) -- (5.44,6.118) -- (5.037,6.111) -- (4.634,6.094) -- (4.232,6.068) -- (3.83,6.032) -- (3.43,5.987) -- (3.03,5.932) -- (2.632,5.869) -- (2.236,5.795) -- (1.842,5.713) -- (1.45,5.621);
\draw[line width=0.5pt] (7.049,6.052) -- (6.993,5.779) -- (6.93,5.507) -- (6.86,5.237) -- (6.785,4.968) -- (6.703,4.701) -- (6.614,4.436) -- (6.52,4.173) -- (6.419,3.913) -- (6.313,3.655) -- (6.2,3.399) -- (6.081,3.147) -- (5.957,2.897) -- (5.826,2.65) -- (5.69,2.407);
\draw[line width=0.5pt] (7.049,6.052) -- (7.079,5.954) -- (7.112,5.856) -- (7.147,5.759) -- (7.184,5.662) -- (7.224,5.567) -- (7.265,5.473) -- (7.309,5.379) -- (7.355,5.287) -- (7.404,5.195) -- (7.454,5.105) -- (7.507,5.016) -- (7.561,4.929) -- (7.618,4.843) -- (7.676,4.758) -- (7.934,4.554) -- (8.187,4.345) -- (8.435,4.13) -- (8.678,3.909) -- (8.916,3.682) -- (9.148,3.449) -- (9.375,3.212) -- (9.596,2.969) -- (9.812,2.72) -- (10.021,2.467) -- (10.224,2.209) -- (10.422,1.947) -- (10.613,1.68) -- (10.797,1.408);
\draw[line width=0.5pt] (1.45,5.621) -- (1.626,5.55) -- (1.801,5.475) -- (1.974,5.396) -- (2.145,5.313) -- (2.314,5.226) -- (2.481,5.135) -- (2.646,5.04) -- (2.808,4.941) -- (2.968,4.839) -- (3.126,4.732) -- (3.281,4.622) -- (3.433,4.509) -- (3.583,4.392) -- (3.73,4.271) -- (3.848,4.118) -- (3.97,3.967) -- (4.096,3.819) -- (4.225,3.674) -- (4.358,3.532) -- (4.494,3.394) -- (4.633,3.258) -- (4.775,3.126) -- (4.921,2.997) -- (5.069,2.872) -- (5.22,2.75) -- (5.374,2.632) -- (5.531,2.517) -- (5.69,2.407);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.453,11.408) -- (5.431,11.488) -- (5.373,11.547) -- (5.293,11.568) -- (5.213,11.547) -- (5.154,11.488) -- (5.133,11.408) -- (5.154,11.328) -- (5.213,11.27) -- (5.293,11.248) -- (5.373,11.27) -- (5.431,11.328) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.426,10.013) -- (1.405,10.093) -- (1.346,10.151) -- (1.266,10.173) -- (1.186,10.151) -- (1.128,10.093) -- (1.106,10.013) -- (1.128,9.933) -- (1.186,9.874) -- (1.266,9.853) -- (1.346,9.874) -- (1.405,9.933) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.172,7.905) -- (8.151,7.985) -- (8.092,8.044) -- (8.012,8.065) -- (7.932,8.044) -- (7.874,7.985) -- (7.852,7.905) -- (7.874,7.825) -- (7.932,7.767) -- (8.012,7.745) -- (8.092,7.767) -- (8.151,7.825) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.789,6.139) -- (10.768,6.219) -- (10.709,6.277) -- (10.629,6.299) -- (10.549,6.277) -- (10.491,6.219) -- (10.469,6.139) -- (10.491,6.059) -- (10.549,6.0) -- (10.629,5.979) -- (10.709,6.0) -- (10.768,6.059) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.209,6.052) -- (7.188,6.132) -- (7.129,6.191) -- (7.049,6.212) -- (6.969,6.191) -- (6.911,6.132) -- (6.889,6.052) -- (6.911,5.972) -- (6.969,5.914) -- (7.049,5.892) -- (7.129,5.914) -- (7.188,5.972) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.61,5.621) -- (1.589,5.701) -- (1.53,5.76) -- (1.45,5.781) -- (1.37,5.76) -- (1.311,5.701) -- (1.29,5.621) -- (1.311,5.541) -- (1.37,5.483) -- (1.45,5.461) -- (1.53,5.483) -- (1.589,5.541) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.85,2.407) -- (5.829,2.487) -- (5.77,2.545) -- (5.69,2.567) -- (5.61,2.545) -- (5.551,2.487) -- (5.53,2.407) -- (5.551,2.327) -- (5.61,2.268) -- (5.69,2.247) -- (5.77,2.268) -- (5.829,2.327) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.957,1.408) -- (10.936,1.488) -- (10.877,1.547) -- (10.797,1.568) -- (10.717,1.547) -- (10.659,1.488) -- (10.637,1.408) -- (10.659,1.328) -- (10.717,1.27) -- (10.797,1.248) -- (10.877,1.27) -- (10.936,1.328) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.667,10.574) -- (3.621,10.744) -- (3.497,10.869) -- (3.327,10.914) -- (3.157,10.869) -- (3.032,10.744) -- (2.987,10.574) -- (3.032,10.404) -- (3.157,10.28) -- (3.327,10.234) -- (3.497,10.28) -- (3.621,10.404) -- cycle;
\node at (3.327,10.574) {\scalebox{1.404}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.39,9.965) -- (7.344,10.135) -- (7.22,10.26) -- (7.05,10.305) -- (6.88,10.26) -- (6.755,10.135) -- (6.71,9.965) -- (6.755,9.795) -- (6.88,9.671) -- (7.05,9.625) -- (7.22,9.671) -- (7.344,9.795) -- cycle;
\node at (7.05,9.965) {\scalebox{1.404}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.594,8.757) -- (6.549,8.927) -- (6.424,9.052) -- (6.254,9.097) -- (6.084,9.052) -- (5.96,8.927) -- (5.914,8.757) -- (5.96,8.587) -- (6.084,8.463) -- (6.254,8.417) -- (6.424,8.463) -- (6.549,8.587) -- cycle;
\node at (6.254,8.757) {\scalebox{1.404}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.052,8.637) -- (5.007,8.807) -- (4.882,8.931) -- (4.712,8.977) -- (4.542,8.931) -- (4.418,8.807) -- (4.372,8.637) -- (4.418,8.467) -- (4.542,8.342) -- (4.712,8.297) -- (4.882,8.342) -- (5.007,8.467) -- cycle;
\node at (4.712,8.637) {\scalebox{1.404}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.837,7.823) -- (1.791,7.993) -- (1.667,8.117) -- (1.497,8.163) -- (1.327,8.117) -- (1.202,7.993) -- (1.157,7.823) -- (1.202,7.653) -- (1.327,7.528) -- (1.497,7.483) -- (1.667,7.528) -- (1.791,7.653) -- cycle;
\node at (1.497,7.823) {\scalebox{1.404}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.231,6.791) -- (8.186,6.961) -- (8.061,7.086) -- (7.891,7.131) -- (7.721,7.086) -- (7.597,6.961) -- (7.551,6.791) -- (7.597,6.621) -- (7.721,6.497) -- (7.891,6.451) -- (8.061,6.497) -- (8.186,6.621) -- cycle;
\node at (7.891,6.791) {\scalebox{1.404}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.183,5.923) -- (9.138,6.093) -- (9.013,6.218) -- (8.843,6.263) -- (8.673,6.218) -- (8.549,6.093) -- (8.503,5.923) -- (8.549,5.753) -- (8.673,5.629) -- (8.843,5.583) -- (9.013,5.629) -- (9.138,5.753) -- cycle;
\node at (8.843,5.923) {\scalebox{1.404}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.568,3.792) -- (11.523,3.962) -- (11.398,4.086) -- (11.228,4.132) -- (11.058,4.086) -- (10.934,3.962) -- (10.888,3.792) -- (10.934,3.622) -- (11.058,3.497) -- (11.228,3.452) -- (11.398,3.497) -- (11.523,3.622) -- cycle;
\node at (11.228,3.792) {\scalebox{1.404}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.596,5.749) -- (4.551,5.919) -- (4.426,6.043) -- (4.256,6.089) -- (4.086,6.043) -- (3.962,5.919) -- (3.916,5.749) -- (3.962,5.579) -- (4.086,5.454) -- (4.256,5.409) -- (4.426,5.454) -- (4.551,5.579) -- cycle;
\node at (4.256,5.749) {\scalebox{1.404}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.16,4.062) -- (7.114,4.232) -- (6.99,4.356) -- (6.82,4.402) -- (6.65,4.356) -- (6.525,4.232) -- (6.48,4.062) -- (6.525,3.892) -- (6.65,3.767) -- (6.82,3.722) -- (6.99,3.767) -- (7.114,3.892) -- cycle;
\node at (6.82,4.062) {\scalebox{1.404}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.232,4.994) -- (8.186,5.164) -- (8.062,5.289) -- (7.892,5.334) -- (7.722,5.289) -- (7.597,5.164) -- (7.552,4.994) -- (7.597,4.824) -- (7.722,4.7) -- (7.892,4.654) -- (8.062,4.7) -- (8.186,4.824) -- cycle;
\node at (7.892,4.994) {\scalebox{1.404}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.3,4.494) -- (4.254,4.664) -- (4.13,4.788) -- (3.96,4.834) -- (3.79,4.788) -- (3.665,4.664) -- (3.62,4.494) -- (3.665,4.324) -- (3.79,4.199) -- (3.96,4.154) -- (4.13,4.199) -- (4.254,4.324) -- cycle;
\node at (3.96,4.494) {\scalebox{1.404}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.15,5.321) -- (1.75,5.321) -- (1.75,5.921) -- (1.15,5.921) -- cycle;
\node at (1.45,5.621) {\scalebox{1.404}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.962,4.789) -- (3.562,4.789) -- (3.562,5.389) -- (2.962,5.389) -- cycle;
\node at (3.262,5.089) {\scalebox{1.404}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.144,3.011) -- (12.744,3.011) -- (12.744,3.611) -- (12.144,3.611) -- cycle;
\node at (12.444,3.311) {\scalebox{1.404}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.613,5.114) -- (10.213,5.114) -- (10.213,5.714) -- (9.613,5.714) -- cycle;
\node at (9.913,5.414) {\scalebox{1.404}{\small d}};
\node at (5.174,12.017) {\scalebox{1.404}{\small A}};
\node at (0.765,10.377) {\scalebox{1.404}{\small B}};
\node at (8.477,8.316) {\scalebox{1.404}{\small C}};
\node at (11.248,6.106) {\scalebox{1.404}{\small D}};
\node at (7.623,5.818) {\scalebox{1.404}{\small E}};
\node at (0.837,5.526) {\scalebox{1.404}{\small F}};
\node at (5.6,1.793) {\scalebox{1.404}{\small G}};
\node at (11.215,0.95) {\scalebox{1.404}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.097,10.458) -- (12.097,11.558);
\draw[line width=0.5pt] (11.866,11.173) -- (12.097,11.558) -- (12.328,11.173);
\draw[line width=0.5pt] (11.795,11.008) -- (12.4,11.008);
\node at (12.097,11.943) {\scalebox{1.404}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Peupliers & ⑦ rue des Lilas & Ⓐ Carrefour des Tilleuls & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑧ rue Pasteur & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ avenue de la Gare & ⑨ rue Verte & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ chemin du Lavoir & ⑩ rue Basse & Ⓓ Place de l'Église & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ chemin Creux & ⑪ boulevard du Parc & Ⓔ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑥ quai aux Fleurs & ⑫ rue des Jardins & Ⓕ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.637, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.293,11.408) -- (4.992,11.353) -- (4.693,11.291) -- (4.395,11.222) -- (4.099,11.146) -- (3.804,11.063) -- (3.512,10.973) -- (3.222,10.876) -- (2.934,10.773) -- (2.649,10.663) -- (2.366,10.546) -- (2.086,10.422) -- (1.81,10.292) -- (1.536,10.156) -- (1.266,10.013);
\draw[line width=0.5pt] (5.293,11.408) -- (5.524,11.19) -- (5.75,10.966) -- (5.97,10.736) -- (6.185,10.502) -- (6.395,10.262) -- (6.599,10.018) -- (6.797,9.769) -- (6.989,9.515) -- (7.175,9.257) -- (7.356,8.995) -- (7.529,8.728) -- (7.697,8.457) -- (7.858,8.183) -- (8.012,7.905);
\draw[line width=0.5pt] (5.293,11.408) -- (5.359,11.009) -- (5.434,10.612) -- (5.519,10.217) -- (5.613,9.823) -- (5.716,9.432) -- (5.828,9.044) -- (5.95,8.658) -- (6.081,8.275) -- (6.22,7.895) -- (6.368,7.519) -- (6.526,7.146) -- (6.692,6.777) -- (6.866,6.413) -- (7.049,6.052);
\draw[line width=0.5pt] (5.293,11.408) -- (5.263,11.218) -- (5.228,11.029) -- (5.189,10.84) -- (5.146,10.653) -- (5.098,10.466) -- (5.046,10.281) -- (4.99,10.097) -- (4.929,9.914) -- (4.864,9.733) -- (4.795,9.553) -- (4.721,9.375) -- (4.643,9.199) -- (4.562,9.025) -- (4.476,8.853) -- (4.226,8.657) -- (3.981,8.455) -- (3.741,8.247) -- (3.505,8.034) -- (3.275,7.815) -- (3.05,7.591) -- (2.83,7.362) -- (2.615,7.127) -- (2.406,6.888) -- (2.203,6.643) -- (2.006,6.395) -- (1.814,6.141) -- (1.629,5.883) -- (1.45,5.621);
\draw[line width=0.5pt] (1.266,10.013) -- (1.231,9.699) -- (1.204,9.385) -- (1.184,9.071) -- (1.171,8.756) -- (1.165,8.44) -- (1.168,8.125) -- (1.177,7.809) -- (1.194,7.494) -- (1.218,7.18) -- (1.25,6.866) -- (1.289,6.553) -- (1.335,6.241) -- (1.389,5.93) -- (1.45,5.621);
\draw[line width=0.5pt] (8.012,7.905) -- (7.964,7.763) -- (7.913,7.623) -- (7.858,7.483) -- (7.8,7.345) -- (7.739,7.208) -- (7.675,7.073) -- (7.607,6.939) -- (7.536,6.807) -- (7.463,6.676) -- (7.386,6.548) -- (7.306,6.421) -- (7.223,6.296) -- (7.138,6.173) -- (7.049,6.052);
\draw[line width=0.5pt] (10.629,6.139) -- (10.375,6.172) -- (10.119,6.199) -- (9.863,6.22) -- (9.607,6.235) -- (9.35,6.243) -- (9.093,6.246) -- (8.836,6.243) -- (8.579,6.234) -- (8.322,6.219) -- (8.066,6.197) -- (7.81,6.17) -- (7.556,6.137) -- (7.302,6.098) -- (7.049,6.052);
\draw[line width=0.5pt] (10.629,6.139) -- (10.693,5.805) -- (10.749,5.47) -- (10.796,5.134) -- (10.836,4.797) -- (10.868,4.459) -- (10.892,4.12) -- (10.908,3.78) -- (10.916,3.441) -- (10.916,3.101) -- (10.909,2.761) -- (10.893,2.422) -- (10.869,2.083) -- (10.837,1.745) -- (10.797,1.408);
\draw[line width=0.5pt] (7.049,6.052) -- (6.648,6.083) -- (6.245,6.104) -- (5.843,6.116) -- (5.44,6.118) -- (5.037,6.111) -- (4.634,6.094) -- (4.232,6.068) -- (3.83,6.032) -- (3.43,5.987) -- (3.03,5.932) -- (2.632,5.869) -- (2.236,5.795) -- (1.842,5.713) -- (1.45,5.621);
\draw[line width=0.5pt] (7.049,6.052) -- (6.993,5.779) -- (6.93,5.507) -- (6.86,5.237) -- (6.785,4.968) -- (6.703,4.701) -- (6.614,4.436) -- (6.52,4.173) -- (6.419,3.913) -- (6.313,3.655) -- (6.2,3.399) -- (6.081,3.147) -- (5.957,2.897) -- (5.826,2.65) -- (5.69,2.407);
\draw[line width=0.5pt] (7.049,6.052) -- (7.079,5.954) -- (7.112,5.856) -- (7.147,5.759) -- (7.184,5.662) -- (7.224,5.567) -- (7.265,5.473) -- (7.309,5.379) -- (7.355,5.287) -- (7.404,5.195) -- (7.454,5.105) -- (7.507,5.016) -- (7.561,4.929) -- (7.618,4.843) -- (7.676,4.758) -- (7.934,4.554) -- (8.187,4.345) -- (8.435,4.13) -- (8.678,3.909) -- (8.916,3.682) -- (9.148,3.449) -- (9.375,3.212) -- (9.596,2.969) -- (9.812,2.72) -- (10.021,2.467) -- (10.224,2.209) -- (10.422,1.947) -- (10.613,1.68) -- (10.797,1.408);
\draw[line width=0.5pt] (1.45,5.621) -- (1.626,5.55) -- (1.801,5.475) -- (1.974,5.396) -- (2.145,5.313) -- (2.314,5.226) -- (2.481,5.135) -- (2.646,5.04) -- (2.808,4.941) -- (2.968,4.839) -- (3.126,4.732) -- (3.281,4.622) -- (3.433,4.509) -- (3.583,4.392) -- (3.73,4.271) -- (3.848,4.118) -- (3.97,3.967) -- (4.096,3.819) -- (4.225,3.674) -- (4.358,3.532) -- (4.494,3.394) -- (4.633,3.258) -- (4.775,3.126) -- (4.921,2.997) -- (5.069,2.872) -- (5.22,2.75) -- (5.374,2.632) -- (5.531,2.517) -- (5.69,2.407);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.453,11.408) -- (5.431,11.488) -- (5.373,11.547) -- (5.293,11.568) -- (5.213,11.547) -- (5.154,11.488) -- (5.133,11.408) -- (5.154,11.328) -- (5.213,11.27) -- (5.293,11.248) -- (5.373,11.27) -- (5.431,11.328) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.426,10.013) -- (1.405,10.093) -- (1.346,10.151) -- (1.266,10.173) -- (1.186,10.151) -- (1.128,10.093) -- (1.106,10.013) -- (1.128,9.933) -- (1.186,9.874) -- (1.266,9.853) -- (1.346,9.874) -- (1.405,9.933) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.172,7.905) -- (8.151,7.985) -- (8.092,8.044) -- (8.012,8.065) -- (7.932,8.044) -- (7.874,7.985) -- (7.852,7.905) -- (7.874,7.825) -- (7.932,7.767) -- (8.012,7.745) -- (8.092,7.767) -- (8.151,7.825) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.789,6.139) -- (10.768,6.219) -- (10.709,6.277) -- (10.629,6.299) -- (10.549,6.277) -- (10.491,6.219) -- (10.469,6.139) -- (10.491,6.059) -- (10.549,6.0) -- (10.629,5.979) -- (10.709,6.0) -- (10.768,6.059) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.209,6.052) -- (7.188,6.132) -- (7.129,6.191) -- (7.049,6.212) -- (6.969,6.191) -- (6.911,6.132) -- (6.889,6.052) -- (6.911,5.972) -- (6.969,5.914) -- (7.049,5.892) -- (7.129,5.914) -- (7.188,5.972) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.61,5.621) -- (1.589,5.701) -- (1.53,5.76) -- (1.45,5.781) -- (1.37,5.76) -- (1.311,5.701) -- (1.29,5.621) -- (1.311,5.541) -- (1.37,5.483) -- (1.45,5.461) -- (1.53,5.483) -- (1.589,5.541) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.85,2.407) -- (5.829,2.487) -- (5.77,2.545) -- (5.69,2.567) -- (5.61,2.545) -- (5.551,2.487) -- (5.53,2.407) -- (5.551,2.327) -- (5.61,2.268) -- (5.69,2.247) -- (5.77,2.268) -- (5.829,2.327) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.957,1.408) -- (10.936,1.488) -- (10.877,1.547) -- (10.797,1.568) -- (10.717,1.547) -- (10.659,1.488) -- (10.637,1.408) -- (10.659,1.328) -- (10.717,1.27) -- (10.797,1.248) -- (10.877,1.27) -- (10.936,1.328) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.667,10.574) -- (3.621,10.744) -- (3.497,10.869) -- (3.327,10.914) -- (3.157,10.869) -- (3.032,10.744) -- (2.987,10.574) -- (3.032,10.404) -- (3.157,10.28) -- (3.327,10.234) -- (3.497,10.28) -- (3.621,10.404) -- cycle;
\node at (3.327,10.574) {\scalebox{1.57}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.39,9.965) -- (7.344,10.135) -- (7.22,10.26) -- (7.05,10.305) -- (6.88,10.26) -- (6.755,10.135) -- (6.71,9.965) -- (6.755,9.795) -- (6.88,9.671) -- (7.05,9.625) -- (7.22,9.671) -- (7.344,9.795) -- cycle;
\node at (7.05,9.965) {\scalebox{1.57}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.594,8.757) -- (6.549,8.927) -- (6.424,9.052) -- (6.254,9.097) -- (6.084,9.052) -- (5.96,8.927) -- (5.914,8.757) -- (5.96,8.587) -- (6.084,8.463) -- (6.254,8.417) -- (6.424,8.463) -- (6.549,8.587) -- cycle;
\node at (6.254,8.757) {\scalebox{1.57}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.052,8.637) -- (5.007,8.807) -- (4.882,8.931) -- (4.712,8.977) -- (4.542,8.931) -- (4.418,8.807) -- (4.372,8.637) -- (4.418,8.467) -- (4.542,8.342) -- (4.712,8.297) -- (4.882,8.342) -- (5.007,8.467) -- cycle;
\node at (4.712,8.637) {\scalebox{1.57}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.837,7.823) -- (1.791,7.993) -- (1.667,8.117) -- (1.497,8.163) -- (1.327,8.117) -- (1.202,7.993) -- (1.157,7.823) -- (1.202,7.653) -- (1.327,7.528) -- (1.497,7.483) -- (1.667,7.528) -- (1.791,7.653) -- cycle;
\node at (1.497,7.823) {\scalebox{1.57}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.231,6.791) -- (8.186,6.961) -- (8.061,7.086) -- (7.891,7.131) -- (7.721,7.086) -- (7.597,6.961) -- (7.551,6.791) -- (7.597,6.621) -- (7.721,6.497) -- (7.891,6.451) -- (8.061,6.497) -- (8.186,6.621) -- cycle;
\node at (7.891,6.791) {\scalebox{1.57}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.183,5.923) -- (9.138,6.093) -- (9.013,6.218) -- (8.843,6.263) -- (8.673,6.218) -- (8.549,6.093) -- (8.503,5.923) -- (8.549,5.753) -- (8.673,5.629) -- (8.843,5.583) -- (9.013,5.629) -- (9.138,5.753) -- cycle;
\node at (8.843,5.923) {\scalebox{1.57}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.568,3.792) -- (11.523,3.962) -- (11.398,4.086) -- (11.228,4.132) -- (11.058,4.086) -- (10.934,3.962) -- (10.888,3.792) -- (10.934,3.622) -- (11.058,3.497) -- (11.228,3.452) -- (11.398,3.497) -- (11.523,3.622) -- cycle;
\node at (11.228,3.792) {\scalebox{1.57}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.596,5.749) -- (4.551,5.919) -- (4.426,6.043) -- (4.256,6.089) -- (4.086,6.043) -- (3.962,5.919) -- (3.916,5.749) -- (3.962,5.579) -- (4.086,5.454) -- (4.256,5.409) -- (4.426,5.454) -- (4.551,5.579) -- cycle;
\node at (4.256,5.749) {\scalebox{1.57}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.16,4.062) -- (7.114,4.232) -- (6.99,4.356) -- (6.82,4.402) -- (6.65,4.356) -- (6.525,4.232) -- (6.48,4.062) -- (6.525,3.892) -- (6.65,3.767) -- (6.82,3.722) -- (6.99,3.767) -- (7.114,3.892) -- cycle;
\node at (6.82,4.062) {\scalebox{1.57}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.232,4.994) -- (8.186,5.164) -- (8.062,5.289) -- (7.892,5.334) -- (7.722,5.289) -- (7.597,5.164) -- (7.552,4.994) -- (7.597,4.824) -- (7.722,4.7) -- (7.892,4.654) -- (8.062,4.7) -- (8.186,4.824) -- cycle;
\node at (7.892,4.994) {\scalebox{1.57}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.3,4.494) -- (4.254,4.664) -- (4.13,4.788) -- (3.96,4.834) -- (3.79,4.788) -- (3.665,4.664) -- (3.62,4.494) -- (3.665,4.324) -- (3.79,4.199) -- (3.96,4.154) -- (4.13,4.199) -- (4.254,4.324) -- cycle;
\node at (3.96,4.494) {\scalebox{1.57}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.15,5.321) -- (1.75,5.321) -- (1.75,5.921) -- (1.15,5.921) -- cycle;
\node at (1.45,5.621) {\scalebox{1.57}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.962,4.789) -- (3.562,4.789) -- (3.562,5.389) -- (2.962,5.389) -- cycle;
\node at (3.262,5.089) {\scalebox{1.57}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.144,3.011) -- (12.744,3.011) -- (12.744,3.611) -- (12.144,3.611) -- cycle;
\node at (12.444,3.311) {\scalebox{1.57}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.613,5.114) -- (10.213,5.114) -- (10.213,5.714) -- (9.613,5.714) -- cycle;
\node at (9.913,5.414) {\scalebox{1.57}{\small d}};
\node at (5.174,12.017) {\scalebox{1.57}{\small A}};
\node at (0.765,10.377) {\scalebox{1.57}{\small B}};
\node at (8.477,8.316) {\scalebox{1.57}{\small C}};
\node at (11.248,6.106) {\scalebox{1.57}{\small D}};
\node at (7.623,5.818) {\scalebox{1.57}{\small E}};
\node at (0.837,5.526) {\scalebox{1.57}{\small F}};
\node at (5.6,1.793) {\scalebox{1.57}{\small G}};
\node at (11.215,0.95) {\scalebox{1.57}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.097,10.458) -- (12.097,11.558);
\draw[line width=0.5pt] (11.866,11.173) -- (12.097,11.558) -- (12.328,11.173);
\draw[line width=0.5pt] (11.795,11.008) -- (12.4,11.008);
\node at (12.097,11.943) {\scalebox{1.57}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 2 & 2 & 6 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(F)}, prend le \textbf{chemin du Lavoir ④} vers le nord-est et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑤}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ③}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ②}, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ⑦}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑧}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑪}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ⑩}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑫}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
